第五章 模擬與驗證
5.3 離散回授線性化控制器控制成效之數值模擬與探討
5.3.2 離散回授線性化控制器能否確保車輛轉向系統穩定性之數值模
模擬狀況8:在模擬狀況6及7中，以數值模擬驗證：在相同條件下，經 由在5.2節中已被驗證與系統連續模型相近的系統離散模型之狀態回 授所產生的離散回授線性化控制器輸出與連續回授線性化控制器相 近，且能使系統離散模型達到穩定。接著，我們利用離散回授線性化 控制器控制連續車輛轉向系統，設計架構如4.1節所述，以數值模擬 驗證其可行性。
(1) 設定參數為低摩擦力路面、
(
k1,k2) (
= −5,−2.5)
、低速(
v=10(
m/s) )
、輸 入超出最大安全轉向範圍(在此設定為δf =−0.0569( )
rad )、無初始狀 態，模擬結果如圖5.11 所示。(2) 設定參數為低摩擦力路面、
(
k1,k2) (
= −5,−2.5)
、高速(
v=40(
m/s) )
、輸 入超出最大安全轉向範圍(在此設定為δf =−0.0068( )
rad )、無初始狀 態，模擬結果如圖5.12 所示。59
模擬狀況 9:由模擬狀況 8 的結果得知，我們所設計的數位回授線性 化控制器無法達到我們所想要的控制結果。以下再進一步縮小取樣時 間，比較是否可達到我們所想要的連續回授線性化控制器的控制效 果。模擬結果如圖5.13 及 5.14 所示
模擬狀況 10:在第四章中，經由羅斯穩定法則判定出當控制增益K值 任一為正時，系統將不穩定，下面以數值模擬驗證在車輛轉向系統之 離散控制架構下，K值為正是否將導致系統不穩定。
(1) 設定參數為低摩擦力路面、低速
(
v=10(
m/s) )
、δf =−0.0568( )
rad 、無 初始狀態，以四組K值:(
k1,k2) (
= 5,−2.5)
、(
k1,k2) (
= −5,2.5)
、(
k1,k2) (
= 5,2.5)
、(
k1,k2) (
= −5,−2.5)
作比較，驗證在車輛轉向系統之離散控制架構下，當K值任一為正時，系統將不穩定的論點後，模擬結果如 圖5.15。
模擬狀況 8 之模擬結果如圖 5.11 及 5.12 所示。圖 5.11 為低速
( )
(
v=10 m/s)
下的模擬結果，圖5.12 為高速(
v=40(
m/s) )
下的模擬結果，其中紅色線部分為加了連續回授線性化控制器的車輛轉向系統的狀 態，藍色線部分為加了離散回授線性化控制器的車輛轉向系統的狀 態。由圖可知，在低速
(
v=10m/s)
下，離散回授線性化控制器與我們 所想要的連續回授線性化控制器的控制效果產生了些微誤差，無法準 確的收斂到我們所想要的鞍結點分歧點的位置。同樣地，在高速60
(
v=40m/s)
下，加了離散回授線性化控制器後，系統雖然會收斂，可是無法收斂到我們所想要的鞍結點分歧點的位置，且與低速下的控制 效果比較，顯得更差。
在模擬狀況 9 中，我們更進一步地將取樣時間縮小到
s
Ts =0.00001 ，圖5.13 及 5.14 為在高低速下之模擬結果，圖中紅色線
為連續控制器對系統連續模型的控制效果，紫色線為取樣時間為
s
Ts =0.01 下離散控制器對系統連續模型的控制效果，離散藍色線為取
樣時間為Ts =0.00001s下離散控制器對系統連續模型的控制效果，圖
5.13 為低速下的模擬結果。由圖可知，在取樣時間極小時(在此設定
為Ts =0.00001s)，藍色線幾乎與紅色線重疊，也就是在低速，取樣時
間極小下，離散控制器可以達到我們所想要的控制效果，而由圖5.14 可看出，藍色線在15s 前與紅色線幾乎重疊，而在 15s 後，則偏離了 紅色線，也就是在15 秒後，無法達到我們所要的控制，所以在高速 下，取樣時間極小時，雖然一開始離散控制器可以達到我們所想要的 控制效果，在經過一小段時間後，控制器無法將狀態維持在我們所要 的位置。
模擬狀況10 之模擬結果如圖 5.15 所示。由圖可知只有在
(
k1,k2) (
= −5,−2.5)
這組控制增益下系統才會穩定，其餘皆不穩定，因此 數值模擬的結果驗證了在車輛轉向系統之離散控制架構下，當K值任61
一為正時，系統將不穩定的論點。
圖5.8 模擬狀況 6(1)系統連續、離散模型狀態及控制器輸出比較圖
