藉由時域擬光譜法模擬分析角膜與眼白的光學性質

國立臺灣大學電機資訊學院光電工程學研究所 碩士論文

Graduate Institute of Photonics and Optoelectronics College of Electrical Engineering and Computer Science

National Taiwan University Master Thesis

藉由時域擬光譜法模擬分析角膜與眼白的光學性質 Pseudospectral time-domain simulation of the optical

characteristics of cornea and sclera

楊智堯 Chih-Yao Yang

指導教授：曾雪峰 博士 Advisor: Snow H. Tseng, Ph.D.

中華民國 106 年 6 月 June 2017

中文摘要

角膜和眼白主要都是由膠原纖維所組成，但它們卻在可見光波段呈現出截然 不同的光學特性：角膜是透明的，而眼白卻呈現出不透明的白色。為了在電腦中模 擬出相同的光學現象，我們建造了仿角膜與仿眼白模型並且利用時域擬譜法來模 擬分析它們的光學特性。在我們的模擬結果中可以明顯的看出角膜是透明的而眼 白是不透明的，為了瞭解是什麼樣因素造成這樣的結果，我們比較角膜與眼白結構 上的差異對於光學性質的影響，而它們之間的差異主要包括以下三種：散射物質的 間距、尺寸和排列方式。利用時域擬譜法我們分析幾何結構對光學性質的影響。

Abstract

Cornea and sclera each consists of collagen fibrils, but exhibits different optical

properties in the visible range. The cornea is transparent, whereas the sclera is opaque

and appears white. To analyze the difference of such optical characteristics, we employ

the pseudospectral time-domain technique to simulate light propagation through the

cornea model and sclera model, respectively. We analyze the effect of geometric structure

on the transparency/opaque.

目錄

論文口試委員審定書………i

中文摘要………...ii

英文摘要………..………iii

第一章 時域擬譜法……….1

1.1 時域擬譜法...………..………...1

1.2 奈奎斯特頻率………6

1.3 吸收邊界條件：單軸完美匹配層………..10

1.4 時域擬譜法與時域有限差分法的比較………..14

第二章 角膜與眼白的構造………...16

2.1 角膜的結構………..16

2.2 眼白結構………..19

2.3 膠原纖維的折射率………..21

第三章 角膜的透明理論………...23

3.1 角膜透明理論的演化史………..23

3.2 研究動機………..27

第四章 模擬參數與模型………...28

4.1 相對折射率……...………...28

4.2 模擬空間………..30

4.3 建造訪角膜與仿眼白模型………..31

4.4 光源與時間步數………..32

4.5 真實組織與模擬模型………..34

第五章 數值模擬結果與分析………...36

5.1 角膜與眼白光學性質………..36

5.2 數據量化………..39

5.3 散射粒子尺寸對光學特性的影響………..42

5.4 散射粒子的間距對光學性質的影響………..50

5.5 排列方式對光學特性的影響………..56

5.6 粒子大小之間的差異性對光學性質的影響………..61

5.7 總結………..65

5.8 未來工作………..66

參考文獻……….68

圖附錄

圖 1.1 電場、磁場在時域擬譜法中格子點上的位置………..6

圖 1.2 訊號安插入另一連續函數的過程………..8

圖 1.3 二為完美匹配層的架構示意圖……….13

圖 2.1 角膜剖面圖……….18

圖 2.2 角膜與眼白內膠原纖維的結構……….20

圖 2.3 膠原纖維折射率與光波長的關係圖……….22

圖 4.1 訪角膜與仿眼白模型……….32

圖 4.2 膠原纖維的結構……….35

圖 5.1 光分別在真空、仿角膜、仿眼白傳播的情形……….36

圖 5.2 光分別經過不同厚度的真空、仿角膜、仿眼白的強度分佈….38 圖 5.3 光在真空經過不同傳播距離後的強度分佈……….41

圖 5.4 固定粒子中心位置，均勻改變粒子尺寸的模型……….43

圖 5.5 光穿過圖 5.4 的模型後的強度分佈………..44

圖 5.6 量化圖 5.6 的強度分佈的曲線………..45

圖 5.7 固定粒子中心位置，改變粒子尺寸之間的差異性……….46

圖 5.8 光穿過圖 5.7 的模型後的強度分佈………..48

圖 5.9 量化圖 5.8 的強度分佈的曲線………..49

圖 5.10 粒子直徑為 40nm，改變粒子之間的間距……….51

圖 5.11 光穿過圖 5.10 的模型後的強度分佈………..52

圖 5.12 粒子直徑為 200nm，改變粒子之間的間距………...53

圖 5.13 光穿過圖 5.12 的模型後的強度分佈………..54

圖 5.14 量化圖 5.13 的強度分佈的曲線………..55

圖 5.15 六角形晶格排列，粒子直徑 40nm 的模型與強度分佈……....57

圖 5.16 不同粒子尺寸，六角形晶格與短程有序排列模型…………...58

圖 5.17 光穿過晶格與短程有序排列模型後的強度分佈………...59

圖 5.18 量化圖 5.17 的強度分佈的曲線………..60

圖 5.19 六角形晶格排列，固定中心位置，改變粒子大小的差異性...62

圖 5.20 光穿過如圖 5.19 的模型後的強度分佈………..63

圖 5.21 量化圖 5.20 的強度分佈的曲線………..64

表附錄

表 1.1 時域有限差分法與時域擬譜法的比較……….14

表 2.1 角膜與眼白膠原纖維結構的差異……….19

表 4.1 不同時間步數下光經過角膜、眼白與三萬步之間的誤差…….33

表 5.1 比較模擬與計算所得到光在真空中繞射的中央亮帶寬度…….40

表 5.2 光在不同厚度的真空、角膜、眼白強度分布的量化數據…….41

第一章 時域擬譜法

時域擬譜法 (Pseudospectral Time-Domain technique, PSTD) 提供一個嚴謹且 精 確的方法來解決電磁波傳輸的相關問題。相較於時域有限差分法 (Finite- Difference Time-Domain, FDTD)，時域擬譜法改善了許多在時域有限差分法身上所 發現的缺點，像是色散誤差 (dispersion error)、大幅減少計算量以及節省電腦記憶 體之類的，也因為如此時域擬譜法非常適合解決在巨觀尺度下的電磁問題。所以在 這個章節內，我們將會介紹時域擬譜法的基本理論、計算方式及其優缺點，和適合 用這個演算法當中的邊界條件，像是單軸完美的吸收邊界 (Uniaxial Perfectly Matched Layer absorbing boundary condition, PML ABC)。

1.1 時域擬譜法[1-5]

時域擬譜法是由 Q.H. Liu 在西元 1996 年所提出的[4]，主要是利用快速傅立 葉 轉 換 (Fast Fourier Transform, FFT) 來 近 似 馬 克 斯 威 爾 方 程 式 (Maxwell’s equation) 中的空間微分項。其主要是利用四個方程式當中的兩個旋度方程式來進 行運算，如下面兩式：[6]

𝛁 × 𝐄 = −𝝏𝑩

𝝏𝒕

(1.1)

𝛁 × 𝐇 = 𝐉 +𝝏𝑬

𝝏𝒕

(1.2) 在我們的研究中，所有的介質都是屬於線性、各向等性且均質、無吸收，也就

是所謂的 σ=0 和 J=0。接下來，我們就來推導 Q.H. Liu 是如何利用快速傅立葉轉 換來近似這兩個電磁波方程式，並且完成時域擬譜法。首先我們先來看最右邊的時 間微分項，在時域擬譜法當中，時間微分項將會利用微分的基本定義，也就是有限 差分法將它們分解成一個離散的形式，如同下式：

𝝏𝑩(𝒊, 𝒋, 𝒌, 𝒏)

𝝏𝒕 = 𝝁𝑯(𝒊, 𝒋, 𝒌, 𝒏) − 𝑯(𝒊, 𝒋, 𝒌, 𝒏 − 𝟏)

∆𝒕

(1.3)

𝝏𝑫(𝒊, 𝒋, 𝒌, 𝒏)

𝝏𝒕 = 𝜺𝑬 (𝒊, 𝒋, 𝒌, 𝒏 +𝟏

𝟐) − 𝑬(𝒊, 𝒋, 𝒌, 𝒏 − 𝟏 𝟐)

∆𝒕

(1.4)

