大綱 - 簡介 - 車輛轉向系統之連續及離散時間控制器設計研究

第一章簡介

1.2 大綱

本論文架構如下所述。第一章為本論文的動機及一些相關的文獻探討。第二章介紹相關基礎理論:輸入-狀態回授線性化控制方法，最佳化控制理論，取樣理論，及四階 Runge-Kutta 非線性數值模擬技巧。第三章介紹本論文探討之車輛轉向系統模型及回顧其在鞍點分歧點上所產生之系統鞍節點分歧現象，據以說明本論文所探討之控制問題。為能後續驗證本論文所提出控制方法之有效性，本章將提供車輛系統在不同重量、速度、初始條件(外擾)、路面摩擦力下之最大安全輸入範圍。第四章提出基於輸入-狀態回授線性化控制方法之一線性非時變控制模型，以降低回授線性化控制所需之複雜計算度。另外，將說明如何利用最佳化控制理論，來求出此一線性非時變控制之最佳固定增益值。第五章提出一針對車輛轉向系統控制之離散時間控制方法，以因應現今較實際之數位控制器設計需求。第六章將以數值模擬驗證本論文所提出之連續時間及離散時間控制器之控制效能。最後，在第七章中提出本論文的結論及未來可能的後續研究方向。

第二章基礎理論介紹

本章對本論文中所用到的輸入-狀態回授線性化控制方法及撰寫模擬程式需使用到的四階朗基-庫塔數值模擬方法等相關基礎理論加以介紹與說明。首先在 2.1 節中介紹本論文所採用的控制方法:輸入-狀態回授線性化控制。其次，在 2.2 節中我們介紹四階朗基-庫塔數值模擬方法之基本原理。

2.1 輸入-狀態回授線性化(Input-state feedback linearization)

假設有一仿射-型式(affine-type)非線性系統如下:

   

x g xu, f

x 

(2.2)

其中 u 及 f :D_x ⁿ 和 g:D_x ⁿ^^p 在 D_x ⁿ 域都充分平滑

(sufficiently smooth) 。如果存在一個 diffeomorphism

T:Dx ⁿ使得

 

z T D

D  包含原點且非線性映射^z^^T

 

^x 將系統(2.2)轉換成下式:

   



¹ ^x ^u ^x



B Az

z  ^ 

(2.3)

其中，



A,B



具可控制性，和為純量函數，且對所有的xDx而言，

 

x 為非奇異解。定義zT

 

x ，我們可得 ^x

x z T 



  ，將(2.2)式代入可得下式:

   



^f ^x ^g ^x^u



x x T x

z T 







 



(2.4)

比較(2.3)及(2.4)式可得:

 

^x ^AT

 

^x ^B

 

^x^,

比較(2.8a)與(2.8b)式，我們可得到下面關係式:

 

x T

 

x x f

i i

1

 

 ，i1,2,,n1,

(2.9a)

 

x , x f

T_n





 



(2.9b)

 

⁰



 g x x T_i

，i1,2,,n1,

(2.9c)

   

^ ¹ ^⁰^.



 x x x g T_n



(2.9d)

利用(2.9b)與(2.9d)式，我們可分別得到及的函式如下:

  

x T_n/x

  

f x,



(2.10a)

  

  

1 x g x x T

n 

 



(2.10b)

利用(2.9a)與(2.9c)式，我們可選擇適當的 T(x)函式（本論文在 4.2 節中 將針對車輛轉向系統詳述如何求取此一 T(x)函式）。選擇控制器輸出u 為狀態回授控制，其控制律定義如下:

   



x K T

 



u    

(2.11)

其中K為常數增益。利用關係 z=T(x)，我們可將(2.11)式改寫如下:

   



x Kz



u  

(2.12)

將(2.12)式代入(2.3)式，我們可得下面線性系統:



^A ^BK



^z^.

z 

(2.13)

因此，經由(2.3)~(2.13)式的回授線性化程序，我們可將原本的非線性系統(2.2)式轉變成一線性系統模型(2.13)式。

2.2 四階朗基-庫塔數值模擬方法 (Fourth-order Runge-Kutta method)

