第四章 統計套利
第二節 基於共振合關係建立的模擬交易
誤差修正模型（Error Correction Model,ECM 模型），在 1978 年由 Davidson，
Hendry,Srba 和 Yeo 提出，此模型正好是對共振合關係的一種補充，揭示了序列 之間的短期非均衡關係。
本文採用在中國大陸上市的兩隻 ETF（華夏上證 50ETF（SH 510050）和華 泰柏瑞滬深 300ETF（SH 510300））為一個配對組合作共振合關係檢驗。
本文選取華夏上證 50ETF 和華泰柏瑞滬深 300ETF 兩隻 ETF 在 2016 年 7 月 1 日到 2016 年 10 月 30 日的每十分鐘價格作為樣本資料，按每兩個月分成兩個
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（SH 510050）和華泰柏瑞滬深 300ETF（SH 510300）的 7 月樣本資料作一個配 對，建立共振合模型。將華夏上證 50ETF 的價格作為因變數 Y，華泰柏瑞滬深 300ETF 作為引數 X 建立共振合模型Y𝑡= 𝛼0 + 𝛼1𝑋𝑡+ ε𝑡並得到模型的殘差序列 RESID001。模型建立結果如下表所示:
t-Statistic Prob.*
-21.21142 0.0000
Test critical values: 1% level -2.569577
5% level -1.941455
10% level -1.616275
Null Hypothesis: D(SH510050) has a unit root Exogenous: None
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=17)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
t-Statistic Prob.*
-20.52402 0.0000
Test critical values: 1% level -2.569577
5% level -1.941455
10% level -1.616275
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=17)
Augmented Dickey-Fuller test statistic Null Hypothesis: D(SH510300) has a unit root Exogenous: None
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該共振合模型的擬合度 Adjusted R-squared=0.96277，且回歸模型各項係數均 顯著，模型擬合效果較好。若兩者之間的共振合關係是穩定的，那麼基於該模型 SH510050 和 SH510300 之間存在穩定的共振合關係。
在此共振合模型的基礎上，我們繼續建立誤差修正模型，得到參數估計結果 如下：
表 9 華夏上證 50ETF 與華泰柏瑞滬深 300ETF 共振合關係的誤差修正模型 1
其中，C 為截距項，D(SH510300)為華泰柏瑞滬深 300ETF 的價格時間序列
Dependent Variable
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
SH510300 0.800261 0.007024 113.9375 0.0000
C -0.184519 0.008205 -22.48872 0.0000
R-squared 0.96277 0.75027
Adjusted R-squared 0.962696 0.011128
SH510050
Mean dependent var S.D. dependent var
t-Statistic Prob.*
-3.674496 0.0003
Test critical values: 1% level -2.569577
5% level -1.941455
10% level -1.616275
Augmented Dickey-Fuller test statistic Null Hypothesis: RESID01 has a unit root Exogenous: None
Lag Length: 1 (Automatic - based on SIC, maxlag=17)
Variable Parameters Estimates Standard Error t-Statistic Prob.
C 1.10E-05 3.67E-05 0.29864 0.7653
D(SH510300) 0.762834 0.022898 33.31408 0.0000
D(SH510050(-1)) -0.174297 0.044294 -3.935016 0.0001
D(SH510300(-1)) 0.144719 0.039985 3.619302 0.0003
ECM -0.06351 0.017486 -3.632062 0.0003
Parameters Estimates
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的一階差分項，D(SH510300(-1))和 D(SH510050(-1))分別為華泰柏瑞滬深 300ETF 和華夏上證 50ETF 的一階差分滯後項，ECM 項為誤差修正項。由顯著性可知，
Variable Parameters Estimates Standard Error t-Statistic Prob.
D(SH510300) 0.762834 0.022898 33.31408 0.0000
D(SH510050(-1)) -0.174297 0.044294 -3.935016 0.0001
D(SH510300(-1)) 0.144719 0.039985 3.619302 0.0003
ECM -0.06351 0.017486 -3.632062 0.0003
Parameters Estimates
N Mean Std Max Min
504 -3.54E-16 0.002147 0.007884 -0.005027
Residual
t-Statistic Prob.*
-20.85517 0.0000
Test critical values: 1% level -2.569809
5% level -1.941487
10% level -1.616254
Null Hypothesis: D(SH510050) has a unit root Exogenous: None
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=17)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
t-Statistic Prob.*
-20.54102 0.0000
Test critical values: 1% level -2.569809
5% level -1.941487
10% level -1.616254
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=17)
Augmented Dickey-Fuller test statistic Null Hypothesis: D(SH510300) has a unit root Exogenous: None
‧
模型，我們將華夏上證 50ETF（SH 510050）和華泰柏瑞滬深 300ETF（SH 510300）的 9 月樣本資料作一個配對，建立共振合模型。將華夏上證 50ETF 的價格作為 因變數 Y，華泰柏瑞滬深 300ETF 作為引數 X 建立共振合模型Y𝑡= 𝛼0 + 𝛼1𝑋𝑡+ ε𝑡 並得到模型的殘差序列 RESID001。模型建立結果如下表所示:
表 13 華夏上證 50ETF 與華泰柏瑞滬深 300ETF 共振合模型 2
該共振合模型的擬合度 Adjusted R-squared=0.977695，且回歸模型各項係數 均顯著，模型擬合效果較好。若兩者之間的共振合關係是穩定的，那麼基於該模
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
SH510300 0.886931 0.006127 144.75 0.0000
C -0.282898 0.007292 -38.795 0.0000
R-squared 0.977695 0.772589
Adjusted R-squared 0.977649 0.010175
SH510050
Mean dependent var S.D. dependent var
t-Statistic Prob.*
-3.396027 0.0007
Test critical values: 1% level -2.569809
5% level -1.941487
10% level -1.616254
Null Hypothesis: RESID01 has a unit root Exogenous: None
Lag Length: 1 (Automatic - based on SIC, maxlag=17)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
‧
其中，C 為截距項，D(SH510300)為華泰柏瑞滬深 300ETF 的價格時間序列 的一階差分項，D(SH510300(-1))和 D(SH510050(-1))分別為華泰柏瑞滬深 300ETF 和華夏上證 50ETF 的一階差分滯後項，ECM 項為誤差修正項。由顯著性可知，
Variable Coefficient Standard Error t-Statistic Prob.