其中，i、j、k 分別表示在 x、y、z 這三個分量的格子點座標，而 n 是時間步 數 (time-step)，B 和 H 分別是磁感應強度與磁場強度，D 和 E 分別為電位移場與 電場，μ 跟 ε 則為磁導率和介電常數。式 1.3、1.4 就是將時間微分項以離散方式表 示後的式子，注意到電場與磁場是在不同的時間步數下進行計算的，兩者之間相差 了二分之一的時間步數，但他們是在相同的格子點當中做計算的。與時域有限差分 法比較後可以發現，在時域有限差分法中，兩者都是在不同時間步數下且不同得格 子點當中做計算。這與時域擬譜法的其中一個優點有關，讓我們留到 1.4 節再進行 介紹，只需要先記得時域擬譜法當中的電場、磁場是在同一個格子點當中進行運算 的。處理完時間微分項之後，接下來我們要來處理空間微分項。首先我們必須先把 旋度在卡式座標中拆開來寫並且將電場與磁場拆成分量的形式，如同下式：

𝛁 × 𝐄 = (𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒚 −𝝏𝑬_𝒚

𝝏𝒛 ,𝝏𝑬_𝒙

𝝏𝒛 −𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒙 ,𝝏𝑬_𝒚

𝝏𝒙 −𝝏𝑬_𝒙

𝝏𝒚)

(1.5)

𝛁 × 𝐇 = (𝝏𝑯_𝒛

𝝏𝒚 −𝝏𝑯_𝒚

𝝏𝒛 ,𝝏𝑯_𝒙

𝝏𝒛 −𝝏𝑯_𝒛

𝝏𝒙 ,𝝏𝑯_𝒚

𝝏𝒙 −𝝏𝑯_𝒙

𝝏𝒚)

(1.6)

寫成這樣的形式之後，我們就可以利用正、逆快速傅立葉轉換來將空間微分項 拆解成離散的形式了。逆的快速傅立葉轉換就是將方程式乘上 i•k，再進行一次快 速傅立葉轉換即可得到以下的式子：

電場：

𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒚 −𝝏𝑬_𝒚

𝝏𝒛 = 𝑭𝑭𝑻_𝒚^−𝟏{𝒊𝒌_𝒚𝑭𝑭𝑻_𝒚{𝑬_𝒛}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒛^−𝟏{𝒊𝒌_𝒛𝑭𝑭𝑻_𝒛{𝑬_𝒚}}

(1.7)

𝝏𝑬_𝒙

𝝏𝒛 −𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒙 = 𝑭𝑭𝑻_𝒛^−𝟏{𝒊𝒌_𝒛𝑭𝑭𝑻_𝒛{𝑬_𝒙}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒙^−𝟏{𝒊𝒌_𝒙𝑭𝑭𝑻_𝒙{𝑬_𝒛}}

(1.8)

𝝏𝑬_𝒚

𝝏𝒙 −𝝏𝑬_𝒙

𝝏𝒚 = 𝑭𝑭𝑻_𝒙^−𝟏{𝒊𝒌_𝒙𝑭𝑭𝑻_𝒙{𝑬_𝒚}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒚^−𝟏{𝒊𝒌_𝒚𝑭𝑭𝑻_𝒚{𝑬_𝒙}}

(1.9)

磁場：

𝝏𝑯_𝒛

𝝏𝒚 −𝝏𝑯_𝒚

𝝏𝒛 = 𝑭𝑭𝑻_𝒚^−𝟏{𝒊𝒌_𝒚𝑭𝑭𝑻_𝒚{𝑯_𝒛}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒛^−𝟏{𝒊𝒌_𝒛𝑭𝑭𝑻_𝒛{𝑯_𝒚}}

(1.10)

𝝏𝑯_𝒙

𝝏𝒛 −𝝏𝑯_𝒛

𝝏𝒙 = 𝑭𝑭𝑻_𝒛^−𝟏{𝒊𝒌_𝒛𝑭𝑭𝑻_𝒛{𝑯_𝒙}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒙^−𝟏{𝒊𝒌_𝒙𝑭𝑭𝑻_𝒙{𝑯_𝒛}}

(1.11)

𝝏𝑯_𝒚

𝝏𝒙 −𝝏𝑯_𝒙

𝝏𝒚 = 𝑭𝑭𝑻_𝒙^−𝟏{𝒊𝒌_𝒙𝑭𝑭𝑻_𝒙{𝑯_𝒚}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒚^−𝟏{𝒊𝒌_𝒚𝑭𝑭𝑻_𝒚{𝑯_𝒙}}

(1.12)

其中 𝑘_𝑥、 𝑘_𝑦、 𝑘_𝑧 是空間頻率，也可以說是 x、y、z 這三分量的波數。若 要詳細一點表示方法，則它們可以寫成以下形式：

𝒌_𝒙 = 𝟐𝝅 𝑵_𝒙∆𝒙∙ 𝒎

(1.13)

𝒌_𝒚 = 𝟐𝝅 𝑵_𝒚∆𝒚∙ 𝒏

(1.14)

𝒌_𝒛= 𝟐𝝅 𝑵_𝒛∆𝒛∙ 𝒍

(1.15)

其中 𝑁_𝑥、 𝑁_𝑦、 𝑁_𝑧 是 x、y、z 這三個方向個別的總格子數，而 m、n、l 在 這邊的定義是：假如 𝑁_𝑥 是偶數，則 m 的範圍是從 −𝑁_𝑖/2 到 (𝑁_𝑖⁄ ) − 1，若 𝑁2 _𝑥 是奇數，則 m 的範圍是從 −(𝑁_𝑖− 1)/2 到 (𝑁_𝑖 − 1)/2，其他分量以此類推。這邊 我們可以發現到時域擬譜法的精確程度是和空間微分項的設定有關的，從上面那 三個式子中，我們可以發現，只要設定的格子數越多，也就是空間解析度越高，就 越能夠減少時域擬譜法在計算時的誤差。

我們已經將電磁波的馬克斯威爾方程式中的時間微分項與空間微分項分別用 有限差分法與快速傅立葉轉換來近似，也就是從式 1.3 到式 1.12 的那些方程式，

只要把它們重新組裝回去，就可以得到全新不同形式的離散型馬克斯威爾方程式，

如同下面這六個方程式：

電場：

𝑬_𝒙^𝒏+

𝟏

𝟐= 𝑬_𝒙^𝒏−

𝟏 𝟐+∆𝒕

𝜺 × {𝑭𝑭𝑻_𝒚^−𝟏{𝒊𝒌_𝒚𝑭𝑭𝑻_𝒚{𝑯_𝒛^𝒏}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒛^−𝟏{𝒊𝒌_𝒛𝑭𝑭𝑻_𝒛{𝑯_𝒚^𝒏}}}

(1.16)

𝑬_𝒚^𝒏+

𝟏

𝟐= 𝑬_𝒚^𝒏−

𝟏 𝟐+∆𝒕

𝜺 × {𝑭𝑭𝑻_𝒛^−𝟏{𝒊𝒌_𝒛𝑭𝑭𝑻_𝒛{𝑯_𝒙^𝒏}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒙^−𝟏{𝒊𝒌_𝒙𝑭𝑭𝑻_𝒙{𝑯_𝒛^𝒏}}}

(1.17)

𝑬_𝒛^𝒏+

𝟏

𝟐= 𝑬_𝒛^𝒏−

𝟏 𝟐+∆𝒕

𝜺 × {𝑭𝑭𝑻_𝒙^−𝟏{𝒊𝒌_𝒙𝑭𝑭𝑻_𝒙{𝑯_𝒚^𝒏}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒚^−𝟏{𝒊𝒌_𝒚𝑭𝑭𝑻_𝒚{𝑯_𝒙^𝒏}}}

(1.18)

磁場：

𝑯_𝒙^𝒏 = 𝑯_𝒙^𝒏−𝟏−∆𝒕

𝝁 × {𝑭𝑭𝑻_𝒚^−𝟏{𝒊𝒌_𝒚𝑭𝑭𝑻_𝒚{𝑬_𝒛^𝒏−

𝟏

𝟐}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒛^−𝟏{𝒊𝒌_𝒛𝑭𝑭𝑻_𝒛{𝑬_𝒚^𝒏−

𝟏 𝟐}}}

(1.19)

𝑯_𝒚^𝒏 = 𝑯_𝒚^𝒏−𝟏−∆𝒕

𝝁 × {𝑭𝑭𝑻_𝒛^−𝟏{𝒊𝒌_𝒛𝑭𝑭𝑻_𝒛{𝑬_𝒙^𝒏−

𝟏

𝟐}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒙^−𝟏{𝒊𝒌_𝒙𝑭𝑭𝑻_𝒙{𝑬_𝒛^𝒏−

𝟏 𝟐}}}

(1.20)

