模擬空間

其結果已經可以分辨出角膜與眼白光學性質的差異，雖然結果令人不是非常滿意，

但已經可以確定不用模擬到 500μm 的厚度，或許只需要比 10μm 大二到三倍的厚 度就可以完整的呈現出角膜與眼白在光學性質上的差異。最後我們將介質厚度設 定從30μm 到 60μm，並且觀察當介質慢慢變厚時，這兩種組織的光學性質有什麼 樣的變化。再決定厚度之後要來決定模擬空間的寬度(y 方向)，寬度影響最多的是 當光從光源發射後，光的能量會因為繞射而朝四周散開，為了不讓光在傳播一段距 離後有太多的光能量離開模擬空間，必須好好的擬定寬度才行。最後決定介質寬度 為 40μm，而光源寬度為 4μm，如此一來波長為 538nm 的光在經過 4μm 的光源寬 繞射後，大約需要傳播 150μm 的距離，中央亮帶的寬度才會約等於 40μm，因此寬 度 40μm 對於 30μm-60μm 的介質厚度來說是非常足夠的。

4.3 建造仿角膜與仿眼白模型

在設定好這些空間的參數之後，就可以開始建造仿角膜與仿眼白模型了。在第 二章提過角膜與眼白在結構上最大的差異在於膠原纖維的組成，角膜內的膠原纖 維直徑都是均勻的 40nm，且相鄰兩個纖維中心到中心的間距一定維持 80nm 以上 的間距，也就是短程有序的排列方式，但眼白內的膠原纖維直徑從 40nm 到 400nm 都有，而且膠原纖維之間的間距也完全不固定，也就是隨機的排列方式。膠原纖維 是角膜與眼白中最相同的元素，但也是造成它們結構差異的主因，而且也只有膠原 纖維在不同的組織內有不同的光學性質，因此在我們的模型當中只會填入膠原纖 維，其他的物質都當作是填充物。根據上述的條件我們建造了如圖 4.1 的仿角膜與 仿眼白模型。

(a) (b) 圖 4.1 介質厚度(x 方向)與寬度(y 方向)分別是 30μm 和 39μm，若為放入模擬空間 的座標值為 x 軸：8μm-38μm、y 軸：0.5μm-39.5μm，所以模擬空間是 40μm 乘 40μm (a)仿角膜模型 (b)仿眼白模型。

4.4 光源與時間步數

雖然在前面幾個小節中有稍微提到光源的參數，但都是順便提到的，現在要來 正式介紹我們的模擬光源。光源擺放的位置是在模擬空間的最左邊，x 軸的座標值 為 0.1μm-0.5μm、y 軸的座標值為 18μm-22μm，也就是一個窄長方形的光源，而光 源寬為 4μm，而光波長為 538nm。光從光源出發，由左到右傳播，然後與介質發生 作用。在 4.2 小節有提到介質範圍是從 x = 8μm 開始擺放，預留 8μm 就是為了擺 放光源，讓光源與介質不重疊，並且讓光先傳播一段距離，確認光在我們所創造的 空間中已經穩定之後再打入介質。

在時域擬譜法當中光可以傳播多遠的距離完全是由時間步數(time-step)來決定，

一定要有足夠的時間步數才能讓光完整的經過整個模擬空間，得到正確的模擬結 果，但過多的時間步數只是在浪費模擬時間，也不會增加模擬結果的精確度。因此 要找到合適的時間步數是需要透過詳細的計算與嘗試的，透過下面的式子可以計 算出光在真空中傳播一段距離所需要的時間步數

𝒕𝒊𝒎𝒆 𝒔𝒕𝒆𝒑 = 𝒙 (𝒎) 𝒄 (𝒎/𝒔) × ∆𝒕 (𝒔)

(4.3)

其中 c 為真空中的光速，∆t 為時間解析度，x 為預期傳播的距離。若要在真 空中傳播 20μm 的距離，經過式 4.3 的計算可以得知至少需要 4445 的時間步數才 足夠，但當光因為介質產生散射時，光會改變傳播方向，導致傳播的距離會增加，

