相平面穩定度分析之數值模擬

1 =

−

−

λ λ

a a

a a

⇒λ²−

(

a₁+a₄

) (

λ+ a₁a₄ −a₂a₃

)

=0. (3.17) 藉由Routh-Hurwitz 穩定準則，我們可求得(3.17)式的羅斯表如表 3.1，由表中可得到以下判斷平衡點穩定度與特性的條件1~3[13]:

條件1. 當−

(

a1+a4

)

>0且a1a4− aa2 3 >0時，系統(3.4)-(3.5)式的平衡點X⁰ 為穩定，反之當−

(

a1+a4

)

<0，a1a4− aa2 3 >0時，系統兩個根都 落在右半平面，系統(3.4)-(3.5)式的平衡點X⁰則為不穩定。

條件2. 當−

(

a1+a4

)

<0，a1a4 − aa2 3 <0或−

(

a1 +a4

)

>0，a1a4 − aa2 3 <0時，

系統有一個根落在右半平面，則此點為一鞍點，系統(3.4)-(3.5) 式的平衡點X⁰將為不穩定。

條件3. 當a1a4 − aa2 3 =0時，系統存在鞍結點。

3.2.2 相平面穩定度分析之數值模擬

由於本論文考慮之車輛系統模型為二階非線性系統，以下將透過 相平面分析（以數值模擬的方式），進行系統平衡點穩定度的分析，

22

並研究在一些不同的狀況下(如速度不同、車重不同…)，系統平衡點 及最大安全轉向範圍的變化。這裡的最大安全轉向範圍指的是在 pplane7 下，輸入(轉向角)數值逐漸增加（增加到最大正數值或是遞 減至最小負數值），仍不致造成系統在pplane7 上找不到穩定平衡點 之所有轉向角輸入所含括的範圍。

(1)簡單案例模擬

回顧2.1.2 節中對 pplane7 的使用說明，以下將使用 pplane7 軟體 針對系統(3.4)-(3.5)做相平面分析，模擬使用的參數如表 3.2。當系統 (3.4)-(3.5)在速度v=25

( )

m/s ，輸入δ_f =0下，透過 pplane7 得到的相位 描繪圖如圖3.5 所示，其中座標(x1,x2)=

( )

β,γ 。我們將(x1,x2)範圍限 制在(x1,x2)=(1,1)內，可找出系統有三組平衡點:a(0.000, 0.000)、

b(-0.0497, 0.0969)、c(0.0497, -0.0969)，其中 a 點稱為 Spiral sink，b 及c 點為 Saddle point。下面，我們將針對 a、b、c 三點穩定性做探討。

首先，我們先分析系統在a 點上的穩定性。以 a 點為平衡點所求 得之系統(3.4)-(3.5)特徵如表 3.3 中所示，其中系統在 a 點上特徵值為 複數特徵值，其實數部分為負數，所以a 點為穩定螺旋點。在 a 點附 近只要不接近b、c 點且落入 b、c 點穩定流型內，系統的解將趨近 a 點。

其次，我們分析系統在b 及 c 點上的穩定性。由於 b 及 c 點的特

23

徵值為相異符號的實數，所以b 及 c 點為鞍點，以此為平衡點所求得 線性化系統之相位描繪圖如圖3.6(a)、(b)所示。從圖中可清楚的看出，

只有在x2=[(-0.95603)/(-0.96161)]x1 這條線上，系統的解才會趨近鞍 點，反之，不在線上的部分則為無界。因此，我們可得知b 及 c 點為 鞍點且其特性為不穩定。

