大綱

本論文結構如下，第一章為本論文的動機及一些相關的文獻探 討。第二章介紹相關基礎理論:相平面分析及本論文採用的控制方法-回授線性化。在第三章中，以相平面分析分析系統之穩定性，並提供 了車輛系統在不同重量、速度、初始條件(外擾)、路面摩擦力下，最 大安全輸入範圍的變化。第四章中，提供連續回授線性化控制器之數 學模型推導過程並將其改寫為離散回授線性化控制器。第五章中以數

3

值模擬驗證離散回授線性化控制器之控制效能。最後，在第六章中提 出本論文的結論及未來的可能改進方向。

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第 二 章 基礎理論介紹

本章對本論文中所用到的非線性系統穩定性分析方法:相平面分 析方法和輸入-狀態回授線性化控制方法等相關基礎理論加以介紹與 說明。首先在 2.1.1 節中介紹相平面分析的基礎原理，如相平面、相 位描繪、平衡點種類…等。在2.1.2 節中，附上相平面分析軟體--pplane7 的使用說明。最後，在 2.2 節中，我們對本論文所採用的控制方法:

輸入-狀態回授線性化，加以說明。

2.1 相平面分析

2.1.1 基礎原理介紹

相平面分析應用於狀態空間之穩定性分析上是非常有效的，可用 來分析具有外部輸入的非線性系統的暫態響應，或用來解初始值問 題，不過只限於在二階系統上使用。系統狀態變數的變化量可以依速 度(即狀態變數對時間的微分)的型式在名為相平面的圖上被畫出 來。狀態變數由初始狀態到最終狀態這中間在相平面圖上呈現的變化 量的曲線稱為軌跡。以幾個不同的輸入值或初始狀態重複的在同一相 平面上畫出依速度型式的系統狀態變數的變化量稱為相位描繪(phase portrait)。在相平面中，軌跡開始的點為初始狀態，其速度為初始狀 態對時間的微分。離開初始點後的軌跡代表系統對外部輸入的響應。

5

如果在相平面上的軌跡到達無限大，則系統為不穩定。反之，如果軌 跡到達某一平衡點，則系統為穩定。然而，當在一外部輸入的刺激過 後，軌跡以繞圈的方式繞著平衡點打轉則表示系統有極限圈的存在，

如下圖2.1 所示。

在相平面分析中，系統的特徵值與系統相位描繪圖呈現出的圖形 是很有關係的。假設一系統之方程式如下:

, y x

x&=− + (2.1a) ^y&=cx−y, (2.1b) 其特徵值λ為−1± c。當c的值改變，特徵值λ的特性亦因而變化。下 面將針對三種不同λ值，探討其特性。

1. 當c=1/4，特徵值λ =−1/2和−3/2，為相異負實數。圖 2.2(a)為系 統(2.1)式在不同初始狀態下得到的相位描繪圖。圖 2.2(a)中，

( )

^{x,y =(0,0)}為系統(2.1)式的唯一平衡點，所有的軌跡狀似集結在此

平衡點上，所以我們將此平衡點稱為結點。由於所有的軌跡最終 都是趨近此結點，因此將此結點稱為穩定的結點；反之，當特徵 值為相異正實數，軌跡最終都是原離此結點，因而稱此結點為不 穩定的結點。

2. 當c=4，特徵值λ =1和−3，為相異正負號。圖 2.2(b)為系統(2.1) 式在不同初始狀態下得到的相位描繪圖。圖2.2(b)中，

( )

^{x,y =(0,0)}為

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系統(2.1)式的唯一平衡點，由於平衡點附近軌跡形成的形狀狀似 馬鞍狀，因此將此平衡點稱為鞍點，除了軌跡方向朝相平衡點的 綠色直線之外，其餘軌跡皆遠離此一平衡點，所以鞍點為不穩定 的平衡點。

3. 當c=−9，特徵值λ =−1±3i，為共軛複數，實數部分為負實數。圖 2.2(c)為系統(2.1)式在不同初始狀態下得到的相位描繪圖。圖 2.2(c) 中，

( )

^{x,y =(0,0)}為系統(2.1)式的唯一平衡點，由於所有的軌跡以螺 旋狀螺旋進入此平衡點，因此我們將此平衡點稱為螺旋點。當所 有軌跡以螺旋進入螺旋點時，稱此螺旋點為穩定螺旋點；反之，

