座標系統描述

其中

θ

_e為元素座標

x

₁軸與總體座標

X

₁的夾角，本文以{}代表行向量。

量(unit extension)。由(2.4.3)至(2.4.4)式，

^x

p

^{( t x , )}

可以表示成下式

∂

x

2

因本文用虛功原理及 d’Alembert 原理推導節點內力，所以需要應變的 變分，位置向量的變分及速度和加速度。其推導如下：

b

將

將(2.4.28)、(2.4.29)及(2.4.30)式代入(2.4.27)式，位置向量的變分 r

δ

可以寫 成

梁的絕對速度表示成

dx

本文利用虛功原理及 d’Alembert 原理在座標上求對應於元素節點參數

的元素節點內力。若給端點 j ( j = 1, 2 )一個虛位移

δ u

_j、

δ v

_j和

δφ

_j，則由虛

對加速度之乘積)中的相對加速度



r所做的虛功併入內力所作的虛功，而基



由反梯度法則 (Contragradient Law) [12]及(2.5.16)式可得

f

=

T

_θφ^t

f

_θ (2.5.18)

將(2.4.42)式及(2.4.32)式之 r

δ

代入(2.5.9)式右邊的第二項，並保留變形參數

分的耦合項，可得

∂ =

m

bb

A

_b ^t_b

dx I

_{b b}^t

dx

∫

Ψ

=

F

(

Q

,

λ

_d

Q

_d)−

P

_eff^G −

λ

_f

P

=0 (2.10.1)

其中_Ψ為系統的不平衡力，F為系統節點內力，

Q 為參考位移負荷向量，

_d

G

P

eff 為等效外力向量，P為參考力負荷向量，

λ

_f 為力負荷參數，

λ

_d為位移 負荷參數， Q 為在時間為

t

時系統的節點位移，其中F由系統慣性力

F 、

^I 系統變形力

F 、系統阻尼力

^D

F 組成。

^V

F 、

^I

F 及

^D

F 可由(2.5.29–2.5.32)、

^V (2.8.1)式中的元素節點慣性力力

f 、元素節點變形力

^I

f 、元素阻尼力

^d f_v從元 素座標轉換到總體座標後組合而成。

在靜態分析時，剛性基座為靜止的，即

P

_eff^G =

0

，故(2.10.1)可改寫如下

0

P Q

Q

Ψ

=

F

( ,

λ

_{d d})−

λ

_f = (2.10.2) (2.10.2)為本研究中靜態分析的非線性平衡方程式。

在動態分析時，本研究考慮如圖三(d)所示之挫曲梁僅受到基底振動所造成 的等效外力，故P

= 0

，則(2.10.1)可改寫如下

0 P Q

Q

Ψ

=

F

( ,

λ

_{d d})− _eff^G = (2.10.3) (2.10.3)為本研究中動態分析的運動方程式。

第三章 數值計算方法與程序

本文解非線性平衡方程式(2.10.2)式的數值計算方法是基於牛頓-拉福森(Newton-Raphson)法配合弧長控制(arc length control)法的增量迭代 法。本文中以系統切線剛度的行列式值為零當作挫屈的準則，為了求得挫 屈負荷，本文採用二分法[36]，決定增量位移的長度，以求得系統切線剛度 矩陣之行列式值為零的平衡位置。為了求得次要平衡路徑，本文中在平衡 路徑的第一個挫屈負荷分歧點加入一個與第一挫屈模態向量方向一致的擾 動位移[34]。而本文解非線性平衡方程式(2.10.3)式的數值計算方法是基於牛 頓-拉福森法配合 Newmark 直接積分法的增量迭代法[10]。

3.1 增量迭代法

若第

_I

個增量的平衡位置為已知，則在此位置的系統切線剛度矩陣K_T 可以求得，且第

_I

+1個增量的初始增量位移向量 Q∆ ，可利用尤拉預測值 (Euler predictor)求得

T

,

Q Q

= ∆ λ

∆

(3.1.1)