圖5.9 模擬狀況 6(2)系統連續、離散模型狀態及控制器輸出比較圖
β
γ
u
β
γ
u
degree(rad)
t(s)
t(s)
degree(rad)
62
degree(rad)
t(s) t(s)
degree(rad)
63
圖5.11 低速
(
v=10(
m/s) )
下離散回授線性化控制器對連續模型之控制效能圖5.12 高速
(
v=40(
m/s) )
下離散回授線性化控制器對連續模型之控制效能β
γ
β
γ
degree(rad) degree(rad)
t(s) t(s)
64
圖5.13 Ts =0.00001s，低速
(
v=10(
m/s) )
下離散回授線性化控制器對連 續模型之控制效能圖5.14 Ts =0.00001s，高速
(
v=40(
m/s) )
下離散回授線性化控制器對連 續模型之控制效能degree(rad) β
γ
t(s)
degree(rad)
β
γ
t(s)
65
圖5.15 控制增益K任一為正值對系統穩定性之影響 t(s)
degree(rad)
β
γ
66
第六章
結論與未來改進
本論文以相平面分析方法來分析一車輛轉向系統動力學模型之 穩定性，成功解釋當系統由穩定變成不穩定時，在相平面上所發生的 鞍結點分歧現象。另外，本文嘗試以歐拉前進時間差分法改寫連續回 授線性化控制器，並將所求得之離散回授線性化控制器應用於連續車 輛轉向系統。最後，以廣泛數值模擬驗證本文提出結果之有效性。
回顧本論文內容，首先在第二章針對所用到的一些基本相關理論 進行介紹，介紹相平面分析方法之基本概念及其分析軟體之使用，然 後是介紹本論文中所採用的回授線性化控制方法。接著，在第三章針 對車輛的動力學模型進行穩定性分析，由分析相平面過程中發現，車 輛打滑現象是由於當轉向角度超出最大安全轉向範圍時，車輛系統發 生了鞍結點分歧現象，造成系統無一穩定的平衡點，因而導致系統發 生不穩定現象。在第四章中，我們介紹參考文獻[7]中所提出的回授 線性化控制方法，來解決上述系統不穩定現象，數值模擬顯示回授線 性化設計方法可以將鞍結點分歧點變成穩定的平衡點，消除或延遲了 鞍結點分歧現象發生。另外在本章中，我們嘗試將車輛系統模型與回 授線性化控制器以歐拉前進、歐拉後退、歐拉梯形時間差分法離散
67
化，並選擇歐拉前進時間差分法作為最後離散模型之用。此一推導出 之離散控制結果有助於將回授線性化控制器實際運用於車輛數位控 制之用。第五章數值模擬結果顯示，離散回授線性化控制器在低速及 極小的取樣時間下，可以達到我們想要的控制需求；而在高速及較大 的取樣時間下，則無法達到我們想要的控制目的。
由於研究時間有限，本論文尚有許多欠完備之處，以下提供三點 做為未來改進及研究方向之參考:
1. 本論文所採用以歐拉前進時間差分法所推導出之車輛轉向系統離 散模型，其與連續模型間的誤差取決於取樣時間的大小，這是歐 拉前進時間差分法本身最大的缺點。所以，後續找出一個可兼顧 離散化後與連續模型間誤差小且較不受取樣時間影響的離散方 法，將是未來改進本文之重要方向之一。
2. 本論文所提出之車輛轉向系統離散控制架構為一開迴路架構，其 離散控制器是透過系統離散模型狀態回授產生輸出，並未與系統 連續模型狀態產生關聯。因此，當離散模型與連續模型狀態差距 過大時，離散控制器產生的輸出將無法達到我們想要的控制效 果。在後續研究上，我們可朝向修改此一架構，使離散控制器能 直接透過連續模型狀態取樣，來產生較強健之控制輸出。此種閉 迴路架構應可避免離散模型與連續模型狀態差距過大時，離散控
68
制器產生的輸出無法確保連續時間系統穩定性的問題。
3. 回授線性化控制器的控制增益K值影響控制效果甚巨，在本論文 中只提出K值不能為正值，否則會造成系統不穩定的觀點，並未 提出將K值最佳化的方法。未來，可利用一些參數最佳化的設計 方法，來進行最佳K值的選擇，以強化控制效能。
69
參考文獻
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The paper is also (in revision) submitted to IEEE Trans. Intelligent Transportation Systems, July 2006.