𝑯_𝒛^𝒏= 𝑯_𝒛^𝒏−𝟏−∆𝒕

𝝁 × {𝑭𝑭𝑻_𝒙^−𝟏{𝒊𝒌_𝒙𝑭𝑭𝑻_𝒙{𝑬_𝒚^𝒏−

𝟏

𝟐}} − 𝑭𝑭𝑻_𝒚^−𝟏{𝒊𝒌_𝒚𝑭𝑭𝑻_𝒚{𝑬_𝒙^𝒏−

𝟏 𝟐}}}

(1.21)

這六個方程式就是電磁波的控制方程式，所以只要有這些方程式，再加上一些 初始條件與邊界條件，像是介質的介電常數、磁導率之類的，我們就可以在電腦裡 面精確地計算出電磁波在各種介質空間的傳播情形了。

在圖 1.1 當中簡單的畫出了剛剛所提到的：在時域擬譜法當中，電場與磁場是 在同一個格子點當中做運算，也解釋了當電磁波遇到介質界面時是如何進行計算 的。再提醒一次，在時域有限差分法當中，電場跟磁場是在不同的格子點當中做計 算，這一點會使電磁波遇到不同介質時使磁場在不同的材料下計算同一個電場。

圖 1.1 此圖解釋了在時域擬譜法當中，電場與磁場是如何在格子點中計算。圖中是 以二維的 TMz 波為例子，橫條代表不同介質的介電常數與磁導率，可以看到因為 電場、磁場是放在格子點的中間，所以當電磁波進入到不同介質的界面時可以很清 楚的知道要取哪一邊的介電常數與磁導率，不像時域有限差分法一樣，磁場會剛好 駐足在界面上，可能會無法判定要選取哪一邊的介電常數與磁導率。[2]

在介紹完最基本的時域擬譜法的演算法之後，我們接下來要來討論因為時域 擬 譜 法 使 用 了 快 速 傅 立 葉 轉 換 所 衍 伸 出 來 的 一 些 優 點 。 根 據 奈 奎 斯 特 理 論 (Nyquist theorm)，我們將會知道為什麼時域擬譜法適合大尺度範圍的模擬。

1.2 奈奎斯特頻率 (Nyquist frequency)[5]

在這個小節當中，我們將透過奈奎斯特的理論來談談時域擬譜法的一些限制。

在上一個小節當中，我們利用離散的傅立葉轉換來近似馬克斯威爾方程式當中的 空間微分項，也因為牽扯到了離散傅立葉轉換，所以時域擬譜法結果的準確度就會 受到採樣頻率的設定而受到影響，而這個採樣頻率必須大於奈奎斯特頻率，然而採 樣頻率是如何定義的、奈奎斯特頻率又有什麼樣的意義就讓我們趕緊來介紹吧。

採樣是將一個可以表示成連續函數的一個訊號先轉換成一個離散函數，然後 在把此離散函數安插到另一個連續函數的過程。奈奎斯特理論是在描述只要離散 系統的奈奎斯特頻率高於被安插的連續函數的最高頻率或帶寬，就可以避免混疊

現象，如果這個連續函數的頻率高於採樣訊號的頻率，那麼我們所建立的離散訊號 將會扭曲、失真，會造成實驗上不必要的誤差。嚴格地說，定理僅適用於具有傅立 葉轉換的一類數學函數，即頻率在有限區域以外為零。舉個例子來說，假如我們現 在有一個帶有週期性的函數x(t)，且週期為𝟐𝝅，其傅立葉轉換可表示成下式：

𝑿_𝟐𝝅(𝝎) = ∑ 𝒙(𝒕) ∙ 𝒆^{−𝒊𝝎𝒕}

∞

−∞

(1.22)

𝑿(𝒇) ≝ ∫ 𝒙(𝒕) ∙ 𝒆^{−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕}

∞

−∞

𝒅𝒕

(1.23)

藉由波松求和公式 (Poisson summation formula)，我們可以知道 x(t)的取樣 x(nT )已經產生了 X(f)的週期和，其結果如下式：

𝑿_𝟏/𝑻= 𝑿_𝟐𝝅(𝟐𝝅𝒇𝑻)^𝑫𝑬𝑭→ ∑ 𝑻 ∙ 𝒙(𝒏𝑻)

∞

𝒏=−∞

𝒆^{−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒏𝑻} = ∑ 𝑿(𝒇 −𝒌 𝑻)

∞

𝒌=−∞

(1.24)

其 中 k 的單位為 cycles/sample，而 1/T 即為採樣頻率 𝒇_𝒔， 其單位為 sample/sec。假設現在有一個足夠大的頻率 𝒇_𝒔 ，可以使得 k 在這個 [−𝒇_𝒔/𝟐, 𝒇_𝒔/𝟐]

範圍內皆為零，因此我們可以得到：

𝒇_𝒎𝒂𝒙 < |𝒇_𝒔/𝟐| ≈ 𝟏 𝟐 ∙ ∆𝒕

(1.25)

其中 𝒇_𝒎𝒂𝒙 就是奈斯奎特頻率，即是採樣頻率的一半，是由一位電子工程師 Harry Nyquist 所提出來的，奈斯奎特頻率在一開始是為了通訊工程才被提出來的，

所以我們可以換個方式來表示奈斯奎特頻率，使其符合在空間座標軸上：

𝑽_{𝒔𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆} 𝝀 < 𝟏

𝟐 ∙ ∆𝒕

(1.26)

𝑽_{𝒔𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆}∙ ∆𝒕 ≈ ∆𝒙 <𝝀 𝟐

(1.27)

在圖 1.2 中我們將會說明什麼是奈斯奎特頻率必須大於特定採樣頻率才能使 我們設定的訊號不扭曲、失真。在圖中會有一個特定頻率的正弦波，和我們想要建 立的離散訊號。接下來我們要將這些離散訊號源重組在正弦波上，只有當正弦波的 頻率夠大時，我們才能將離散的訊號源完美的建構在正弦波上。

(a)

(b)

(c)

圖 1.2 (a) 頻率足夠大的正弦波 (b) 和 (c) 則是將離散的訊號源重組在此正弦波 上。從圖中可以明顯的看出為什麼正弦波的頻率必須要大到一定的程度，否則所建 立的離散訊號源很有可能失真、扭曲。[圖取自網址：http://www.slack.net/~ant/bl- synth/3.nyquist.html]

介紹完了奈斯奎特頻率，然而這個頻率到底跟我們的時域擬譜法有什麼樣的 關聯呢?其實文中說提到採樣的離散訊號源在時域擬譜法當中就是我們空間的格 子點，而被採樣的連續函數也就是電磁波源。而剛剛所推導出來的奈斯奎特頻率只 需要小於二分之一的採樣頻率即可，也就是說我們只需要兩個格子點就可以描述 一個電磁波。相對於時域有限差分法的六到八個格子點才能描述一個電磁波，時域 擬譜法可以說是非常的節省電腦的記憶體，也可以用比較低解析度的格子點來模 擬電磁波，因此適合大尺度範圍的模擬。

1.3 吸收邊界條件：單軸完美匹配層 (Uniaxial Perfectly Matched Layer Absorption Boundary Condition, UPML ABC)[6-9]

一般來說，在沒有設定特別邊界條件時，當電磁波在有限空間中傳輸碰到邊 界後都會反彈，而且反彈回來的電磁波還會與原先在空間裡的波進行疊加，使得空 間內的波變得雜亂無序，難以分析。為了要解決這個問題，只需要在模擬時加入適 合的條件即可，而我們所選擇的是單軸完美匹配吸收層。單軸完美匹配層是由 Gedney 提出的[9]，這個邊界條件可以使傳播到邊界附近的電磁波漸漸的吸收，因 為大部分的能量都不見了，所以碰到邊界反彈回來的波就可以忽略掉，也因為能量 實在太小了，對於原本在空間中的波來講幾乎是微乎其微，不具影響力，所以我們 就可以把這個邊界條件想像成：讓電磁波從一個有限空間變成在無限大的空間中 傳播的工具。在理想狀況下，吸收介質只有幾個晶格厚度，並且讓電磁波在任何頻 域範圍內皆無反射。接著開始推導單軸完美匹配層的建立。