當共軛複數實數部分為正實數，所有軌跡以螺旋離開螺旋點，稱 此螺旋點為不穩定螺旋點。

2.1.2 相平面分析軟體--pplane7

pplane7[10]為GUI介面，即使不擅撰寫程式的人，也能輕易地 使用它來分析二階自主系統。本論文採用pplane7 作為相平面分析 的工具，以便於不擅撰寫程式的人，也能藉由本論文所介紹的穩 定性分析方法來對車輛系統之穩定性作分析。pplane7 取得方式為 網址http://math.rice.edu/_dfield/下載。操作方式為，首先將下載好 的pplane7 的資料夾加到matlab所搜尋的路徑中，然後在命令視窗 鍵入pplane7，即可呼叫出pplane7 setup的工作視窗如圖 2.3。將我

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們所要求的二階自主方程式鍵入the differential equations下方空 格，parameters or expressions右方空格可鍵入二階自主方程式中參 數的值，the display windows下方空格可提供我們設定觀看二階自 主系統軌跡的範圍。當一切都設定好後，按proceed即可畫出二階 自主系統軌跡，如圖 2.4 的pplane7 display視窗。當方程式要做修 正時，可直接在原方程式上修改，修改後再按proceed即可畫出修 改後方程式的軌跡。revert鍵提供我們在還沒執行proceed之前，可 回復到最初還沒做任何修正時的設定。

在 pplane7 display 視窗中，灰色箭頭為向量方向，在圖上任一 點單擊左鍵即出現該點的軌跡。下圖2.5 中藍線部分為我們在多個 點上單擊左鍵的軌跡，紅點的部分為平衡點。按下 pplane7 display 視窗上方工作列solutions 下的 find an equilibrium point 然後在任意 點單擊滑鼠左鍵，即可找出該點附近的平衡點。找出平衡點的同 時，出現該平衡點線性化後資訊的視窗 pplane7 equilibrium point data，視窗內標示了該平衡點的種類，也提供其賈可賓矩陣跟特徵 值和特徵向量，底下的display the linearization 可提供該平衡點線 性化後的軌跡。找出平衡點後，選擇pplane7 display 視窗上方工作 列solutions 下的 list computed equilibrium point，平衡點的類型跟 位置會呈現在原 matlab 的命令視窗中。當平衡點的性質為鞍點

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時，選擇上方工作列solutions 下的 plot stable and unstable orbits，

然後在該鞍點上單擊左鍵即可得到該鞍點的穩定跟不穩定流型。

上方工作列的 option 選項可讓我們自行設定解題器的類型如 ode45,ode23…，graph 選項提供我們觀察變數隨時間的變化。

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

圖2.1 系統存在極限圈的相位描繪圖

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-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

y

(a)特徵值為相同正負號實數

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

y

(b)特徵值為相異正負號實數

10

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

y

(c)特徵值為共軛複數

圖2.2 不同性質特徵值下的相位描繪圖

圖 2.3 pplane7 setup 視窗

Quit Revert Proceed

The display windows

The differential equations

Parameters or expressions

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圖2.4 pplane7 display 視窗

圖2.5 操作後的 pplane7 display 視窗

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2.2 輸入-狀態回授線性化(Input-state feedback linearization) 假設有一仿射-型式(affine-type)非線性系統如下:

^x&^{= f}

( ) ( )

^{x +g xu,} (2.2) 其 中 u∈ℜ 及 f :Dx →ℜⁿ 和 g:Dx →ℜ^n×p 在 Dx ⊂ℜⁿ 域 都 充 分 平 滑 (sufficiently smooth)。如果存在一個 diffeomorphism T:Dx →ℜⁿ使得

( )

x

13

利用(2.4)、(2.5a)、(2.5b)和(2.7)式，我們可得下式(2.8):

( ) ( )

14

( ) (

/

) ( )

^,

1 x g x x T

n ∂

= ∂

φ (2.10a)

( ) ( ) ( )

(

/

) ( )

^.