其中

∆ λ

為初始增量負荷參數，

Q

_T =

K

_T⁻¹

P

_ref 為參考負荷向量

P

_ref 的切線 解。

∆ λ

可利用下式求出

, ) (

Q

_T^t

Q

_T ^1/2

∆

±

=

∆

λ

^(3.1.2)

其中正負符號之決定方法如下：若第

I

與

I

-1個增量收斂時，系統切線剛度 矩陣之行列式值同號，則

∆ λ

的正負符號和第

I

個增量時相同；若異號則符 號相反。

∆ 

表第

I

+1個增量的增量弧長，其值可以如下決定

,

s

Newmark 直接積分法乃假設在時間

t

_n時，滿足動平衡方程式(2.10.3)的

1

第四章 數值例題與結果

在本章中，將以第二章之梁元素以及第三章所提的數值方法與程序，

分析如圖三(a)之所示之水平直梁在不同的邊界條件下，受不同位移負荷及 力負荷的靜態及動態之幾何非線性行為。在本章中所考慮的梁之材料常數 與幾何常數，除非文中另有說明外，皆採用文獻[5]中的數據，其值如下:

密度

ρ = 2320 kg / m

³、楊氏係數

E

=150

GPa

^、斷面寬度

b = 8 × 10

⁻⁶

m

^、斷面 厚度

h = 0 . 48 × 10

⁻⁶

m

、長度

L = 550 × 10

⁻⁶

m

、斷面面積

A = 3 . 84 × 10

⁻¹²

m

²、 斷面慣性矩

I = 7 . 3728 × 10

⁻²⁶

m

⁴，細長 比 3969.3

2 =

= I

η AL 。本章中的例題除另

有說明外，均不考慮阻尼，初始速度及初始加速度均為零。本章中的例題 除另有說明外，梁均分成 40 的等長度的元素。

4.1 梁挫屈後的側向位移與軸向變形

本章中先將圖三(a)之所示之梁的 A、B 兩端固定，再給 B 端一個軸向

位移負荷∆ ，當 ∆ 超過挫屈臨界值

AL I

cr

4

π

2

∆

= [16]後，此梁便會產生如圖三

(b)所示之側向挫屈，本章中稱梁在圖三(b)的狀態為初始狀態的挫屈梁，在 不會引起混淆的情況下，簡稱為挫屈梁，

δ

₀為挫屈梁中點 C 的側向位移。

本例題將探討挫屈梁的側向位移

δ

₀與軸向變形∆ 的關係，並與文獻[28]的解 析解比較。本例題考慮了兩種分別具有不同材料及幾何性質的梁：(a)即本 章中一開始提到的梁，(b) [28]:

E = 21 × 10

¹¹

N / m

^{2 、}

b = 1 . 905 × 10

⁻²

m

^、

m

對 應 的 θ_B =0.7047rad 、

M

_B

L / EI = − 1 . 408

、

v

_c

/ h = − 8 . 3246

、

7587

. 193 /

)

( δ

₀

+ v

_c

h =

，此時該梁的受力狀態相當於簡支梁受到純彎矩(pure bending)作用，由材料力學[16]很容易得知簡支梁受到純彎矩作用時將形成 一個曲率半徑R= EI/M_B =L/2θ_B的圓弧，將上述的值代入相當吻合，再由 簡單的三角函數可求得該圓弧中點的高度

