車輛轉向系統鞍節點分歧現象分析 - 車輛轉向系統橫向動力學模型與分歧現象分析

第三章車輛轉向系統橫向動力學模型與分歧現象分析

3.2 車輛轉向系統鞍節點分歧現象分析

由於本論文考慮之車輛系統模型為二階非線性系統，因此可透過相平面分析（以數值模擬的方式），進行系統平衡點穩定度的分析，並研究在一些不同的狀況下(如速度不同、車重不同…)，系統平衡點及最大安全轉向角度範圍的變化。這裡的最大安全轉向範圍指的是在相平面分析軟體上，逐漸增加輸入(轉向角度)數值（增加到最大正數值或是遞減至最小負數值），仍不致造成系統在分析軟體上找不到穩定平衡點之所有輸入轉向角度所含括的範圍。下面我們將針對 pplane7 相平面分析軟體針對系統 (3.4)-(3.5)做相平面分析，模擬使用的參數如表

3.1。

（關於 pplane7 軟體操作，請參考文獻[14]之說明）

首先，我們利用 pplane7 軟體，當系統(3.4)-(3.5)在速度^v²⁵

 

^m^/^s ，輸入_f 0 下，所得到的相位描繪圖如圖 3.3 所示，其中座標

(x1,x2)=  

 , 。我們將(x1,x2)範圍限制在(x1,x2)=(1,1)內，可找出系統有三組平衡點:a(0.000, 0.000)、b(-0.0497, 0.0969)、c(0.0497, -0.0969)，

其中 a 點稱為 Spiral sink，b 及 c 點為 Saddle point。以此三點為平衡點所求得之系統特徵值如表 3.2 中所示，其中系統在 a 點上特徵值為複數特徵值，其實數部分為負數，所以 a 點為穩定螺旋點；b 及 c 點的特徵值為相異符號的實數，所以 b 及 c 點為鞍點。

其次，我們說明系統在 a、b 及 c 點上的穩定性。在 a 點附近只要

不接近 b、c 點且落入 b、c 點穩定流型內，系統的平衡點將趨近 a 點。

另外，以 b 及 c 點為平衡點所求得線性化系統之相位描繪圖如圖

3.4(a)、(b)所示。從圖中我們可清楚的看出，只有在

x2=[(-0.95603)/(-0.96161)]x1 這條線上，系統的解才會趨近鞍點。反之，

不在線上的部分則其解為無界。因此，我們可求得 b 及 c 點為不穩定鞍點。

接著，我們可利用程式找出系統最大安全轉向角度範圍 (Matlab 程式詳見文獻[14]中附錄 C)。由程式可判定出在v25

 

m/s 下，當輸入超出0.0113

 

rad 系統將會不穩定(系統響應如圖 3.5)。另外，我們以相平面分析軟體分析：當輸入為0.0113

 

rad 及0.0114

 

rad 時，系統在相平面上有何變化？模擬結果如圖 3.6 。由圖中可看出，當輸入為

 

rad 0114 .

0 時，系統的穩定節點消失，系統呈現不穩定現象。其次，

藉由觀察輸入從0.0113

 

rad 遞減至0.0114

 

rad 時，系統在相平面上平衡點位置的變化，可找出當輸入為-0.01135068635

 

rad 時，可在相平面上找出一無法被辨識為何種特性的節點(如圖 3.7)。觀察該點的 Jacobin 矩陣(如圖 3.8)，其符合文獻[14]中 3.2.1 中條件 3，因而此點稱為鞍節分歧點(saddle-node bifurcation point)。利用圖 3.7 及鞍節分歧點之對稱特性，我們可求得文獻[7]中系統在速度25



m/s



下的分歧圖(bifurcation

diagram)（如圖 3.9 所示）

，其中藍色實線為穩定的節點，紅色虛線為鞍

點，黑色圓圈則為鞍節分歧點。利用前述鞍節分歧點求取方法及表 3.1 的低摩擦力路面參數，進行速度對車輛行駛穩定度分析之數值模擬。在速度為 15、20、25、30、35、40