/

x g x T

x f x x T

n n

∂

∂

∂

− ∂

θ = (2.10b) 定義函式θ^~

( )

z 及φ^~

( )

z 如下:

( )

^z

(

^{T 1}

( )

^z

)

~ =θ −

θ ，^φ~

( )

^{z =φ}

(

^T−1

( )

^z

)

並代回(2.3)式，我們可將(2.3)式改寫如下:

^z&^{= Az+Bφ~−1}

( )

^z

[

^u−θ~

( )

^z

]

^. (2.11) 在(2.11)式中，選擇控制器輸出u為狀態回授控制，其控制律如下:

u=ψ~

( )

z =θ~

( ) ( )

z +φ~ z Kz, (2.12) 其中，K為常數增益。代入(2.12)式至(2.11)式可得:

z&=

(

A+BK

)

z. (2.13) 因此，經由(2.3)~(2.13)式的回授線性化程序，我們可將原本的非線性 系統(2.2)式轉變成一線性系統模型(2.13)式。

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第三章

車輛轉向系統橫向動力學模型與穩定度分析

在本章中，我們針對車輛轉向系統之橫向動力學模型分析其穩定 性，並探討在何種條件下，系統會發生側滑角與偏移率持續震盪或發 散的不穩定現象。3.1 節介紹本論文所採用的車輛橫向動力學模型 [11]。3.2 節中，我們先後對系統做線性近似及相平面分析，以探討系 統穩定性，並利用相平面分析探討一些參數對車輛轉向的影響。

3.1 車輛橫向動力學模型

本論文考慮一個典型的車輛轉向動力學數學模型[11]，其轉向動 力學方塊圖如圖 3.1 所示。在圖 3.1 中，v是縱向加速度，δf 為前輪 轉向角，β 是側滑角，γ 是偏移率，CG為車輛重心，Lf和L_r分別為 重心和前後輪軸的間距，m是車輛的重量，I_Z是 z 軸的搖擺力矩，Fyfl、

Fyfl、Fyfr、Fyrr分別為左前、左後、右前、右後輪轉向力;Fxfl、Fxfl、Fxfr、 Fxrr分別為左前、左後、右前、右後輪牽引力，Fyfl加Fyfr等於總前輪 轉向力Fyf;Fyrl加Fyrr等於總後輪轉向力Fyr;Fxfl加Fxfr等於總前輪牽引 力Fxf ;F_xrl加F_xrr等於總後輪牽引力F_xr。若忽略滾動動作，轉向動力學 方程式如下式(3.1)~(3.3):

m

(

v&−vβγ

)

=F_xf +F_xr −F_yf sinδ_f, (3.1) mv

(

β&+γ

)

=Fyf +Fyr −Fxf ^sinδf^, (3.2)

16

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是負數，Bf 、Cf 、B_r、C_r則皆為正數。

圖3.1 車輛轉向動力學方塊圖

圖3.2 等效轉向力特性圖 Fxfl

Fxrl

Fyrl

Fxrl

Fyrr

Fxrr

Fxfr

Fyfr

Lr Lf

Slip angleα_f,α_r(rad)

轉向力

F，yf

F(N) yr

Fyf (高摩擦力路面)

Fyr(高摩擦力路面)

Fyf (低摩擦力路面)

Fyr(低摩擦力路面)

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3.2 車輛橫向動力學穩定度分析

3.2.1 線性近似

依據2.1 節所述，首先考慮系統(3.4)-(3.5)式中

δ

f =

δ

f⁰的狀況。令

( )

^T

X⁰ = β⁰,γ⁰ 為系統(3.4)-(3.5)式的平衡點，將其代入系統(3.4)-(3.5)式，

可得系統平衡點條件，其結果如下：

( ) ( )

{

^{, , , ,}

}

^,

0= 1 F_yf β⁰ γ⁰ δ_f⁰ +F_yr β⁰ γ⁰ δ_f⁰ −γ⁰

mv

^{0 1}

{

f yf

(

^β0,γ0,δf⁰

)

r yr

(

^β0,γ0,δf⁰

) }

^cosβ0,

z

F L F

I L −

= (3.8)

其中，δ_f⁰、β⁰、γ⁰為δ_f 、β、γ 的平衡點。分析(3.8)式可得

^Fyf

(

β^0,γ^0,δf⁰

) (

+^Fyr β^0,γ^0,δf⁰

)

=γ^0mv, (3.9)

(

^{0, 0, 0}

)

⁻

(

^{0, 0, 0}

)

^{=0, 1 ≠0,}

z f

yr r f yf

fF L F I

L β γ δ β γ δ

(3.10) ^0.