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70
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in SICE-ICASE International Joint Conference 2006(SICE-ICCAS 2006), Oct. 18-21, pp. 4937-4942, 2006.
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71
sin cos
~
72
附錄 B 低摩擦力路面之穩定平衡點與鞍點 之詳細數據表
表B.1 低摩擦力路面之穩定平衡點與鞍點之詳細數據表 V=10
V=15
ue Spiral or nodal sink Saddle point1 Saddle point2 0 0.0000 0.0000 Spiral sink. 0.0677 -0.2242 -0.0677 0.2242 -0.01 0.0004 -0.0356 Spiral sink. 0.0593 -0.2289 -0.0761 0.2196 -0.02 0.0009 -0.0714 Spiral sink. 0.0510 -0.2337 -0.0847 0.2153 -0.03 0.0015 -0.1075 Spiral sink. 0.0426 -0.2383 -0.0934 0.2114 -0.04 0.0026 -0.1446 Spiral sink. 0.0340 -0.2419 -0.1021 0.2077 -0.05 0.0049 -0.1846 Nodal sink. 0.0242 -0.2426 -0.1110 0.2044 -0.051 0.0053 -0.1890 Nodal sink. 0.0231 -0.2422 -0.1119 0.2041 -0.052 0.0057 -0.1936 Nodal sink. 0.0219 -0.2417 -0.1128 0.2037 -0.053 0.0063 -0.1984 Nodal sink. 0.0206 -0.2410 -0.1137 0.2034 -0.054 0.0069 -0.2036 Nodal sink. 0.0192 -0.2399 -0.1146 0.2031 -0.055 0.0078 -0.2092 Nodal sink. 0.0177 -0.2383 -0.1155 0.2028 -0.056 0.0090 -0.2160 Nodal sink. 0.0157 -0.2356 -0.1164 0.2025 -0.0561 0.0092 -0.2168 Nodal sink. 0.0155 -0.2352 -0.1165 0.2025 -0.0562 0.0094 -0.2176 Nodal sink. 0.0152 -0.2347 -0.1166 0.2024 -0.0563 0.0096 -0.2185 Nodal sink. 0.0149 -0.2342 -0.1167 0.2024 -0.0564 0.0098 -0.2195 Nodal sink. 0.0147 -0.2337 -0.1168 0.2024 -0.0565 0.0100 -0.2205 Nodal sink. 0.0143 -0.2331 -0.1169 0.2024 -0.0566 0.0103 -0.2217 Nodal sink. 0.0140 -0.2323 -0.1170 0.2023 -0.0567 0.0107 -0.2231 Nodal sink. 0.0135 -0.2313 -0.1170 0.2023 -0.0568 0.0112 -0.2249 Nodal sink. 0.0129 -0.2298 -0.1171 0.2023 -0.0569 0.012 -0.2275 Bifurcation-p
-0.057 -0.1173 0.2022
-0.058 -0.1182 0.2019
-0.059 -0.1191 0.2016
-0.06 -0.1200 0.2013
ue Spiral or nodal sink Saddle point1 Saddle point2 0 0.0000 0.0000 Spiral sink. 0.0572 -0.1597 -0.0572 0.1597
73
V=20
-0.01 0.0060 -0.0472 Spiral sink. 0.0481 -0.1618 -0.0658 0.1566 -0.02 0.0131 -0.0969 Spiral sink. 0.0375 -0.1604 -0.0744 0.1532 -0.021 0.0140 -0.1023 Spiral sink. 0.0362 -0.1597 -0.0752 0.1529 -0.022 0.0151 -0.1080 Spiral sink. 0.0347 -0.1588 -0.0761 0.1525 -0.023 0.0162 -0.1140 Nodal sink. 0.0332 -0.1575 -0.0769 0.1522 -0.024 0.0176 -0.1205 Nodal sink. 0.0314 -0.1557 -0.0778 0.1518 -0.025 0.0194 -0.1281 Nodal sink. 0.0292 -0.1528 -0.0786 0.1515 -0.0259 0.0225 -0.1384 Nodal sink. 0.0258 -0.1467 -0.0794 0.1512 -0.0260 0.0241 -0.1428 Bifurcation-p
-0.0261 -0.0796 0.1511
