增量迭代法

若第

_I

個增量的平衡位置為已知，則在此位置的系統切線剛度矩陣K_T 可以求得，且第

_I

+1個增量的初始增量位移向量 Q∆ ，可利用尤拉預測值 (Euler predictor)求得

T

,

Q Q

= ∆ λ

∆

(3.1.1)

其中

∆ λ

為初始增量負荷參數，

Q

_T =

K

_T⁻¹

P

_ref 為參考負荷向量

P

_ref 的切線 解。

∆ λ

可利用下式求出

, ) (

Q

_T^t

Q

_T ^1/2

∆

±

=

∆

λ

^(3.1.2)

其中正負符號之決定方法如下：若第

I

與

I

-1個增量收斂時，系統切線剛度 矩陣之行列式值同號，則

∆ λ

的正負符號和第

I

個增量時相同；若異號則符 號相反。

∆ 

表第

I

+1個增量的增量弧長，其值可以如下決定

,

s

Newmark 直接積分法乃假設在時間

t

_n時，滿足動平衡方程式(2.10.3)的

1

第四章 數值例題與結果

在本章中，將以第二章之梁元素以及第三章所提的數值方法與程序，

分析如圖三(a)之所示之水平直梁在不同的邊界條件下，受不同位移負荷及 力負荷的靜態及動態之幾何非線性行為。在本章中所考慮的梁之材料常數 與幾何常數，除非文中另有說明外，皆採用文獻[5]中的數據，其值如下:

密度

ρ = 2320 kg / m

³、楊氏係數

E

=150

GPa

^、斷面寬度

b = 8 × 10

⁻⁶

m

^、斷面 厚度

h = 0 . 48 × 10

⁻⁶

m

、長度

L = 550 × 10

⁻⁶

m

、斷面面積

A = 3 . 84 × 10

⁻¹²

m

²、 斷面慣性矩

I = 7 . 3728 × 10

⁻²⁶

m

⁴，細長 比 3969.3

2 =

= I

η AL 。本章中的例題除另

有說明外，均不考慮阻尼，初始速度及初始加速度均為零。本章中的例題 除另有說明外，梁均分成 40 的等長度的元素。

4.1 梁挫屈後的側向位移與軸向變形

本章中先將圖三(a)之所示之梁的 A、B 兩端固定，再給 B 端一個軸向

位移負荷∆ ，當 ∆ 超過挫屈臨界值

AL I

cr

4

π

2

∆

= [16]後，此梁便會產生如圖三

(b)所示之側向挫屈，本章中稱梁在圖三(b)的狀態為初始狀態的挫屈梁，在 不會引起混淆的情況下，簡稱為挫屈梁，

δ

₀為挫屈梁中點 C 的側向位移。

本例題將探討挫屈梁的側向位移

δ

₀與軸向變形∆ 的關係，並與文獻[28]的解 析解比較。本例題考慮了兩種分別具有不同材料及幾何性質的梁：(a)即本 章中一開始提到的梁，(b) [28]:

E = 21 × 10

¹¹

N / m

^{2 、}

b = 1 . 905 × 10

⁻²

m

^、

m

對 應 的 θ_B =0.7047rad 、

M

_B

L / EI = − 1 . 408

、

v

_c

/ h = − 8 . 3246

、

7587

. 193 /

)

( δ

₀

+ v

_c

h =

，此時該梁的受力狀態相當於簡支梁受到純彎矩(pure bending)作用，由材料力學[16]很容易得知簡支梁受到純彎矩作用時將形成 一個曲率半徑R= EI/M_B =L/2θ_B的圓弧，將上述的值代入相當吻合，再由 簡單的三角函數可求得該圓弧中點的高度

