利用有限差分法計算自組式量子點電子結構

國立交通大學

電子物理研究所

碩 士 論 文

利用有限差分法計算自組式量子點電子結構

Three dimensional finite difference simulation for the

electronic structures of self-assembled quantum dots

研 究 生：徐燁

指導教授：鄭舜仁 教授

利用有限差分法計算自組式量子點電子結構

Three dimensional finite difference simulation for the

electronic structures of self-assembled quantum dots

研 究 生：徐燁 Student：Yeh Hsu

指導教授：鄭舜仁 教授 Advisor：Prof. Shun-Jen Cheng

國 立 交 通 大 學 電子物理研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Electrophysics College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electrophysics

July 2010

HsinChu, Taiwan, Republic of China

利用有限差分法計算自組式量子點電子結構 學生：徐燁 指導教授：鄭舜仁 博士 國立交通大學電子物理研究所碩士班 摘要 本論文主要是探討(InGaAs/GaAs)自組式量子點中載子的電子結 構。文章中利用單能帶有效質量理論以及三維非均勻格點有限差分法 計算自組式量子點中載子的電子結構。 我們利用自行發展的數值程式探討截角金字塔量子點中擴散、應 變等效應對量子點的有效能隙、能階量化、波函數分布範圍的影響。 當量子點受到量子點中擴散和應變效應影響時束縛位能會減 弱，特別在量子點很小時，我們模擬結果顯示隨著量子點變小，電子 態的束縛越來越弱，當量子點底部長度小於12奈米時，電子波函數分 布範圍的趨勢出現明顯的反轉與實驗相符合[1]

Three dimensional finite difference simulation for the electronic structures of self-assembled quantum dots

Student：Yeh Hsu Advisor：Prof. Shun-Jen Cheng

Department of Electrophysics National Chiao Tung University

ABSTRACT

This thesis presents a theoretical study of electronic structures of InGaAs/GaAs self-assembled quantum dots by using finite difference method in the single-band effective mass approximation. Throughout this work, truncated-pyramid shaped quantum dots subject to strain and

Ga-diffusion are considered in the simulation.

For the study, we develop a 3D non-uniform grid finite difference simulator to calculate the effective energy gap, the level energy

quantizations and wave functions of single electron and hole confined in 3D-confining quantum dots. We show that the confining potential of quantum dot for electron is substantially softened by strain and Ga-interdiffusion, especially pronounced in small quantum dots. Our simulated results reveal the formation of weakly bound electron states in the small dots with the base length shorter than 12nm and the resulting significant extent of electron wave has been recently confirmed

致謝 首先感謝鄭舜仁老師兩年來的細心指導，使我對固態物理及其理 論計算上有更深一層的了解，讓我得以窺見在追求真實的物理世界中 做研究的態度。感謝口試委員陳老師、張老師、林老師在口試時提出 的寶貴意見。 感謝我的爸媽與哥哥、依蘋、欣玫，因為有他們的支持陪伴我才 能無後顧之憂的完成我的學業。在交大兩年的生活裡，感謝盧書楷學 長平常對我的照顧與指導，使我不僅在課業上，也在生活上得到幫 助。感謝陳彥廷、黃上瑜與尤文廷學長在研究上的帶領使我獲益良 多，感謝趙虔震學長教導我如何撰寫論文，感謝陳勇達學長在電腦方 面的幫助，感謝 Hanz 總是在我有問題時耐心指導。謝謝同屆的許克 銘、曾浤鈞、廖禹淮同學等在課業上的討論；也要感謝學弟妹廖建智、 張語宸、林以理、鄭丞偉、張書瑜、古智豪、陳力瑋等，謝謝你們的 陪伴。也很感謝聿民、哲男、毅帆、寶節、毓謙、彥廷、宣德、宜倫、 佳翰、國榮、玉珊、偉杰以及教會的朋友們，有你們的陪伴使我的碩 士生活過的很開心。最後謝謝所有曾經幫助過我的人。

目錄： 中文摘要……… ii 英文摘要……… iii 致謝……… iv 目錄……… v 表目錄……… vii 圖目錄……… viii 第一章、導論……… 01 1.1 量子點簡介……… 01 1.2 理論文獻……… 01 1.3 研究動機……… 02 1.4 章節概要……… 02 第二章、K‧P 法與量子點等效位能……… 04 2.1 K‧P 法……… 05 2.2 量子點等效位能……… 08 第三章、有限差分法……… 14 3.1 均勻網格有限差分法……… 14 3.2 一維非均勻網格有限差分法……… 19 3.3 三維非均勻網格有限差分法……… 25

第四章、量子點電子結構……… 28 4.1 金字塔形狀量子點驗證……… 28 4.2 均勻與非均勻網格收斂性比較……… 29 第五章、結果與討論………

32 5.1 截角金字塔形狀量子點……… 32 第六章、結論……… 41 參考文獻……… 43 附錄 A、材料參數……… 44 附錄 B、擴散現象……… 46 附錄 C、非均勻網格三點差分通式推導……… 48 附錄 D、均勻網格多點差分效益比較……… 55

表目錄：

表 A.1、參考文獻[21]的材料參數……… 44

表 C.1、非均勻網格系統三點差分近似 Taylor 級數表……… 50

表 D.1、均勻網格系統三點差分近似 Taylor 級數表……… 55

圖目錄： 圖 2.1、理論流程圖……… 04 圖 2.2.1、量子點形狀(a)[1 10] 方向 (b) [110]方向，截自參考文獻 [18]………

08 圖 2.2.2、量子點形狀示意圖 (a)截角金字塔 (b)金字塔……… 09 圖 2.2.3、截角金字塔特徵函數示意圖………

10 圖 2.2.4、電子位能圖……… 10 圖 2.2.5、電洞位能圖……… 11 圖 2.2.6、截角金字塔形狀量子點，考慮應變後，與位置相關的 Band offset ………

12 圖 2.2.7、截角金字塔形狀量子點，組成為 In0.75Ga0.25As/GaAs ，應變對束縛位能的影響圖……… 13 圖 3.1.1、一維均勻網格系統網格大小及網格座標示意圖……… 15 圖 3.1.2、二維均勻網格系統網格大小及網格座標示意圖……… 16 圖 3.1.3、矩陣H_{( , , )( , , )i j k i j k′ ′ ′} (3.1.11)式中非零項的示意圖…………

19 圖 3.2.1、一維非均勻網格系統網格大小及網格座標示意圖…… 20 圖 3.2.2、均勻與非均勻網格系統考慮一維簡諧振子位能能階收 斂圖(a)基態 (c)第一激發態與誤差百分比收斂圖(b)基 態(d)第一激發態……… 24