( δ

₀

+ v

_c

) / h = 193 . 84

，該值與本文 分析的結果相當接近。

本節另外考慮了如圖十所示之簡支梁，該簡支梁受到一軸向位移負荷

∆ ，並產生側向挫屈，令

δ

₀表示梁中心點 C 的側向位移。圖十一到圖十三 為本文分析的結果，從圖十二、十三中可以看出當挫屈高度

δ

₀

= 97 µ m

(

δ

₀

/ h = 202 . 833

) 時 ， 兩 端 的 轉 角

θ

=0.573

rad

， 端 點 B 的 反 力

10

6

6529 . 0

/ EA = ×

⁻

F

_B ，此結果與前述挫屈梁受端點轉角作用，

M

_B

= 0

的時 候結果非常接近，由以上的比較，可以說明本文所提的數學模型、數值方 法程式應是正確的。

為了方便稱呼，本文中將稱呼受端點轉角作用後的挫屈梁為具端點轉 角的挫屈梁，在不會引起混淆的情況下，仍簡稱為挫屈梁。本章中將在以 後的小節中探討具端點轉角的挫屈梁之自然振動、受不同負荷的非線性行 為及受基座振動的動態反應。

4.3 具端點轉角之挫屈梁的自然頻率

本節中將探討 B 點轉角

θ

_B對挫屈梁自然頻率的影響，本文採用次空間

法求結構的自然頻率及對應的模態，表二為不同

θ

_B之挫屈梁的前五個自然 (bifurcation point)，標示

L

的點為該曲線的極限點(limit point)。由圖十七中 可以發現除了

θ

_B

= 0

的主要平衡路徑具有三個分歧點外，所有的主要平衡路

其中

v

_cr^b1與

P

_cr^b1為第一個分歧點

v

_c與

P

_c的值，而

θ

_B

= 0

第二個分歧點的座標值

圖二十六及圖二十七為

θ

_B

= 0

及

θ

_B

= 0 . 3 rad

的次要平衡路徑及對應的無因 次側向位移的分佈圖。

本節中接著考慮如圖三(d)所示之具端點轉角的挫屈梁受到如圖二十八 所示之集中力及力矩負荷，本例題之負荷施加的次序如下：先施加一個固 定大小的集中力P_c =P₀，使挫屈梁到達一個新的平衡位置，然後在該平衡位 置同時再施加一個集中力λ₁及力矩λ₂，此時P_c = P₀+λ₁，M_c =λ₂。本節中僅 考慮下列兩種情況:

1.

P

₀

= 0

、

λ

₁

= 0

、

λ

₂

= λ

2. P₀=0.1P_cr、

λ

₁

= λ

、λ λ L P

EI 6 cr

5

2 =

其中

λ

為外力負荷參數，P_cr =P_cr^b1為端點轉角為

θ

_B的挫屈梁，其中點 C 受集 中載重

P

_c作用時，第一個分歧點的挫屈負荷，其值列於表三中。

本例題僅考慮

θ

_B

= 0

、

0 . 1

、0.3

rad

，圖二十九到圖三十四為本文分析結果。

圖二十九到圖三十四中 C 點的位移u_c、v_c及轉角θ_c都是從施加集中力P_c=P₀

後的平衡位置算起。由圖二十九到圖三十一中可以發現當挫屈梁僅受力矩 作用時，軸向位移u_c及轉角θ_c與M_c的關係幾乎是線性的，但側向位移v_c與

Mc的關係是高度非線性的。轉角θ_c及側向位移v_c的剛度隨著

θ

_B增加而增 加，但軸向位移u_c的剛度隨著

θ

_B增加而稍微減少。由圖三十二到圖三十四 中可以發現當挫屈梁同時受一個集中力及力矩作用時，軸向位移u_c、側向 位移v_c及轉角θ_c與M_c的關係都是高度非線性的，且軸向位移u_c、側向位移