( δ

₀

+ v

_c

) / h = 193 . 84

，該值與本文 分析的結果相當接近。

本節另外考慮了如圖十所示之簡支梁，該簡支梁受到一軸向位移負荷

∆ ，並產生側向挫屈，令

δ

₀表示梁中心點 C 的側向位移。圖十一到圖十三 為本文分析的結果，從圖十二、十三中可以看出當挫屈高度

δ

₀

= 97 µ m

(

δ

₀

/ h = 202 . 833

) 時 ， 兩 端 的 轉 角

θ

=0.573

rad

， 端 點 B 的 反 力

10

6

6529 . 0

/ EA = ×

⁻

F

_B ，此結果與前述挫屈梁受端點轉角作用，

M

_B

= 0

的時 候結果非常接近，由以上的比較，可以說明本文所提的數學模型、數值方 法程式應是正確的。

為了方便稱呼，本文中將稱呼受端點轉角作用後的挫屈梁為具端點轉 角的挫屈梁，在不會引起混淆的情況下，仍簡稱為挫屈梁。本章中將在以 後的小節中探討具端點轉角的挫屈梁之自然振動、受不同負荷的非線性行 為及受基座振動的動態反應。

4.3 具端點轉角之挫屈梁的自然頻率

本節中將探討 B 點轉角

θ

_B對挫屈梁自然頻率的影響，本文採用次空間

法求結構的自然頻率及對應的模態，表二為不同

θ

_B之挫屈梁的前五個自然 (bifurcation point)，標示

L

的點為該曲線的極限點(limit point)。由圖十七中 可以發現除了

θ

_B

= 0

的主要平衡路徑具有三個分歧點外，所有的主要平衡路

其中

v

_cr^b1與

P

_cr^b1為第一個分歧點

v

_c與

P

_c的值，而

θ

_B

= 0

第二個分歧點的座標值

圖二十六及圖二十七為

θ

_B

= 0

及

θ

_B

= 0 . 3 rad

的次要平衡路徑及對應的無因 次側向位移的分佈圖。

本節中接著考慮如圖三(d)所示之具端點轉角的挫屈梁受到如圖二十八 所示之集中力及力矩負荷，本例題之負荷施加的次序如下：先施加一個固 定大小的集中力P_c =P₀，使挫屈梁到達一個新的平衡位置，然後在該平衡位 置同時再施加一個集中力λ₁及力矩λ₂，此時P_c = P₀+λ₁，M_c =λ₂。本節中僅 考慮下列兩種情況:

1.

P

₀

= 0

、

λ

₁

= 0

、

λ

₂

= λ

2. P₀=0.1P_cr、

λ

₁

= λ

、λ λ L P

EI 6 cr

5

2 =

其中

λ

為外力負荷參數，P_cr =P_cr^b1為端點轉角為

θ

_B的挫屈梁，其中點 C 受集 中載重

P

_c作用時，第一個分歧點的挫屈負荷，其值列於表三中。

本例題僅考慮

θ

_B

= 0

、

0 . 1

、0.3

rad

，圖二十九到圖三十四為本文分析結果。

圖二十九到圖三十四中 C 點的位移u_c、v_c及轉角θ_c都是從施加集中力P_c=P₀

後的平衡位置算起。由圖二十九到圖三十一中可以發現當挫屈梁僅受力矩 作用時，軸向位移u_c及轉角θ_c與M_c的關係幾乎是線性的，但側向位移v_c與

Mc的關係是高度非線性的。轉角θ_c及側向位移v_c的剛度隨著

θ

_B增加而增 加，但軸向位移u_c的剛度隨著

θ

_B增加而稍微減少。由圖三十二到圖三十四 中可以發現當挫屈梁同時受一個集中力及力矩作用時，軸向位移u_c、側向 位移v_c及轉角θ_c與M_c的關係都是高度非線性的，且軸向位移u_c、側向位移