一樣已馬克斯威爾方程式的旋度形式為基礎，但改成複數形式：

𝜵 × 𝑯 = 𝒋𝝎𝜺𝑺𝑬

(1.28)

𝜵 × 𝑬 = −𝒋𝝎𝝁𝑺𝑯

(1.29) 其中 S 表示為對角化張量(diagonal tensor)，可表示為：

[

𝑺𝒚𝑺𝒛

𝑺_𝒙 𝟎 𝟎

𝟎 ^{𝑺𝒙𝑺𝒛}

𝑺𝒚 𝟎 𝟎 𝟎 ^{𝑺𝒙𝑺𝒚}

𝑺𝒛 ]

(1.30)

而 x,y,z 的各個分量分別表示為：

𝑺_𝒙 = 𝒌_𝒙+ 𝝈_𝒙 𝒋𝝎𝝐_𝟎

(1.31)

𝑺_𝒚= 𝒌_𝒚+ 𝝈_𝒚 𝒋𝝎𝝐_𝟎

(1.32)

𝑺_𝒛= 𝒌_𝒛+ 𝝈_𝒛 𝒋𝝎𝝐_𝟎

(1.33) 因為我們的模擬是在二圍空間下進行，因此可以得到：

𝝈_𝒛 = 𝟎, 𝒌_𝒛= 𝟏 → 𝑺_𝒛= 𝟏

(1.34) 因此張量 S 可以化簡為：

[ 𝑺_𝒚

𝑺_𝒙 𝟎 𝟎 𝟎 𝑺_𝒙

𝑺_𝒚 𝟎 𝟎 𝟎 𝑺_𝒙𝑺_𝒚]

(1.35)

接著將張量與電場、磁場結合成如下的式子：

𝑩_𝒙 = 𝛍𝑺_𝒚 𝑺_𝒙𝑯_𝒙

(1.36)

𝑩_𝒚= 𝛍𝑺_𝒙 𝑺_𝒚𝑯_𝒚

(1.37)

𝑫_𝒛 = 𝑺_𝒙𝑬_𝒛

(1.38) 因此我們可以將式 1.28 與式 1.29 換成以下的形式(TMz 的情形)：

−𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒙 = −𝒋𝝎𝑯_𝒚

(1.39)

𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒚 = −𝒋𝝎𝑯_𝒙

(1.40)

𝝏𝑯_𝒚

𝝏𝒙 −𝝏𝑯_𝒙

𝝏𝒚 = 𝒋𝝎𝜺𝑺_𝒙𝑫_𝒛

(1.41)

接著再把複數形式換成在時域的形式：

𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒙 = 𝝏𝑯_𝒚

𝝏𝒕

(1.42)

−𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒚 = 𝝏𝑯_𝒙

𝝏𝒕

(1.43)

𝝏𝑯_𝒚

𝝏𝒙 −𝝏𝑯_𝒙

𝝏𝒚 = 𝒌_𝒙𝝏𝑬_𝒛

𝝏𝒕 +𝝈_𝒙 𝜺 𝑩_𝒛

(1.44)

最後轉換成離散的形式，以便在數值方法中進行運算：

𝑯_𝒙|_𝒊,𝒋^𝒏+𝟏 = −𝑯_𝒙|_𝒊,𝒋^𝒏−𝟏 𝒌_𝒚𝜺_𝟎

𝒅𝒕 −𝝈_𝒚 𝟐 𝒌_𝒚𝜺_𝟎

𝒅𝒕 +𝝈_𝒚 𝟐

−

𝑩_𝒙|_𝒊,𝒋^𝒏+𝟏(𝒌_𝒙𝜺_𝟎 𝒅𝒕 +𝝈_𝒙

𝟐 ) + 𝑩^𝒙|_𝒊,𝒋^𝒏−𝟏(𝒌_𝒙𝜺_𝟎 𝒅𝒕 −𝝈_𝒙

𝟐 ) 𝒌_𝒚𝜺_𝟎

𝒅𝒕 +𝝈_𝒚 𝟐

(1.45)

𝑬_𝒛|_𝒊,𝒋^{𝒏+𝟎.𝟓}= −𝑬_𝒛|_𝒊,𝒋^{𝒏−𝟎.𝟓} 𝝁 (𝒌_𝒚

𝒅𝒕−𝝈_𝒚 𝜺_𝟎) 𝝁 (𝒌_𝒚

𝒅𝒕+𝝈_𝒚 𝜺_𝟎)

−

𝟏 𝒅𝒕 𝝁 (𝒌_𝒚

𝒅𝒕+𝝈_𝒚 𝜺_𝟎)

(𝑫_𝒛|_𝒊,𝒋^{𝒏+𝟎.𝟓}− 𝑫_𝒛|_𝒊,𝒋^{𝒏+𝟎.𝟓})

(1.46) 如此一來就建立好單軸完美匹配吸收邊界條件的數值計算方程式，只要在模 擬空間的邊界設定好吸收方程式，當電磁波傳播到這些區域時振幅就會開始衰退，

如此一來即使電磁波因為邊界而反射，也不會反彈太多的能量回到模擬空間，進而 影響到空間內傳播中的電磁波，如果吸收邊界可以將電磁波的振幅衰減到零的話，

那我們就可以將模擬空間當作是無限大來看待，讓我們的模擬可以更符合真實情 形，減少那些只有在模擬時才會發生的誤差。

1.4 時域擬譜法與時域有限差分法的比較[1, 2, 10-12]

在前幾個小節當中，我們多多少少都有提到時域擬譜法與時域有限差分法的 不同，由於都是瑣瑣碎碎的提到，所以在這一小節中，我們將兩者的異、同一口氣 在這邊進行統整。時域擬譜法跟時域有限差分法都廣泛的被運用在電磁波的傳播 模擬，兩者都是根據馬克斯威爾方程式來進行運算，且利用相同的方法來近似方程 式中的空間微分項，但卻利用不同的方法來近似方程式當中的空間微分項，也就是 因為這個差異，使得時域擬譜法與時域有限差分法產生了許多不同的地方，接下來 我們就從表 1.1 來比較兩者不一樣的地方。

時域有限差分法 時域擬譜法

空間微分項 有限差分法 快速傅立葉轉換

時間微分項 差分法 差分法

各個場在座標上的位置

磁場：格子線邊 電場：格子中心

格子中心

所需的格子點解析度 8-16 (cell/λ) 2(cell/λ)

適合模擬的尺度 小 大

色散關係 ∆𝒙

𝒄∆𝒕𝐬𝐢𝐧 (𝝎∆𝒕

𝟐 ) 𝟐

𝒄∆𝒕𝐬𝐢𝐧 (𝝎∆𝒕 𝟐 ) 表 1.1 時域有限差分法與時域擬譜法的比較

只因為近似的方法不同，就造成了這兩種演算法之間存在著這麼多的差異。其 中一個主要的差異就是在時域有限差分法當中，各個場向量的分量並不是在同一 個點當中做計算，電場與磁場之間差了零點五格，而在時域擬譜法當中各個場向量

的分量是在同一個格子點當中做運算的，這也造成了時域有限差分法的一個缺點，

因為當電磁波從一個介質進入到另一個介質時，我們需要在格子點當中表現出介 質的特性，這時我們就需要把特性分別標在格子中心與格子線邊，但不是所有的介 質特性都可以這樣呈現出來，因此可能會造成在不同介質中的磁場卻計算同一個 電場，此時時域擬譜法的優勢就浮現了。另一個時域擬譜法的優點在於它的色散關 係不會因為空間解析度的不同而不同，因此相對於時域有限差分法，他有效的控制 住色散誤差了。最後一個優點就是在 1.2 節就有談過的，時域擬譜法只需要兩個格 子點就可以完整的呈現出一個波，但時域有限差分法卻要八到十六個格子點才能 完整的描述一個波，這也就是為什麼時域擬譜法可以節省電腦記憶體，也適合模擬 大尺度的電磁場問題了。

第二章 角膜與眼白的構造

膠原纖維是人體組織內重要的物質之一，它散佈在人體各個角落，不論是在 皮膚、肌肉、頭髮內都不難發現它的蹤跡。然而我們可以發現這些物質在光學上都 有一個共同特性，那就是它們都是不透明的，我們研究主題當中的眼白也一樣，主 要由膠原纖維組成而且為不透明。然而人類的角膜主要也是由膠原纖維所組成的，

