第一章 時域擬譜法
1.2 奈奎斯特頻率
在這個小節當中，我們將透過奈奎斯特的理論來談談時域擬譜法的一些限制。
在上一個小節當中，我們利用離散的傅立葉轉換來近似馬克斯威爾方程式當中的 空間微分項，也因為牽扯到了離散傅立葉轉換，所以時域擬譜法結果的準確度就會 受到採樣頻率的設定而受到影響，而這個採樣頻率必須大於奈奎斯特頻率，然而採 樣頻率是如何定義的、奈奎斯特頻率又有什麼樣的意義就讓我們趕緊來介紹吧。
採樣是將一個可以表示成連續函數的一個訊號先轉換成一個離散函數，然後 在把此離散函數安插到另一個連續函數的過程。奈奎斯特理論是在描述只要離散 系統的奈奎斯特頻率高於被安插的連續函數的最高頻率或帶寬，就可以避免混疊
現象，如果這個連續函數的頻率高於採樣訊號的頻率，那麼我們所建立的離散訊號
其中 𝒇𝒎𝒂𝒙 就是奈斯奎特頻率，即是採樣頻率的一半，是由一位電子工程師 Harry Nyquist 所提出來的，奈斯奎特頻率在一開始是為了通訊工程才被提出來的，
所以我們可以換個方式來表示奈斯奎特頻率，使其符合在空間座標軸上：
𝑽𝒔𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆 𝝀 < 𝟏
𝟐 ∙ ∆𝒕
(1.26)
𝑽𝒔𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆∙ ∆𝒕 ≈ ∆𝒙 <𝝀 𝟐
(1.27)
在圖 1.2 中我們將會說明什麼是奈斯奎特頻率必須大於特定採樣頻率才能使 我們設定的訊號不扭曲、失真。在圖中會有一個特定頻率的正弦波，和我們想要建 立的離散訊號。接下來我們要將這些離散訊號源重組在正弦波上，只有當正弦波的 頻率夠大時，我們才能將離散的訊號源完美的建構在正弦波上。
(a)
(b)
(c)
圖 1.2 (a) 頻率足夠大的正弦波 (b) 和 (c) 則是將離散的訊號源重組在此正弦波 上。從圖中可以明顯的看出為什麼正弦波的頻率必須要大到一定的程度，否則所建 立的離散訊號源很有可能失真、扭曲。[圖取自網址：http://www.slack.net/~ant/bl-synth/3.nyquist.html]
介紹完了奈斯奎特頻率，然而這個頻率到底跟我們的時域擬譜法有什麼樣的 關聯呢?其實文中說提到採樣的離散訊號源在時域擬譜法當中就是我們空間的格 子點，而被採樣的連續函數也就是電磁波源。而剛剛所推導出來的奈斯奎特頻率只 需要小於二分之一的採樣頻率即可，也就是說我們只需要兩個格子點就可以描述 一個電磁波。相對於時域有限差分法的六到八個格子點才能描述一個電磁波，時域 擬譜法可以說是非常的節省電腦的記憶體，也可以用比較低解析度的格子點來模 擬電磁波，因此適合大尺度範圍的模擬。