vc及轉角θ_c的剛度都隨著負荷增加而快速的減少，增加

θ

_B似乎可以增加轉 角θ_c的剛度及增加挫屈梁同時受一個集中力及力矩作用時的極限點。

4.5 梁基座振動時具端點轉角之挫屈梁的動態行為

本節中考慮一如圖三十五所示

θ

_B

= 0

之挫屈梁，其基座的運動為一個 垂直方向的週期運動

y

_b

( t ) = y

₀

sin ω

_b

t

，其中

y

₀是振幅、

ω

_b是頻率、t 是時 間，此時挫屈梁相對於基座的運動和圖三(c)所示之挫屈梁(

θ

_B

= 0

時)受到 一 如 圖 二 十 二 所 示 之 均 佈 載 重

λ

(

t

) =

p

_eff sin

ω

_b

t

時 的 運 動 相 同 ， 其 中

2 0 b

eff

Ay

p

=

ρ ω

稱為等效外力，本節將探討不同的等效外力及基座振動頻率 對於圖三(c)所示之挫屈梁(

θ

_B

= 0

時)動態行為的影響。本節將先探討主共 振現象(primary resonance)及超諧共振現象(superharmonic resonance)，再探 討挫屈梁的跳躍現象(snap through)，並找出在不同基座振動頻率下，挫屈梁 產生跳躍現象所需的最小等效力，本節使用 Newmark 直接積分法，所有例 題的時間增量

∆ t

均為

5 × 10

⁻⁹

s

，由表二可知挫屈梁的第五個自然振動週期 約為

∆ t

的 900 倍，本文中曾測試過不同的

∆ t

，發現此

∆ t

得到的結果在各種 情況下都是準確的。由 4.3 節知道本研究考慮的挫屈梁的第一個振動頻率

25.80kHz

1

=

ω

對應的側向位移之振動模態是反對稱的，第二個振動頻率

44.26kHz

2

=

ω

對應的側向位移之振動模態是對稱的。因本節中考慮的等效

側向力為均佈力，故該負荷引起的側向振動應是對稱的，但文獻上有反對

稱側向振動的報告，所以本節中將加以探討。

4.5.1 小振幅振動的主共振現象

ω

_b

≈ ω

₂

由 4.4 節及表四可以知道，本挫屈梁受均佈負荷的第一個分歧點之負荷

參數

N m

L EI

_b

cr b

cr ¹ 4.887 10 ³ /

3

1 =

λ

= × −

λ

，由圖二十三中可以發現在

λ

<<

λ

_cr時，

負荷位移曲線幾乎為一直線，且位移很小，所以當基座振動的等效力

1 b cr

p

eff <<

λ

時，挫屈梁的振動應該接近線性振動的行為，所以本例題考慮等 效力

p

_eff =1×10⁻⁴

N

/

m

的基底振動之動態分析，來探討挫屈梁小振幅振動 的共振現象。本例題每一外力頻率分析了 25 個外力周期，並以 25 個外力 週期內 C 點的最大側向位移

v

_{c max}當作每個外力頻率的響應，本例題考慮的 基座振動頻率

ω

_b為13~49

kHz

，圖三十六為本例題所得到的頻率響應圖，

其中

V = v

_{c max}

/ h

，從圖三十六中可以看到基座振動頻率

ω

_b

≈ 43 . 6 kHz

時會 有一個主共振現象且振幅不大，由表二可以發現此振動頻率與本文及文獻[5]

得到的第二個線性自然振動頻率很接近，這結果應是合理的。

4.5.2 大振幅振動的主共振現象及跳躍現象(

ω

_b

≈ ω

₂)

