套裝數學軟體於教學之應用

除了上述自行發展的教學工具外，市面上還有已經存在的數學軟 體，這些軟體功能都很強大，可以擁來做各種計算與繪圖，原則上都 可 以 用 來 做 教 學 輔 助 工 具 ， 其 中 最 有 名 且 常 用 的 有 Macsyma 、 Mathematica 和 Maple，以下就依軟體在市場上出現順序，做一概略 性的介紹。

Macsyma 是美國麻省理工學院(MIT) 於 1969 年研發成功﹐可在 電腦上執 行數學 (不僅是算術)運算的軟體，特色為可以執行符號運 算（general-purpose Symbolic Computation systems.）。基本上﹐

這類的軟體有三種不同的 功能：

1. 符號運算 (symbolic manipulations)。譬如代數運算、微積 分等

2. 數值分析 (numerical computations)

3. 繪圖表示 (graphical representations) 運算所得之函數或 數據

其中最大的突破是符號運算的部分。一般程式都可以把解答解出 來，但是那是數值的解答，符號運算可以告訴使用者一個方程式的通 解為何，而非數字而以。如此完整的整合允許使用者更能深入地探索

其允許使用者自行寫程式的特性，因此其功能隨著使用者增加而快速 增加，甚至有「只要是人能做的計算，Macsyma 都做得到」的說法。

但究竟這只是以人工智慧觀念發展的軟體，其程式錯誤與弱點很快就 顯現出來，因此讓其他類似產品有機會上市。

Mathematica 是一套由 Wolfram Research, Inc. 在 1970 中所 開發的數學軟體，目前已到第五版，一樣不只可以做數值運算，它的 代數符號運算能力跟 Macsyma 不相上下，而其網路版 webMathematica 的出現，使我們可以將它的強大運算能力放在網路上，讓所有人共 用，就如在我們線上計算網頁上所展示的幾個例子一樣，更增加其普 及性，因此目前最普遍流行的，似乎是 Mathematica。 Maple 為是加 拿大滑鐵盧大學的研究成果，於 1985 年公開發行銷售，但剛開始十 年其軟體問題很多，一直到最近改版(最新版是 MAPLE VI)才做了大 幅修正與功能增強，使用的人才漸漸增加。

這些軟體的使用方式相同，在使用過程中就是不斷的叫不同模組 來執行運算的動作，在執行符號運算時，能做的功能很多，以下列出 一些工程與教學用的到的功能。

微積分：微分與積分之數值或符號運算、極限、級數和等 解方程式：線性, 非線性方程組、微分方程之符號、數值或級數 解，遞迴關係

基本及特殊函數：三角函數、指數函數、誤差函數、對數函數、

Bessel 函數、Zeta 函數、Gamma 函數、超幾何(Hypergeometric) 函 數等等

線性代數：矩陣運算、方程式解、特徵值、特徵向量、特殊矩陣

其它計算工具（工程相關）：組合綸、複數、微分型 (Differential Forms)、Integral Transforms、線性最佳化、數論 (Number Theory)、

數值近似、正交多項式、平面幾何、統計等等

繪圖：2D 繪圖（含保角映射、等高線）、3D 繪圖（含曲面）

動畫：2D 及 3D 以交談式製作

輸出格式：出到 Postscript, LaTeX、或將式子轉換為 Fortran 或 C 的程式碼

基本上這些程式能做一個大學畢業生能做的幾乎所有的數學 題，從簡單的代數運算直到解偏微分方程。以下以一個簡單的立自來 說明符號運算的方式。例如進入 Mathematica 的視窗後，要求多項式 或有理數多項式方程的根，可以輸入

Solve[方程式,變數]；

答案就會出來。例如解兩個聯立方程式求解 x,y，可以輸入

程式的輸出為 x=-1,y=2

這就是標準答案。同理，若輸入 Solve ( diff(y,x)-x, y )

因此這類功能事實上對學生學習工數或其他需用數學工具的科 目，會有一定的幫助。而大學部學生需學習工程數學的範圍，已經完 全包含在這些軟體的功能範圍內。有許多學校（如台灣大學與中央大 學）早已或正在開設教學生這些軟體的課程，因為這些軟體應用範圍 很廣，因此往往是結合一種主要應用，來教相關的軟體功能。

最新的版本繪圖工具都相當完善，更可做出動畫來展示，因此一 個使用者可以完全依賴軟體達到成果展現的目的，但是一般測試的結 果，整體表現仍不如專業套裝繪圖軟體。

這類軟體最大的缺點，是缺乏與其他程式的介面，如果今天有位 老師要用 Ceiba 製作教學用工具，有些部分想借重 Macsyma 的計算能 力，例如想考學生懂不懂基本觀念，要求學生寫計算步驟，每一步驟 由 MACSYMA 去算，就會因為沒有兩個軟體的介面而失敗。因此這些人 工智慧軟體目前為複雜研究工作的好幫手，但是卻無法在簡易互動教 學中用到。雖然軟體能將式子轉換為 Fortran 或 C 的程式，但是只 是一個文字檔，並非真正介面，因此此種功能只有在推導出複雜的算 式時才用的到。

而不同於上述的軟體其他還有如 Matlab 和 MatCad，這些雖然功 能也很多，但是仍然只是一般程式語言且多偏單方向用途，如 Mathlab 就不能表現計算過程，功能上偏重矩陣運算，嚴格說只能執行數值運 算，而無符號運算功能，但是隨著時間發展，其功能的擴展，值得注 目等待。