順滑模控制(sliding mode control，SMC)技術的特色為其利用不連續的控制輸 入，使得閉迴路系統軌跡最後會被限制在一個設計者預先設計好的順滑面(sliding surface)上，而閉迴路系統的動態行為可經由順滑面來規範。一般來說，順滑模 控制技術擁有以下優點：(i)響應速度快；(ii)對模型不確定性(model uncertainties) 或外在干擾(external disturbances)具有強健性；(iii)容易實現的優點[22]。順滑模 控制技術的設計方式對於不同型式下的非線性系統，會有不同的設計方式 [23][24]。因此在本研究中選擇非線性系統標準型(regular form)的順滑模控制設計 做討論[24]。
首先我們考慮非線性系統[24]
xç1= fa(x1; x2)
xç2= fb(x1; x2) + G(x)[u + d] (2.1) 其中fa(0) = 02 Rn，fb(0) = 02 Rn，0 2 R2n即為其平衡點(equilibrium point)，
x12 Rn，x22 Rn， x = [xT1; xT2]T2 R2n為 系 統 狀 態 ，u2 Rm為 控 制 輸 入 ， fa(x)2 Rn，fb(x)2 Rn與G(x)2 Rnâm皆 為 平 滑 函 數 ，d2 Rm代 表 匹 配 型 (matched type)系統之不確定性(uncertainties)或外在干擾(external disturbances)。根 據[24]可知，設計非線性系統的順滑模控制器可分成兩個程序，程序一為設計順 滑面，使得當閉迴路系統軌跡被限制在順滑面上時會滿足閉迴路系統為漸進穩定
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的要求；程序二為設計順滑模控制律(sliding mode control law)u = u0+ u1，使得 閉迴路系統軌跡在有限時間內到達設計者預先設計的順滑面並且維持在順滑面 上。
假設 2.1：
對任何的狀態x 2 R2n，系統(2.1)的矩陣G(x)為列滿秩(full row rank)。
假設 2.2：
ííG(x)díí
2ô ô(x; t); 8x 2 R2n;8t 2 R，其中k á k2代表R2n空間向量中的l2範數(l2 -norm)[25]，ô :R2nâ Rà! R為一連續的非負函數(nonnegative function)。
‧程序一：設計順滑面s(x) = 0
考慮標準型式下的非線性系統如(2.1)式，其前n階子系統(subsystem)為 xç1= fa(x1; x2) (2.2) 透過步階迴歸(backstepping)的設計方式可知，可以將x2視為(2.2)式的控制輸入，
並且經由非線性控制的設計方法來設計一控制器(stabilizer)x2= þ(x1)，且設計 的 控 制 器x2= þ(x1)可 使 得 (2.2) 式 漸 進 穩 定 ， 其 中 函 數þ : Rn! Rn滿 足
þ(0) = 0，最後我們只需要再設計原非線性系統(2.1)式的控制輸入 u ，使得
x2à þ(x1) = 0成立，便可透過控制輸入u讓整體閉迴路系統為漸進穩定。根據
以上所述，我們可令順滑面如下所示
s(x) = x2à þ(x1) = 0 (2.3) 其中s = [s1; s2;á á á; sn]T，函數þ :Rn! Rn滿足þ(0) = 0，而在設計函數þ(x1)時 需考慮(2.2)式前n階子系統並透過控制器x2 = þ(x1)使其為漸進穩定。當閉迴路 系統軌跡一直被保持在順滑面上，亦即s(x) = 0，可得x2= þ(x1)，則(2.2)式的 前n階子系統(subsystem)可寫成下式(2.4)
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xç1= fa(x1; þ(x1)) (2.4) 為漸進穩定(asymptotically stable)，亦即當t! 1時x1! 0。緊接著發現因順滑 面為零，亦即s(x) = x2à þ(x1) = 0，þ(0) = 0，當t! 1時x1! 0，因此可 得當t! 1時x2! 0，亦即閉迴路系統為漸進穩定。
‧程序二：設計控制律
設計控制律之前，必須先設計好順滑面，在此假設已設計好順滑面如下式 s(x) = x2à þ(x1) = 0 (2.5) 根據[24]可知，設計控制律，又可分為兩小步驟，步驟一為設計u0，步驟二為設 計u1，而最後的順滑模控制律(sliding mode control law)形式為u = u0+ u1。
‧步驟一：u0設計
u0設計時必須存在一項條件，即當不考慮匹配型系統之不確定性或外在干 擾時，必須使得順滑面s(x) = 0對於閉迴路系統為不變集合(invariant set)[24]，亦 即s(x(t0)) = 0，s(x(t)) = 0;8t õ t0。此外，將(2.5 式中的順滑變數(sliding variable)s(x) = x2à þ(x1) = 0對時間 t 取導函數(derivative)，並將(2.1)式代入取 導函數後的順滑變數，可得動態系統(sliding variable dynamic)如下(2.6)式
sç =à@x@þ1fa(x1; x2) + fb(x1; x2) + G(x)[u + d] (2.6) 此時必須考慮到的控制器u，在尚未加入u1時，亦即u = u0，作回授控制且不考 慮雜訊項d，可以使動態系統(2.6)式擁有原點s = 0為其平衡點
接著設計u0，此刻還不考慮(2.6)式中未知其切確形式的雜訊項d，此刻u0項 的功能是將(2.6)式中已知其切確形式的項刪除，設計u0如下(2.7)式
u0 =à G+(x)â
à@x@þ1fa(x1; x2) + fb(x1; x2)ã (2.7) 其中G+(x)2 Rmâp為G(x)的廣義反矩陣(pseudo-inverse matrix)。此時將設計完
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可以知道閉迴路系統(2.10)式為漸進穩定(asymptotically stable)，亦即當t ! 1時 s! 0，或可解釋成針對(2.8)式來看，每當順滑變數s6=0，u1會使得s! 0。事
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積分型順滑模控制(integral-type sliding mode control, ISMC)的設計概念與順 滑模控制類似，兩者之間的差別在於順滑面的型式，積分型順滑模控制的順滑面