-0.027 -0.0803 0.1508
-0.03 -0.0829 0.1498
-0.04 -0.0916 0.1465
-0.05 -0.1004 0.1435
-0.06 -0.1092 0.1407
ue Spiral or nodal sink Saddle point1 Saddle point2 0 0.0000 0.0000 Spiral sink. 0.0525 -0.1215 -0.0525 0.1215 -0.001 0.0012 -0.0054 Spiral sink. 0.0515 -0.1215 -0.0535 0.1214 -0.002 0.0023 -0.0107 Spiral sink. 0.0505 -0.1215 -0.0544 0.1214 -0.003 0.0035 -0.0161 Spiral sink. 0.0495 -0.1215 -0.0554 0.1213 -0.004 0.0047 -0.0215 Spiral sink. 0.0484 -0.1214 -0.0563 0.1211 -0.005 0.0059 -0.0269 Spiral sink. 0.0473 -0.1212 -0.0572 0.1210 -0.006 0.0071 -0.0324 Spiral sink. 0.0462 -0.1210 -0.0581 0.1209 -0.007 0.0083 -0.0378 Spiral sink. 0.0451 -0.1208 -0.0591 0.1207 -0.008 0.0096 -0.0434 Spiral sink. 0.0439 -0.1204 -0.0600 0.1205 -0.009 0.0109 -0.0490 Spiral sink. 0.0427 -0.1200 -0.0609 0.1203 -0.01 0.0122 -0.0547 Spiral sink. 0.0414 -0.1194 -0.0618 0.1201 -0.011 0.0137 -0.0606 Spiral sink. 0.0399 -0.1186 -0.0626 0.1199 -0.012 0.0152 -0.0666 Spiral sink. 0.0384 -0.1176 -0.0635 0.1197 -0.013 0.0169 -0.0730 Spiral sink. 0.0367 -0.1162 -0.0644 0.1195 -0.014 0.0189 -0.0800 Spiral sink. 0.0347 -0.1143 -0.0653 0.1193 -0.015 0.0215 -0.0882 Nodal sink. 0.0321 -0.1110 -0.0662 0.1190 -0.0151 0.0218 -0.0892 Nodal sink. 0.0317 -0.1106 -0.0663 0.1190 -0.0152 0.0221 -0.0902 Nodal sink. 0.0314 -0.1101 -0.0663 0.1190 -0.0153 0.0225 -0.0913 Nodal sink. 0.0310 -0.1095 -0.0664 0.1190
74
V=25
ue Spiral or nodal sink Saddle point1 Saddle point2
0 0.0000 0.0000 Spiral sink. 0.0497 -0.0969 -0.0497 0.0969 -0.001 0.0017 -0.0057 Spiral sink. 0.0486 -0.0967 -0.0508 0.0970 -0.002 0.0034 -0.0113 Spiral sink. 0.0474 -0.0965 -0.0518 0.0971 -0.003 0.0052 -0.0170 Spiral sink. 0.0462 -0.0962 -0.0529 0.0972 -0.004 0.0069 -0.0228 Spiral sink. 0.0450 -0.0958 -0.0539 0.0972 -0.005 0.0087 -0.0285 Spiral sink. 0.0436 -0.0953 -0.0549 0.0972 -0.006 0.0105 -0.0344 Spiral sink. 0.0422 -0.0947 -0.0558 0.0972 -0.007 0.0124 -0.0404 Spiral sink. 0.0407 -0.0938 -0.0568 0.0971 -0.008 0.0145 -0.0467 Spiral sink. 0.0390 -0.0927 -0.0578 0.0970 -0.009 0.0167 -0.0533 Spiral sink. 0.0371 -0.0912 -0.0587 0.0970 -0.01 0.0194 -0.0607 Spiral sink. 0.0347 -0.0889 -0.0596 0.0969 -0.011 0.0240 -0.0716 Nodal sink. 0.0310 -0.0843 -0.0606 0.0967 -0.0111 0.0240 -0.0716 Nodal sink. 0.0305 -0.0835 -0.0607 0.0967 -0.0112 0.0247 -0.0731 Nodal sink. 0.0297 -0.0824 -0.0608 0.0967 -0.0113 0.0258 -0.0753 Nodal sink. 0.0287 -0.0807 -0.0608 0.0967 -0.0114 0.0272 -0.0781 Bifurcation-p
-0.0115 -0.0610 0.0967
-0.012 -0.0615 0.0966
-0.013 -0.0624 0.0965
