梁基座振動時具端點轉角之挫屈梁的動態行為

本節中考慮一如圖三十五所示

θ

_B

= 0

之挫屈梁，其基座的運動為一個 垂直方向的週期運動

y

_b

( t ) = y

₀

sin ω

_b

t

，其中

y

₀是振幅、

ω

_b是頻率、t 是時 間，此時挫屈梁相對於基座的運動和圖三(c)所示之挫屈梁(

θ

_B

= 0

時)受到 一 如 圖 二 十 二 所 示 之 均 佈 載 重

λ

(

t

) =

p

_eff sin

ω

_b

t

時 的 運 動 相 同 ， 其 中

2 0 b

eff

Ay

p

=

ρ ω

稱為等效外力，本節將探討不同的等效外力及基座振動頻率 對於圖三(c)所示之挫屈梁(

θ

_B

= 0

時)動態行為的影響。本節將先探討主共 振現象(primary resonance)及超諧共振現象(superharmonic resonance)，再探 討挫屈梁的跳躍現象(snap through)，並找出在不同基座振動頻率下，挫屈梁 產生跳躍現象所需的最小等效力，本節使用 Newmark 直接積分法，所有例 題的時間增量

∆ t

均為

5 × 10

⁻⁹

s

，由表二可知挫屈梁的第五個自然振動週期 約為

∆ t

的 900 倍，本文中曾測試過不同的

∆ t

，發現此

∆ t

得到的結果在各種 情況下都是準確的。由 4.3 節知道本研究考慮的挫屈梁的第一個振動頻率

25.80kHz

1

=

ω

對應的側向位移之振動模態是反對稱的，第二個振動頻率

44.26kHz

2

=

ω

對應的側向位移之振動模態是對稱的。因本節中考慮的等效

側向力為均佈力，故該負荷引起的側向振動應是對稱的，但文獻上有反對

稱側向振動的報告，所以本節中將加以探討。

4.5.1 小振幅振動的主共振現象

ω

_b

≈ ω

₂

由 4.4 節及表四可以知道，本挫屈梁受均佈負荷的第一個分歧點之負荷

參數

N m

L EI

_b

cr b

cr ¹ 4.887 10 ³ /

3

1 =

λ

= × −

λ

，由圖二十三中可以發現在

λ

<<

λ

_cr時，

負荷位移曲線幾乎為一直線，且位移很小，所以當基座振動的等效力

1 b cr

p

eff <<

λ

時，挫屈梁的振動應該接近線性振動的行為，所以本例題考慮等 效力

p

_eff =1×10⁻⁴

N

/

m

的基底振動之動態分析，來探討挫屈梁小振幅振動 的共振現象。本例題每一外力頻率分析了 25 個外力周期，並以 25 個外力 週期內 C 點的最大側向位移

v

_{c max}當作每個外力頻率的響應，本例題考慮的 基座振動頻率

ω

_b為13~49

kHz

，圖三十六為本例題所得到的頻率響應圖，

其中

V = v

_{c max}

/ h

，從圖三十六中可以看到基座振動頻率

ω

_b

≈ 43 . 6 kHz

時會 有一個主共振現象且振幅不大，由表二可以發現此振動頻率與本文及文獻[5]

得到的第二個線性自然振動頻率很接近，這結果應是合理的。

4.5.2 大振幅振動的主共振現象及跳躍現象(

ω

_b

≈ ω

₂)

本節中將探討

ω

_b接近ω₂時挫屈梁的大振幅振動的共振現象及跳躍現 象，本節中考慮四個不同大小的等效力：

p

_eff =6×10⁻⁴、

7 × 10

⁻⁴、

7 . 5 × 10

⁻⁴、

10

3

1 ×

⁻

N / m

。本節中每一個案的分析時間原則上為 25 個外力周期，但若

分析過程中發現 C 點的最大側向位移

v

_{c max}大於100 ，則將分析時間增加

h

到 30 個外力周期。分析過程中，若 C 點的最大側向位移

v

_{c max}大於202 之

h

時間總和超過三個外力周期，則判定結構已產生跳躍現象並停止該分析。

本節中稱在分析時間內 C 點的最大軸向位移

u

_cmax、最大側向位移

v

_{c max}及 最大旋轉角度

θ

_{c max}為挫屈梁在該外力頻率的響應。表五、表六為 C 點位 移在不同等效力及頻率的無因次響應，其中U 、V 、

Θ

的定義如下:

h u

U =

_{c max}

/

V = v

_cmax

/ h

Θ = θ

_cmax

圖三十七為無因次側向位移的頻率響應，由圖三十七及表五、表六中可以 發現在基座振動頻率接近系統第二個自然振動頻率時，產生跳躍現象所需 的最小等效力

p

_eff =7×10⁻⁴

N

/

m

。當側向振動是對稱的，

Θ

=0，所以由

Θ

的大小應可以判斷側向振動不對稱的程度，由表五、表六中可發現在產生 跳躍現象時側向振動是不對稱的，在產生跳躍現象附近的

ω

_b亦會造成不對 稱的側向振動，其振幅有時並不是很大。

圖三十八為

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m

、

ω

_b

= 41 . 1 kHz C 點位移的歷時分析，其

中

τ = ω

_b

t

，從圖三十八中可以看出當

τ < 15

，C 點的軸向位移

u

_c及轉角

θ

_c幾 乎為零，這代表側向振動是接近對稱的，當

τ > 15

，C 點的軸向位移

u

_c及轉 角

θ

_c增加，代表側向振動不對稱的程度增加，圖三十九、四十分別為

m N

p

_eff =7.5×10⁻⁴ / 、

ω

_b

= 41 . 1 kHz

時，挫屈梁在第十及第二十一個外力周 期之側向位移分佈圖，從圖三十九中可以看到挫屈梁的側向振動確實是接

近對稱的振動，從圖四十中可以看到挫屈梁的側向振動確實是不對稱的振 動 ， 而 且 是 接 近 反 對 稱 的 振 動 ， 圖 四 十 一 為

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m

、

b

= 39 . 6 kHz

ω C 點的歷時分析，由圖四十一可以看出，當 τ

>15，挫屈梁有

不對稱的側向振動，當

τ

>23，挫屈梁產生跳躍現象，圖四十二、四十三分 別為

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m

、

ω

_b

= 39 . 6 kHz

第十五個及第二十五個外力周期之 側向位移分佈圖，從圖四十二、四十三可以看到看到挫屈梁的側向振動確 實是不對稱的振動，但亦不是接近反對稱的振動。

4.5.3 超諧共振現象( ₂ 2 1

ω

ω

_b ≈ )及跳躍現象 本節中將探討

ω

_b接近 ₂

1 ω2 時挫屈梁的大振幅振動的共振現象及跳躍現 象，本節中考慮六個不同大小的等效力：

p

_eff =1.5×10⁻³、

1 . 6 × 10

⁻³、

10

3

7 .

1 ×

⁻ 、

1 . 8 × 10

⁻³、

1 . 9 × 10

⁻³、

2 × 10

⁻³

N / m

，本節中分析過程及變數的 定義均與 4.5.2 節相同。表七、表八為 C 點位移在不同等效力及頻率的無因 次響應，圖四十四為無因次側向位移的頻率響應，由圖四十四及表七、表 八 中 可以 發現 在 ₂

2 1

ω

ω

_b ≈ 時 ， 產生 跳躍 現象 所 需的 最小 等效 力

p

_eff 為

m

N / 10 8 .

1 ×

⁻³ 。由表七、表八中可發現在產生跳躍現象時側向振動是不對 稱的，在產生跳躍現象附近的

ω

_b亦會造成不對稱的側向振動，其振幅有時 並不是很大。

圖四十五為

p

_eff =1.7×10⁻³

N

/

m

、

ω

_b

= 21 . 2 kHz C 點的歷時分析，由圖四十

五可以看出，當

τ

>10，挫屈梁有不對稱的側向振動，圖四十六、四十七分 別為

p

_eff =1.7×10⁻³

N

/

m

、

ω

_b

= 21 . 2 kHz

第十三個及第十五個外力周期之側 向位移分佈圖，從圖四十六、四十七可以看到看到挫屈梁的側向振動確實 是不對稱的振動，但不是很接近反對稱的振動。

圖四十八為

p

_eff =1.8×10⁻³

N

/

m

、

ω

_b

= 21 . 2 kHz C 點的歷時分析，由圖四十

八 可 以 看 出 ， 挫 屈 梁 有 跳 躍 現 象 ， 圖 四 十 九 、 五 十 分 別 為

m N

p

_eff =1.8×10⁻³ / 、

ω

_b

= 21 . 2 kHz

第十八個及第二十四個外力周期之側向 位移分佈圖，從圖四十九、五十可以看到看到挫屈梁的側向振動確實是不 對稱的振動，但不是很接近反對稱的振動。

4.5.4 超諧共振現象( ₂ 3 1

ω

ω

_b ≈ )及跳躍現象 本節中將探討

ω

_b接近 ₂

3

1

ω

時挫屈梁的大振幅振動的共振現象及跳躍現

象，本節中考慮三個不同大小的等效力：

p

_eff =2.5×10⁻³、

2 . 55 × 10

⁻³、

m

N / 10 6 .