m /s



下可繪製出系統的分歧圖如圖

3.10 所示，轉向角的穩定範圍(

如表 3.4 及圖 3.11 所示，其中藍色實線

所包覆_f的範圍為轉向角的穩定範圍)。

最後，我們可針對速度、高低摩擦力路面、車重等因素對車輛行駛之穩定度分析結果（請參考文獻[14]之討論），得到以下之結論：

(1)速度對車輛行駛之穩定度分析：當速度愈快時，車輛轉向系統愈早

發生分歧現象，使得系統的穩定結點愈早消失，導致轉向角度的穩定範圍愈小。

(2)高低摩擦力路面對車輛行駛之穩定度分析：在同樣的速度下，車輛

轉向系統在低摩擦力路面比在高摩擦力路面更早發生分歧現象（請參考圖 3.12：在速度為 25



m /s



下，車輛行駛在高低摩擦力路面時，車輛轉向系統的分歧圖）；在相同輸入下，車子行走於高摩擦力路面時的側滑角與橫擺率皆遠小於低摩擦力路面（請參考圖 3.13：在相同輸入下，

車子行走在低摩擦力路面與高摩擦力路面及在不同速度下，車子的側滑角與橫擺率的比較）;高摩擦力路面的最大安全轉向範圍高於低摩擦力路面的最大安全轉向範圍（請參考圖 3.14：在不同速度下，高低摩擦力路面所能產生之最大安全轉向範圍）。綜合上述，低摩擦力路面對

車輛行駛之穩定度影響高於高摩擦力路面所產生之結果。

9.0051 18.631

1.3 1.56

-5430 -1749.7

-1.7908 -1.7908

表 3.2 系統平衡點特性表

Jacobian Matrix Eigenvalues Eigenvectors

a

_

-表 3.3 不同速度下的最大安全轉向角度範圍

  m s

v /

f穩定範圍

10

^

0.0568

15



0.026

20



0.0158

25



0.0113

30



0.0089

35



0.0076

40



0.0067

表 3.4 不同車重下車子的最大安全轉向角度範圍

 

m s v30 /

穩定節點鞍點

最大安

全_f 值 ^ ^ ^ ^ Mb

-0.0089 0.0249 -0.0593 0.0294 -0.0664

5 .

-0.0072 0.0248 -0.0384 0.0289 -0.0429

-0.0064 0.0252 -0.0288 0.0280 -0.0311

5 .

-0.0059 0.0249 -0.0227 0.0279 -0.0247

-0.0056 0.0256 -0.0192 0.0269 -0.0200

x1 ' = ( - 25747/15000 sin(39/25 atan(1189714682109441/35184372088832 x1 + 1189714682109441/35184372088832 atan(6/5 x2/v cos(x1)) - 1189714682109441/35184372088832 ue - 1999/1000 atan(451/40 x1 + 451/40 atan(6/5 x2/v cos(x1)) - 451/40 ue))) - 17497/15000 sin(39/25 atan(3658850635097841/70368744177664 x1 - 3658850635097841/70368744177664 atan(13/10 x2/v cos(x1)) - 4477/2500 atan(18631/1000 x1 - 18631/1000 atan(13/10 x2/v cos(x1))))))/v - x2 x2 ' = ( - 25747/25000 sin(39/25 atan(1189714682109441/35184372088832 x1 + 1189714682109441/35184372088832 atan(6/5 x2/v cos(x1)) - 1189714682109441/35184372088832 ue - 1999/1000 atan(451/40 x1 + 451/40 atan(6/5 x2/v cos(x1)) - 451/40 ue))) + 227461/300000 sin(39/25 atan(3658850635097841/70368744177664 x1 - 3658850635097841/70368744177664 atan(13/10 x2/v cos(x1)) - 4477/2500 atan(18631/1000 x1 - 18631/1000 atan(13/10 x2/v cos(x1)))))) cos(x1)v = 25

ue = 0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

b a

圖 3.3 系統在速度^v²⁵

 