-0.014 -0.0633 0.0963
-0.015 -0.0642 0.0962
-0.02 -0.0686 0.0953
-0.0154 0.0229 -0.0924 Nodal sink. 0.0306 -0.1088 -0.0665 0.1190 -0.0155 0.0234 -0.0937 Nodal sink. 0.0301 -0.1081 -0.0666 0.1189 -0.0156 0.0239 -0.0951 Nodal sink. 0.0296 -0.1072 -0.0667 0.1189 -0.0157 0.0246 -0.0968 Nodal sink. 0.0289 -0.1060 -0.0668 0.1189 -0.0158 0.0267 -0.1017 Bifurcation-p
-0.0159 -0.0670 0.1188
-0.02 -0.0705 0.1178
-0.03 -0.0792 0.1152
-0.04 -0.0878 0.1126
-0.05 -0.0966 0.1101
-0.06 -0.1054 0.1077
75
-0.03 -0.0774 0.0933
-0.04 -0.0860 0.0911
-0.05 -0.0948 0.0890
-0.06 -0.1036 0.0871
V=30
V=35
ue Spiral or nodal sink Saddle point1 Saddle point2
0 0.0000 0.0000 Spiral sink. 0.0465 -0.0682 -0.0465 0.0682 ue Spiral or nodal sink Saddle point1 Saddle point2
0 0.0000 0.0000 Spiral sink. 0.0478 -0.0802 -0.0478 0.0802 -0.001 0.0022 -0.0057 Spiral sink. 0.0466 -0.0799 -0.0490 0.0804 -0.002 0.0044 -0.0114 Spiral sink. 0.0453 -0.0795 -0.0502 0.0806 -0.003 0.0066 -0.0172 Spiral sink. 0.0439 -0.0789 -0.0513 0.0808 -0.004 0.0088 -0.0230 Spiral sink. 0.0424 -0.0783 -0.0524 0.0809 -0.005 0.0112 -0.0290 Spiral sink. 0.0408 -0.0774 -0.0534 0.0809 -0.006 0.0137 -0.0352 Spiral sink. 0.0390 -0.0763 -0.0544 0.0810 -0.007 0.0164 -0.0418 Spiral sink. 0.0368 -0.0747 -0.0555 0.0810 -0.008 0.0198 -0.0493 Spiral sink. 0.0340 -0.0720 -0.0564 0.0810 -0.0081 0.0202 -0.0501 Spiral sink. 0.0337 -0.0717 -0.0565 0.0810 -0.0082 0.0206 -0.0510 Spiral sink. 0.0333 -0.0713 -0.0566 0.0810 -0.0083 0.0211 -0.0519 Spiral sink. 0.0329 -0.0709 -0.0567 0.0810 -0.0084 0.0215 -0.0529 Spiral sink. 0.0325 -0.0704 -0.0568 0.0810 -0.0085 0.0220 -0.0539 Spiral sink. 0.0320 -0.0698 -0.0569 0.0810 -0.0086 0.0226 -0.0550 Spiral sink. 0.0315 -0.0692 -0.0570 0.0810 -0.0087 0.0232 -0.0562 Nodal sink 0.0309 -0.0685 -0.0571 0.0810 -0.0088 0.0240 -0.0576 Nodal sink 0.0303 -0.0676 -0.0572 0.0810 -0.0089 0.0249 -0.0593 Nodal sink 0.0294 -0.0664 -0.0573 0.0810 -0.0090 0.0272 -0.0631 Bifurcation-p
-0.0091 -0.0575 0.0810
-0.01 -0.0584 0.0809
-0.02 -0.0676 0.0799
-0.03 -0.0764 0.0782
-0.04 -0.0851 0.0764
-0.05 -0.0938 0.0747
-0.06 -0.1026 0.0730
76
-0.001 0.0026 -0.0056 Spiral sink. 0.0452 -0.0678 -0.0478 0.0685 -0.002 0.0052 -0.0112 Spiral sink. 0.0437 -0.0673 -0.0490 0.0688 -0.003 0.0078 -0.0169 Spiral sink. 0.0422 -0.0666 -0.0502 0.0690 -0.004 0.0105 -0.0227 Spiral sink. 0.0404 -0.0657 -0.0513 0.0691 -0.005 0.0134 -0.0288 Spiral sink. 0.0384 -0.0645 -0.0524 0.0693 -0.006 0.0167 -0.0353 Spiral sink. 0.0360 -0.0628 -0.0535 0.0693 -0.007 