3-1 斜張橋的振動分析理論
在斜張橋的自由振動分析理論分為兩個部份：
（一）空間箱型梁單元振動方程式
主梁擬採箱型梁結構，斷面包括結構材料和非結構材料兩個部 分，如圖 3-1 所示，其中，G 表斷面重心；S 表剪切中心；wG表斷 面中心處的軸變位；uS、vS表斷面剪切中心的徑向及垂直變位。
若梁柱單元上任意點 x ,,y z 的變位以U 、V 、W來表示，則斷面 內任意點的位移場可表示為【18、19】：
s s
s s
s s s G
x x v z y x V
y y u z y x U
w v y u x w z y x W
, ,
, ,
, ,
（3-1）
由於斷面可以分為結構材料和非結構材料兩種類型，則運動能 可表示為
Vs V
s s s
e U V W dV U V W dV
T g
1
1 2 2 1 2
2 2 2
2 1
s z Aeq us vs wG Huus Hvvs Ip dz g
2 2
2
2 2 2
2
1 （3-2）
其中
g為重力加速度；
s為剛性材料的單位重；
Vs為剛性材料的體積；
1為非剛性材料的單位量；
V1為非剛性材料的體積；
1
1 x s s eq
u A y G
H ；
1
1 y s s eq
v A x G
H ；
2 1 2
1
1 1
1
1 2 x s y s eq s s
s y
x s y x
p I I I I G y G x A x y
I ；
1
1 dA
dA A
s eq
另一方面，根據（3-1）式所示的斷面位移場，材料的應變能Ue
可以表示為
V zz xz yz s
e E G G dV
U
s
2 2
2
2 1
z G y s x s w G zJ dz dz
I v I u I w
E A 2 2 2 2 * 2
2
2 （3-3）
其中
E表示楊氏模數；
G表示剪切模數；
zz表示軸向應變；
xz和 yz為剪切應變；
dA
A ；Iw ws2dA；
y dA x w
x x y w y
J s s s s
2 2
* ；
ydA 0 w xdA w xydA dA
ws s s
當材料受外力作用時，外力勢能Pe可表示為
z x y z t
e P U z P V z P W z m dz
P 0,0, 0,0, 0,0,
Pu Pv Pw P y P x m Pw dz
z x s y s z G x s y s t z s （3-4）
由上面定義的運動能、應變能及外力勢能，根據 Hamilton 原理 並經過變換後，則可得到梁柱單元的運動方程式
f d k d
me e （3-5）
當梁柱單元之變位採用 Hermite 插值函數來表示，其中軸向變 位用 Hermite 一次插值函數；平面內變位及轉角用 Hermite 三次插值 函數，則有
θ N
V N
U N
W N
θ v u w
S S G
v u w
（3-6）
其中
T v
u
T θ
w
l z z z z l z z z z z
z z
, 2 3 , 2
, 2 3 1
, 1
3 2 3 2 3 2 3
N 2
N N
N （3-7）
z表單元之座標除以單元之長度l
由上述之變位函數即可組成梁柱單元之形狀函數矩陣N，而梁 柱單元之勁度矩陣為
l T
TP DPNdz
N
ke （3-8）
其中
P表微分矩陣；D表材料特性矩陣，可由虎克定律依應力與應變 關係求得梁柱單元之質量矩陣亦可由N得出
l
TρA Ndz N
me （3-9）
其中
為單位體積質量；
A為梁柱之斷面面積
由（3-5）式中省略外力項，可得到無阻尼自由振動方程式
d 0 k d
me e （3-10）
上式的節點變位d可以用振型向量 以及週期函數ei t表示
t
ei
z t
z,
d （3-11）
將（3-10）式代入（3-11）式的自由振動問題的特徵方程式可得
2m 0
k （3-12）
利用子空間迭代法等數值方法可求結構的特徵值 和特徵向量
。
（二）空間索單元振動方程式
索單元為圓形斷面，呈兩軸對稱，斷面重心與剪切中心位置一 致，如圖 3-2 所示。在忽略高次項的影響，索的變位場則可以表示 為【18、19】
v y u x w z y x W
x v z y x V
y u z y x U
c c
c
, ,
, ,
, ,
（3-13）
其中，下標c表示為索單元，u、v、w分 為重心沿x、y、z方 向的變位， 為繞z軸的轉角， ' 表示對z軸的微分。
而索單元的應變可分為線性項及非線性項
z Wc
L
zz （3-14）
2 2
2
2 1
z W z
V z
Uc c c
N
zz （3-15）
上式中，上標L和N分 表示線性項和非線性項。
把（3-13）式代入式（3-14）、（3-15）中，並忽略 3 次以上項，
得
v y u x
L w
zz （3-16）
u y v x y
x v u
N w
zz
2 2 2 2 2 2
2
1 （3-17）
利用線性化有限變位理論，應變能的變分可以表示為
v N zz c L
V zz L zz c
e E dV dV
U 0 （3-18）
其中，Ec為索的楊氏模數， co為成橋狀態索的應力。
首先把（3-16）式代入（3-18）式右邊第一項，得
z c c c
c L
e E A w w I u u I v v dz