C -1.91E-05 2.73E-05 -0.697119 0.4861
D(SH510300) 0.777707 0.022147 35.115 0.0000
D(SH510050(-1)) -0.234829 0.045405 -5.171888 0.0000
D(SH510300(-1)) 0.172447 0.040716 4.235329 0.0000
ECM -0.064911 0.018534 -3.502193 0.0005
ECM Parameters Estimates
Variable Coefficient Standard Error t-Statistic Prob.
D(SH510300) 0.777707 0.022147 35.115 0.0000
D(SH510050(-1)) -0.234829 0.045405 -5.171888 0.0000
D(SH510300(-1)) 0.172447 0.040716 4.235329 0.0000
ECM -0.064911 0.018534 -3.502193 0.0005
ECM Parameters Estimates
N Mean Std Max Min
480 2.99E-16 1.52E-03 0.004564 -0.003902
Residual
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我們用 2016 年 8 月的價格資料在 2016 年 7 月的價格資料建立的共振合模型 上進行模擬交易，得到結果如下：
圖 3 模擬交易價差序列 1（模型 1）
圖 4 模擬交易結果 1（模型 1）
同樣，我們用 2016 年 10 月的價格資料在 2016 年 9 月的價格資料建立的共 振合模型上進行模擬交易，得到結果如下：
‧ 國
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圖 5 模擬交易價差序列 2（模型 1）
圖 6 模擬交易結果 2（模型 1）
經過這兩次模擬交易，我們發現在第一次模擬交易時，我們交易了 3 次取得 了 0.53%的收益率，在第二次模擬交易時，我們交易了 2 次收益率為-0.41%。通 過上述結果，我們可得出以下結論：用建立此模型來模擬交易收益率都非常差，
可交易的次數也都非常少。
分析上述結果，原因有二：第一，所建的誤差修正模型的 ECM 項均非常小，
意味著長期共振合關係对短期波动影响较小，因此套利机会较少。第二，共振合 模型的殘差項標準差較小，也就意味著模型殘差項能控制在較小範圍內，因此套 利空間很小。
在此基礎上，我們對交易規則進行調整。首先，我們修改開倉閾值，將平倉 部位設置在𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡的兩個標準差。當𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡= −𝑠𝑡𝑑(𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡)且有上升 趨勢的時候，我們做多這一個配對組合，當𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡= 2 ∗ 𝑠𝑡𝑑(𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡) 將 做多部位平倉，了結收益。而當𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡= 𝑠𝑡𝑑(𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡)且有下降趨勢的時
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候，我們做空這一個配對組合，當𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡= −2 ∗ 𝑠𝑡𝑑(𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡)將做空部位 平倉，了結收益。以此循環，並在最後一個交易日平倉。我們仍將上述兩組資料 用於模擬交易，得到如下結果：
圖 7 模擬交易結果 1（模型 2）
圖 8 模擬交易結果 2（模型 2）
修改平倉閾值後，我們發現該交易的次數並沒有增加，但收益率有明顯好轉。
第一次模擬交易的收益率由 0.53%上升到 1.08%，第二次模擬交易的收益率也從 -0.41%變為-0.22%。
同時，我們嘗試增加套利機會，我們將套利模型的觸發條件進行調整。在之 前的交易規則中，我們都是用𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡整個序列的均值和標準差來作為開倉閾 值進行模擬交易。在這裡，我們將此均值和標準差進行調整，我們根據𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡 在前一日（即前 24 個資料，樣本資料為每 10 分鐘交易價格）的資料來求出移動 平均數𝜇𝑡和標準差𝜎𝑡，當𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡 = 𝜇𝑡− 𝜎𝑡且有上升趨勢的時候，我們做多這 一個配對組合，當𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡= 𝜇𝑡+ 𝜎𝑡 將做多部位平倉，了結收益。而當 𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡= 𝜇𝑡+ 𝜎𝑡且有下降趨勢的時候，我們做空這一個配對組合，當
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𝑚𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡= 𝜇𝑡− 𝜎𝑡將做空部位平倉，了結收益。以此循環，並在最後一個交易 日平倉。我們仍將上述兩組資料用於模擬交易，得到如下結果：
圖 9 模擬交易價差序列 1（模型 3）
圖 10 模擬交易結果 1（模型 3）
圖 11 模擬交易價差序列 2（模型 3）
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圖 12 模擬交易結果 2（模型 3）
修改條件後，我們發現該交易的次數明顯增多，但收益率並沒有明顯好轉。
第一次模擬交易 22 次的收益率為 0.3%，第二次模擬交易 21 次收益率為 0.39%。
且在此之前，我們並未討論交易手續費問題，交易次數增多會導致手續費巨增，
因此這個策略基本不賺錢。手續費問題我們將後續進行討論。
表 17 上證 50 指數與滬深 300 指數收益率
我們將此三種模型的收益率與同一時期上證 50 指數和滬深 300 指數的收益 率進行比較，發現這三種策略均輸給上證 50 指數和滬深 300 指數。失敗的主要 原因還是在於模型的殘差項標準差較小，致使套利空間非常小。