^m^/^s 、輸入_f 0下之相位描繪圖

u' = A u + B v

v' = C u + D v B = -1.0379

D = -0.67485 A = -0.9284

C = -11.8556

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

圖 3.4(a) 以鞍點 b 為平衡點所生成線性化系統之相位描繪圖

u' = A u + B v

v' = C u + D v B = -1.0379

D = -0.67485 A = -0.9284

C = -11.8556

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

圖 3.4(b) 以鞍點 c 為平衡點所生成線性化系統之相位描繪圖

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 0 . 0 1 0 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3

 (rad)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 0 . 0 8 - 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0

 (rad/s)

圖 3.5(a) v25m/s,_f 0.0113系統響應圖

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 2 0 2 4

 (rad)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1

 (rad/s)

圖 3.5(b) v 25m/s,_f 0.0114系統響應圖

ue = - 0.0113

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

saddle point

stable equilibrium point

saddle point

ue = - 0.0114

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

saddle point

圖 3.6 系統狀態軌跡(低摩擦力路面)圖

(a) _f 0.0113

 

rad

(b) _f 0.0114

 

rad

 

rad

 (rad)

 

rad

 (rad)

ue = - 0.01135068635

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

saddle point

saddle-node bifurcation point

圖 3.7 系統分歧點圖

圖 3.8 系統分歧點特性

 

rad

 (rad)

 

rad f -0.01135068635



- 0 .0 6 - 0 .0 4 - 0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 - 0 .2

- 0 .1 5 - 0 .1 - 0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5

- 0 .0 6 - 0 .0 4 - 0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6

- 0 .1 - 0 .0 8 - 0 .0 6 - 0 .0 4 - 0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 .0 8 0 .1

圖 3.9 v25m/s之分歧圖

 

rad

f

(rad)

 

rad

f (rad)

-0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 -0 .2

-0 .1 5 -0 .1 -0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5

v= 4 0 m / s v= 3 0 m / s

v= 2 0 m / s v= 1 5 m / s

v= 2 5 m / s v= 1 0 m / s

v= 3 5 m / s

-0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6

-0 .2 5 -0 .2 -0 .1 5 -0 .1 -0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5

v= 1 0 m / s v= 1 5 m / s

v= 2 0 m / s v= 2 5 m / s

v= 3 0 m / s

v= 3 5 m / s v= 4 0 m / s

圖 3.10 各速度下之分歧圖

1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0

- 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6

v ( m / s )

 f (rad)

圖 3.11 v10~40



m/s



下轉向角度之穩定範圍

(rad)

 

rad

f

 

rad

f (rad)

-0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 -0 .2 5

-0 .2 -0 .1 5 -0 .1 -0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5

高摩擦力路面

-0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6

-0 .4 -0 .3 -0 .2 -0 .1 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4

圖 3.12 v25m/s下高低摩擦力路面之分歧圖

 

rad

f

(rad)

 

rad

f (rad)

圖 3.13 相同輸入下，高低摩擦力路面與之比較圖

10 15 20 25 30 35 40

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

v (m/s)

 f (rad)

low friction load high friction load

圖 3.14 高低摩擦力路面之最大安全轉向角度範圍比較圖

第四章

車輛轉向系統連續時間控制器設計

回顧本論文第三章，我們由相平面分析及數值模擬與穩定性分析得知，當車輛速度過快或輸入超過最大安全轉向角度範圍時，系統會發生鞍節點分歧現象，使得系統無一穩定的節點，因而將導致系統本身不穩定；若不施加適當控制補償，車輛很容易失控，甚而翻覆。在文獻[12]中，作者成功地提出以回授線性化控制來解決此一導致系統不穩定之現象。然而，回授線性化控制為一非線性時變控制法則（請參考第二章 2.1 節之推導），需要大量複雜的數值計算。因此，在計算複雜度考量下，實有必要發展一較簡易但有效之新型控制器。本論文延續[12]中之結果，進一步提出一“非時變回授線性化控制”設計方法，

嘗試將回授線性化控制之時變控制值改以一固定之增益值，並利用此一簡化控制來控制車輛轉向系統之連續模型。另外，在傳統回授線性化控制中存在一固定增益之參數設計問題（詳見第二章 2.1 節之說明），本章中將提出如何最佳設計此一參數值。