U （3-19）
其中
dA
Ac ；
dA y dA x
Ic 2 2 ； （3-20）
xydA 0 ydA
xdA
其次，（3-18）式中的非線性項，索的初始應力 c0與索的張力T0有 關，由索兩端的水平分力H0相等，可得T0和H0的關係為（見圖 3-3）
0cos
0 T
H （3-21）
因此，索的成橋狀態初始應力 c0可改寫為
cos
0 0
0
c c
c A
H A
T （3-22）
將（3-17），（3-22）式代入（3-18）式第二項，得
z c c c c
c N
e A w w Au u Av v I dz
A
U H 2
cos
0 （3-23）
另外，索的運動能可表示為
V c c c
c
e U V W dV
T g 2 2 2
2
1 （3-24）
其中， c表示索單位長度的重量，g為重力加速度，˙表示對時間的 微分。
將（3-13）式代入（3-24）式並考慮（3-20）式中各項可得
z c c c c
c
e Au u A v v A w w I dz
T g 2 （3-25）
上式忽略了Wc2的 2 次以上微分項。
插值函數採用與梁柱單元相同的 Hermite 多項式：
c θ
c v
c u
c w
Θ N
V N
U N
W N v u w
（3-26）
其中
T cj ci
T cj cj ci ci
T cj cj ci ci
T cj ci
T T
v v v v
u u u u
w w
l z z z z l z z z z z
z z
, , , ,
, , ,
,
, 2 3 , 2
, 2 3 1
, 1
3 2 3 2 3 3 2
2
c c c c
v u
θ w
Θ V U W
N N
N N
（3-27）
把（3-26）式代入（3-19）式中，因 Wc， Uc， Vc的任意性，得索 單元的勁度矩陣kcL
0 0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
33 22 11
cL cL cL
k k k
kcL （3-28）
其中
l T c c cL
l T c c cL
l T c c cL
dz A
E k
dz A
E k
dz A
E k
N N
N N
N N
v v
u u
w w
33 22 11
（3-29）
同樣，把（3-26）式代入（3-23）式中，因 Wc， Uc， Vc， 的任意性，得索單元的幾何勁度矩陣kcg
cg cg cg cg g
k k k k
44 33 22 11
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
kc （3-30）
其中
l T c cg c
l cg T
l cg T
l cg T
A dz k I
dz k
dz k
dz k
N N N N
N N
N N
θ θ v v
u u
w w
44 2
33 22 11
（3-31）
同樣，把（3-26）式代入（3-25）式中，因 Wc， Uc， Vc， 的任意性，得索單元的質量矩陣mc
c c c c
c c
m m m m
g r A
44 33 22 11
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
mc （3-32）
其中
l T c c c
l c T
l c T
l c T
A dz m I
dz m
dz m
dz m
N N N N
N N
N N
θ θ v v
u u
w w
44 2
33 22 11
（3-33）
為了考慮柔性吊桿的側向振動影響，因此常按多質點來直接模 擬拉索的內部振動；但如此ㄧ來將因龐大的計算自由度而大大增加 運算的時間與困難。為了減少自由度的計算，本研究將引用 Nagai 等人【20】所提出的靜態濃縮法，依據結構動力學中自由度凝聚方 法和廣義自由度的觀念，將拉索的振態作為自由度來考慮。
拉索的局部振動可依據振態疊加原理，由邊界節點的位移（即 支點位移）與拉索各振態組合得到，如圖 3-4 所示【21】。
很顯然的，這個方法的計算精度與考慮的振態數目有關，由於 一般結構前幾階的振態影響較大，因此拉索的局部振動影響可用前 幾階振態來近似表示。
在分析過程中可將曲線纜索單元按圖 3-4 的方式進行離散，（亦
即可將曲線纜索假設成由 n 個節點組成的折線結構來模擬）。在平衡 狀態下，折線纜索單元將滿足以下的方程式：
0 0 0 d
d d k k 0
k k k
0 k
k
n i 1
n n, i n,
n i, i i, i,1
i 1, 1,1
（3-34）
在（3-34）式中 ki,j為纜索單元的初始切線勁度子矩陣；d1、dn
為單元兩端節點的位移向量；di 為單元內部節點的位移向量，它可 以用兩端節點的位移向量表示成下列的形式
n 2 1 1
i Τ d Τ d
d （3-35）
其中：
n i, 1 i i, 2
i,1 1 i i, 1
k k Τ
k k
Τ （3-36）
另一方面，纜索單元的自由振動方程式為：
0 0 0 d
d d k k 0
k k k
0 k
k d
d d m m 0
m m m
0 m
m
n i 1
n n, i n,
n i, i i, i,1
i 1, 1,1
..
n ..
i ..