本節中將探討

ω

_b接近ω₂時挫屈梁的大振幅振動的共振現象及跳躍現 象，本節中考慮四個不同大小的等效力：

p

_eff =6×10⁻⁴、

7 × 10

⁻⁴、

7 . 5 × 10

⁻⁴、

10

3

1 ×

⁻

N / m

。本節中每一個案的分析時間原則上為 25 個外力周期，但若

分析過程中發現 C 點的最大側向位移

v

_{c max}大於100 ，則將分析時間增加

h

到 30 個外力周期。分析過程中，若 C 點的最大側向位移

v

_{c max}大於202 之

h

時間總和超過三個外力周期，則判定結構已產生跳躍現象並停止該分析。

本節中稱在分析時間內 C 點的最大軸向位移

u

_cmax、最大側向位移

v

_{c max}及 最大旋轉角度

θ

_{c max}為挫屈梁在該外力頻率的響應。表五、表六為 C 點位 移在不同等效力及頻率的無因次響應，其中U 、V 、

Θ

的定義如下:

h u

U =

_{c max}

/

V = v

_cmax

/ h

Θ = θ

_cmax

圖三十七為無因次側向位移的頻率響應，由圖三十七及表五、表六中可以 發現在基座振動頻率接近系統第二個自然振動頻率時，產生跳躍現象所需 的最小等效力

p

_eff =7×10⁻⁴

N

/

m

。當側向振動是對稱的，

Θ

=0，所以由

Θ

的大小應可以判斷側向振動不對稱的程度，由表五、表六中可發現在產生 跳躍現象時側向振動是不對稱的，在產生跳躍現象附近的

ω

_b亦會造成不對 稱的側向振動，其振幅有時並不是很大。

圖三十八為

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m

、

ω

_b

= 41 . 1 kHz C 點位移的歷時分析，其

中

τ = ω

_b

t

，從圖三十八中可以看出當

τ < 15

，C 點的軸向位移

u

_c及轉角

θ

_c幾 乎為零，這代表側向振動是接近對稱的，當

τ > 15

，C 點的軸向位移

u

_c及轉 角

θ

_c增加，代表側向振動不對稱的程度增加，圖三十九、四十分別為

m N

p

_eff =7.5×10⁻⁴ / 、

ω

_b

= 41 . 1 kHz

時，挫屈梁在第十及第二十一個外力周 期之側向位移分佈圖，從圖三十九中可以看到挫屈梁的側向振動確實是接

近對稱的振動，從圖四十中可以看到挫屈梁的側向振動確實是不對稱的振 動 ， 而 且 是 接 近 反 對 稱 的 振 動 ， 圖 四 十 一 為

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m

、

b

= 39 . 6 kHz

ω C 點的歷時分析，由圖四十一可以看出，當 τ

>15，挫屈梁有

不對稱的側向振動，當

τ

>23，挫屈梁產生跳躍現象，圖四十二、四十三分 別為

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m

、

ω

_b

= 39 . 6 kHz

第十五個及第二十五個外力周期之 側向位移分佈圖，從圖四十二、四十三可以看到看到挫屈梁的側向振動確 實是不對稱的振動，但亦不是接近反對稱的振動。

4.5.3 超諧共振現象( ₂ 2 1

ω

ω

_b ≈ )及跳躍現象 本節中將探討

ω

_b接近 ₂

1 ω2 時挫屈梁的大振幅振動的共振現象及跳躍現 象，本節中考慮六個不同大小的等效力：

p

_eff =1.5×10⁻³、

1 . 6 × 10

⁻³、

10

3

7 .

1 ×

⁻ 、

1 . 8 × 10

⁻³、

1 . 9 × 10

⁻³、

2 × 10

⁻³

N / m

，本節中分析過程及變數的 定義均與 4.5.2 節相同。表七、表八為 C 點位移在不同等效力及頻率的無因 次響應，圖四十四為無因次側向位移的頻率響應，由圖四十四及表七、表 八 中 可以 發現 在 ₂

2 1

ω

ω

_b ≈ 時 ， 產生 跳躍 現象 所 需的 最小 等效 力

p

_eff 為

ω

_b ≈ 時 ， 產生 跳躍 現象 所 需的 最小 等效 力

p

_eff 為

在文檔中 挫屈梁之靜態與動態分析 (頁 42-0)