圖 3.3.1、二維非均勻網格系統網格大小及網格座標示意圖…… 25 圖 4.1.1、金字塔型量子點考慮不同底部大小的基態電子能階，

圖中包含參考文獻[20][2][3]的結果………

28 圖 4.2.1、簡諧振子( 1 2 2 2 V = mω r )能階示意圖……… 29 圖 4.2.2、均勻與非均勻網格系統考慮三維簡諧振子位能能階收 斂圖(a)基態 (c)第一激發態與誤差百分比收斂圖 (b)基 態(d)第一激發態……… 30 圖 4.2.3、截角金字塔量子點基態能量的收斂情形……… 31 圖 5.1.1、截角金字塔量子點等效位能流程圖……… 33 圖 5.1.2、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後特徵函數變化 圖……… 35 圖 5.1.3、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後等效位能變化 圖……… 36 圖 5.1.4、定義截角金字塔結果中波函數分布及不對稱性符號示

意圖……… 36 圖 5.1.5、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對波函數分布 的影響圖……… 38 圖 5.1.6、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對電子能階的 影響圖……… 39

圖 5.1.7、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對電洞能階的 影響圖……… 39

圖 5.1.8、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度l_D對躍遷能量

的影響圖……… 40 圖 A.1、考慮量子點內部 InAs 摻雜 Ga 對 Conduction/Valence band

offset 的影響圖……… 44 圖 B.1、擴散效應對量子點內部不同位置的 InAs 所佔的百分比影

響圖………

46

圖 C.1、一維非均勻網格系統網格大小及網格座標示意圖……

48

第一章 導論

1.1 量子點簡介 當物體的大小與其組成物質的物質波波長相當時,量子效應變成 決定材料物、化、光、電等各種特性的關鍵性因素。以IV及III-V族半 導體為例，其物質波波長約為20 ~ 40奈米(nano-meter)，在三度空間 各方向大小均在此尺度的半導體物體因此稱之為半導體量子點，這些 奈米尺度的量子點其特性與的巨觀塊材(bulk)截然不同，具有許多傳 統材料所沒有獨特而優越的性質，例如其電子能態密度(electronic density of states)分佈不似塊材形成能帶，而是與單一原子較為接近由 狹窄的不連續能階組成，故又稱為人造原子[4] [5]。而量子限域效應 (quantum confinement effect)，當量子點的尺寸變小其能階間距則變 大，提供了一個經由控制其大小而調變其能階的有效機制，表現在光 學特性上，量子點就是一個頻寬狹窄而頻率可控制的理想光源。而其 關鍵成份-量子點的結構如形狀、原子排列及成份分佈至今仍不甚清 楚，這些正是決定其光電特性的關鍵因素。具體量子點的應用[6] [7] [8]有量子點雷射、單電子電晶體、單光子產生器、生物螢光檢測、 多體物理理論的驗證和紅外光偵測器…等。 1.2 理論文獻 對於電子與電洞的電子結構部份，我們採用 k p⋅ 理論中單能帶有

效質量模型，更精確的理論有考慮輕電洞與重電洞能態的四能帶 [9,10]，六能帶[9]、八能帶[11]甚至更多能帶k p⋅ 理論，但是也需要 更多的計算時間和記憶體空間。 在計算電子和電洞的電子結構中，我們使用有限差分法來求解。 有限差分法是解一個稀疏矩陣的問題，所需要的資源較少，並且我們 使用非均勻網格[12]做為有限差分法的計算空間。同時我們也考慮了 擴散效應[13]和應變效應[14]。 1.3 研究動機 很多量子點系統的物理量如精細結構匹裂(Fine-structure splitting)、庫倫作用力、螢光強度等，在計算上都需要用到載子的能 量和波函數，如果我們可以提供穩定、可靠、快速、正確的方式來計 算得到這些資訊，對於了解量子點系統的物理會有很大的幫助，本篇 論文嘗試著做這樣的事情。 1.4 章節概要 第一章，我們主要是對於量子點和計算方法做一個簡單的介紹。 第二章，介紹單電子、單能帶等效質量薛丁格方程式與量子點等效位 能。 第三章，主要是描述如何用有限差分法在均勻網格與非均勻網格空間 中解薛丁格方本徵方程式。

第四章，主要是描述我們利用單能帶模型(one-band model)模擬金字塔 形狀量子點與文獻比較的結果，並且探討均勻網格空間與非均勻網格 空間收斂性的差異。 第五章，首先介紹應變效應對量子點侷限位能的影響，接著用截角金 字塔模型模擬真實量子點，探討不同大小、摻雜的量子點對載子束縛 態、波函數及發光強度的影響。 第六章，是本篇論文的結論和進而討論未來可以延續性的工作。

第二章

k p

⋅

法和量子點

首先介紹基本的理論架構如下圖 2.1。一開始先決定量子點形狀 大小和材料，考慮量子點形狀、擴散、應變後的完整 Hamiltonian， 最後得到能階和波函數，下面會分別對流程圖項目做介紹，先從 法、波包近似法(Envelope Function Approximation)然後是特徵函數。 第二節說明我們如何決定量子點等效位能。 k p⋅ 材料參數和量子點形狀、材料成分分布 特徵函數 圖 2.1、理論流程圖 應變 擴散效應 等效位能 單能帶 k‧p 法+微擾理論+EFA 完整的 Hamiltonian 離散成稀疏矩陣(FDM) 對角化 得到能階和波函數

2.1 k p⋅ 法 在固態的系統中，原子是週期性排列的。換句話說，電子或其他 帶電荷的粒子在固態的系統中受到的位能也是成週期性的排列如公 式(2.1.1)式

( )

(

)

V r

v

=

V r

v

+

T

v

(2.1.1) 1 1

ˆ

2

ˆ

2 3 3

T

v

=

n a

+

n a

+

n a

ˆ

在這裡

V rv)

(

是來自原子的位能，而不是外加位能。Tv 是一個平移向 量， 是整數，而 是晶格向量。根據 Bloch’s theorem 當電子在週期性位能中，波函數可以表示成 Bloch’s function 的形式， 如(2.1.2)式 1

,

2

,

n n

n

₃

a a a

ˆ ˆ

₁

,

₂

,

ˆ

₃ ,

( )

,

( )

ik r n k

r

e

u

n k

r

ψ

₌

v v⋅ v

v

v

v

_(2.1.2) ,

( )

,

(

)

n k n k

u

v

r

v

=

u

v

r

v

+

T

v

其中 表示電子在晶體中具有平面波的特性，而 表示電子 局部的波函數，是一個週期為 ik r

e

v v⋅

u

_{n k,}v

(

r

v

)

的函數。現在我們考慮 Schrödinger equation，如(2.1.3)式 0 n

( )

n n

( )

H

ψ

r

v

=

E

ψ

r

v

(2.1.3) 2 0 0 ˆ ( ) 2 p H V r m = + v

ˆp= − ∇ih 0 H 是哈密頓量(Hamiltonian)，將(2.1.2)式代入(2.1.3)式，可得 0 n k,

( )

n n k,

( )

H

ψ

v

r

v

=

E

ψ

v

r

v

_(2.1.4) (2.1.4)式可改寫成(2.1.5)式 2 , , 0 ˆ ( ) ( ) ( ) 2 ik r ik r n n k n k p V r e u r E e u r m ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ v_v v_v v v v v v (2.1.5) 然後將(2.1.5)式展開成(2.1.6)式 2 2 2 , 0 ˆ 2 ˆ ( ) ( ) ( ) 2 ik r ik r n k n k p k p k e u r V r m ⋅ ⎡ + ⋅ + ⎤_{⋅ +} ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ v_v v_v v v h h , e u v r v v v (2.1.6) ,