1
n n, n.i
n i, i i, i,1
i 1, 1,1
（3-37）
在（3-37）式中，mi,j為纜索單元的質量子矩陣。
若以Φ表示兩端為固定的纜索單元之正規化振態矩陣，則有
Ψ d d T Ψ d d 0 Ι 0
Φ Τ Τ
0 0 Ι d
d d
2 1
S 2
1
2 1
n i 1
（3-38）
在（3-38）式中，I 為單位矩陣；Ψ為振態廣義位移向量。
由（3-37）式和（3-38）式可得到以下纜索單元考慮局部振動的 自由振動方程式：
0 0 0 Ψ d d K Ψ d d
M n
1
.. c ..
n ..
1
c
~
~ （3-39）
在（3-39）式中：
s c Τ s c
s c Τ s c
Τ Κ Τ Κ
Τ Μ Τ Μ
~
~
（3-40）
其中 Mc、Kc分別為纜索單元的質量與勁度矩陣；Ts 為座標轉換矩 陣：
0 Ι 0
Φ Τ Τ
0 0 Ι
ΤS 1 2 （3-41）
在（3-41）式中，T1、T2為纜索端點對節點的位移影響矩陣。
由（3-39）式中得知，纜索單元的振動可由支座位移和振態反 應的組合而得到，其中M~c
、K~c
分別表示濃縮後的單元質量和勁度矩 陣。
3-2 簡支梁在移動荷載作用下之強迫振動分析理論
由文獻【17】如圖 3-5 所示，在簡支梁上以速度 v 等速向右邊 運動的力量 F，忽略移動荷載質量，當 t = 0 時，F 位於左邊支承處，
t = T 時，F 移動到右邊支承處，根據振動分析理論可得振動方程式 為：
vt x F t x x F
m y x
y ( , )
EI 2
2 4
4
0 vt L （3-42）
式中： EI 為梁的抗彎剛度；m 為單位長度的質量。
假設強迫振動的動力位移y( tx, )可表示為振型級數函數形式：
N
N An t n x
t x y
1
) ( ) ( )
,
( （3-4）
式中： n t 為第
n 項形狀函數；
An t 為對應於第n 個形狀函
數的時間函數。將（3-43）式帶入（3-42）式並利用振型的正交性可以得到強迫 振動方程式為
l n l
n
n m x dx
x t x F
0 2 0 n 2 n
, A
A (n=1,2,…….,N) （3-44）
式中
l
n
l n
n m x dx
x dx EI
0 2 0
2
2 2
2 (n=1,2,…….,N) （3-45）
其中， n為簡支梁之各階自振頻率。
對於等速移動的力量，利用振型的規格化，簡化後的振動方程 為：
l vt n ml An F
n
n 2 sin
A 2 (n=1,2,…….,N) （3-46）
求得（3-46）式之解為
t t
ml
A F n
n n n
n n
n sin sin
1 1 2
2
2 （3-47）
由於簡支梁的 sin(n xl)
n ，所以簡支梁受到移動荷載作用下強
迫振動之變形反應可表示為：
N N
n n
n n n
n l
x t n
ml t t F x y
1
2
2 1 (sin sin )sin
) 2 ,
( （3-48）
式中： n m vl 為移動常量力的廣義撓動頻率；
sin nt為強迫振動；
nt
n
n sin 為自由振動。
（3-48）式所表表達的物理意義是當移動荷載到達簡支梁vt位 置時，梁上x位置所產生的變位反應。由上述推導，可看出影響橋 梁在移動荷載作用下之強迫振動的關鍵參數共有三個，分別為：橋 梁的自振頻率( n)、車輛移動速度（v）及橋梁的跨徑長度（l）；根 據 文 獻 【 15 】 中 將 此 三 項 參 數 組 成 一 個 無 因 次 速 度 參 數 S
（nondimensional speed parameter；
l S v
n
n ，n 1,2,3 ,n）。則（3-48）
式可整理成ㄧ與無因次速度參數S相關之關係式為
l x n S
t l S
vt n
n EI
t Fl x y
n n
n n
sin 1
sin 1 sin
, 2
1
2 4
4 3
（3-49）
3-3 橋梁車橋耦合振動分析理論
車輛振動形式是十分複雜的，為了能有效進行研究分析，車輛 可被理想化地模擬成一些藉由彈簧和阻尼連接在一起的剛體所組 成；在一般的車輛模型中單一自由度與二自由度是較為常見的模擬 方式，但是這樣的考慮的因素並不夠完整，因此本文採用如圖 3-6 所示的四自由度車輛模型，考慮了包括上部車體的上下振動、迴轉 振動以及前後車軸的上下振動自由度。
