基礎動力學

為了推導三維空間中的飛彈與目標相對運動模型，首先必須了解應用力學中 的剛體運動[28]。參考圖 2.2 鋼體旋轉運動示意圖考慮一個對固定軸Z旋轉的鋼 體，令P為物體上的一點，且l為固定座標軸中的向量，座標原點為O，A為P投 影在Z軸上的點，P與A之間維持一個固定距離，故P會以A為中心旋轉，半徑 為也就是AP線，其中õ為l與Z軸之間的夾角。而AP線與ZX平面的夾角為ò ， 故P點的位置可以由AP線與õ來決定，這裡以逆時鐘方向旋轉的角座標為正值，

當P在旋轉時會產生一切線速度 v =_dt^dl，而在這假設P點旋轉移動一小距離為 P⁰，故PP⁰為弧長，此弧長所轉動的角度為Éò ，因此可由下式(2.32)描述。

PP⁰= lsin(õ)Éò (2.32) 兩邊同除Ét，當Ét趨近於零時，取極值可得_rsin(õ)òç。如果沿Z軸方向取一向 量!，可以整理出下式

v =_dt^dl = !â l (2.33)

圖 2.2 鋼體旋轉運動示意圖 Z

l O

P A

ò õ

X

Y

!

v

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p

為了求點P的加速度a ，對(2.33)式微分，因此可寫成下式(2.34) a =^dv_dt

=_dt^d(!â l)

=^d!_dt â l + ! â_dt^dl

= ëâ l + ! â (! â l) (2.34) 其中ë代表角加速度。因此可知道加速度a 可分為切線加速度ë â l，和法線加速

度!â (! â l)。由此可知角速度與速度之間的關係以及角加速度與加速度之間

的關係。

接著考慮如下圖 2.3，此將說明一向量變化率在固定座標系下和旋轉座標系 下的關係，首先由圖 2.3 固定座標與旋轉座標示意圖中可以觀察到有兩個均以O 為中心的參考座標軸，一個是固定座標系OXYZ，一個是旋轉座標系Oxyz，可 以知道當向量_p改變時，在不同座標系下所觀察到的變化率是不同的。而Ò代表 向量_p在旋轉座標系Oxyz時的瞬間角速度。

圖 2.3 固定座標與旋轉座標示意圖 Ò

O Y

X

y

x Z

z

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此處將以(pç )_OXYZ代表向量_p在固定座標系OXYZ下的變化率，而_{(pç )oxyz}代 表向量_p在旋轉座標系Oxyz下的變化率。這裡將拆成兩層來考慮，第一層為暫 時不考慮固定座標系OXYZ，只考慮向量p在動座標系Oxyz下的變化率，而第 二層為將向量_p分成三個向量投影在旋轉座標系Oxyz上，亦即只考慮旋轉座標

Oxyz各軸如何轉動，最後描述固定座標系OXYZ下觀察向量_p如何轉動。

‧第一層

現在將向量_p分解成沿著旋轉座標x、y、z的分量，分別以i、j、k代表其 單位向量，則可得向量_p在旋轉座標系下的表示式(2.35)

p = pxi + pyj + pzk (2.35) 將(2.35)式對時間微分，並且將向量i、j、k 視為固定，則可得到p相對於旋轉 座標Oxyz的變化率(2.36)

(pç)Oxyz = pçxi + pçyj + pçzk (2.36)

‧第二層

為了求得_p在固定座標系OXYZ的變化率，先將向量_p看成投影在旋轉座 標系Oxyz上的三個向量_pçxi、_pçyj、_pçzk，但在固定座標系上觀察此三個向量，必 須考慮向量i、j、k 為變數，亦即i(t)、_j(t)、_k(t)，因此對式子(2.35)微分後可 得下式(2.37)

(pç)OXYZ= pçxi(t) + pçyj(t) + pçzk(t) + p_{x dt}^di(t)+ p_{y dt}^dj(t)+ p_{z dt}^dk(t) (2.37)

此(2.37)式即為分為兩層來觀察向量_p在固定座標系OXYZ上的變化率，由 (2.37)式可知，可將等號後前面三項看成向量_p在旋轉座標上的變化率，若將旋 轉座標固定不動，則_{pçxi(t) + pçyj(t) + pçzk(t)}為零，只剩後面三項，則可以代表此 時質點的速度。若現在將旋轉座標考慮進來，則因旋轉座標Oxyz座標在此瞬間

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對固定座標OXYZ具有角速度Ò，由式子(2.33)因此可寫成

p_xdt^di+ p_ydt^dj+ p_zdt^dk= Òâ p (2.38) 將(2.36)(2.38)代入(2.37)可以得到基本關係式

(pç)OXYZ= (pç)Oxyz+ Òâ p (2.39) 為了求得加速度p在固定座標系OXYZ與旋轉座標系Oxyz之間的關係，將(2.39) 式微分可得下式(2.40)，其中微分都是對OXYZ定義

(p)OXYZ= Òçâ p + Ò â (pç)^OXYZ+_dt^d(pç)Oxyz (2.40) 首先看(2.40)中最右那項，參考(2.39)可將其表示如下(2.41)。意思即為看成有一 向量為_{(pç)Oxyz= r}，仿照如何推導到(2.39)式

dt

d(pç)Oxyz= (p)Oxyz+ Òâ (pç)^Oxyz (2.41)

將式子(2.39)及(2.41)帶入(2.40)可得下式(2.42)

(p)OXYZ= Òçâ p + Ò â (Ò â p) + 2Ò â (pç)^Oxyz+ (p)Oxyz (2.42) 此即為加速度在固定座標系OXYZ與旋轉座標系Oxyz之間的關係。