( )

ik r n n k

E e

⋅

u

r

=

v v v

v

可以將(2.1.6)式整理成(2.1.7)式 2 2 2 , , 0 0 0 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ik r ik r ik r ik r n k n k n k k p e u r e u r e k p e V r u r m m m ⋅ ₊ ⋅ ₊ ⋅ _{⋅ +} ⋅ v_v v_v v_v v_v v v v h h ,v v v v v (2.1.7) ,

( )

ik r n n k

e

⋅

E u

r

=

v v v

v

我們把(2.1.7)式兩邊同時消去

e

ik rv v⋅ 可得(2.1.8)式 2 2 2 , , 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 n k n n k k p k p V r u r E u r m m m ⎡ ⎤ + + ⋅ + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ v v v _v h h v v v v (2.1.8) 方程式中出現了 0 k p m ⋅ v h v 項，所以才稱之 k pv v⋅ 法。 接下來我們考慮將(2.1.4)式利用 Löwdin 的微擾理論[15]來求得 等效的哈密頓量[16]，結果如(2.1.9)式 k pv v⋅

2 2 0

( )

(

0)

2

*

c c

E k

E k

k

m m

=

= +

v

v

_h

v

  (2.1.9) 2 0

1

*

(

)

2

1

cv c v

m

p

m E

E

≡

⎛

⎞

+

⎜

₋

⎟

⎝

⎠

  _(2.1.10) 其中 稱為等效質量，對於不同的材料中會有不同的等效質量， (2.1.9)式很清楚的表示當 很接近零時，電子在塊材的行為表現跟在 真空中行的為表現很像，差異是有效質量不同。在真空中 而在 許多半導體塊材中 會小於 1，也就是說電子在塊材中的行為相當 於質量變小了。在(2.1.10)式中

*

m

kv

* 1

m

=

*

m

ˆ | | cv p = c p v 指的是導帶和價帶之間動 量矩陣元素，而Eg =Ec −Ev是導帶和價帶的能量差。 最後我們考慮波包近似法，當我們系統位能在空間中是緩慢變化 時，我們的 Hamiltonian 可以改寫成 (2.1.11) 式 QD

( )

bulk

H

=

H

+

V

r

v

  _(2.1.11) 其中 為緩慢變化的外加位能，如此我們可以用 envelope

function 取代 bloch function 中的 QD( ) V rv ( g rv)

e

ik rv v⋅ 得到式(2.1.12) , 0 1

( )

( )

( )

N n n k n

r

g r u

r

ψ

₌ =

=

∑

v

v

v

v

  (2.1.12)

其中 N 指考慮 N 個 band，下標 n 表示第 n 個 band 的 envelope function， 是 Bloch function 的週期性部分。考慮 (2.1.11)式與(2.1.12)式 , ( )

n k u v rv

後經過計算最後可得到單能帶等效質量 Schrödinger equation 2 2 QD 0

( )

( )

( )

2

m m

*

V

r

g r

Eg r

⎛

⎞

∇ +

=

⎜

⎟

⎝

⎠

h

v

v

v

  (2.1.13) 2.2 量子點等效位能 這篇論文中很重要的一部分就是我們如何決定自組式量子點內 載子所感受到的位能，或者我們稱之為等效位能。等效位能本身是複 雜多變的，包含材料組成、應變效應、壓電效應、庫倫作用力等，我 們忽略庫倫作用力的影響，這是由於量子點相對於塊材(bulk)的侷限 能很強[17]，尺寸效應(size effect)影響載子能量主要部份。 材料組成可分成兩個部份來討論：量子點形狀、材料擴散(附錄 B)。量子點真實的形狀至今仍無定論，這裡我們以常用的模型做代 表，包括截角金字塔形狀量子點以及金字塔形狀量子點。 圖 2.2.1、量子點形狀(a) 方向 (b) 方向 資料來源：J. Marquez, et al, Appl. Phys. Lett. 78, 2309 (2001).[18]

(a) (b) 圖 2.2.2、量子點形狀模型(a)截角金字塔(b)金字塔 為了描述圖 2.2.2 的量子點形狀我們定義一個函數 叫特徵函 數，特徵函數值當 在量子點內部為 1，外部為 0 ( ) QD X rr rr

1,

( )

0,

QD

r in dot

X

r

r out of dot

⎧

= ⎨

⎩

r

r

r

  (2.2.1) 其中截角金字塔的特徵函數如式(2.2.2)

0

1,

2

2

2

2

( , , )

2

2

2

2

0, others

x x x x QD y y y y

z

h

b

b

b

b

z

x

z

c

c

X

x y z

b

b

b

b

z

y

z

c

c

≤ ≤ ∧

⎧

⎪

⎪

−

≤ ≤ −

+

∧

⎪

= ⎨

⎪

₋

_{≤ ≤ −}

₊

⎪

⎪

⎩

  (2.2.2)

圖 2.2.3、截角金字塔特徵函數示意圖，虛線表示截角部分 y x b、 、b h 45 分別對應圖 2.2.2 量子點的長寬高，

c

指的是當截角金字塔型 量子點的頂端還沒截去時，一個完整金字塔的高，與文獻比較的模型 為

θ

= °， 2 x b c= 。 接著我們用簡單的示意圖描述載子在量子點中的位能： 在電子部份： c

E

Δ

dot c

E

barrier c

E

dot

barrier

V

barrier

r

c

E

Δ

dot c

E

barrier c

E

dot

barrier

V

barrier

r

圖 2.2.4、電子位能圖 由圖 2.2.4 我們可以用特徵函數(2.2.1)式來表示電子的位能函數如 (2.2.3)式，其中Δ =E_c E_cbarrier −E_cdot。 ( , , ) barrier ( , , ) c c c QD V x y z =E − Δ ×E X x y z (2.2.3)

在電洞部份： v

E

Δ

dot v

E

barrier v

E

dot

barrier

V

barrier

r

v

E

Δ

dot v

E

barrier v

E

dot

barrier

V

barrier

r

圖 2.2.5、電洞位能圖 同樣地，藉由圖 2.2.5 我們可以用特徵函數(2.2.1)式來表示電洞的位 能函數如(2.2.4)式，其中 barrier dot v v v E E E Δ = − 。 ( , , ) barrier ( , , ) v v v QD V x y z =E − Δ ×E X x y z (2.2.4) 在實際計算上，我們需要定一個參考點來表示位能函數，考慮電 子時我們取 dot c E 當作零位面；考慮電洞時我們取E_vdot當作零位面，

