最佳線性平方控制器（Linear quadratic regulator） 設計

針對線性系統(3.27)，我們可設計一最佳線性平方控制器 如下所 述。定義性能指標（Performance Index）如下：

 ^{x Q x u R u}  ^dt

x K

u ~  

^*

 ~ (4.28)

其中

S B R

K

^*



^{1 T}

(4.29)

S 為下面連續時間代數 Riccati 方程式(CARE)：

1

  0





 SA A

^T

S SBR

^

B

^T

S Q _(4.30)

之解。雖然最佳線性控制增益值與系統設計參數Q及R設定相關，但Q 及R設定具有工程上直觀之物理意義，且模擬結果顯示：使用一般Q及

R設定值（請參考第六章模擬結果），其所設計出之控制效能一般而言 皆能獲致不錯之控制效果。

上述最佳線性控制增益值K^*亦可用來設計 4.2 節中所提出之非時 變回授線性化控制增益值K，兩者之關係式如下：



^{1 *}

^ 

^1

^.



 K T

K   (4.31)

第五章

車輛轉向系統離散時間控制器設計

拜電腦科技之賜，數位控制為現今最普遍之控制方法 ，而離散時 間控制法則又是其中最主要設計之關鍵。依據文獻[14]之模擬結果，我 們得知直接將回授線性化控制以歐拉前進時間差分近似法所得到的 離 散時間控制器在實用上具有很大之限制 。因此，在本章中我們嘗試設 計一針對車輛轉向系統控制之 較實際離散時間控制法則，以因應現今 較實際之數位控制器設計需求 。依據所推導離散模型之不同 ，本章將 提出兩種不同之離散時間控制法則。5.1 節中依據回授線性化控制所採 用仿射-型式非線性系統(4.7)-(4.8)，我們提出一時變離散時間控制法 則，而在 5.2 節中依據線性模型(4.3)，我們提出一非時變離散時間控制 法則。

5.1 時變離散時間控制器設計

首先，我們可將(4.9a)-(4.9b)式改寫如下：

         

2

0 0

1 ~ 1 F x, F x, x

x mv

f  _yf _f  _yr _f 

(5.1)

   

¹

 

⁰

 

⁰

 

2 ~ cos , ,

f yr r f yf f z

x F L x

F I L

x x

f    

(5.2)

將(5.1)-(5.2)式對平衡點x⁰做一階 Taylor 級數展開，並捨棄高階項，可

將仿射-型式非線性系統(4.7)-(4.8)近似如下：

重新計算控制器增益值，因此對計算複雜度有特別考量的系統中並不

第六章 模擬與驗證

在本章中，我們以數值模擬來驗證所提出之連續及離散時間控制 法則能確保車輛轉向系統之穩定性 。由於為能直接比較連續及離散時 間控制法則之效能，在模擬中我們採用四階 Runge-Kutta MATLAB 程 式（RK4）（程式詳見附錄 C）做為解微分方程之數值求解工具。模擬 中使用之車輛轉向系統之參數選用的是低磨擦路面的參數，因為車子 在低磨擦的路面較容易打滑也符合在下坡路面汽車的煞車效果 。

6.1 節提供數值模擬結果，顯示車輛轉向系統存在不穩定特性，並

進一步驗證連續回授線性化控制器可確保車輛轉向系統之穩定性 。在

6.2 節中，我們以數值模擬驗證了車輛轉向系統離散模型在適當的取樣

時間下，可近似車輛轉向系統連續模型。5.3 節以數值模擬驗證了第四 章中所改寫之離散回授線性化控制器能確保車輛轉向系統之穩定性 ， 亦即證明了本論文所研究的車輛轉向系統之離 散控制在確保車輛轉向 系統的穩定性上是有效的。

6.1 輸入-狀態回授線性化控制器控制成效之數值模擬

模擬狀況 1: 驗證車輛轉向系統(3.4)-(3.5)在無控制情況下會出現系統

發散現象。設定系統初始狀態為 0.03、 0.06，利用附錄 C 之 RK4

MATLAB 程式，我們可求得車輛轉向系統(3.4)-(3.5)在無加控制情況下

之系統反應。模擬結果如圖 6.1 所示。

模擬狀況 2: 驗證輸入-狀態回授線性化控制器(4.12)能確保車輛轉向系 統(3.4)-(3.5)之穩定性 。在此我們考慮文獻 [12]中之分歧點 SNBP13

（⁰ 0.0267,⁰ 0.0454,⁰_f 0.0067），詳細低摩擦力路面之穩定平衡 點與鞍點值，請參考附錄 B。

(1)設定參數為低摩擦力路面 、控制器增益 

k₁,k₂

 

 0.5,0.5



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06、輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.2 所示。

(2) 設 定 參 數 為 低摩 擦 力 路 面 、 控 制器 增 益 

k₁,k₂

 

 10,0.5



、 高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.3 所示。

(3)設定參數為低摩擦力路面 、 控制器增益 

k₁,k₂

 

 0.5,2.5



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.4 所示。

(4) 設 定 參 數 為 低摩 擦 力 路 面 、 控 制器 增 益 

k₁,k₂

 

