在自動尋的飛彈中，比例導引是一種較常被使用的導引律，因其在實際應用 上較容易實現[30]。典型的比例導引是機於以下事情的認可：如果存在兩個逐漸 靠近的物體，若兩者之間的視線相對於慣性空間不發旋轉，則最終兩者會交會，
確切的說，比例導引律透過其控制命令，使得視線角速率為零，用來對付非機動 的目標，如圖 2.5 比例導引示意圖所示，意思為當角度q1= q2= q3= q4時，即 可達到攔截目標的目的。
圖 2.5 比例導引示意圖
而為了對付機動的目標，進而發展出了不同型態的比例導引律。在目標無機動的 碰撞點
q2
q1
q3
q4
Vm Vt
missile line of sight(LOS) target
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情況下，比例導引律為了消除可能出現的視線角速率，因此有以下關係式 (2.49)[31]
am = Cqç (2.49)
其中am代表加速度指令、C代表比例因子（proportionality factor）、qç代表視線 變化率，此即為比例導引律的典型式。而其中的比例因子C因應各種改良的比例 導引，舉例說明，如果在真實比例導引(TPN)中則可以寫成C = NVc，因此加速 度指令則為am= NVcâ qç這當中的N代表比例導引常數，通常選 3~5 之間的整 數[21]，而Vc代表相近速度。其基本上皆為(2.49)式的變形，形式如下
(1)純比例導引(PPN)：其施加指令垂直於飛彈的速度方向，且其大小為飛彈 速度且與角速度成比例，其形式可寫成C = NVm，其中Vm為飛彈速度，
N為比例導引常數，故指令為am= NVmâ qç。
(2)真比例導引(TPN)：其施加指令垂直於視線方向，且其大小為初始飛彈目 標相對速度且與角速度成比例，其形式可寫為C = NVc，其中Vc為飛彈 目標相對速度，N為比例導引常數，故指令為am= NVcâ qç。
(3)改進的真比例導引(RTPN)：與真比例導引律不同於其飛彈與目標相對速 度會隨時間改變，其C = NVc(t)i，其中i為視線方向的單位向量，故指令 為am= NVc(t)iâ qç
(3)增廣比例導引(APN)：此導引律在其導引指令內加入了目標加速度，其加 速度指令表示為am= Cqç + at，其中at為目標加速度指令，故使用增廣 比例導引必須對目標做估測。
(4)廣義比例導引(generalized PN,GPN)：加速度指令大小與某一向量L成一比 例且垂直於向量L，其加速度指令為am= NLâ qç。[32]
(5)理想比例導引(ideal PN,IPN)：其與廣義比例導引相似，關係類似 RTPN 與 TPN 之間的關係。
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以上為各種 PN 的簡介，基本上只有在特別限制條件下，才有可能得到精確的解 析解，因此在此舉比例導引方法來解析，其推導過程如下
首先我們要了解零勞誤失(zero-effort miss, ZEM)，定義為當飛彈及目標此 時各有一速度，維持此速度且不做任何改變的情況下，一直飛行到最接近的距離 時，此距離稱為零勞誤失[21]。參考圖 2.6，假設在目標無機動情況下，飛彈與 目標距離碰撞估計時間為tf，此刻飛行時間為t，那麼令tgo = tfà t，且相對速率 為一定要小於零，那麼可以知道r(t)' à rç(t)tgo。令y(t) = yt(t)à ym(t)，其中yt(t) 為目標在z方向的位置，ym(t)為飛彈在z方向的位置，因此可知零勞誤失如下式 ZEM = y(tf) = y(t) + yç(t)tgo (2.50) 只取z軸方向原因是，若能使得一開始y = 0，且一直保持零，則必保證會碰撞。
圖 2.6 二維交戰示意圖
而y(t)又可表示為y(t) = r(t)sin(q(t))，假若q很小，則y(t)' r(t)q(t)。接著微分 可得下式
yç = rçq + rqç (2.51)
因此
r Vm Vt
q
y
missile
target z
x initial LOS
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ZEM = y(t) + [rç(t)q(t) + r(t)qç(t)]tgo
= rtgoqç
= à rçt2goqç (2.52)
現在將透過李雅普諾夫理論，來求證當使用比例導引律時，可以使得零勞誤 失會漸進穩定，當t! 1，亦即會命中目標。首先令V(y; yç) = y(tf)2> 0，則其V 對時間微分後為
Vç = 2y(tf)yç(tf)
= 2y(tf)tgoy(t) (2.53) 其中y = ytà ym= atà am，分別為飛彈加速度與目標加速度，因此(2.53)可變為
Vç = 2y(tf)tgo(atà am) (2.54) 此時代入比例導引律(2.49)可得下式
Vç = 2rt2goqç(atà Cqç) (2.55) 若要滿足Vç < 0，在目標無加速度的情況下，必須qç(atà Cqç) < 0。因此可知比例 導引律可以使得零勞誤失當t ! 1時收斂到零。而目標有加速度的情況下則不一 定。
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