2 ×

⁻³ ，本節中分析過程及變數的定義均與 4.5.2 節相同。表九為 C 點位移在不同等效力及頻率的無因次響應，圖五十一為無因次側向位移的

頻率響應，由圖五十一及表九中可以發現在 ₂

3 1

ω

ω

_b ≈ 時，產生跳躍現象所 需的最小等效力

p

_eff 為

2 . 55 × 10

⁻³

N / m

。由表九中可發現在產生跳躍現象時 側向振動是不對稱的，在產生跳躍現象附近的

ω

_b亦會造成不對稱的側向振 動，其振幅有時並不是很大。

圖五十二為

p

_eff =2.6×10⁻³

N

/

m

、

ω

_b

= 14 . 35 kHz C 點的歷時分析，由圖五

十二可以看出，當

τ

>12，挫屈梁有不對稱的側向振動，圖五十三、五十四 分別為

p

_eff =2.6×10⁻³

N

/

m

、

ω

_b

= 14 . 35 kHz

第二十一個及第二十六個外力 周期之側向位移分佈圖，從圖五十三、五十四可以看到看到挫屈梁的側向 振動確實是不對稱的振動，但不是很接近反對稱的振動。

4.5.5 阻尼對於跳躍現象的影響

從 4.5.2 及 4.5.3 中可得知在

ω

_b接近 ₂

21 ω 、等效力

p

_eff 為1.8×10⁻³

N / m

時，會有跳躍現象產生，而在

ω

_b接近ω₂、等效力

p

_eff 為

7 . 5 × 10

⁻⁴

N / m

亦會 有跳躍現象產生，本節將探討阻尼對上述兩種條件的影響，本節中考慮阻 尼係數

a

₁

= 50 sec

⁻¹，分析過程及變數的定義均與 4.5.2 節相同。表十為等效 力

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m

時 C 點位移在有阻尼與無阻尼情況下的頻率無因次 響應，圖五十五為無因次側向位移的頻率響應，從圖五十五及表十中可以 發現當等效力

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m

、

ω

_b

= 41 . 1 kHz

，在無阻尼情況下會有跳 躍 現 象 產 生 ， 而 有 阻 尼 的 情 況 則 不 會 產 生 跳 躍 現 象 。 圖 五 十 六 為

m N

p

_eff =7.5×10⁻⁴ /

ω

_b

= 39 . 6 kHz

有阻尼及無阻尼情況下的歷時分析比 較，從圖五十六中可以看到在加入阻尼後確實不會產生跳躍現象。圖五十 七為

p

_eff =7.5×10⁻⁴

N

/

m ω

_b

= 41 . 6 kHz

有阻尼及無阻尼的歷時分析比較，

由圖五十七中可發現在加入阻尼後，C 點的側向最大位移反而變的比較大，

代表在非線性振動中，無阻尼情況下的最大振幅未必比有阻尼情況下大。

圖五十八為

p

_eff =8.593×10⁻⁴

N

/

m

,

ω

_b

= 39 . 6 kHz C 點的歷時分析，從圖五

十八中可以發現有跳躍現象產生，代表即使在加入阻尼後，只要等效力的 大小足夠大，一樣會產生跳躍現象。

圖五十九及表十一為等效外力

p

_eff =1.8×10⁻³

N

/

m

時 C 點位移在有阻尼與 無 阻 尼 情 況 下 的 頻 率 無 因 次 響 應 ， 從 圖 五 十 九 可 以 發 現 當 等 效 力

m N

p

_eff =1.8×10⁻³ / 、

ω

_b

= 21 . 2 kHz

，在無阻尼情況下會有跳躍現象產生，

而有阻尼的情況則不會。圖六十為

p

_eff =2.343×10⁻³

N

/

m

,

ω

_b

= 21 . 2 kHz

時

C 點的歷時分析。

4.5.6 跳躍現象臨界點

本節將探討不同頻率下產生跳躍現象所需的最小等效外力，並與文獻[5]

做比較。本節中每一個案的分析時間原則上為 25 個外力周期，但若分析過 程中發現 C 點的最大側向位移

v

_{c max}大於

100 h

，則將分析時間增加到 30 個外力周期。分析過程中，若 C 點的最大側向位移

v

_{c max}大於

202 h

，則判 定結構已產生跳躍現象並停止該分析。

本節尋找產生跳躍現象所需最小等效力的流程如下:

1. 先給予一個初始的等效外力

p

_eff⁰ ，進行動態分析。

2. 判 斷

p

_eff =

p

_eff⁰ 時 是 反 產 生 跳 躍 現 象 ， 若

p

_eff⁰ 會 產 生 跳 躍 現 象 ， 則

在文檔中 挫屈梁之靜態與動態分析 (頁 53-60)