最後，我們撰寫程式(詳見附錄C)來找出系統最大安全轉向範 圍，由程式判定出在v=25

( )

m/s 下，當輸入超出−0.0113

( )

rad 系統將不穩 定(系統響應如圖 3.7)。接著，我們以相平面分析軟體分析：當輸入 為−0.0113

( )

rad 及−0.0114

( )

rad 時，系統在相平面上有何變化？模擬結果 如圖3.8。由圖中可看出，當輸入為−0.0114

( )

rad 時，系統的穩定結點 消失，系統呈現不穩定現象。另外，藉由觀察輸入從−0.0113

( )

rad 遞減 至−0.0114

( )

rad 時，系統在相平面上平衡點位置的變化，可找出當輸入 為-0.01135068635

( )

rad 時，可在相平面上找出一無法被辨識為何種特性 的平衡點(如圖3.9)。觀察該點的 Jacobin 矩陣(如圖 3.10)，其符合 3.2.1 中條件 3，因而此點稱為鞍結點分歧點(saddle-node bifurcation point)。利用圖 3.9 及鞍結點分歧點之對稱特性，我們可求得文獻[12]

中系統在速度25

(

m /s

)

下的分歧圖(bifurcation-diagram)（如圖 3.11 所 示），其中藍色實線為穩定的結點，紅色虛線為鞍點，黑色圓圈則為 鞍結點分歧點。

24

(2)速度對車輛行駛之穩定度分析

本小節利用前述鞍結點分歧點求取方法及表3.2 的低摩擦力路面 參數，進行速度對車輛行駛穩定度分析之數值模擬。在速度為15、

20、25、30、35、40

(

m /s

)

下可繪製出系統的分歧圖如圖3.12 所示，

轉向角的穩定範圍(表 3.4)如圖 3.13 所示。在圖 3.12 中，藍色實線為 穩定平衡點，紅色虛線為鞍點，黑色圓圈為鞍結點分歧點。在圖3.13 中，藍色實線所包覆δ_f的範圍(包含藍色實線)為轉向角的穩定範圍。

由圖3.12 及 3.13 可看出，當速度愈快時，車輛轉向系統愈早發生分 歧現象，使得系統的穩定結點愈早消失，導致轉向角的穩定範圍愈小。

(3) 高低摩擦力路面對車輛行駛之穩定度分析

在速度為25

(

m /s

)

下，車輛行駛在高低摩擦力路面時，車輛轉向 系統的分歧圖如圖 3.14 所示，其中黑色實線為系統在高摩擦力路面 所產生穩定的平衡點，黃色虛線為系統在高摩擦力路面所產生的鞍 點，藍色實線為系統在低摩擦力路面所產生穩定的平衡點，紅色虛 線為系統在低摩擦力路面所產生的鞍點，黑色圓圈為鞍結點分歧 點。由此圖可知，在同樣的速度下，車輛轉向系統在低摩擦力路面 比在高摩擦力路面更早發生分歧現象。

圖 3.15 為在相同輸入下，車子行走在低摩擦力路面與高摩擦力 路面及在不同速度下，車子的側滑角與橫擺率的比較，其中六條藍

25

色線由下而上分別表示車子在速度為15、20、25、30、35、40

(

m /s

)

時，行走在低摩擦力路面的側滑角與橫擺率，六條紅色線由下而上 分別表示車子在速度為15、20、25、30、35、40

(

m /s

)

時，行走在高 摩擦力路面的側滑角與橫擺率。由圖 3.15 可知，在相同輸入下，車 子在不同速度行走於高摩擦力路面時的側滑角與橫擺率皆遠小於低 摩擦力路面。以實際的例子來說明，下雨時路面摩擦力較低，所以 比平時開車更容易打滑。

圖 3.16 為在不同速度下，高低摩擦力路面所能產生之最大安全 轉向範圍，其中紅色線所包覆的範圍是高摩擦力路面所能產生之最大 安全轉向範圍，而藍色線所包覆的範圍則是低摩擦力路面所能產生之 最大安全轉向範圍。由此圖可知，高摩擦力路面的最大安全轉向範圍 高於低摩擦力路面的最大安全轉向範圍，換句話說，車子行進在高摩 擦路面時比在低摩擦路面上，可以進行較大的轉向而不致翻覆。

(4)車重對最大安全轉向範圍之影響分析

本小節以車重M =M_b =1500kg為基準，模擬在不同Mb下，最大安 全轉向範圍的變化。當車重變化時，車輛的慣性矩I也隨之變化，I 通 常以迴轉半徑k求得，M 、I 、k三者的關係式如下式：