但相對於其他以膠原纖維組成的組織，它卻是透明的。為了瞭解其中的奧秘，我們 首先當然要來了解細微的角膜與眼白結構，統整出兩者在結構上的差異，並從中找 尋最有可能造成光學特性改變的因素。在這個章節中，我們將會介紹角膜與眼白中 的組成物質、膠原纖維的排列方式、尺寸...等兩者結構上重要的差異。

2.1 角膜的結構[13-20]

大約在六十年前，隨著電子顯微鏡的技術蓬勃發展，越來越多奈米等級的事物 揭發於世人面前，當然這項技術也被用來探討人體的奧秘，很多學者透過電子顯微 鏡來觀察組織切片，試著了解各個組織的組成、構造，理所當然的電子顯微鏡也被 一些研究員應用在角膜與眼白上，就這樣揭開它們神秘的面紗。

角膜是眼睛最前面的透明組織，像是一個半月狀的透鏡，主要功能就是將入射 至眼睛裡面的光精準的聚焦在視網膜上。角膜表面有豐富的末梢神經及淚膜，可保 護角膜、防止乾燥及刺激。為保持透明，角膜裡是沒有血管的，所以角膜的養分及 代謝是利用角膜邊緣的血管網、房水 (Aqueous humour)以及空氣。一位成年人的 角膜厚度大約500μm，且由外到內可分成五層，依序為：上皮細胞層 (Epithelium)、

前彈力層 (Bowman’s layer)、基質層 (Stroma)、後彈力層 (Descement’s membrance) 及內皮細胞層 (Endothelium)。上皮細胞層大約由五到六層細胞所組成，一般佔總

體角膜厚度的十分之一，主要功能是保持角膜表面濕潤、保護角膜。此層若有受損 將有可能降低視力，但此層有自我修復的能力。前、後彈力層是兩層非常薄、相當 均勻的非細胞層，兩層加起來佔不到總體角膜的百分之五。兩者都是由膠原纖維及 基質所組成的，其膠原纖維是隨機分佈的，且比基質層中的纖維要來的細。前彈力 層脆弱、易受損，且不可自我修復，但後彈力層具有彈性、堅韌，且受損後可以再 生。內皮細胞層僅僅是由一層六角扁平細胞所構成，厚度只佔總角膜的百分之一，

其功能主要是維持角膜內液體的平衡，有自動液泵以及阻隔房水的功能。若將這四 層的厚度相加可以發現他們只佔了角膜總體厚度的百分之十五而已，也就是說基 質層佔了總厚度的百分之八十五，因此一般認為這四層薄到無法讓光產生強烈的 散射，進而影響到透明度，於是我們將把重點放在最有可能威脅到角膜透明度的基 質層身上。

在顯微鏡下觀察，角膜基質層大約由兩百個板層所組成的，每一個板層厚度大 約二微米、寬兩百微米，板層與板層之間是靠著扁平且細長突起的成纖維細胞連接 起來。板層內充滿了許多透明的物質，其中有三個是非水化物 (non-aqueous material)，分別是膠原纖維束、醣蛋白 (proteoglycan)和細胞，其他物質則有黏多醣 蛋白 (glycoprotein)和水…等等。在那三個非水化物當中，膠原纖維一向是被大家 認為最有可能使得角膜變得不透明的物質，因為在許多實驗中發現，只要膠原纖維 的結構被破壞掉，角膜就會立刻變成不透明的，而且也只有膠原纖維在不同組織內 有不同的光學性質，所以接下來將會特別著墨於膠原纖維在角膜當中的結構、大 小…等等。膠原纖維緊密的鑲嵌在板層內，而且每一條纖維都是互相平行的，彼此 之間並無糾纏在一起。在角膜基質層中的膠原纖維直徑大約都是三十奈米並且排 列的非常整齊，各個纖維中心到中心之間的距離也都維持著六十奈米以上的距離。

角膜基質層當中的膠原纖維之所以可以排列的如此整齊，是因為每一個膠原纖維 周圍都圍繞著負電荷，而這些負電荷都是由黏多醣蛋白所製造出來的，因為同性相

斥，而且每一條膠原纖維的帶電量都差不多，因此每一條纖維之間的間距都會維持 的差不多，又因為膠原纖維是坐落在具有黏稠性的填充物質中，因此膠原纖維可以 侷限在一定的範圍內，不然照理說，膠原纖維之間的間距會是變成無窮遠。剛剛所 提到的填充物質 (ground substance) 是指在基質層當中除了膠原纖維以外的所有 物質，像是剛剛所提到的醣蛋白、黏多醣蛋白之類的物質通通都包含在內。

最後在總結一下膠原纖維在角膜基質層的結構，膠原纖維束是互相平行的鑲 嵌在填充物質中，其粗細大小大約是均勻的三十奈米，各個膠原纖維中心點到中心 點的間距大約六十奈米。在 1957 年 Maurice [13]最先提出角膜內的膠原纖維的排 列方式，他說：膠原纖維的排列方式可以假設為一個完美的六角型晶格，但是最後 從電子顯微鏡當中並沒有發現這種完美的晶格排列，只是一個短程有序 (short- range order) 的排列方式。短程有序是起源於固態物體，在非晶體內部的原子結構 並非雜亂無章，它是短程有序 (short range order)的結構，意思是在極小範圍內可 以找到某種規律，例如玻璃，它也可能在極小區域中，發現一些小晶粒。而在角膜 內的短程有序結構就是纖維中心到中心的間距大約都維持六十奈米以上，只能有 少數出現太遠或太近的情況。

圖 2.1 角膜的剖面圖，可以清楚的比較出來各個層之間的厚度差異，基質層的確 佔了大部分的厚度，其他層幾乎可以說是微不足道，這也是為什麼我們特別強調基 質層當中膠原纖維的結構。[19]

2.2 眼白結構[14, 16, 21]

眼白又稱作鞏膜，眼球壁外圍厚度的六分之五的位置叫做眼白，眼白的外面由 眼球筋膜覆蓋，四周有眼外肌肌腱附著，前面則連接著角膜，眼白質地堅韌，為不 透明的白色。眼白的厚度約為零點三毫米到一毫米，不同位置有不同的厚度，最薄 的位置在眼外肌附著處，最厚的地方在於視神經周圍。眼白當中的組成物質有許多 都跟角膜相同，像是膠原纖維、醣蛋白、黏多醣蛋白、細胞、神經，還有其他不同 於角膜的物質有血管、彈力蛋白 (elastin)。眼白跟角膜一樣都分了很多層，由外到 內分別是眼球筋膜 (Tenon’s capsule)、鞏膜外層 (episclera)、鞏膜實質層 (scleral stroma)、鞏膜突 (scleral spur)、異組織邊緣 (limbus)和後鞏膜層 (posterior sclera)。

然而這一次為了要與角膜有明顯的對比，所以我們並不會一一介紹，我們將著重於 眼白當中膠原纖維的結構。

眼白當中擁有最豐富膠原纖維的的部位就是鞏膜實質層，在此層的膠原纖維 束互相交錯而且粗細不等，其直徑大約從三十奈米到三百奈米都有，膠原纖維的排 列方式也是紊亂零散、毫無章法。到此為止，相信已經可以很明顯地感覺出，同樣 是膠原纖維，但所在的組織不一樣就可能有如此大的差異。接著我們將在表 2.1 中 簡單的統整一下兩者之間的差異。

膠原纖維結構 角膜 眼白

直徑 30nm 30nm-300nm

中心到中心的平均距離 60nm 285nm

橫切面的排列 纖維束互相平行 纖維束互相交錯 表 2.1 角膜與眼白內膠原纖維在結構上的差異

圖 2.2 此圖顯示膠原纖維分佈在角膜與眼白中的結構有明顯的差異。在角膜當中，

膠原纖維的直徑較小也較為平均，纖維彼此之間的間距也都隔了一定的距離。反觀 在眼白當中的膠原纖維，彼此之間的大小不一，有大有小差異大，彼此之間的距離 也是有些靠很近，有些則相距較遠。[14]

[圖取自：http://www.nikon-lenswear.com.tw/zh/eyes-and-vision/how-your-eyes-work]

[圖取自：http://www.oculist.net/downaton502/prof/ebook/duanes/pages/v4/v4c023.html]

2.3 膠原纖維的折射率[22]