 10,2.5



、 高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.5 所示。

圖 6.1 顯示：車輛轉向系統在無施加控制的情況下，系統狀態在兩 秒後呈現不穩定現象，並開使發散。此一模擬結果與文獻[12]中所列結 果相同。圖 6.2 顯示：系統在加入回授線性化控制之後，原本系統在無 控制情況下會發散的情況得到改善，系統狀態在十秒後開使收歛至平 衡點。圖 6.3 顯示：相較圖 6.2 之模擬情況，當控制器增益k₁數值變大 的時候，系統狀態振盪加劇，但反應的振幅較小，同時反應的時間較 快。圖 6.4 顯示：相較圖 6.2 之模擬情況，當控制器增益k₂數值變大的 時候，系統振盪現象消失，但系統反應的時間並未改善。圖 6.5 顯示：

相較圖 6.2 之模擬情況，將控制器增益k₁及k₂的數值同時變大的時候，

不只系統振盪現象改善，同時系統反應的時間也明顯變快。

綜合上述模擬結果，我們得知車輛轉向系統為一多平衡點系統（詳 細資料請參考附錄 B），系統在無施加適當控制情況下，經常會發生不 穩定現象，而輸入-狀態回授線性化控制為一有效之控制方法，並能確 保車輛轉向系統之穩定性。模擬結果亦顯示回授線性化控制增益值與 系統反應狀態息息相關，初步觀察結果如下：

(1) 增大控制器增益

k₁的數值：振盪增大、振幅減小、振幅增大。

(2) 增大控制器增益

k₂的數值：振盪減小、振幅減小、收斂較快。

藉由不斷調變增益k₁及k₂的數值，我們可求得車輛轉向系統反應之最佳 值。

圖 6.1 無施加控制情況下系統發散現象

圖 6.2 加入回授線性化控制



k₁,k₂

 

 0.5,0.5



後系統收斂

圖 6.3 加入回授線性化控制



k₁,k₂

 

 10,0.5



後系統收斂

圖 6.4 加入回授線性化控制



k₁,k₂

 

 0.5,2.5



後系統收斂

圖 6.5 加入回授線性化控制



k₁,k₂

 

 10,2.5



後系統收斂

6.2 非時變回授線性化控制器控制成效之數值模擬

由 6.1 節之模擬結果顯示，我們得知輸入-狀態回授線性化控制是 一能確保車輛轉向系統穩定性之有效控制方法。另由 4.2 節之推導，我 們得知本論文所提出之 非時變回授線性化控制 為一固定增益控制法 則，其控制架構遠較輸入-狀態回授線性化控制簡單。因而若能證實非 時變回授線性化控制亦能有效確保車輛轉向系統穩定性，則車輛轉向 系統控制器之設計將會大幅減化 ，有助於後續數位控制器之推導 。因

此，本章節的目的即在驗證 4.2 節中所推導之非時變回授線性化控制能 確保車輛轉向系統(3.4)-(3.5)之穩定性。為能同時比較非時變回授線性 化控制與回授線性化控制之效能 ，在下面模擬中我們同時描繪出兩者 之系統反應，其中藍色線為前者之輸出，而紅色線為後者之輸出。為 能區別兩者，非時變回授線性化控制增益值以K₁及K₂表示。

模擬狀況 3: 驗證非時變回授線性化控制(4.23)能確保車輛轉向系統 (3.4)-(3.5)之穩定性。

(1)設定參數為低摩擦力路面 、控制器增益 

K₁,K₂

 

 2.5,1.0



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06、輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.6 所示。

(2)設定參數 為低摩擦力路面 、控制器增益 

K₁,K₂

 

 10,1.0



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.7 所示。

(3)設定參數為低摩擦力路面 、控制器增益 

K₁,K₂

 

 2.5,5.0



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.8 所示。

(4)設定參數為低摩擦力路面 、控制器增益 

K₁,K₂

 

 10,5.0



、高速

 



v40m/s



、初始狀態 0.03、 0.06，輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.9 所示。

由圖 6.6-6.9 所示，我們可推得每一個回授線性化控制之系統輸出

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.02

0.025 0.03 0.035 0.04

t (sec)

beta

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03

t (sec)

gamma

圖 6.6



K₁,K₂

 

 2.5,1.0



與



k₁,k₂

 

 0.5,0.5



之控制效果比較

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.02 0.025 0.03 0.035

t (sec)

beta

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.06 -0.05 -0.04 -0.03

t (sec)

gamma

圖 6.7



K₁,K₂

 

 10.,1.0



與



k₁,k₂

 

 10.0.5



之控制效果比較

紅線：輸入-狀態回授線性化控制 藍線；非時變回授線性化控制

紅線：輸入-狀態回授線性化控制 藍線；非時變回授線性化控制

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.026

0.028 0.03 0.032 0.034

t (sec)

beta

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.06 -0.055 -0.05 -0.045

t (sec)

gamma

圖 6.8



K₁,K₂

 

 2.5,5.0



與



k₁,k₂

 