0.0208 -0.0431 Spiral sink. 0.0326 -0.0597 -0.0546 0.0694 -0.0071 0.0214 -0.0440 Spiral sink. 0.0322 -0.0592 -0.0547 0.0694 -0.0072 0.0220 -0.0450 Spiral sink. 0.0317 -0.0586 -0.0548 0.0694 -0.0073 0.0226 -0.0461 Spiral sink. 0.0311 -0.0580 -0.0549 0.0694 -0.0074 0.0234 -0.0474 Spiral sink. 0.0304 -0.0572 -0.0550 0.0694 -0.0075 0.0243 -0.0489 Nodal sink. 0.0295 -0.0561 -0.0551 0.0694 -0.00759 0.0256 -0.0509 Nodal sink. 0.0282 -0.0546 -0.0552 0.0694 -0.0076 0.0270 -0.0528 Bifurcation-p
-0.0077 -0.0553 0.0694
-0.01 -0.0576 0.0694
-0.02 -0.0669 0.0687
-0.03 -0.0758 0.0673
-0.04 -0.0845 0.0658
-0.05 -0.0932 0.0642
-0.06 -0.1020 0.0628
V=40
ue Spiral or nodal sink Saddle point1 Saddle point2
0 0.0000 0.0000 Spiral sink. 0.0456 -0.0593 -0.0456 0.0593 -0.001 0.0029 -0.0054 Spiral sink. 0.0441 -0.0588 -0.0469 0.0596 -0.002 0.0058 -0.0108 Spiral sink. 0.0426 -0.0582 -0.0482 0.0599 -0.003 0.0088 -0.0164 Spiral sink. 0.0408 -0.0574 -0.0494 0.0602 -0.004 0.0119 -0.0221 Spiral sink. 0.0388 -0.0564 -0.0506 0.0603 -0.005 0.0154 -0.0282 Spiral sink. 0.0364 -0.0548 -0.0518 0.0605 -0.006 0.0196 -0.0352 Spiral sink. 0.0332 -0.0522 -0.0529 0.0606 -0.0061 0.0202 -0.0361 Spiral sink. 0.0327 -0.0518 -0.0530 0.0606 -0.0062 0.0207 -0.0369 Spiral sink. 0.0323 -0.0514 -0.0531 0.0606 -0.0063 0.0213 -0.0379 Spiral sink. 0.0317 -0.0509 -0.0532 0.0606 -0.0064 0.0220 -0.0389 Spiral sink. 0.0312 -0.0503 -0.0533 0.0606 -0.0065 0.0228 -0.0400 Spiral sink. 0.0305 -0.0496 -0.0534 0.0606 -0.0066 0.0237 -0.0414 Spiral sink. 0.0296 -0.0487 -0.0535 0.0606
77
-0.00669 0.0249 -0.0430 Spiral sink. 0.0285 -0.0475 -0.0536 0.0606 -0.0067 0.0267 -0.0454 Bifurcation-p
-0.0068 -0.0537 0.0606
-0.01 -0.0570 0.0608
-0.02 -0.0665 0.0602
-0.03 -0.0754 0.0590
-0.04 -0.0841 0.0577
-0.05 -0.0928 0.0564
-0.06 -0.1017 0.0551
78
附錄 C 最大安全轉向值判定程式
clear all;
format long;
syms Bf Cf Df Ef Br Cr Dr Er syms m Iz lf lr v
syms x1e x2e ue k1 k2
%----low friction Bf=11.275; Br=18.631;
Cf=1.56; Cr=1.56;
Df=-2574.7; Dr=-1749.7;
Ef=-1.999; Er=-1.7908;
%----parameters of vehicle--- m=1500; Iz=3000; lf=1.2; lr=1.3; v=25;
for i=1:1000;
ue=0-i*0.0001 ;
%--initial settings---tspan=500;
x0=[0,0];
[t02,x02,s]=ode45('dd',tspan,x0);
e1(i+1)=x02(500,1);
e2(i+1)=x02(500,2);
bp=(e1(i+1)-e1(i))/e1(i)
plot(t02,x02(:,1),'k'), hold on;
xlabel('t'),ylabel('\beta (rad)'), hold on;
if ((bp>2)&(bp~=inf))||(e1(i+1)<e1(i)) break
end end
limit=-(i-1)*0.0001
%---simulation plot---plot(t02,x02(:,1),'k'), hold on;
xlabel('t'),ylabel('\beta (rad)'), hold on;