I =Mk². (3.18) 考慮原先的低摩擦力參數設定I =3000kg⋅m²、M =1500kg，利用(3.18)

26

式可求得k= 2m，所以I =2M 。表 3.5 為不同Mb下，最大安全轉向 範圍（僅考慮負轉向角）的變化。由表中數據可知，當車身愈重時，

最大安全轉向範圍也隨之變小，所以車重也是影響行車安全的要素之 一。

表3.1 系統羅斯表 λ2 1 a1a4−a2a3

λ −

(

a1+a4

)

0 λ0 a1a4 −a2a3 0

−1

λ 0 0

表 3.2 高、低摩擦力路面參數表

參數 值/單位 參數 高摩擦路面 低摩擦路面

M

^{1500kg Bf} 6.7651 ^11.275

Lf

1 m . 2

^{2 Cf 1.3 1.56}

Lr 1.3m Df -6436.8 -2574.7 Iz 3000kg⋅m² Ef -1.999 -1.999

Br 9.0051 18.631

Cr 1.3 1.56

Dr -5430 -1749.7 Er -1.7908 -1.7908

27

表3.3 系統平衡點特性表

Jacobian Matrix Eigenvalues Eigenvectors a

28

表3.5 不同車重下車子的最大安全轉向範圍

( )

m s v=20 /

穩定結點 鞍點

M

最大安

全δ_f 值 ^{β γ β γ}

Mb -0.0158 0.0256 -0.0911 0.0279 -0.1041 Mb

5 .

1 -0.0116 0.0254 -0.0625 0.0290 -0.0679 Mb

2 -0.0096 0.0255 -0.0457 0.0289 -0.0497 Mb

5 .

2 -0.0084 0.0251 -0.0355 0.0291 -0.0393 Mb

3 -0.0076 0.0246 -0.0288 0.0293 -0.0326

( )

m s v=30 /

穩定結點 鞍點

M

最大安

全δ_f 值 ^{β γ β γ}

Mb -0.0089 0.0249 -0.0593 0.0294 -0.0664 Mb

5 .

1 -0.0072 0.0248 -0.0384 0.0289 -0.0429 Mb

2 -0.0064 0.0252 -0.0288 0.0280 -0.0311 Mb

5 .

2 -0.0059 0.0249 -0.0227 0.0279 -0.0247 Mb

3 -0.0056 0.0256 -0.0192 0.0269 -0.0200

29

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

0 5 10 15 20 25 30

δ f (rad) v=20(m/s)

error(%)

bata error gamma error error 2%

圖3.3 v=20

(

m/s

)

下實際與近似系統的誤差

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

x 10^-3 0

5 10 15 20 25 30

δ f(rad) v=40(m/s)

error(%)

bata error gamma error error 2%

圖3.4 v=40

(

m/s

)

下實際與近似系統的誤差 βerror

γ error error 2%

βerror γ error error 2%

( )

rad δf

( )

rad δf

error (%) error (%)

30

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x1

x2

b a

c

圖3.5 數值模擬(1)之相位描繪圖

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u

v

圖3.6(a) 以數值模擬(1)鞍點 b 為平衡點線性化系統之相位描繪圖

31

32

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

x1

x2

saddle point

stable equilibrium point

saddle point

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

x1

x2

saddle point

圖3.8 系統狀態軌跡(低摩擦力路面)圖 (a) δ_f =−0.0113

( )

rad

(b) δ_f =−0.0114

( )

rad

( )

rad β γ(rad)

( )

rad β γ(rad)

鞍點

穩定結點

鞍點

鞍點

33

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

x1

x2

saddle point

saddle-node bifurcation point

圖3.9 系統分歧點圖

圖3.10 系統分歧點特性

( )

rad β (rad) γ

( )

rad

f =-0.01135068635 δ

鞍點

鞍結點分歧點

34

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

圖3.11 v=25m/s之分歧圖

( )

^rad

δf

β(rad)

( )

rad δf

(rad)γ

35

36

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

高摩擦力路面

低摩擦力路面

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

高摩擦力路面 低摩擦力路面

圖 3.14 v=25m/s下高低摩擦力路面之分歧圖

( )