Barrier 的材料為 GaAs，dot 的材料為 IncGa1-cAs，1-c 表示量子點內部

Ga 摻雜的百分比，詳細的材料參數值列在附錄 A。

應變效應：

異質結構在材料晶格不匹配時，會產生應變，晶格常數小的材料 晶格常數會被拉大，而晶格常數大的材料晶格常數會被縮小，這些現 象在界面上最為顯著，最後會達到一個平衡的狀態。當我們的量子點 系統是 InAs/GaAs 時，InAs 的晶格常數比 GaAs 的晶格常數來的大 ，晶格不匹配度大約 7%，所以在此量子點系統中 InAs 會被壓縮，當

我們定義真空階能量為零時，應變會造成量子點的導電帶

(Conduction band edge)變小、價電帶(Valence band edge)變大。計算 等效位能V_{c v}strain_, (

ε

_ij)使用的公式[9]。 電子為： ( ) ( ( ) ( ) ( )) strain c c xx yy zz V rv =a

ε

rv +

ε

rv +

ε

rv c c c (2.2.5) ( ) strain( ) E r′ E V Δ v = Δ + r v 重電洞為： ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) 2 ( ) 2 strain v v xx yy zz xx yy zz b V rv =a

ε

rv +

ε

rv +

ε

rv +

ε

rv +

ε

rv −

ε

rv ) v v v (2.2.6) ( ) strain( ) E r′ E V Δ v = Δ + r v ij

ε

為應變量，i 為形變方向，j 為參考軸方向，使用有限元素法計算應 變[19]，得到與位置相關的ΔE r_c′( )v 0.37eV 0.41eV 0.1eV 0.14eV b=10(nm) 0.37eV 0.41eV 0.1eV 0.14eV 0.37eV 0.41eV 0.1eV 0.14eV b=10(nm) 圖 2.2.6、截角金字塔形狀量子點，考慮應變後與位置相關的 Band offset

這裡我們取無窮遠處與量子點中心的能量差作為等效的ΔE′_c，以 b=10nm 的量子點來說Δ =E_c′ 0.41eV，Δ =E_v′ 0.24eV，考慮不同大小的

量子點得到圖2.2.7

圖 2.2.7、截角金字塔形狀量子點，組成為 In0.75Ga0.25As/GaAs，應變對

Conduction/Valence band offset 的影響。b 是截角金字塔底的大 小，虛線為考慮應變前的 Band offset 圖2.2.7是高1.8(nm)的截角金字塔形狀量子點考慮應變後的侷限位能 變化圖，虛線部分為初始的ΔE_c與ΔE_v，Δ =E_c 775.5(meV)、 ，參數細節參考附錄A。 142.3( ) v E m Δ = eV

第三章 有限差分法

有限差分法是一種離散方法，離散(Discretization)過程本身是用 一個插值多項式(Interpolating Polynomial)及其微分來代替偏微分方 程的解。首先要把所給方程的求解區域用網格劃分，然後對方程式中 的導數(Derivative)進行近似，得到關於網格點上未知函數的線性代數 方程組。 3.1 均勻網格有限差分法 下面我們以Taylor級數展開為基礎，說明空間導數的近似方法， 並給出近似導數精確到任意階精確度的一般方法。 這裡我們先推導一維的結果，三維的結果可以容易從一維的式子 推廣得到。首先從一維、單電子等效質量薛丁格方程式(3.1.1)出發 2 2 * 2

( )

( ) ( )

( )

2

d

x

V x

x

E

x

m dx

ψ

ψ

−

h

+

=

ψ

  (3.1.1) 假設系統的邊界條件為

ψ

(0)

=

0

，

ψ

(

L

_x

)

=

0

，這裡我們只考慮

0 ~ L

_x 這個範圍，我們將系統切成Nx + 個格點，每一個格點的間距為1 / x x x L Δ = N ，我們定義

ψ

0

=

ψ

(0)

、

ψ ψ

1

=

(

Δ

x

)

、…、

ψ ψ

i

=

(

i

⋅ Δ

x

)

、…、

(

)

x

(

)

N

N

x

x

L

x

ψ

=

ψ

⋅ Δ =

ψ

圖 3.1.1、一維均勻網格系統示意圖 我們用

ψ

i (i= L0, ,Nx)表示

ψ

在點

x

i

= × Δ

i

x

的近似值，接著對 1 i

ψ

₋ 、

ψ

i+1做Taylor級數展開得到下列式子(3.1.2)、(3.1.3) (註:若無特殊說明， 2 x Δ 表示 2 (Δx) ) 2 2 1 2

1!

2!

i i i i

x d

x

d

dx

dx

ψ

ψ

ψ

₋

=

ψ

−

Δ

_⎜

⎛

⎞

_⎟

+

Δ

_⎜

⎛

⎞

_⎟

+

⎝

⎠

_⎝

_⎠

L

  (3.1.2) 2 2 1 2

1!

2!

i i i _i

x d

x

d

dx

dx

ψ

ψ

ψ

₊

=

ψ

+

Δ

_⎜

⎛

⎞

_⎟

+

Δ

_⎜

⎛

⎞

_⎟

+

⎝

⎠

⎝

⎠

L

(3.1.3) 則

ψ

對 的二階導數可由(3.1.2)加上(3.1.3)，消去一階導數項，得 (3.1.4)式

x

2 4 2 1 1 2 2 4

2

1

12

i i i i i

d

d

x

x

dx

dx

ψ

₊

−

ψ ψ

+

₋

⎛

ψ

⎞

⎛

ψ

⎞

=

_⎜

_⎟

+

Δ

_⎜

_⎟

Δ

_⎝

_⎠

_⎝

_⎠

+

L

(3.1.4) 於是得到

ψ

對

x

二階導數的二階近似(3.1.5) 2 2 1 1 2 2

2

(

)

i i i i

d

O

x

dx

x

ψ

ψ ψ

ψ

_{+ −}

⎛

⎞

₌

−

+

₊

⎜

⎟

_Δ

⎝

⎠

Δ

) (3.1.5) 其中O x 是我們忽略的二階誤差，將(3.1.5)式代入(3.1.1)式後得一 矩陣 2 (Δ x N 1 ii i i H ψ_{′ ′} =Eψ_i ′=

∑

，其中

H

為 2 i

x

₋

x

_i−1

x

_i

x

_i+1

x

Δ

x

Δ

網格大小 網格座標

2 * 2 2 * 2 ' 2 * 2

1

'

-1

2

2

'

2

1

'

1

2

0

i ii

if i

i

m

x

V

if i

i

H

_m

_x

if i

i

m

x

otherwise

⎧

−

=

⎪

_Δ

⎪

⎪

₊

₌

⎪

=

_⎨

_Δ

⎪

⎪−

=

Δ

⎪

⎪⎩

h

h

h

₊

(3.1.6) 最後對角化 H 可得到能量

E

和波函數

ψ

。 接著我們延伸到三維均勻網格三點差分，與一維均勻網格相同， 圖(3.1.2)定義了三維均勻網格系統中的網格大小與網格座標 1 i

x

₊

x

_i+2

x

_i+3 j

y

y

Δ

y

Δ

y

Δ

y

Δ

-1 i

x

x

_i -1 j

y

1 j

y

₊ 2 j

y

₊ 3 j

y

₊

Δ

x

Δ

x

Δ

x

Δ

x

1 i

x

₊

x

_i+2

x

_i+3 j

y

y

Δ

y

Δ

y

Δ

y

Δ

-1 i

x

x

_i -1 j

y

1 j

y

₊ 2 j

y

₊ 3 j

y

₊

Δ

x

Δ

x

Δ

x

Δ

x

圖 3.1.2、二維均勻網格系統示意圖 其中

x

i、

y

j、

z

k表示在軸上第幾個位置，

Δ

x

、

Δ

y

、

Δ

z

表示格點

之間的距離。計算範圍x方向從0 ~ Lx、y方向從0 ~ Ly、z方向從 0 ~L_z，我們將系統切成(N_x + ×1) (N_y + ×1) (N_z +1)個格點，格點間距 為