第三章

車輛轉向系統橫向動力學模型與分歧現象分析

在本章中，我們針對車輛轉向系統之橫向動力學模型分析其穩定性，並探討在何種條件下，系統會發生側滑角與偏移率持續震盪或發散的不穩定現象。3.1 節介紹本論文所採用的車輛橫向動力學模型

[12]。3.2 節中，我們利用相平面分析軟體來解釋車輛轉向系統之鞍節

點分歧現象，並探討其系統穩定性，最後利用分析結果來討論一些參數對車輛轉向控制的影響。

3.1 車輛橫向動力學模型

本論文考慮一個典型的車輛轉向動力學數學模型 [12,13]，其轉向動力學方塊圖如圖 3.1 所示。在圖 3.1 中，v是縱向加速度，f為前輪轉向角，是側滑角，是偏移率，CG為車輛重心，L_f和Lr分別為重心和前後輪軸的間距，m是車輛的重量，IZ是 z 軸的搖擺力矩，F_yfl、

Fyfl、Fyfr、Fyrr分別為左前、左後、右前、右後輪轉向力;Fxfl、Fxfl、Fxfr、 Fxrr分別為左前、左後、右前、右後輪牽引力，Fyfl加Fyfr等於總前輪轉向力F_yf ;F_yrl 加F_yrr等於總後輪轉向力F_yr;F_xfl加F_xfr等於總前輪牽引力

Fxf;Fxrl加Fxrr等於總後輪牽引力Fxr。若忽略滾動動作，轉向動力學方程式如下式(3.1)~(3.3):



v v



F_xf F_xr F_yf sin _f,

m      

(3.1)

 

Fyf Fyr Fxf ^sin f^,

其中，Bf、Cf、Df 、Ef、Br、Cr、Dr、Er皆為常數。通常Df 及Dr是負數，Bf、Cf 、Br、Cr則皆為正數。

圖 3.1 車輛轉向動力學方塊圖

圖 3.2 等效轉向力特性圖

Fxfl

Fxrl

Fyrl

Fxrl

Fyrr

Fxrr

Fxfr

Fyfr

Lr L_f

Slip angle ,_f _r(rad)

轉向力

F，yf

Fyr

(N)

Fyf (高摩擦力路面)

Fyr(高摩擦力路面)

Fyf (低摩擦力路面)

Fyr(低摩擦力路面)

3.2 車輛轉向系統鞍節點分歧現象分析

由於本論文考慮之車輛系統模型為二階非線性系統，因此可透過相平面分析（以數值模擬的方式），進行系統平衡點穩定度的分析，並研究在一些不同的狀況下(如速度不同、車重不同…)，系統平衡點及最大安全轉向角度範圍的變化。這裡的最大安全轉向範圍指的是在相平面分析軟體上，逐漸增加輸入(轉向角度)數值（增加到最大正數值或是遞減至最小負數值），仍不致造成系統在分析軟體上找不到穩定平衡點之所有輸入轉向角度所含括的範圍。下面我們將針對 pplane7 相平面分析軟體針對系統 (3.4)-(3.5)做相平面分析，模擬使用的參數如表

3.1。

（關於 pplane7 軟體操作，請參考文獻[14]之說明）

首先，我們利用 pplane7 軟體，當系統(3.4)-(3.5)在速度^v²⁵

 

^m^/^s ，輸入_f 0 下，所得到的相位描繪圖如圖 3.3 所示，其中座標

(x1,x2)=  

 , 。我們將(x1,x2)範圍限制在(x1,x2)=(1,1)內，可找出系統有三組平衡點:a(0.000, 0.000)、b(-0.0497, 0.0969)、c(0.0497, -0.0969)，

其中 a 點稱為 Spiral sink，b 及 c 點為 Saddle point。以此三點為平衡點所求得之系統特徵值如表 3.2 中所示，其中系統在 a 點上特徵值為複數特徵值，其實數部分為負數，所以 a 點為穩定螺旋點；b 及 c 點的特徵值為相異符號的實數，所以 b 及 c 點為鞍點。