在 4.1 節中，我們首先提出車輛轉向系統之一線性模型。在 4.2 節中，我們依據所推導之線性化模型並仿照第二章 2.1 節回授線性化控制設計方法，提出一非時變回授線性化控制。在 4.3 節中，我們針對車輛

轉向系統之線性模型提出一最佳線性平方控制器 (linear quadratic

regulator)控制法則。利用此一所推導出之最佳控制增益值，我們可解

決 4.2 節中所推導出非時變回授線性化控制之參數設計問題。

其中

 

^x ^g

 

^x ^u

利用 3.1 節之推導，我們可得T ~₁

 

x 、T ~₂

 

x 需滿足下面條件式：

其中

4.3 最佳線性平方控制器（Linear quadratic regulator ）設計

針對線性系統(3.27)，我們可設計一最佳線性平方控制器如下所述。定義性能指標（Performance Index）如下：

 ^x ^Q ^x ^u ^R ^u  ^dt

x K

u ~  

 ~ (4.28)

其中

S B R

K



^¹ ^T

(4.29)

S 為下面連續時間代數 Riccati 方程式(CARE)：

  0





 SA A

S SBR

^

B

S Q _(4.30)

之解。雖然最佳線性控制增益值與系統設計參數Q及R設定相關，但Q 及R設定具有工程上直觀之物理意義，且模擬結果顯示：使用一般Q及

R設定值（請參考第六章模擬結果），其所設計出之控制效能一般而言皆能獲致不錯之控制效果。

上述最佳線性控制增益值K^*亦可用來設計 4.2 節中所提出之非時變回授線性化控制增益值K，兩者之關係式如下：



^¹ ^*

^ 

^¹

^.



 K T

K   (4.31)

第五章

車輛轉向系統離散時間控制器設計

拜電腦科技之賜，數位控制為現今最普遍之控制方法，而離散時間控制法則又是其中最主要設計之關鍵。依據文獻[14]之模擬結果，我們得知直接將回授線性化控制以歐拉前進時間差分近似法所得到的離散時間控制器在實用上具有很大之限制。因此，在本章中我們嘗試設計一針對車輛轉向系統控制之較實際離散時間控制法則，以因應現今較實際之數位控制器設計需求。依據所推導離散模型之不同，本章將提出兩種不同之離散時間控制法則。5.1 節中依據回授線性化控制所採用仿射-型式非線性系統(4.7)-(4.8)，我們提出一時變離散時間控制法則，而在 5.2 節中依據線性模型(4.3)，我們提出一非時變離散時間控制法則。

5.1 時變離散時間控制器設計

首先，我們可將(4.9a)-(4.9b)式改寫如下：

         

0 0

1 ~ 1 F x, F x, x

x mv

f  _yf _f  _yr _f 

(5.1)

   

 

⁰

 

⁰

 

2 ~ cos , ,

f yr r f yf f z

x F L x

F I L

x x

f    

(5.2)

將(5.1)-(5.2)式對平衡點x⁰做一階 Taylor 級數展開，並捨棄高階項，可

將仿射-型式非線性系統(4.7)-(4.8)近似如下：

重新計算控制器增益值，因此對計算複雜度有特別考量的系統中並不

第六章模擬與驗證

在本章中，我們以數值模擬來驗證所提出之連續及離散時間控制法則能確保車輛轉向系統之穩定性。由於為能直接比較連續及離散時間控制法則之效能，在模擬中我們採用四階 Runge-Kutta MATLAB 程式（RK4）（程式詳見附錄 C）做為解微分方程之數值求解工具。模擬中使用之車輛轉向系統之參數選用的是低磨擦路面的參數，因為車子在低磨擦的路面較容易打滑也符合在下坡路面汽車的煞車效果。

6.1 節提供數值模擬結果，顯示車輛轉向系統存在不穩定特性，並

進一步驗證連續回授線性化控制器可確保車輛轉向系統之穩定性。在

6.2 節中，我們以數值模擬驗證了車輛轉向系統離散模型在適當的取樣

時間下，可近似車輛轉向系統連續模型。5.3 節以數值模擬驗證了第四章中所改寫之離散回授線性化控制器能確保車輛轉向系統之穩定性，亦即證明了本論文所研究的車輛轉向系統之離散控制在確保車輛轉向系統的穩定性上是有效的。