^rad

δf

β(rad)

( )

rad δf

(rad)γ

37

圖3.15 相同輸入下，高低摩擦力路面β與γ 之比較圖

10 15 20 25 30 35 40

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

v (m/s)

δ f (rad)

low friction load high friction load

圖 3.16 高低摩擦力路面之最大安全轉向範圍比較圖

38

第四章

車輛轉向系統離散控制器設計

回顧本論文第三章，我們由相平面分析及數值模擬與穩定性分析 得知，當速度過快或輸入超過最大安全轉向範圍時，系統會發生鞍結 點分歧現象，使得系統無一穩定的平衡點，因而將導致系統不穩定。

在參考文獻[7]中，作者成功地提出以連續回授線性化控制器來解決 此一導致系統不穩定之現象。本論文延伸[7]中之結果，進一步提出 一“車輛轉向系統離散控制器＂設計方法，嘗試將連續回授線性化控 制器以離散化方法改寫，並利用此一改寫後的離散回授線性化控制器 來控制車輛轉向系統之連續模型。離散控制器設計概念如下所述。由 於連續回授線性化控制器經由狀態回授產生控制輸出，以確保系統的 穩定性，因此當離散回授線性化控制器設計正確時，在車輛轉向系統 離散時間模型的每個取樣狀態與連續時間模型一致之假設條件下，離 散回授線性化控制器的輸出應該也與連續回授線性化控制器一致。當 上述情況同時達成時，離散回授線性化控制器將可以確保車輛轉向系 統離散模型之穩定性，另外在系統參考輸入與初始狀態一樣的條件 下，離散回授線性化控制器經由車輛轉向系統離散模型所產生的輸 出，亦可確保車輛轉向系統連續模型之穩定性。

39

在4.1 節中，我們提出車輛轉向系統離散控制架構；在此架構中，

我們需要求出一個車輛轉向系統離散模型，其每個取樣狀態皆與車輛 轉向系統連續模型一致。在4.2 節中，我們回顧車輛轉向系統的連續 回授線性化控制器設計方法。在4.3 節中，我們嘗試以三種離散模型 近似方法:歐拉前進、歐拉後退及歐拉梯型時間差分，來設計一車輛 轉向系統離散模型。經比較上述三種離散模型，本論文採用歐拉前進 時間差分近似方法，來設計車輛轉向系統的離散模型。最後在4.4 節 中，我們將連續回授線性化控制器改寫成離散回授線性化控制器。

4.1 車輛轉向系統之離散控制架構

如圖4.1 所示(圖 4.1 中的各個方塊的方塊圖如圖 4.2 所示)，在 t=0s 時，我們給車輛轉向系統連續模型和車輛轉向系統離散模型一樣 的轉向輸入δf與初始狀態。此時，離散回授線性化控制器藉由車輛轉 向系統離散模型狀態回授，產生新的控制輸出^u

( )

^k ，經由此一控制輸 出^u

( )

^k 來分別控制車輛轉向系統的連續和離散模型。由於離散回授線 性化控制器是經由車輛轉向系統離散模型的狀態回授來產生新的控 制器輸出，因此可以確保離散車輛轉向系統的穩定性。接下來待驗證 的是，在離散回授線性化控制器能確保離散車輛轉向系統的穩定性同 時，亦能確保連續車輛轉向系統的穩定性。

40

γ 2 β 1

vehicle -steer system(discrete ) In3

β

γ vehicle -steer system(continue )

In3

β

γ

discrete -feedback -linearzationcontrol x1

alphadot alpha

Fyf

Product 3 Product 2

Product 1 Product

Lr 1.3

Lf

1.2 Integrator 3

1 s Integrator 2

1

discrete feedback-linearization control

41

deltaf

batadot

bata

alphadot alpha

Fyf

Product 3 Product 2

Product 1 Product

Lr 1.3

Lf

1.2 Integrator 1

K Ts alphaffcn gux

g1x&g2x PT2x1&PT 2X2

g1x&g2x PT2x1&PT 2X2

在文檔中 車輛橫向動力學分析及其控制器設計研究 (頁 30-0)