在前面兩個小節已經介紹了膠原纖維的角膜與眼白中的結構，然而想要了解 它們的光學特性還差一個很重要的參數，那就是膠原纖維以及填充物質的折射率。

根據文獻，膠原纖維與填充物質的折射率最早是在 1953 年，由 Aurell 和 Holmgren 所量測出來的，他們透過加壓的方式將膠原纖維與填充物質分開，然後在個別量測 其折射率，量測結果顯示，膠原纖維為 1.547 而填充物質為 1.345。雖然有些人認 為因為膠原纖維在角膜內的含水量比較高，以它們萃取的方式會使纖維的含水量 降低，所以這個結果膠原纖維的折射率太高，不過在當時已經是很大的創舉了。不 過這個年代比較久遠，或許當時的技術、理論比較不足，接著我們就來介紹在參考 文獻[22]中的量測方法。在文獻中，他們是根據米氏散射 (Mie scattering model)模 型來計算，因此首先需要知道量測物質的吸收係數 (absorption coefficient)、減縮散 射係數 (reduce scattering coefficient)以及散射物質的尺寸，吸收及減縮散射係數可 以透過量測物質的穿透率與反射率得知，因此透過米氏散射模型就可以獲得膠原 纖維在不同光波長下的折射率。圖 2.3 就是文獻中的結果，最後他們在利用迴歸分 析中的最小平方法來近似該曲線，就可以得到膠原纖維折射率與波長的關係式。

𝒏_𝒄𝒐𝒍(𝝀) = 𝟏. 𝟒𝟐𝟔 + 𝟏𝟗𝟒𝟕𝟔

𝝀^𝟐(𝒏𝒎)−𝟏𝟏𝟑𝟏𝟎𝟔𝟔𝟗𝟎𝟎 𝝀^𝟒(𝒏𝒎)

(2.1)

其中λ 為波長，適用範圍於 400nm-800nm。而填充物質的折射率就比較沒有大的 爭議，不論是近幾年的量測結果或是半世紀以前的量測結果都大約等於 1.345，雖 然這是角膜填充物質的折射率，但因為角膜與眼白填充物質中的化學物質十分相 似，只是含水量跟組成比例有些差異，再加上比較沒有文獻指出眼白填充物質的折 射率，因此我們也將眼白填充物質的折射率當作是 1.345。

圖 2.3 膠原纖維折射率與光波長的關係圖[22]

第三章 角膜的透明理論

膠原纖維是人體中最重要的蛋白質種類，可以在眾多的組織內發現它的蹤跡，

像是皮膚、韌帶以及我們所研究的角膜與眼白。然而大部分由膠原纖維所組成的人 體組織都是不透明的，但角膜卻是個例外，因此有越來越多的學者、專家或研究員 對這個特殊的透明組織感到興趣，也提出他們對於角膜是透明的可能理論或實驗 結果，而大部分的學者都把矛頭指向三個可能的因素：膠原纖維的折射率、膠原纖 維的尺寸以及膠原纖維在組織內的排列方式。因此在這個章節要來介紹角膜透明 理論的演進史。

3.1 角膜透明理論的演化史[13, 15, 17, 20, 23-27]

早在 18 世紀中就開始有一些學者提出他們對於角膜是透明的看法，起初認為 角膜透明的原因來自於構成角膜的元素在光學上都是均質的，而且缺乏一些像是 血管的不透明元素。因此 Renault 在西元 1889 年提出他的想法，他認為角膜透明 是因為角膜內的所有組成物都擁有相同的折射率，因此光穿過角膜時不會產生任 何光學不協調的情況，所以角膜是透明的。然而在西元 1953 年，這個理論被 Aurell 和 Holmgren 所質疑[23]，他們利用壓力分離出角膜內的膠原纖維與其他物質，然 後分別量測膠原纖維與填充物質的折射率，其量測結果為膠原纖維 1.547 以及填充 物質 1.342，此量測結果明顯看出角膜內的元素擁有不同的折射率，而且隨著角膜 可以產生雙折射(birefringence)的現象被發現後，也愈來越多的人接受角膜內的膠 原纖維與填充物質具有不同的折射率。而且 Schwarz 和 Davson 也利用電子顯微鏡 再一次的證實角膜內的物質擁有相同折射率是錯誤的，因為可以從電子顯微鏡當 中明顯的看到膠原纖維，若膠原纖維與填充物質的折射率相同就無法在電子顯微

鏡中看到膠原纖維。直到西元 1969 年，Smith 質疑[24]由 Aurell 和 Holmgren 所量 測出來的結果，他認為 1.547 這個數值對於角膜內的膠原纖維來說太高，而 1.342 這個數值對於填充物來說太低，因為加壓分離角膜內的元素會大量流失膠原纖維 內的水分，因此在組織中的膠原纖維含水量較高，折射率也應該較低。因此他仍然 認為角膜透明是因為膠原纖維與填充物質的折射率相近而且膠原纖維的尺寸小所 造成。不過在當時已經有許多研究證明膠原纖維與填充物質有不同的折射率，也出 現一個廣被眾人接受的理論，因此 Smith 的想法沒有再一次引發眾議。

在西元 1957 年，Maurice 提出了晶格理論(lattice theory)[13]來解釋角膜的透明 性質，晶格理論在一開始假設膠原纖維與填充物質的折射率有明顯的差異，膠原纖 維在角膜中的排列方式是相當有規律的，而且膠原纖維的尺寸也是非常一致的。

Maurice 認為光經膠原纖維散射後由膠原纖維所發出的散射光在原傳播方向以外 的方向都會產生破壞性干涉，只有沿著原傳播方向傳播的散射光會產生建設性干 涉，他依循著這個想法發現只有當膠原纖維的排列方式是完美的六角形晶格排列 才能符合他的想法。為了證明他的想法是正確的，他將鋼管排列成完美的六角形晶 格，並且利用特定頻率的聲波穿過這些鋼管，發現聲波可以順利穿過這些鋼管，而 且當這些鋼管的結構被破壞之後聲波穿透的振幅就明顯變小了，因此可以證明結 構對於波的穿透是非常重要的，也證明了晶格理論的正確性。同時間也有實驗證明 隨著增加角膜的含水量時會減少角膜的透明度，而當時是把原因歸咎於當含水量 增加會破壞膠原纖維的晶格結構，造成角膜的透明度越來越低。因為 Maurice 的晶 格理論足以解釋角膜的透明性，又有實驗佐證，因此廣被眾人接受。

雖然晶格理論成功的解釋角膜透明的原因，但這個理論也存在一些不完美的 地方，由電子顯微鏡中所看到的膠原纖維排列並沒有發現如此完美的晶格結構，因 此角膜透明的成因可能不是因為完美的晶格結構，而是另有原因。不過 Maurice 提 出除了朝原方向傳播以外的散射光都會產生破壞性干涉，只有沿著原方向傳播的

散射光會產生建設性干涉這個觀點廣被眾人接受，也是最能解釋角膜透明的原因，

在當時可說是跨時代的大發現，直到現在二十世紀也常被研究角膜透明性的人所 參考，因此在這之後所提出的角膜透明理論大多都以晶格理論為基準，或以修正晶 格理論為主。

在西元 1967 年，Goldman 和 Benedek[25]發現有一種叫魚狗的鳥類其角膜中 的前彈力層(Bowman’s layer)佔了總角膜厚度的 15%，而且其中的膠原纖維排列的 非常混亂，但卻發現前彈力層比角膜基質層(corneal stroma)散射更少的光，因此他 們認為角膜內的膠原纖維排列的規律與否對於角膜的透明性質沒有絕對的影響力，

而他們最後總結前彈力層的透明原因是因為各個膠原纖維邊到邊的間距比光的半 波長來的短很多，因此當光通過介質時無法有效分辨介質的細微結構，也就不會產 生強烈的散射。同時他們也發現在眼白當中的膠原纖維擁有不同的尺寸，而且各個 膠原纖維邊到邊的間距都比光的半波長來的寬，這也就是為什麼眼白是不透明的 原因，因此他們認為膠原纖維之間的間距小於光的半波長這項特性比起膠原纖維 是否排列整齊來的重要許多。

在西元 1970 年，Feuk 也同樣的認為角膜內的膠原纖維是不需要排列成如此嚴 謹的六角形晶格排列，因此他提出角膜內的膠原纖維只需要符合長程有序(long- range order)的排列即可，所謂的長程有序排列就是相對於晶格排列稍微混亂一點的 排列方式，同樣擁有週期性，只是不需要如此嚴謹的遵守晶格排列，可以容許些微 的錯位。而在西元 1973 年 Farrell 延續 Feuk 的理論，他認為其實只需要短程有序 (short-range order)的排列方式就足以讓角膜內的膠原纖維所發射出非沿著原方向 傳播的散射光都產生破壞性干涉，而所謂的短程有序排列是指看似非晶結構的隨 機排列，但其實並不像氣體分子一樣是完全隨機的，而是存在某種規律的，在角膜 內的膠原纖維所存在的規律就是任兩個膠原纖維中心到中心的間距不得小於 60nm，