vc及轉角θ_c的剛度都隨著負荷增加而快速的減少，增加

θ

_B似乎可以增加轉 角θ_c的剛度及增加挫屈梁同時受一個集中力及力矩作用時的極限點。

4.5 梁基座振動時具端點轉角之挫屈梁的動態行為

本節中考慮一如圖三十五所示

θ

_B

= 0

之挫屈梁，其基座的運動為一個 垂直方向的週期運動

y

_b

( t ) = y

₀

sin ω

_b

t

，其中

y

₀是振幅、

ω

_b是頻率、t 是時 間，此時挫屈梁相對於基座的運動和圖三(c)所示之挫屈梁(

θ

_B

= 0

時)受到 一 如 圖 二 十 二 所 示 之 均 佈 載 重

λ

(

t

) =

p

_eff sin

ω

_b

t

時 的 運 動 相 同 ， 其 中

2 0 b

eff

Ay

p

=

ρ ω

稱為等效外力，本節將探討不同的等效外力及基座振動頻率 對於圖三(c)所示之挫屈梁(

θ

_B

= 0

時)動態行為的影響。本節將先探討主共 振現象(primary resonance)及超諧共振現象(superharmonic resonance)，再探 討挫屈梁的跳躍現象(snap through)，並找出在不同基座振動頻率下，挫屈梁 產生跳躍現象所需的最小等效力，本節使用 Newmark 直接積分法，所有例 題的時間增量

∆ t

均為

5 × 10

⁻⁹

s

，由表二可知挫屈梁的第五個自然振動週期 約為

∆ t

的 900 倍，本文中曾測試過不同的

∆ t

，發現此

∆ t

得到的結果在各種 情況下都是準確的。由 4.3 節知道本研究考慮的挫屈梁的第一個振動頻率

25.80kHz

1

=

ω

對應的側向位移之振動模態是反對稱的，第二個振動頻率

44.26kHz

2

=

ω

對應的側向位移之振動模態是對稱的。因本節中考慮的等效

側向力為均佈力，故該負荷引起的側向振動應是對稱的，但文獻上有反對

稱側向振動的報告，所以本節中將加以探討。

4.5.1 小振幅振動的主共振現象

ω

_b

≈ ω

₂

由 4.4 節及表四可以知道，本挫屈梁受均佈負荷的第一個分歧點之負荷

參數

N m

L EI

_b

cr b

cr ¹ 4.887 10 ³ /

3

1 =

λ

= × −

λ

，由圖二十三中可以發現在

λ

<<

λ

_cr時，

負荷位移曲線幾乎為一直線，且位移很小，所以當基座振動的等效力

1 b cr

p

eff <<

λ

時，挫屈梁的振動應該接近線性振動的行為，所以本例題考慮等 效力

p

_eff =1×10⁻⁴

N

/

m

的基底振動之動態分析，來探討挫屈梁小振幅振動 的共振現象。本例題每一外力頻率分析了 25 個外力周期，並以 25 個外力 週期內 C 點的最大側向位移

v

_{c max}當作每個外力頻率的響應，本例題考慮的 基座振動頻率

ω

_b為13~49

kHz

，圖三十六為本例題所得到的頻率響應圖，

其中

V = v

_{c max}

/ h

，從圖三十六中可以看到基座振動頻率

ω

_b

≈ 43 . 6 kHz

時會 有一個主共振現象且振幅不大，由表二可以發現此振動頻率與本文及文獻[5]

得到的第二個線性自然振動頻率很接近，這結果應是合理的。

4.5.2 大振幅振動的主共振現象及跳躍現象(

ω

_b

≈ ω

₂)

本節中將探討

ω

_b接近ω₂時挫屈梁的大振幅振動的共振現象及跳躍現 象，本節中考慮四個不同大小的等效力：

p

_eff =6×10⁻⁴、

7 × 10

⁻⁴、

7 . 5 × 10

⁻⁴、

10

3

1 ×

⁻

N / m

。本節中每一個案的分析時間原則上為 25 個外力周期，但若

分析過程中發現 C 點的最大側向位移

v

_{c max}大於100 ，則將分析時間增加

h

到 30 個外力周期。分析過程中，若 C 點的最大側向位移

v

_{c max}大於202 之

h

時間總和超過三個外力周期，則判定結構已產生跳躍現象並停止該分析。

本節中稱在分析時間內 C 點的最大軸向位移

u

_cmax、最大側向位移

v

_{c max}及

本節中稱在分析時間內 C 點的最大軸向位移

u

_cmax、最大側向位移

v

_{c max}及

在文檔中 挫屈梁之靜態與動態分析 (頁 24-0)