, 1 0

cos ⁰ = ≠

Iz

β (3.11) 若cosβ⁰ =0，則 , 1,2,3,...

2

0 =nπ +π n=

β 。就實際車輛而言，平衡點β⁰

不可能在這麼大的角度，所以cosβ⁰ =0是現實上不可能達到的條件。

因此，平衡點^{X0 =}

(

^β0,γ0

)

應該只能滿足(3.9)和(3.10)這兩個條件。考 慮系統輸入狀況，將系統(3.4)-(3.5)式在平衡點δ_f⁰、β⁰、γ⁰做Taylor 展開式，我們可得一線性化結果如下:

19

20

經由(3.8)~(3.11)式推導出系統平衡點條件，(3.12)~(3.16)式推導 出線性化後的系統模型，接著我們將代入一些數值，模擬線性化後系 統跟真實系統的差異性。首先，假設

(

^δf^0,β0,γ0

)

=

(

0,0,0

)

，使得(3.7)式中 αf、α_r皆為零，同時Fyf、F_yr亦為零，所以

(

^δf^0,β0,γ0

)

=

(

0,0,0

)

符合(3.9)、

(3.10)式，為系統(3.4)-(3.5)在任意速度下平衡點之一。

在 忽 略 系 統 高 階 項O

( )

h 的 假 設 下，圖3.3及3.4分別為速度在

(

m s

)

v=20 / 、v=40

(

m/s

)

下，實際系統(3.4)-(3.5)式與近似系統(3.14)式 之 差 距 。 δf =0.0079

( )

^rad 、 δf =−0.00335

( )

^rad 分 別 為 實 際 系 統 在

(

m s

)

v=20 / 、v=40

(

m/s

)

速度下安全範圍內最大輸入值的一半。在這裡 安全範圍意謂，

( )

β,γ 最終將趨近一定值，不會呈現發散或震盪的現 象。由圖3.3及3.4可看出，以

(

^δf^0,β0,γ0

)

=

(

0,0,0

)

當平衡點近似出的線性 系統，當輸入為安全範圍內最大輸入值的一半以內時，實際系統與近 似系統的穩態誤差在2%（圖中以紅線標示）以內；當離安全範圍內 最大輸入值的一半愈遠時，誤差則逐漸增大。換句話說，當系統輸入 超出安全範圍內最大輸入值的一半時，系統的非線性特性將使得線性 化系統與原系統的差異愈來愈大。由於系統在操作點附近的極小變化 造成線性化系統與原系統產生極大的誤差，因此我們判定此線性化系 統無法充分近似原系統。在下面，我們將進一步判定系統是否為非線 性時變與其線性的部分是否為不穩定。

21

車輛系統(3.4)-(3.5)式為非線性非時變系統，而系統(3.14)式中^AX~ 則為系統(3.4)-(3.5)的線性部分，因此藉由分析(3.14)式中的系統矩陣

A，可判斷出系統線性部分的穩定度。下面，我們利用羅斯穩定準則 來分析此一線性系統平衡點之穩定度。

首先，找出系統矩陣^A的特徵方程式如下:

( )

0,

det A− Iλ = 0

4 det 2

3

1 =

−

−

λ λ

a a

a a

⇒λ²−

(

a₁+a₄

) (

λ+ a₁a₄ −a₂a₃

)

=0. (3.17) 藉由Routh-Hurwitz 穩定準則，我們可求得(3.17)式的羅斯表如表 3.1，由表中可得到以下判斷平衡點穩定度與特性的條件1~3[13]:

條件1. 當−

(

a1+a4

)

>0且a1a4− aa2 3 >0時，系統(3.4)-(3.5)式的平衡點X⁰

條件1. 當−

(

a1+a4

)

>0且a1a4− aa2 3 >0時，系統(3.4)-(3.5)式的平衡點X⁰

在文檔中 車輛橫向動力學分析及其控制器設計研究 (頁 11-0)