 0.5,2.5



之控制效果比較

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.024 0.026 0.028 0.03 0.032

t (sec)

beta

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.06 -0.055 -0.05 -0.045 -0.04 -0.035

t (sec)

gamma

圖 6.9



K₁,K₂

 

 10.,5.0



與



k₁,k₂

 

 10.,2.5



之控制效果比較

紅線：輸入-狀態回授線性化控制 藍線；非時變回授線性化控制

紅線：輸入-狀態回授線性化控制 藍線；非時變回授線性化控制

6.3 最佳線性平方控制器控制成效之數值模擬

由 6.2 節得知非時變回授線性化控制具有確保車輛轉向系統穩定 性之控制成效，另由 4.3 節得知最佳線性平方控制與回授線性化控制同 屬固定增益控制法則，因此我們可推得最佳線性平方控制應能確保車 輛轉向系統穩定性。在本章節，我們將驗證最佳線性平方控制之控制 成效，另根據(4.31)及(6.1)-(6.2)式，我們亦可求得比文獻[12]中所設計 結果更佳之一組輸入-狀態回授線性化控制設計結果。

模 擬 狀 況 4: 驗 證 最 佳 線 性 平 方 控 制 (4.28) 能 確 保 車 輛 轉 向 系 統

(3.4)-(3.5)之穩定性。設定參數為低摩擦力路面 、高速



v40



m/s

 

、初 始狀態 0.03、 0.06、QI₂、R1、輸入_f 0.0067

 

rad 。模擬 結果如圖 6.10 所示，其中藍色線為最佳線性平方控制(LQR)之輸出，

而紅色線為輸入-狀態回授線性化控制之輸出。

圖 6.10 中 LQR 設計所得之最佳增益值為K^* 



0.3774 0.9787



。 利用轉換關係 (4.31)，我們可求得 非時變回授線性化控制 增益值為



24.8528 17.7916



K  。最後，再利用實驗所得關係式(6.1) -(6.2)，我 們可求得一組較佳之輸入-狀態回授線性化控制設計結果，其增益值為

4 .

1 12

k 及k₂ 8.9，設計結果如圖 6.10 所示。模擬顯示此一新設計之 輸入-狀態回授線性化控制之輸出與 LQR 設計結果非常近似，同時效能 比文獻[12]中所設計結果更佳。本實驗同時驗證所提出之最佳線性平方

控制與非時變回授線性化控制 皆能確保車輛轉向系統之穩定性。另 外，本實驗亦證明了關係式(6.1) -(6.2)能有效的推得一組較佳之輸入-狀態回授線性化控制設計結果。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.026 0.028 0.03 0.032

t (sec)

beta

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.06 -0.055 -0.05 -0.045 -0.04 -0.035

t (sec)

gamma

圖 6.10 K^* 



0.3774,0.9787



與



k₁,k₂

 

 12.4,8.9



之控制效果比較

6.4 離散回授線性化控制器控制成效之數值模擬

由第五章得知，為因應現今較實際之數位控制器設計需求 ，一針 對車輛轉向系統控制之較實際離散時間控制法則 設計有其必要及適切 性。依據所使用離散模型之不同，本論文提出兩種不同之離散時間控 制法則設計：一為時變型式(5.7)，另一為非時變型式(5.12)。在本章節，

紅線：輸入-狀態回授線性化控制 藍線；LQR控制

我們將驗證此兩種離散時間控制法則之控制成效。為能驗證所提出離 散時間控制是否能有效控制一實際之 車輛轉向系統，在下面模擬中我 們採用零階保持器(zoh)，將離散控制輸出轉換成一連續控制輸出 。為 能同時比較連續與離散時間控制器控制效能 ，我們同時描繪出兩者之 系統反應，其中藍色線為 LQR 之輸出，而紅色線為所提出離散時間控 制法則之輸出。

模擬狀況 5: 驗證時變離散回授線性化控制(5.7)能確保車輛轉向系統

(3.4)-(3.5)之穩定性。設定參數為低摩擦力路面 、高速



v40



m/s

 

、初 始狀態 0.03、 0.06、QI₂、R1、輸入_f 0.0067

 

rad 、取樣 時間T_s 0.5及T_s 0.05。模擬結果如圖 6.11~6.12 所示。

模擬狀況 6: 驗證非時變離散回授線性化控制(5.12)能確保車輛轉向系

統(3.4)-(3.5)之穩定性。設定參數為低摩擦力路面、高速



v40



m/s

 

、 初始狀態 0.03、 0.06、QI₂、R1、輸入_f 0.0067

 

rad 、取 樣時間T_s 0.5及T_s 0.05。模擬結果如圖 6.13~6.14 所示。

圖6.11中紅色曲線為時變離散回授線性化控制在取樣時間T_s 0.5

之輸出結果。雖然其效能與藍色曲線LQR之結果有很大差異，但其能 有效的確保車輛轉向系統(3.4)-(3.5)之穩定性。另由取樣理論可知，當 取樣時間變小時，離散控制將會產生較佳之控制效果。因此，接下來 我們將取樣時間縮小為T_s 0.05，模擬結果如圖6.12所示。從圖中我們

在文檔中 車輛轉向系統之連續及離散時間控制器設計研究 (頁 37-0)