其次，我們說明系統在 a、b 及 c 點上的穩定性。在 a 點附近只要

不接近 b、c 點且落入 b、c 點穩定流型內，系統的平衡點將趨近 a 點。

另外，以 b 及 c 點為平衡點所求得線性化系統之相位描繪圖如圖

3.4(a)、(b)所示。從圖中我們可清楚的看出，只有在

x2=[(-0.95603)/(-0.96161)]x1 這條線上，系統的解才會趨近鞍點。反之，

不在線上的部分則其解為無界。因此，我們可求得 b 及 c 點為不穩定鞍點。

接著，我們可利用程式找出系統最大安全轉向角度範圍 (Matlab 程式詳見文獻[14]中附錄 C)。由程式可判定出在v25

 

m/s 下，當輸入超出0.0113

 

rad 系統將會不穩定(系統響應如圖 3.5)。另外，我們以相平面分析軟體分析：當輸入為0.0113

 

rad 及0.0114

 

rad 時，系統在相平面上有何變化？模擬結果如圖 3.6 。由圖中可看出，當輸入為

 

rad 0114 .

0 時，系統的穩定節點消失，系統呈現不穩定現象。其次，

藉由觀察輸入從0.0113

 

rad 遞減至0.0114

 

rad 時，系統在相平面上平衡點位置的變化，可找出當輸入為-0.01135068635

 

rad 時，可在相平面上找出一無法被辨識為何種特性的節點(如圖 3.7)。觀察該點的 Jacobin 矩陣(如圖 3.8)，其符合文獻[14]中 3.2.1 中條件 3，因而此點稱為鞍節分歧點(saddle-node bifurcation point)。利用圖 3.7 及鞍節分歧點之對稱特性，我們可求得文獻[7]中系統在速度25



m/s



下的分歧圖(bifurcation

diagram)（如圖 3.9 所示）

，其中藍色實線為穩定的節點，紅色虛線為鞍

點，黑色圓圈則為鞍節分歧點。利用前述鞍節分歧點求取方法及表 3.1 的低摩擦力路面參數，進行速度對車輛行駛穩定度分析之數值模擬。在速度為 15、20、25、30、35、40



m /s



下可繪製出系統的分歧圖如圖

3.10 所示，轉向角的穩定範圍(

如表 3.4 及圖 3.11 所示，其中藍色實線

所包覆_f的範圍為轉向角的穩定範圍)。

最後，我們可針對速度、高低摩擦力路面、車重等因素對車輛行駛之穩定度分析結果（請參考文獻[14]之討論），得到以下之結論：

(1)速度對車輛行駛之穩定度分析：當速度愈快時，車輛轉向系統愈早

發生分歧現象，使得系統的穩定結點愈早消失，導致轉向角度的穩定範圍愈小。

(2)高低摩擦力路面對車輛行駛之穩定度分析：在同樣的速度下，車輛

轉向系統在低摩擦力路面比在高摩擦力路面更早發生分歧現象（請參考圖 3.12：在速度為 25



m /s



下，車輛行駛在高低摩擦力路面時，車輛轉向系統的分歧圖）；在相同輸入下，車子行走於高摩擦力路面時的側滑角與橫擺率皆遠小於低摩擦力路面（請參考圖 3.13：在相同輸入下，

車子行走在低摩擦力路面與高摩擦力路面及在不同速度下，車子的側滑角與橫擺率的比較）;高摩擦力路面的最大安全轉向範圍高於低摩擦力路面的最大安全轉向範圍（請參考圖 3.14：在不同速度下，高低摩擦力路面所能產生之最大安全轉向範圍）。綜合上述，低摩擦力路面對

車輛行駛之穩定度影響高於高摩擦力路面所產生之結果。

9.0051 18.631

1.3 1.56

-5430 -1749.7

-1.7908 -1.7908

表 3.2 系統平衡點特性表

Jacobian Matrix Eigenvalues Eigenvectors

a

_

-表 3.3 不同速度下的最大安全轉向角度範圍

  m s

v /

f穩定範圍

10

^

0.0568

15



0.026

20



0.0158

25



0.0113

30



0.0089

35



0.0076

40



0.0067

表 3.4 不同車重下車子的最大安全轉向角度範圍

 

m s v30 /

穩定節點鞍點

最大安

全_f 值 ^ ^ ^ ^ Mb

-0.0089 0.0249 -0.0593 0.0294 -0.0664

5 .