6.1 輸入-狀態回授線性化控制器控制成效之數值模擬

模擬狀況 1: 驗證車輛轉向系統(3.4)-(3.5)在無控制情況下會出現系統

發散現象。設定系統初始狀態為 0.03、 0.06，利用附錄 C 之 RK4

MATLAB 程式，我們可求得車輛轉向系統(3.4)-(3.5)在無加控制情況下

之系統反應。模擬結果如圖 6.1 所示。

模擬狀況 2: 驗證輸入-狀態回授線性化控制器(4.12)能確保車輛轉向系 統(3.4)-(3.5)之穩定性。在此我們考慮文獻 [12]中之分歧點 SNBP13

（⁰ 0.0267,⁰ 0.0454,⁰_f 0.0067），詳細低摩擦力路面之穩定平衡點與鞍點值，請參考附錄 B。

(1)設定參數為低摩擦力路面、控制器增益 

k₁,k₂

 

 0.5,0.5



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06、輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬結果如圖 6.2 所示。

(2) 設定參數為低摩擦力路面、控制器增益 

k₁,k₂

 

 10,0.5



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬結果如圖 6.3 所示。

(3)設定參數為低摩擦力路面、控制器增益 

k₁,k₂

 

 0.5,2.5



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬結果如圖 6.4 所示。

(4) 設定參數為低摩擦力路面、控制器增益 

k₁,k₂

 

 10,2.5



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬結果如圖 6.5 所示。

圖 6.1 顯示：車輛轉向系統在無施加控制的情況下，系統狀態在兩秒後呈現不穩定現象，並開使發散。此一模擬結果與文獻[12]中所列結果相同。圖 6.2 顯示：系統在加入回授線性化控制之後，原本系統在無控制情況下會發散的情況得到改善，系統狀態在十秒後開使收歛至平

在文檔中車輛轉向系統之連續及離散時間控制器設計研究 (頁 19-0)

車輛轉向系統鞍節點分歧現象分析

第三章 車輛轉向系統橫向動力學模型與 分歧現象分析

3.2 車輛轉向系統鞍節點分歧現象分析

3.1。

 

(x1,x2)=  

3.4(a)、(b)所示。從圖中我們可清楚的看出，只有在

x2=[(-0.95603)/(-0.96161)]x1 這條線上，系統的解才會趨近鞍點。反之，

 

 

 

 

 

 

 

 





diagram)（如圖 3.9 所示）





3.10 所示，轉向角的穩定範圍(





9.0051 18.631

1.3 1.56

-5430 -1749.7

-1.7908 -1.7908

Jacobian Matrix Eigenvalues Eigenvectors

a

  m s

v /

10

0.0568

15

0.026

20

0.0158

25

0.0113

30

0.0089

35

0.0076

40

0.0067

 

-0.0089 0.0249 -0.0593 0.0294 -0.0664

-0.0072 0.0248 -0.0384 0.0289 -0.0429

-0.0064 0.0252 -0.0288 0.0280 -0.0311

-0.0059 0.0249 -0.0227 0.0279 -0.0247

-0.0056 0.0256 -0.0192 0.0269 -0.0200

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

第四章

車輛轉向系統連續時間控制器設計

regulator)控制法則。利用此一所推導出之最佳控制增益值 ，我們可解

 

 

 

 

4.3 最佳線性平方控制器（Linear quadratic regulator ）設計

 x Q x u R u  dt

x K

u ~  

 ~ (4.28)

S B R

第三章車輛轉向系統橫向動力學模型與分歧現象分析

regulator)控制法則。利用此一所推導出之最佳控制增益值，我們可解

 ^x ^Q ^x ^u ^R ^u  ^dt

S Q _(4.30)

^ 

^.

第六章模擬與驗證

(1)設定參數為低摩擦力路面、控制器增益 

(2) 設定參數為低摩擦力路面、控制器增益 

(3)設定參數為低摩擦力路面、控制器增益 

(4) 設定參數為低摩擦力路面、控制器增益 