而且光速也會因為折射率增加而降低，因此時間步數需要增加，但因為這些反應過 程十分複雜、難以利用人工計算，所以我們決定嘗試不同的時間步數，找出最合適 的時間步數。我們分別測試了 5000、7000、9000、12000、20000、30000 的步數，

且讓光分別在 20μm 乘 20μm 的仿角膜與仿眼白模型中傳播。接著比較各個步數之 間的差異，我們假設 30000 步已經足以讓模擬結果穩定，並以 30000 步的模擬結 果當作標準，將其它步數的模擬結果與 30000 步的結果計算方均根誤差(RMS error)，

其結果如表 4.1

角膜：

時間步數 5000 7000 9000 12000 20000

方均根誤差 0.0162 0.0081 0.0031 0.0023 0.0031

眼白：

第二項簡化的部份就在於膠原纖維的形狀，真實的膠原纖維應該是三維的圓 柱形，但因為我們是利用二維的時域擬譜法來模擬，因此將三維的圓柱簡化成二維 的圓，而且真正的膠原纖維也不是一個平滑的圓，應該是一個凹凸不平的圓，因為 膠原纖維是由更細的微原纖維(microfibrils)所組成，如圖 4.2 所呈現的，因此即使 微原纖維是平滑圓形，當它們緊密排列在一起也無法形成一個平滑的圓。但是因為 在模擬空間格子點是切成四方形，而且空間解析度為 10nm，因此在我們的模擬中 膠原纖維只能以多邊形來呈現，無法呈現出圓形，除非空間解析度夠小，才能由多 個四邊形組成，進而與圓形越相近。

圖 4.2 膠原纖維的細微構造，一條膠原纖維束是由許多的微原纖維所組成，而微原 纖維是由更小的胺基酸聚合而成。[20]

最後就是在我們的模擬當中是沒有吸收現象的，也就是說當光與膠原纖維作 用後能量完全不會減少，只會因為散射而重新分佈，在這邊不考慮吸收是因為角膜 是透明且透光的，穿透率高達 80%，因此判斷角膜內的膠原纖維與填充物質對於 可見光波段的吸收是不明顯的，而角膜與眼白的組成物又如此相近，因此兩者在可 見光波段都可以不用考慮吸收效應。

第五章 數值模擬結果與分析 [11, 12, 17, 28-30]

在前面幾個章節分別介紹了數值方法：時域擬譜法、角膜與眼白的結構與模型 以及模擬參數，接著要將它們整合在一起，模擬出角膜與眼白的光學特性，並且將 會探討是什麼樣的因素最有可能會造成角膜與眼白光學性質的不同而各種變因又 是如何影響光的傳播，影響的程度大小。根據在第三章所提到的造成角膜透明的理 論，我們最後統整出三個前人認為最有可能的因素加一個我們感興趣的因素：1.在 角膜內的膠原纖維尺寸非常的小。2.在角膜內的膠原纖維大小都是非常的均勻。3.

在角膜內纖維之間邊緣到邊緣的距離遠小於半波長。4.在晶格理論中所說的六角形 晶格排列。接下來我們會針對這四個特點來進行討論，找出造成角膜透明的真正原 因。

5.1 角膜與眼白光學性質

在角膜內的膠原纖維直徑是相當均勻的 40nm，其中心到中心的間距間隔在 80nm 以上，而眼白內的纖維直徑則是從 40nm 到 400nm 都有，且纖維的間距是不 固定的，雖然平均間距大約是 400nm。圖 5.1 顯示的分別是光在真空中、仿角膜模 型中與仿眼白模型中光傳播的模擬結果，模擬的空間是40μm 乘 40μm，介質厚度 為 30μm，其仿角膜與仿眼白模型與圖 4.1 相同。

(a)

(b)

(c)