Δ =

x

L

_x

/

N

_x、

Δ =

y

L

_y

/

N

_y、

Δ =

z

L

_z

/

N

_z

，假設系統邊界如下：

( , , )

x y z

0,

if

0

x

or L or y

_x

0

or L or z

_y

=

0

or L

_z  (3.1.7)

ψ

=

=

=

(3.1.7)式表示我們的計算範圍是一個長方形的盒子，在六個面上

ψ

都 假設為0。我們定義

ψ

0,0,0

=

ψ

(0, 0, 0)

、

ψ

0,0,1

=

ψ

(0, 0,

Δ

z

)

、 1,1,1

(

x

,

y

,

z

)

ψ

=

ψ

Δ Δ Δ

、…、

ψ

_{i j k, ,}

=

ψ

(

i

⋅ Δ

x

,

j

⋅ Δ

y k

,

z

)

)

(

y x

N

⋅ Δ

,

_y

,

_z 、…、 , ,N_z

(

N

x

x

,

,

z

)

x y N N

y N

z

L L L

ψ

=

ψ

⋅ Δ

⋅ Δ

⋅

Δ =

ψ

_。 定義完網格系統後，我們從三維、單電子等效質量薛丁格方程式 出發如3.1.8式 2 *

(

( , , ))

( , , )

( , , )

( , , )

2

m

x y z

V x y z

x y z

E

x y z

−

h

∇⋅

∇

ψ

+

ψ

=

ψ

  (3.1.8) 仿照一維均勻網格的方式，我們可以得到三個方向個別的三點有限差 分法二階導數近似 2 , , 2 , , 2 i j k i j k

dx

dy

dz

ψ

ψ

ψ

1, , , 1, 2 2 , 1 , , , 2 2 , , , , , , 2 2 i j i j k i i j i j k i j i j k i j k i j

x

y

z

− + − + , , 1

2

2

2

k k

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

, 1, 1 j k k k

ψ

ψ

ψ

d

d

d

− +

−

+

=

−

+

=

−

+

=

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

Δ

Δ

Δ

  (3.1.9)

將結果代回(3.1.8)式後得到三維、單電子等效質量薛丁格方程式用均 勻網格有限差分法離散後的結果 2 1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1 * 2 2 2

2

i j k i j k i j k i j k i j k i j k

m

x

y

z

ψ

₋

+

ψ

₊

ψ

₋

+

ψ

₊

ψ

₋

+

ψ

⎛

⎞

−

+

+

⎜

_Δ

_Δ

_Δ

⎟

⎝

⎠

h

+   (3.1.10) 2 , , , , , , * 2 2 2

2

2

2

2

m

x

y

z

V

i j k

ψ

i j k

E

ψ

i j k

⎡ −

⎛

−

−

−

⎞

⎤

+

_⎢

_⎜

+

+

_⎟

+

_⎥

=

Δ

Δ

Δ

⎝

⎠

⎦

⎣

h

改寫成矩陣形式 ，其中 1, 1, 1 ( , , )( , , ) , , , , , , 1 x y z N N N i j k i j k i j k i j k i j k H

ψ

ψ

+ + + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= =

∑

E

_H

_為 2 * 2 2 * 2 2 * 2 ( , , )( , , ) 1 1, , 2 1 1, , 2 1 2 i j k i j k if i i j j k k m x if i i j j k k m x m y H _{′ ′ ′} − _{′= − ′= ′=} Δ − _{′= + ′= ′=} Δ − Δ = h h h 2 * 2 2 * 2 1, , 1 1, , 2 1 1, , 2 if j j i i k k if j j i i k k m y if k k i i j j m z ′= − ′= ′= − _{′= + ′= ′=} Δ − _{′= − ′= ′=} Δ h h 2 * 2 2 , , * 2 2 2 1 1, , 2 - -2 -2 -2 , , 2 0 i j k if k k i i j j m z h V if i i j j k k m x y z otherwise ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ₋ ⎪ ′= + ′= ′= Δ ⎪ ⎪ _{⎛ ⎞} ⎪ _⎜ + + _⎟+ ′= = = Δ Δ Δ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ h ′ ′   (3.1.11) 最後對角化H 得到能量E與波函數

ψ

。 下面圖示舉N_x = N_y = N_z = 為例，標記出矩陣中有值的位置對應的2 座標

圖 3.1.3、矩陣H_{( , , )( , , )i j k i j k′ ′ ′} (3.1.11)式中非零項的示意圖 3.2 一維非均勻網格有限差分法 由於電腦計算有費時及記憶體限制等問題，相對能取的網格點數 就有所限制，有鑑於此，我們希望能控制網格點的位置以減少計算上 不必要的浪費，非均勻網格系統可以幫助我們達到這個目的。首先介 紹一維非均勻網格有限差分法。 與3.1 小節介紹的一維均勻網格相同，圖(3.2.1)定義了一維不均 勻網格系統中的網格大小

{

Δxi

}

與網格座標

{ }

xi ，其中Δ =xi xi+1− 不xi 再是定值。

圖 3.2.1、一維非均勻網格系統示意圖 一樣地我們從(3.1.1)式出發，用

ψ

i (i= L0, ,Nx)表示

ψ

( )

x

i 的近似 值，接著我們對

ψ

i−1、

ψ

i+1做Taylor級數展開得到下列式子(3.2.1)、 (3.2.2) 2 2 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 1! 2! i i i i i i i _i x d x d x x dx dx

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

− − − − ⎛ ⎞ −Δ ⎛ ⎞ −Δ = − Δ = + _{⎜ ⎟} + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} L  (3.2.1) 2 2 1 2

(

)

(

)

1!