還記得在第二章有提到膠原纖維的周圍被負電荷包圍著，這也是為什麼膠原纖維

之間都可以保持一定的距離，而且短程有序的排列方式也確實可以從電子顯微鏡 當中發現，直到現在大多數的人也都認為角膜內的膠原纖維的確符合短程有序的 排列方式。

在西元 1990 年，Vaezy 和 Clark[26]利用較現代的傅立葉分析來計算膠原纖維 空間排列的變化，他們藉由傅立葉分析的結果發現角膜內的膠原纖維中心到中心 的平均間距為 59nm，而眼白內的為 285nm，而且透過計算密度漲落 (density fluctuations)也發現角膜內膠原纖維分佈的密度是比眼白內的還要均勻，兩者大約 相差四倍左右。因此角膜與眼白在結構上最大的差異就在於膠原纖維的尺寸以及 空間分佈上的差異。

在介紹完這些專家、學者所提出的理論及觀點後，接著要來統整一些比較被眾 人所信服的論點，提供之後我們研究內容的變因，以及製作模型的基礎。首先膠原 纖維的排列方式符合短程有序排列，而且可以使除了沿著原方向傳播以外的散射 光都產生破壞性干涉，只有沿著原傳播方向的散射光會產生建設性干涉。第二就是 角膜內膠原纖維的尺寸夠小，使的光穿過角膜後不會產生劇烈的散射，因此大多數 的光可以沿著原傳播方向穿過。第三是角膜內膠原纖維邊到邊的間距遠小於光的 半波長，使光在穿透角膜時無法分辨這些細微結構，因此不會產生散射，使角膜透 明。

雖然說已經有許許多多的理論來解釋角膜的透明性質，但如果沒有實驗可以 佐證這些理論，那一切都只是空談。因此也有一些研究員透過實際改變角膜內膠原 纖維的結構，試著找出造成角膜透明的主因。大多數的人透過加壓灌水的方式使膠 原纖維膨脹，其結果也順利的讓角膜變得不透明，但卻有一個很大的問題存在於這 個實驗中，因為在加壓灌水的同時有許多的因素都被改變了，因此完全無法判斷究 竟哪一個因素才是造成角膜透明的主因。當角膜被灌入水時，角膜的厚度會增加，

膠原纖維與填充物質的折射率也會因為含水量變多而改變，而且膠原纖維的尺寸

也會膨脹的不均勻，前面的膠原纖維膨脹的比較大，而後面的纖維則幾乎不變，最 後是當纖維膨脹的同時也改變了排列的方式及膠原纖維之間的間距。在實驗上只 要一次改變超過一個變因就無法判斷究竟是哪一項變因造成實驗結果的不同，因 此這個實驗可以說是沒有任何實質上的意義。

在西元 1998 年，Chakravarti 等人[27]提供一個特殊的方法改變角膜的結構，

他們透過基因突變的方式，可以隨機的讓周圍的膠原纖維結合在一起，形成一個較 大的膠原纖維，但因為是隨機的讓膠原纖維結合，所以纖維的尺寸會變得大小不一，

而且排列方式一樣會被破壞，因此還是無法確定是哪個因素影響角膜的透明性。這 也衍伸出為什麼我們要利用數值模擬的方法來探討角膜與眼白的透明性質，因為 透過模擬的方式我們就能一次只改變一項變因，找出影響透明度的因素。

3.2 研究動機

隨著越來越多闡述角膜透明性的理論如雨後春筍般冒出，但卻沒有足以讓眾 人心服口服的實驗結果來支持這些理論，因此有些專家改用數值模擬的方式來探 討影響角膜透明的因素，因為模擬與實體實驗不同，實體實驗無法一次只改變一個 變因，牽一髮就會動全身，但模擬的模型是人工的，可以隨心所欲地改變結構，因 此數值模擬是最適合解決這個問題的工具之一。過去也有許多專家透過一些散射 模型來模擬，雖然可以比較出各個結構之間的差異，但因為無法有效的模擬出大尺 度的模型，因此無法確認當模型與真實角膜一樣厚時，是否還可以保持透明性，這 時利用我們實驗室的技術，透過時域擬譜法就能有效的完成大尺度的模擬，藉此確 認模擬結果是否與事實相符，再找出影響角膜透明度的主要原因。

第四章 模擬參數與模型

在前面的章節我們已經介紹了模擬的工具以及角膜與眼白的結構，接著我們 要將這兩項結合在一起，首先我們需要先在電腦中建立出相對於真實組織無失真 的仿角膜模型與仿眼白模型，並且設定好電磁參數，以便利用二維的時域擬譜法來 模擬出角膜與眼白的光學性質，而且還要設定一些適合我們模型、光源的模擬參數，

像是時間和空間解析度、模擬空間、光源波長之類的，合適的參數才能減少那些只 因為是模擬才會出現的問題，好讓模擬能夠符合真實情況。

4.1 相對折射率

在介紹模型與模擬參數之前，要先來說明因為在模擬當中使用了相對折射率，

所以需要修改的參數。當光的波長為 400nm，根據式 2.1 可以算出膠原纖維的折射 率約為 1.504，而填充物質的折射率，也就是背景折射率為 1.345，而在我們的模擬 中是使用相對折射率，背景折射率變成 1，因此膠原纖維的折射率會變成 1.118。

然而當我們使用的相對折射率時有哪一項參數是跟沒有使用相對折射率時不同的，

讓我們從以下的式子來思考

𝒇 × 𝝀 = 𝒄

(4.1)

其中 f 是光的頻率，λ 為光的波長，c 為光在介質中的光速，又 c = 𝑐₀/𝑛，𝑐₀ 為光在真空中的光速，n 為背景折射率。當沒有使用相對折射率之前 n 等於 1.345，

使用後 n 就變成 1，因此式 4.1 的等號右手邊數值變大，也就是光傳播的速度變快 了，如果光的波長與頻率都維持不變的話，那麼等號將會不成立，如果要使等號成

立，那麼式 4.1 的左手邊需要乘上 1.345，然而卻不是直接乘上，而是需要將頻率 或波長放大 1.345 倍，但到底是頻率要放大還是波長要放大，還是兩個一起放大呢？

因為頻率的單位是跟時間相關的，若改變則代表時間變快或變慢，這可能會牽扯到 愛因斯坦的相對論，事情會變得複雜，所以頻率是不可以改變的，而波長是長度單 位，若放大則代表所有長度都需要放大，而長度單位與時間單位不同，在現實中是 可以輕易改變長度單位的，因此為了讓式 4.1 等號成立，必須讓波長乘以 1.345，

所以所有跟長度相關的所有參數都需要放大 1.345 倍，像是角膜內膠原纖維的直徑 原本為 30nm，但在我們的模擬中會變成 40nm，而眼白內的膠原纖維直徑也必須 從 30nm-300nm 變成 40nm-400nm，從現在起文章中所提到任何與長度相關的參數 都已經乘上 1.345。

雖然從我們的推論所得到的結果是將波長乘上 1.345，並將所有長度單位都乘 上 1.345 就可以讓有使用相對折射率跟沒使用相對折射率的模擬結果相同，但我們 要如何確認經過調整後兩者真的變成完全一樣。讓我們以另一種方式來思考，當折 射率變小之後，光速就會增加，也就是在相同時間內光會傳播比較遠的距離。原本 在一個時間單位只能穿過一顆散射粒子，但使用相對折射率之後，一個時間單位卻 可以穿過 1.345 顆粒子，為了讓光在一個時間單位內都只能穿過一顆粒子，在使用 相對折射率後，只要將粒子放大 1.345 倍，就可以讓光在一個時間單位中同樣都只 穿過一顆粒子了，雖然是不同思考方式最後都得到相同的結論，因此我們的推論應 該是正確的。