圖 5.1 x 軸與 y 軸代表空間位置，右手邊的顏色條代表光強度。 (a) 光在真空中傳 播的情形，三張圖各別為光經過 2000、6000、10000 的時間步數。(b) 光在仿角膜 中傳播的情形，三張圖分別為光經過 2000、6000、10000 的時間步數。(c) 光在仿 眼白中傳播的情形，三張圖分別為光經過 2000、6000、10000 的時間步數 (註：依 照第四章所說，大小為40μm 乘 40μm 的空間需要 18000 的時間步數，這是為了取 得達穩態的數據，但跑在前頭的光早就已經到達最右邊，為了呈現光在前進的情形 又要配合等間距的步數，故取這三個時間步數。)

圖 5.1 顯示光在二維空間的強度分佈，在仿角膜模型與在真空中傳播的情形非

常相似，光仍然朝前傳播，並沒有因為膠原纖維的散射使光改變方向，光依然朝著 原傳播方向行進。然而當光經過仿眼白模型之後，光卻因為膠原纖維的散射而改變 原傳播方向，而且大部分的光轉彎的幅度相當的大。比較之後可以發現在仿角膜中，

光是井然有序得朝前方行進，而在仿眼白中卻混亂的行進、毫無規律。雖然介質的 厚度只有30μm，但卻已經可以展現出角膜與眼白不同的光學性質了，接著在圖 5.2 中呈現出光穿過不同介質厚度的強度分佈圖，其強度分佈所選取的截面是模擬空 間最右邊往左 1μm 的面，舉例來說：若模擬空間是 40μm 乘 40μm，則選取的截面 會是x=39μm 的面，而介質擺放的範圍上、下、左、右分別預留 500nm、500nm、

8μm、2μm 的空間，因此所選取的截面並沒有與介質重疊。

(a) (b)

(c) (d)

圖 5.2 藍色曲線為光穿過仿角膜模型後的強度分佈，綠色曲線為光穿過仿眼白模

幅度越大，越多的光往四周散開，這邊特別關注光轉彎的幅度，因為它與介質的透 中央亮帶的寬度，在模擬中，光波長為 538nm、光源寬 4μm，也就是波長 538nm 的光穿過 4μm 的狹縫，而光在真空中進行單縫繞射後，大部分的能量仍然會留在

圖 5.3 不同 D 值時所模擬出來光在真空中傳播的強度分佈圖，x 軸表示截面上座 標位置，而 y 軸表示光的強度。

根據表 5.1 的比較結果，模擬與計算出來的誤差不大，因此式 5.1 可以直接使 用。除此之外，因為我們的模擬空間是有限的，如果光大幅度的改變原傳播方向，

將會超出模擬範圍，被完美匹配層吸收，因此將光源的總強度減去傳播後仍然留在 模擬空間內的總強度，並將差值加入周圍區域的總強度內，最後再除以光源總強度 換算成百分比，因此量化數值越高表示越多比例的光在偏離原方向之後，跑入周圍 區域，也代表介質越不透明。表 5.2 顯示的是將圖 5.2 的結果以此種方式量化後的 結果。

30μm 40μm 50μm 60μm 真空 11.29% 10.86% 9.68% 14.81%

仿角膜 12.21% 11.59% 11.93% 14.95%

仿眼白 67.36% 77.21% 82.52% 87.66%

表 5.2 以上述量化方式計算光分別經過真空、仿角膜與仿眼白且不同介質厚度的

量化數值 纖維直徑是均勻的 40nm，而在眼白中是直徑 40nm-400nm 都有，兩者最大的膠原 纖維尺寸有差到 10 倍之多，所以膠原纖維的尺寸很有可能是影響角膜與眼白光學 性質的主要因素之一。

首先當散射粒子的尺寸都是完全相同且固定粒子的中心位置，再慢慢增加粒

首先當散射粒子的尺寸都是完全相同且固定粒子的中心位置，再慢慢增加粒