2!

i i i i i i i i

x

d

x

d

x

x

dx

dx

ψ

ψ

ψ

₊

=

ψ

+ Δ

=

ψ

+

Δ

⎛

_⎜

⎞

_⎟

+

Δ

⎛

_⎜

⎞

_⎟

+

⎝

⎠

_⎝

_⎠

L

(3.2.2) 詳細計算參考附錄C，我們得到不均勻系統的二階導數三點差分近似 (3.2.3)式 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 ( ) i i ( ) i i i i i i i i i d dx x x x x x x x x

ψ

i

ψ

₋

ψ

ψ

₊ − − − − ⎛ ⎞ _{= − +} ⎜ ⎟ _{Δ Δ + Δ Δ Δ Δ Δ + Δ} ⎝ ⎠ (3.2.3) 若將

Δ = Δ

x

i

x

i−1

= Δ

x

i+1

= Δ =

x

定值代入(3.2.3)式，則可以重新得到 3.1.5式。 當 不再為定值時，(3.2.3)式寫成矩陣後會發現矩陣不對稱， 也就是說這個矩陣不Hermitian，或我們可以說矩陣不共軛對稱。矩 陣不Hermitian 在表達物理上是有問題的，包含特徵值非實數、特徵 向量彼此間不正交歸一。

x

Δ

2 i

x

₋

x

_i−1

x

_i

x

_i+1 1 i

x

x

_i

Δ

Δ

網格大小 ₋ 網格座標

雖然矩陣不共軛對稱，但是仍可求得結果，為了維持矩陣對稱性 我們參考文獻[12]的理論作下面的轉換。首先將(3.2.3)式代入(3.1.1) 式寫成矩陣方程式 1 x N ii i i i

H

_′

ψ

_′

E

ψ

′=

=

∑

(3.2.4) 其中

H

為 2 * 1 1 2 * ' 1 2 * 1

2

-1

2

(

)

2

2

2

1

2

(

)

0

i i i i ii i i i i i

if i

i

m

x

x

x

V

if i

i

H

m

x x

if i

i

m

x

x

x

otherwise

− − − −

⎧

_′

−

=

⎪

_Δ

_{Δ + Δ}

⎪

⎪

′

+

=

⎪

=

_⎨

Δ Δ

⎪

⎪

₋

_′

₌

⎪

Δ Δ + Δ

⎪

⎩

h

h

h

₊

(3.2.5) 接著我們定義兩個矩陣稱之為 與L B： 滿足L Lii′ =liδii′，其中 1 ( ) i i i l = Δ + Δx x₊ / 2 ，即 1 '

(

) / 2

0

i i ii

x

x

if i

L

otherwise

+

⎧

Δ + Δ

′

=

⎪

= ⎨

⎪⎩

i

(3.2.6) 而

B

則定義為

B

=

L H

2 ，即

2 0 1 2 1 0 1 2 0 1 1 2 ( ) 2 2 2 1 1 2 0 i i i i ii i i i if i i m x x x V if i i B m x x if i i m x − − ′ − ′ − = Δ ⎛ ₊ ⎞ Δ + Δ _{′ =} ⎜ ⎟ = _⎝ Δ Δ _⎠ ′ − = Δ h h h otherwise ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − + (3.2.7) 從(3.2.7)式我們不難發現 為對稱矩陣， 為對角線矩陣，然後我們 從(3.2.4)式出發寫下(3.2.8) B L

H

ψ

=

E

ψ

⇒

LLH

ψ

=

LLE

ψ

⇒

B

ψ

=

LLE

ψ

(3.2.8) 1 1

(

)

(

)

L BL

− −

L

ψ

E L

ψ

⇒

=

(3.2.8)可寫成

H

′Φ = Φ

E

(3.2.9) 其中非對稱矩陣 H 與對稱矩陣H ′的關係為 1

H

′ =

LHL

− (3.2.10) 轉換之後H ′的矩陣元素如下 2 1 1 2 * 1 2 * 1 2 1 1 * 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 0 i i i i i i ii i i i i i i i x x x x if i i m x V if i H m x x x x x x if i i m x − − − − ′ − + − Δ + Δ Δ + Δ _′ − = Δ ′ + = = Δ Δ Δ + Δ Δ + Δ _′ − = Δ h h h otherwise ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ i − + (3.2.11)

轉換前與轉換後的波函數關係為 1

L

ψ

₌

−

_Φ

(3.2.12) 由於B為對稱矩陣且 為對角線矩陣，我們可以很簡單的證明L H ′為 一對稱矩陣即 T，現在我們可以對角化 H H ′= H ′得到特徵值 與特徵 函數 ，再透過 E Φ 1 L

ψ

₌ − _Φ 得到波函數

ψ

，於是我們得到(3.1.1)式在一 維非均勻網格中完整的解。 為了驗證這個推導的正確性，我們作下面的計算。首先我們使用 一維簡諧振子模型 1 2 2 2 V = m

ω

x _{當作我們的位能，並令h}

ω

=1eV ，如 此我們可以簡單算出從基態開始的能量依序為0.5、1.5、2.5…個電子 伏特，在所有輸入參數都相同的情況下我們得到圖(3.2.2)

(a) (b) (c) (d) 圖 3.2.2、(a)、(c)模擬簡諧振子( 1 2 2 2 V = mω x )的能階，(b)、(d)誤差百分比 實心：考慮均勻網格三點差分近似 方形：計算範圍 Lx=4(nm) 空心：考慮非均勻網格三點差分近似 三角形：計算範圍 Lx=8(nm) 這裡誤差百分比的算法以基態來講是 n=1 − ×100% n=1 E = 0.5eV 計算值 E = 0.5eV ，從圖 3.2.2我們很容易看出在取相同網格點時非均勻網格差分是比較快收 斂的，這裡我們都是使用三點差分近似作二階導數展開，所以取相同 網格點時需要的記憶體是一樣的。同時從圖3.2.2我們也可以看出當 計算範圍取大時均勻網格相對不均勻網格收斂性下降的快很多，這是 因為非均勻網格只是把最外面的點往外移，但是均勻網格卻要多花很 多網格點在不必要的空間裡。這裡我們模擬的是一維簡諧振子的模

型，非均勻網格系統與矩陣對稱的數學轉換也可以用相同的方式推廣 到三維空間。 3.3 三維非均勻網格有限差分法 與三維均勻網格相同，(3.3.1)定義了三維不均勻網格系統中的網 格大小

{

Δ × Δ × Δxi yj zk

}

與網格座標

{

( ,x y zi j, k)

}

，其中Δ =xi xi+1−xi、 1 j j+ − yj Δ =zk zk y y Δ = 、 ₊₁− z_k不再是定值。 1 i

x

₊

x

_i+2

x

_i+3 j

y

j

y

Δ

-1 j

y

Δ

1 j

y

₊

Δ

2 j

y

₊

Δ

-1 i

x

x

_i -1 j

y

1 j

y

₊ 2 j

y

₊ 3 j

y

₊ i-1

x

Δ

Δ

x

_i

Δ

x

_i+1

Δ

x

i+2 1 i

x

₊

x

_i+2

x

_i+3 j

y

j

y

Δ

-1 j

y

Δ

1 j

y

₊

Δ

2 j

y

₊

Δ

-1 i

x

x

_i -1 j

y

1 j

y

₊ 2 j

y

₊ 3 j

y

₊ i-1

x

Δ

Δ

x

_i

Δ

x

_i+1

Δ

x

i+2 圖 3.3.1、二維非均勻網格系統示意圖 其中

x

i、 、 表示在軸上第幾個位置。我們從三維、單電子等效 質量薛丁格方程式出發如3.3.1式 j

y

z

_k 2 *

(

ψ

( , , ))

x y z

V x y z

( , , ) ( , , )