4.2 模擬空間

在設計模型的結構之前，要先決定模擬空間的參數，像是空間解析度、介質擺 放的範圍。還記得在真實角膜與眼白中膠原纖維的直徑分別是 40nm 與 40nm- 400nm，為了在電腦中可以畫出直徑 40nm 的膠原纖維，模擬的空間解析度一定要 小於 40nm 才行，否則電腦讀取出來的膠原纖維尺寸將會失真，然而我們的模型是 先設定好粒子的中心位置，再根據中心位置畫出一個圓，因此可容許的最大空間解 析度應該是半徑的 20nm，而不是直徑的 40nm，為了保守一點，最後我們將空間解 析度設定為 10nm。然而時域擬譜法的空間、時間解析度是需要遵守如下的穩定條 件：

𝒄∆𝒕

∆𝒙 ≤ 𝟐 𝝅√𝑫

(4.2)

其中 c 為光在介質中的光速，∆𝑥 和 ∆𝑡 分別是空間與時間解析度，D 為模擬的維 度。我們的模擬是利用二維的時域擬譜法，光速即為真空中的光速 3 × 10⁸m/s ， 空間解析度為 10nm，因此可以算出時間解析度必須小於等於 1.50053 × 10⁻¹⁷ ， 因此我們將時間解析度設定為 1.5 × 10⁻¹⁷ 。

接著要定義介質擺放的範圍與模擬總空間，而介質擺放的範圍與模擬空間的 關係是在介質範圍的上、下、左、右分別加上 0.5μm、0.5μm、8μm、2μm 的距離 就會變成模擬空間，然而左邊預留 8μm 是為了放入光源，並且讓光穩定之後再射 入介質。然而到底需要多大的空間才能完整的呈現出角膜與眼白光學性質的差異 性呢？真實的角膜與眼白組織的厚度大約都是 500μm，但如果一開始就模擬這麼 大的範圍，光是一個維度就需要 50000 個格子點，如此一來將會消耗大量的電腦 記憶體，也會浪費很多時間來等待模擬結果，因此我們先將模擬空間縮小，只要可 以呈現出角膜與眼白的光學差異即可。一開始先嘗試介質厚度只有 10μm 的模擬，

其結果已經可以分辨出角膜與眼白光學性質的差異，雖然結果令人不是非常滿意，

但已經可以確定不用模擬到 500μm 的厚度，或許只需要比 10μm 大二到三倍的厚 度就可以完整的呈現出角膜與眼白在光學性質上的差異。最後我們將介質厚度設 定從30μm 到 60μm，並且觀察當介質慢慢變厚時，這兩種組織的光學性質有什麼 樣的變化。再決定厚度之後要來決定模擬空間的寬度(y 方向)，寬度影響最多的是 當光從光源發射後，光的能量會因為繞射而朝四周散開，為了不讓光在傳播一段距 離後有太多的光能量離開模擬空間，必須好好的擬定寬度才行。最後決定介質寬度 為 40μm，而光源寬度為 4μm，如此一來波長為 538nm 的光在經過 4μm 的光源寬 繞射後，大約需要傳播 150μm 的距離，中央亮帶的寬度才會約等於 40μm，因此寬 度 40μm 對於 30μm-60μm 的介質厚度來說是非常足夠的。

4.3 建造仿角膜與仿眼白模型

在設定好這些空間的參數之後，就可以開始建造仿角膜與仿眼白模型了。在第 二章提過角膜與眼白在結構上最大的差異在於膠原纖維的組成，角膜內的膠原纖 維直徑都是均勻的 40nm，且相鄰兩個纖維中心到中心的間距一定維持 80nm 以上 的間距，也就是短程有序的排列方式，但眼白內的膠原纖維直徑從 40nm 到 400nm 都有，而且膠原纖維之間的間距也完全不固定，也就是隨機的排列方式。膠原纖維 是角膜與眼白中最相同的元素，但也是造成它們結構差異的主因，而且也只有膠原 纖維在不同的組織內有不同的光學性質，因此在我們的模型當中只會填入膠原纖 維，其他的物質都當作是填充物。根據上述的條件我們建造了如圖 4.1 的仿角膜與 仿眼白模型。

(a) (b) 圖 4.1 介質厚度(x 方向)與寬度(y 方向)分別是 30μm 和 39μm，若為放入模擬空間 的座標值為 x 軸：8μm-38μm、y 軸：0.5μm-39.5μm，所以模擬空間是 40μm 乘 40μm (a)仿角膜模型 (b)仿眼白模型。

4.4 光源與時間步數

雖然在前面幾個小節中有稍微提到光源的參數，但都是順便提到的，現在要來 正式介紹我們的模擬光源。光源擺放的位置是在模擬空間的最左邊，x 軸的座標值 為 0.1μm-0.5μm、y 軸的座標值為 18μm-22μm，也就是一個窄長方形的光源，而光 源寬為 4μm，而光波長為 538nm。光從光源出發，由左到右傳播，然後與介質發生 作用。在 4.2 小節有提到介質範圍是從 x = 8μm 開始擺放，預留 8μm 就是為了擺 放光源，讓光源與介質不重疊，並且讓光先傳播一段距離，確認光在我們所創造的 空間中已經穩定之後再打入介質。

在時域擬譜法當中光可以傳播多遠的距離完全是由時間步數(time-step)來決定，

一定要有足夠的時間步數才能讓光完整的經過整個模擬空間，得到正確的模擬結 果，但過多的時間步數只是在浪費模擬時間，也不會增加模擬結果的精確度。因此 要找到合適的時間步數是需要透過詳細的計算與嘗試的，透過下面的式子可以計 算出光在真空中傳播一段距離所需要的時間步數

𝒕𝒊𝒎𝒆 𝒔𝒕𝒆𝒑 = 𝒙 (𝒎) 𝒄 (𝒎/𝒔) × ∆𝒕 (𝒔)

(4.3)

其中 c 為真空中的光速，∆t 為時間解析度，x 為預期傳播的距離。若要在真 空中傳播 20μm 的距離，經過式 4.3 的計算可以得知至少需要 4445 的時間步數才 足夠，但當光因為介質產生散射時，光會改變傳播方向，導致傳播的距離會增加，

而且光速也會因為折射率增加而降低，因此時間步數需要增加，但因為這些反應過 程十分複雜、難以利用人工計算，所以我們決定嘗試不同的時間步數，找出最合適 的時間步數。我們分別測試了 5000、7000、9000、12000、20000、30000 的步數，

且讓光分別在 20μm 乘 20μm 的仿角膜與仿眼白模型中傳播。接著比較各個步數之 間的差異，我們假設 30000 步已經足以讓模擬結果穩定，並以 30000 步的模擬結 果當作標準，將其它步數的模擬結果與 30000 步的結果計算方均根誤差(RMS error)，

其結果如表 4.1

角膜：

時間步數 5000 7000 9000 12000 20000

方均根誤差 0.0162 0.0081 0.0031 0.0023 0.0031

眼白：

時間步數 5000 7000 9000 12000 20000

方均根誤差 0.2855 0.0622 0.0080 0.0039 0.0049 表 4.1 計算不同的時間步數與 30000 步分別在角膜模型與眼白模型中傳播的方均 根誤差。

從表 4.1 的結果來看，當光在角膜模型中傳播時，只要時間步數大於等於 7000 步之後，方均根誤差都在同一個數量級，因此判定光需要 7000 步才能完全穿過 20μm 厚的仿角膜模型，模擬的結果才可以達到穩定。但當光在仿眼白模型中傳播 則需要 9000 步以上，方均根誤差才會在同一個數量級，為了統一模擬的參數，所 以不論是在角膜或眼白模型中傳播，只要光每傳播 20μm 的距離，就需要 9000 的 時間步數。

4.5 真實組織與模擬模型

在我們所建立的模型當中，並不是百分之百的跟真實組織相同，某些部分是簡 化真實組織之後得來的，在過去也是有許多物理問題也經由簡化之後，才能找出問 題的核心，因此在這一小章節要來討論我們簡化的部份，哪些部份與真實組織不同，

是否會影響模擬的結果。第一個簡化的部份就是模型當中只有膠原纖維與填充物 質這兩種成份，但如同第二章所介紹的，填充物質當中包含了許多的物質，每一個 物質都有各自的折射率，而且角膜與眼白的物質也不盡相同，但在模型當中將角膜 與眼白的填充物質的組成當作一樣，而且也不細分各個物質，全部都歸納為填充物 質。然而這一切的簡化過程都是為了要減少角膜與眼白模型之間的差異，好讓我們 可以確認這兩個模型之間光學性質的差異完全是因為膠原纖維的組成不同所致。