在圖 3-6 中，MS表示車體質量；
J 表示車體轉動慣性質量，m
TF、m
TR表示前、後軸質量；λ
、λ
F、λ
R分別表示車體前後軸距、前軸 至重心距離、後軸至重心距離，z
s、z
TF、z
TR則分別為車體重心位移、前軸位移、後軸位移；θ為車體重心的旋轉角；KSF、KSR 分別表示 為前、後軸上部的彈簧勁度；CSF、CSR 分別表示為前、後軸上部的 彈簧阻尼；
K
TF、KTR分別表示為前、後軸下部的彈簧勁度；C
TF、CTR分別表示為前、後軸下部的彈簧阻尼。
在平衡的狀態下，可以推導出車輛的運動方程為：
0 0
0 0
TR R s SR TR R s SR R TF F s SF TF F s SF F
R R TR TR R R TR TR s R TR SR s R TR SR TR TR
F F TF TF F F TF TF s F TF SF s F TF SF TF TF
TR R s SR TR R s SR TF F s SF TF F s SF s s
z z
K z z
C z
z K z z
C J
r y z K r y z C z z
K z z
C z M
r y z K r y z C z z
K z z
C z M
z z
K z z
C z z
K z z
C z M
（3-50）
式中，yF、yR表示前、後車輪位置的橋梁變形；rF、rR表示前、後車 輪位置的路面凹凸。
而車輛施加在橋面上的前後輪荷載可由下式計算得到：
g m m z
m z m F
g m m z
m z m F
TR SR TR
TR s SF R
TF SF TF
TF s SF
F （3-51）
式中，
2 2
2 2
J m m
J m m
F s SR
R s
SF （3-52）
進行橋梁振動分析時，將（3-50）式的計算結果，代入（3-51）
式中，可得到車輛作用在橋面上的荷載。此外，由於橋梁變形會影 響車輛的振動，因此需要進行逐步迭代計算，以獲得車輛通過橋梁 時全橋之振動反應。而上述計算過程，一般可採非線性解法，如 Newmark β法等求之。
由於橋面不能保證是十分平整的，且路面平整度對車輛振動會 有一定程度的影響，所以本文將引入功率譜密度（PSD）函數來模 擬路面平整度，計算時採用的功率譜密度函數由 IS-8608 規範標準 中取得如圖 3-7 所示，圖中 表示頻率（ccm），S 表示路面不平 整功率譜密度。在模擬過程中，以蒙地卡羅法（Monte Carlo methods）
將功率譜密度函數隨機生成路面平整度曲線如圖 3-8(以 1160m 斜張 橋為例)，期能獲得（3-50）式所需之 rF、rR。
依據前述理論，首先計算斜張橋考慮纜索側向振動時之自振特 性，再分析車輛行駛下的強迫振動。透過數值計算方法，在考慮橋 面不平整的條件下，藉由斜張橋對垂直向位移的強迫振動反應，瞭 解衝擊振動的效應。
3-4 橋梁衝擊效應分析理論
在對簡支梁及斜張橋進行移動荷載作用下之強迫振動分析時，
由於橋型、分析構件及分析位置不同，因此計算所得到的數值無法 直接進行比較，因此本文採用公路橋梁設計規範中提到的衝擊力的 概念，由分析構件及位置產生的衝擊係數來比較由移動荷載所引起 的動態反應。
在現行的橋梁設計規範【16】中，車輛行駛所產生的衝擊效應 是以衝擊係數I 的方式併入活載重中來考慮；檢視現行的設計規範 中(公路橋梁設計規範，1993)活載重計算方式為：
活載重量 = (1+I)×最大絕對靜載重 （3-53）
為了探討橋梁在動力作用下之衝擊效應，本文中以衝擊係數 (Impact Factor)來作為比較的依據，依照現行 AASHTO 橋梁規範，
在公制單位下橋梁衝擊係數I 定義為：
3 . 1 0 . 38
24 . 15
I L
（3-54）在(3-54) 式中L為橋跨長度，但以動態反應的角度來看，影響 衝擊係數的因素並非單只有橋跨長度，還包括車重、車速、橋型、
橋梁振動頻率等；為使本文中所使用的衝擊係數I 值能更加接近其 定義之內涵，本文將採用【13、15】以下定義：
) (
) ( ) (
x R
x R x I R
s s
d （3-55）