ψ

x y z

E

( , , )

x y z

−

h

∇⋅ ∇

+

=

ψ

  (3.3.1)

E 詳細計算參考附錄C，仿照三維均勻網格的方式，將 3.3.1式寫成矩 陣形式 ，其中 1, 1, 1 ( , , ),( , , ) , , , , , , 1 x y z N N N i j k i j k i j k i j k i j k H

ψ

ψ

+ + + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= =

∑

H 為 2 * 1 1 2 * 1 2 * 1 1 2 * 1 ( , , ),( , , )

2

1,

,

2

(

)

2

1,

,

2

(

)

2

1,

,

2

(

)

2

2

(

)

i i i i i i j j j j j j i j k i j k

if i

i

j

j k

k

m

x

x

x

if i

i

j

j k

k

m

x

x

x

if j

j

i

i k

k

m

y

y

y

m

y

y

y

H

− − − − − − ′ ′ ′

−

_′

_{= −}

_′

₌

_′

₌

Δ

Δ + Δ

−

_′

_{= +}

_′

₌

_′

₌

Δ Δ + Δ

−

_′

_{= −}

_′

₌

_′

₌

Δ

Δ + Δ

−

Δ

Δ + Δ

=

h

h

h

h

2 * 1 1 2 * 1 2 * 1 1 , , 1

1,

,

2

1,

,

2

(

)

2

1,

,

2

(

)

2

2

2

)

)

,

2

)

k k k k k k i i j j i j k k k

if j

j

i

i k

k

if k

k

j

j k

k

m

z

z

z

if k

k

j

j k

k

m

z

z

z

m

x

x

y

y

if i

i

V

z

z

− − − − − −

′

= +

′

=

′

=

−

_′

_{= −}

_′

₌

_′

₌

Δ

Δ + Δ

−

_′

_{= +}

_′

₌

_′

₌

Δ Δ + Δ

⎛

−

−

₊

−

⎜ Δ Δ

Δ Δ

⎝

_{′ =}

⎞

−

+

_⎟

+

Δ Δ

_⎠

h

h

h

,

0

j

j k

k

otherwise

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

′

=

′

=

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪⎩

(3.3.2) H 為非對稱矩陣。為了解決對稱性的問題我們定義矩陣 ，其中 為L L 1 1 1 ( , , ),( , , ) , , 2 2 2 0 j j i i k k i j k i j k y y x x z z if i i j j k k L otherwise − − − ′ ′ ′ ⎧ _{Δ + Δ Δ + Δ Δ + Δ} ′ ′ ′ ⎪ = = = = ⎨ ⎪ ⎩ (3.3.3) 經過計算後得到一個與矩陣 H 具有相同特徵值 但是矩陣元素對稱 的矩陣

E

H ′和其特徵函數為Φ，

H

′Φ = Φ

E

(3.3.4) 其中 H ′ 與 H 轉換如下 1

H

′ =

LHL

− (3.3.5) 轉換之後 H ′ 的矩陣元素如下 2 1 1 2 * 1 2 1 1 * 2 1 1 2 * 1 ( , , ),( , , ) ( ) ( ) 1 1, , 2 2 2 ( ) ( ) 1 1, , 2 2 2 ( ) ( ) 1 2 2 2 i i i i i i i i i i j j j j j i j k i j k x x x x if i i j j k k m x x x x x if i i j j k k m x y y y y m y H − − − − + − − − − − ′ ′ ′ Δ + Δ Δ + Δ − _{′= − ′= ′=} Δ Δ + Δ Δ + Δ − _{′= + ′= ′=} Δ Δ + Δ Δ + Δ − Δ ′ = h h h 2 1 1 * 2 1 1 2 * 1 2 1 1 * 1, , ( ) ( ) 1 1, , 2 2 2 ( ) ( ) 1 1, , 2 2 2 ( ) ( ) 1 2 2 2 j j j j j k k k k k k k k k k if j j i i k k y y z z if j j i i k k m y z z z z if k k i i j j m z z z z z m z + − − − − − + − ′= − ′= ′= Δ + Δ Δ + Δ − _{′= + ′= ′=} Δ Δ + Δ Δ + Δ − _{′= − ′= ′=} Δ Δ + Δ Δ + Δ − Δ h h h 2 , , * 1 1 1 1, , 2 2 2 , , 2 0 i j k i i j j k k if k k i i j j V if i i j j k k m x x y y z z otherwise − − − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ′= + ′= ′= ⎛ ⎞ − − − − _{′ ′ ′} + + + = = = ⎜ ⎟ ⎜_{Δ Δ Δ Δ Δ Δ} ⎟ ⎝ ⎠ h ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ (3.3.6) 對應之特徵函數

ψ

與Φ也透過 轉換 L 1

L

ψ

₌

−

_Φ

(3.3.7) 於是我們可以透過(3.3.4)~(3.3.7)式解出非均勻網格系統下對應的能 量與波函數。

第四章 量子點電子結構

本章主要驗證我們用單能帶有效質量理論，在非均勻網格空間中 利用三點有限差分法模擬金字塔形狀量子點，與文獻[2,3,20]比較的 結果。之後在相同情況下探討均勻網格與非均勻網格系統收斂性、計 算時間、所需記憶體等的差異。 4.1 金字塔量子點 這一小節我們討論金字塔形狀、材料為 InAs/GaAs的量子點，用 文獻[2]的參數作計算，對電子而言我們有束縛位能Δ =E_c 450meV 0.066 e e m = m ， InAs的等效質量 ，GaAs的等效質量 。並且在 計算中我們忽略潤濕層(wetting layer)的部份。得到圖3.2.1 的結果 * 0.04 e m = me * 圖 4.1.1、金字塔型量子點電子能階

圖中我們比較了三篇文獻的結果，大致上得到一樣的結果，以 M.Califano[2]的結果為例，我們的結果與M.Califano 的平均差距大約 3.9 個meV，換算成平均誤差大約0.3%，所以可以知道我們的非均勻 網格程式結果是可信的。 4.2 均勻網格與非均勻網格差異 以三維簡諧振子模型 1 2 2 2 V = m

ω

r _為例， 令h

ω

=1eV ，如此我們可以簡單算出從基態開始的能量依序為 1.5、 2.5…個電子伏特。這裡我們三個方向的格點數與計算範圍都取相 同，在均勻與非均勻的所有輸入參數都相同的情況下我們得到圖 (4.2.1) 圖 4.2.1、簡諧振子( 1 2 2 2 V = mω r )能階示意圖