-0.0072 0.0248 -0.0384 0.0289 -0.0429

-0.0064 0.0252 -0.0288 0.0280 -0.0311

5 .

-0.0059 0.0249 -0.0227 0.0279 -0.0247

-0.0056 0.0256 -0.0192 0.0269 -0.0200

x1 ' = ( - 25747/15000 sin(39/25 atan(1189714682109441/35184372088832 x1 + 1189714682109441/35184372088832 atan(6/5 x2/v cos(x1)) - 1189714682109441/35184372088832 ue - 1999/1000 atan(451/40 x1 + 451/40 atan(6/5 x2/v cos(x1)) - 451/40 ue))) - 17497/15000 sin(39/25 atan(3658850635097841/70368744177664 x1 - 3658850635097841/70368744177664 atan(13/10 x2/v cos(x1)) - 4477/2500 atan(18631/1000 x1 - 18631/1000 atan(13/10 x2/v cos(x1))))))/v - x2 x2 ' = ( - 25747/25000 sin(39/25 atan(1189714682109441/35184372088832 x1 + 1189714682109441/35184372088832 atan(6/5 x2/v cos(x1)) - 1189714682109441/35184372088832 ue - 1999/1000 atan(451/40 x1 + 451/40 atan(6/5 x2/v cos(x1)) - 451/40 ue))) + 227461/300000 sin(39/25 atan(3658850635097841/70368744177664 x1 - 3658850635097841/70368744177664 atan(13/10 x2/v cos(x1)) - 4477/2500 atan(18631/1000 x1 - 18631/1000 atan(13/10 x2/v cos(x1)))))) cos(x1)v = 25

ue = 0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

b a

圖 3.3 系統在速度^v²⁵

 

^m^/^s 、輸入_f 0下之相位描繪圖

u' = A u + B v

v' = C u + D v B = -1.0379

D = -0.67485 A = -0.9284

C = -11.8556

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

圖 3.4(a) 以鞍點 b 為平衡點所生成線性化系統之相位描繪圖

u' = A u + B v

v' = C u + D v B = -1.0379

D = -0.67485 A = -0.9284

C = -11.8556

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

圖 3.4(b) 以鞍點 c 為平衡點所生成線性化系統之相位描繪圖

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 0 . 0 1 0 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3

 (rad)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 0 . 0 8 - 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0

 (rad/s)

圖 3.5(a) v25m/s,_f 0.0113系統響應圖

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 2 0 2 4

 (rad)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

 (rad/s)

圖 3.5(b) v 25m/s,_f 0.0114系統響應圖

ue = - 0.0113

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

saddle point

stable equilibrium point

saddle point

ue = - 0.0114

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

saddle point

圖 3.6 系統狀態軌跡(低摩擦力路面)圖

(a) _f 0.0113

 

rad

(b) _f 0.0114

 

rad

 

rad

 (rad)

 

rad

 (rad)

ue = - 0.01135068635

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

saddle point

saddle-node bifurcation point

圖 3.7 系統分歧點圖

圖 3.8 系統分歧點特性

 

rad

 (rad)

 

rad f -0.01135068635



- 0 .0 6 - 0 .0 4 - 0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 - 0 .2

- 0 .1 5 - 0 .1 - 0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5

- 0 .0 6 - 0 .0 4 - 0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6

- 0 .1 - 0 .0 8 - 0 .0 6 - 0 .0 4 - 0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 .0 8 0 .1

圖 3.9 v25m/s之分歧圖

 

rad

f

(rad)

 

rad

f (rad)

