第一章 緒論
1.4 基本概念
接下來的這個章節，我們將會依序簡介量化(Quantization)、超頻取樣 (Oversampling)、降頻濾波(Decimation Filter)，最後是三角積分調變(Δ-Σ Modulation)，此基本概念與之後的閱讀息息相關，因此將會先做說明。
一、 量化：
由於電腦僅能處理離散的數位訊號，但大部分與人類生活相關的訊號 如：聲音、溫度、濕度、重量、顏色等等皆是連續的類比訊號，因此要將 訊號做處理通常必須先將其感測為電壓經由電路轉化成數位訊號，此感測 並賦予數位表示碼的過程稱為量化。
1 2 3 4 5 6 7
x 104 -1
-0.5 0 0.5 1
Time
Voltage
Input
Quantization
圖 1.4.1 量化示意圖
如上圖 1.4.1 所示為一弦波(平滑弦波)經過量化後的結果(量化後帶 有鋸齒的波)，如果我們將一弦波用 4 個位元表示便可以得到 2 的 4 次方也 就是 16 種表示法，依序從 0,1,2,3…15，因此介於各表示數字之間多餘的 部份將會被捨去，捨去的部份就會造成量化誤差(Quantization Error)，
其中量化誤差可表示為下式：
12 以及電路中所產生的雜訊為白雜訊(White Noise)，也就是在各個頻率皆有 相同的能量密度，並且能量的總和為一定值。對於一頻寬為 f 的訊號源，
經由取樣頻率為 fs的取樣過程之後，在頻譜上的能量分布可用下圖 1.4.2 表示，X 為平均雜訊能量密度的大小：
Frequency BW
Noise Level
= N
fS
圖 1.4.2 未經過超頻取樣訊號的能量頻譜密度分佈情形
Frequency BW
Noise Level
= N/M
M*fS
圖 1.4.3 經過 M 倍超頻取樣訊號的能量密度分佈情形
由圖 1.4.2 可以看出有一個主要頻率即為訊號成分，而底下斜線部份 為雜訊，雜訊部份的總和約為 fs ∗ ，接下來經過Ｍ倍的超頻取樣之後，X 因為之前題及雜訊的能量總和會是一個定值，所以：
) / ( ) (
constant M f X M X
f
s∗ = = ∗
s∗
因此平均雜訊能量密度的大小會變成原本的1/M，在頻寬內的平均雜訊能 量密度將會成反比的降低，使得 SNR 上升，如圖 1.4.3。
三、 降頻濾波：
由上面段落可知超頻取樣理論上可成反比的降低頻軍雜訊能量密度，
不過因為雜訊的總和能量不變，所以我們必須加上一個頻寬為 f 的低通濾 波器，將頻寬以外的部分去除，同時做降頻的動作將訊號回覆成原本的取 樣頻率，示意圖如下：
BW M*fS
~~
Noise Level
= N/M BW
BW Noise Level
= N/M Decimation
Filter
圖 1.4.4 降頻濾波
四、 三角積分調變：
最後要簡介的是三角積分調變方法，此調變法是把高解析度的訊號使 用脈衝密度調變(Pulse-Density Modulation,PDM)轉換成低解析度訊號的 方法，透過選擇適當的雜訊轉換方程式(Noise Transfer Function, NTF) 訊號轉換方程式(Signal Transfer Function,STF)，此調變器將會把調變 過程中產生的平均量化雜訊在頻譜上轉移到相對高頻的地方，並且配合之 前介紹的超取樣與降頻濾波的技術，可以顯著的增加訊號對雜訊比。三角 積分調變法的精神如下圖所示：
u[n]
e[n]
y[n]
e[n]
-quantizer
圖 1.4.5 預先誤差補償
如圖 1.4.5，當我們用低解析度量化器(quantizer)把高解析度輸入訊 號u[n]作低解析度的量化動作(如一位元)時，可以視為在量化過程當中加 入一個很大的量化誤差(quantization error)e[n]，如果我們能夠捕捉此 種誤差並且在量化之前預先加以去除，可以使得量化之後的訊號仍保有一 定程度的訊號對雜訊比。而一個實際可行的方法是把前一次的量化誤差預 先去除。
u[n] y[n]
e[n]
-quantizer
Z
-1-圖 1.4.6 一階三角積分調變器
把量化誤差預先去除的方法如圖 1.4.6，量化後的輸出訊號y[n]減去 量化前的輸入訊號y[n]−e[n]等於量化雜訊e[n]，將此雜訊與輸入訊號預先 做消除並經過一個延遲之後再量化的電路，即為一階三角積分調變器。時 域與頻域上分別可以表示為下兩式(1.2)、(1.3)。
]) 1 [ ] [ ( ] 1 [ ]
[ n = u n − + e n − e n −
y
(1.2)) 1
( ) ( )
( )
( z = U z ⋅ z
−1+ E z ⋅ − Z
−1Y
(1.3)因此對於訊號而言，訊號轉換函式為z−1而有著大小不變相位延遲的輸
Over Sampling Modulator System Decimation Filter PSD
Freq.