(a) (b) (c) (d) 圖 4.2.2、(a)、(c)模擬簡諧振子( 1 2 2 2 V = mω r )的能階，(b)、(d)誤差百分比 實心：考慮均勻網格三點差分近似 方形：計算範圍 L=10(nm) 空心：考慮非均勻網格三點差分近似 三角形：計算範圍 L=20(nm) 這裡誤差百分比以基態來講是 n=1 − ×100% n=1 E = 1.5eV 計算值 E = 1.5eV ，從圖4.2.1 我們很容易看出在取相同網格點時非均勻網格差分是比較快收斂 的，這裡我們都是使用三點差分近似作二階導數展開，所以取相同網 格點時需要的記憶體是一樣的。同時從圖4.2.1我們也可以看出當計 算範圍取大時均勻網格相對不均勻網格收斂性下降的快很多，這是因 為非均勻網格只是把最外面的點往外移，但是均勻網格卻要多花很多 網格點在不必要的空間裡。這裡我們模擬的是三維簡諧振子的模型， 下面我們模擬真實量子點來了解是否非均勻格點也有同樣的高效率。

(a) (b) 圖 4.2.3、截角金字塔量子點基態能量的收斂情形 (a)能量隨矩陣變大的收斂情形，其中均勻與非均勻均收歛到 0.36eV (b)誤差百分比 模型說明可以參考2.2 小節與第五章結果與討論。這裡的誤差百分比 以基態來講是 n=1 − ×100% n=1 E = 0.36eV 計算值 E = 0.36eV ，0.36eV 是矩陣收斂值。 以底部長度為10nm的情況可知使用非均勻格點計算量子點大約比均 勻格點在硬體上效率高三到五倍左右，不同尺寸的量子點只會有微小 的差異，所以大致上非均勻格點的效率在真實量子點的情況也是遠高 於均勻格點。

第五章 結果與討論

我們假設真實量子點形狀近似於截角金字塔形狀，參考文獻[21] 的參數(附錄A)，本章先交代如何得到量子點等效位能，接著是計算 的結果與討論。我們考慮擴散、應變、量子點尺寸等效應後得到量子 點等效位能，將量子點等效位能代入單能帶等效質量Schrödinger equation(2.1.13)式後得到能階、波函數分布期望值，於是我們得到量 子點尺寸效應、應變效應、材料擴散效應(附錄B)等對能階、波函數 分布期望值的影響。 5.1 截角金字塔形狀量子點 m 我們固定截角金字塔高h為1.8nm，以b=10n 的量子點為例， 考慮的材料為IncGa1-cAs/GaAs，摻雜 Ga為 25%(即c=0.75)。等效質 量方面 * 0.5 HH e m = m ， 和 。圖5.1.1 為我們考慮量子點等效位能的流程圖 * 0.04 ( ) e e m = m dot m*_e = 0.066 (m bar_e rier)

919(meV) 413 186 776 600 142 410 868 240 280 1074 164 GaAs 1 0 In Ga As GaAs GaAs 0.75 0.25 In Ga As GaAs GaAs 0.75 0.25 In Ga As GaAs GaAs 0.75 0.25 In Ga As GaAs 最初為不考慮應變與摻雜的 純In₁Ga₀As/GaAs等效位能 量子點內部摻雜 25%Ga導電帶與 價電帶能隙降低 考慮應變效應，導 電帶能隙降低，價 電帶能隙提高 摻雜 應變 考慮材料z方向擴散 效(l_D=0.5nm)，導電 帶與價電帶能隙降低 擴散 c

E

Δ

Z (nm) c

V ′

v

E

Δ

c

E′

Δ

v

E′

Δ

strain c

V

v

V ′

919(meV) 413 186 776 600 142 410 868 240 280 1074 164 GaAs 1 0 In Ga As GaAs GaAs 0.75 0.25 In Ga As GaAs GaAs 0.75 0.25 In Ga As GaAs GaAs 0.75 0.25 In Ga As GaAs 最初為不考慮應變與摻雜的 純In₁Ga₀As/GaAs等效位能 量子點內部摻雜 25%Ga導電帶與 價電帶能隙降低 考慮應變效應，導 電帶能隙降低，價 電帶能隙提高 摻雜 應變 考慮材料z方向擴散 效(l_D=0.5nm)，導電 帶與價電帶能隙降低 擴散 c

E

Δ

Z (nm) c

V ′

v

E

Δ

c

E′

Δ

v

E′

Δ

strain c

V

v

V ′

圖 5.1.1、截角金字塔量子點等效位能流程圖 下面我們將個別說明每一個過程。 摻雜使載子位能變小，這是由於自組式量子點是藉由不同材料間 能隙的差異來侷限載子，當材料的異質性降低時，自然地侷限能力就 下降了，摻雜的影響視為初始參數(附錄A)。

應變會造成量子點的導電帶(Conduction band edge)變小、價電帶

(Valence band edge)變大。計算應變效應V_{c v}strain_, ( )rv 及改變後的等效位能

使用的公式[9]。 電子為： ( ) ( ( ) ( ) ( )) strain c c xx yy zz V rv =a

ε

rv +

ε

rv +

ε

rv c c c (5.1.1) ( ) strain( ) E r′ E V Δ v = Δ + rv

電洞為： ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) 2 ( ) 2 strain v v xx yy zz xx yy zz b V rv =a

ε

rv +

ε

rv +

ε

rv +

ε

rv +

ε

rv −

ε

rv ) v v v (5.1.2) ( ) strain( ) E r′ E V Δ v = Δ + rv e eV 5813 c a = − meV，a_v =805m V，b_v = −1806m (附錄A)，

ε

_ij為應變量， i為形變方向，j為參考軸方向。 擴散效應為當半導體材料為異質結構時在材料相異的介面上會 有材料互相摻雜的情形，使材料在介面上形成連續性分布，形成所謂 的材料擴散現象。擴散現象使得因為異質結構產生的位障在介面處形 成連續性的分布，由於量子點的厚度相對底部而言非常薄，越薄擴散 效應越顯著，所以我們只考慮 z 方向的擴散。我們藉由熱擴散現象來 模擬異質結構的擴散，令 為lD z方向擴散長度，則lD = Dt，t是擴散 時間，我們得到z 方向的擴散函數

1

/ 2

/ 2

( )

2

2

2

z D D

h

z

h

z

C z

erf

erf

l

l

⎡

⎛

−

⎞

⎛

+

⎤

=

_⎢

_⎜

_⎟

+

_⎜

_⎥

⎝

⎠

⎝

⎣

⎦

⎞

⎟

⎠

(5.1.3) 其中 是截角金字塔量子點的高，而 是 。則截角金 字塔沒有考慮 z 方向擴散的特徵函數(2.2.2)式可以改寫成有考慮 z 方 向擴散的特徵函數(5.1.4)式

h erf error function

( , , )

( )

( )

( )

QD x y z

X

′

x y z

=

C x C y C z

⋅

⋅

  _(5.1.4) ( ) x C x 與C y_y( )分別為x與y方向的擴散函數(附錄B)，這裡我們令 x

與y方向的擴散長度非常小(即不考慮x與y方向的擴散)。 圖 5.1.2、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後特徵函數變化圖 用特徵函數來表示電子與電洞的位能函數(2.2.3)與(2.2.4)式則改寫成 ( , , ) barrier ( , , ) c c c QD V x y z′ =E − Δ × ′E′ X x y z ′   (5.1.5) ( , , ) barrier ( , , ) v v v QD V x y z′ =E − Δ ×E′ X x y z