-0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 -0 .2

-0 .1 5 -0 .1 -0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5

v= 4 0 m / s v= 3 0 m / s

v= 2 0 m / s v= 1 5 m / s

v= 2 5 m / s v= 1 0 m / s

v= 3 5 m / s

-0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6

-0 .2 5 -0 .2 -0 .1 5 -0 .1 -0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5

v= 1 0 m / s v= 1 5 m / s

v= 2 0 m / s v= 2 5 m / s

v= 3 0 m / s

v= 3 5 m / s v= 4 0 m / s

圖 3.10 各速度下之分歧圖

1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0

- 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6

v ( m / s )

 f (rad)

圖 3.11 v10~40



m/s



下轉向角度之穩定範圍

(rad)

 

rad

f

 

rad

f (rad)

-0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 -0 .2 5

-0 .2 -0 .1 5 -0 .1 -0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5

高摩擦力路面

-0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6

-0 .4 -0 .3 -0 .2 -0 .1 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4

圖 3.12 v25m/s下高低摩擦力路面之分歧圖

 

rad

f

(rad)

 

rad

f (rad)

圖 3.13 相同輸入下，高低摩擦力路面與之比較圖

10 15 20 25 30 35 40

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

v (m/s)

 f (rad)

low friction load high friction load

圖 3.14 高低摩擦力路面之最大安全轉向角度範圍比較圖

第四章

車輛轉向系統連續時間控制器設計

回顧本論文第三章，我們由相平面分析及數值模擬與穩定性分析得知，當車輛速度過快或輸入超過最大安全轉向角度範圍時，系統會發生鞍節點分歧現象，使得系統無一穩定的節點，因而將導致系統本身不穩定；若不施加適當控制補償，車輛很容易失控，甚而翻覆。在文獻[12]中，作者成功地提出以回授線性化控制來解決此一導致系統不穩定之現象。然而，回授線性化控制為一非線性時變控制法則（請參考第二章 2.1 節之推導），需要大量複雜的數值計算。因此，在計算複雜度考量下，實有必要發展一較簡易但有效之新型控制器。本論文延續[12]中之結果，進一步提出一“非時變回授線性化控制”設計方法，

嘗試將回授線性化控制之時變控制值改以一固定之增益值，並利用此一簡化控制來控制車輛轉向系統之連續模型。另外，在傳統回授線性化控制中存在一固定增益之參數設計問題（詳見第二章 2.1 節之說明），本章中將提出如何最佳設計此一參數值。

在 4.1 節中，我們首先提出車輛轉向系統之一線性模型。在 4.2 節中，我們依據所推導之線性化模型並仿照第二章 2.1 節回授線性化控制設計方法，提出一非時變回授線性化控制。在 4.3 節中，我們針對車輛

在文檔中車輛轉向系統之連續及離散時間控制器設計研究 (頁 11-0)

大綱

第一章 簡介

1.2 大綱

第 二 章 基礎理論介紹

   

(2.2)

(sufficiently smooth) 。如果存在一個 diffeomorphism

 

 

   





(2.3)





 

 

   





(2.4)

 

 

 

 

 

(2.9a)

 

 

(2.9b)

 

(2.9c)

   

(2.9d)

  

  

(2.10a)

  

  

(2.10b)

   



 



(2.11)

   





(2.12)





(2.13)

第三章

車輛轉向系統橫向動力學模型與 分歧現象分析

[12]。3.2 節中，我們利用相平面分析軟體來解釋車輛轉向系統之鞍節

3.1 車輛橫向動力學模型





(3.1)

 

3.2 車輛轉向系統鞍節點分歧現象 分析

3.1。

 

(x1,x2)=  

3.4(a)、(b)所示。從圖中我們可清楚的看出，只有在

x2=[(-0.95603)/(-0.96161)]x1 這條線上，系統的解才會趨近鞍點。反之，

 

 

 

 

 

 

 

 





diagram)（如圖 3.9 所示）





3.10 所示，轉向角的穩定範圍(

第一章簡介

第二章基礎理論介紹

車輛轉向系統橫向動力學模型與分歧現象分析

3.2 車輛轉向系統鞍節點分歧現象分析