如何密鋪整個平面

由數學骨架的定義可以知道數學骨架的面積與平移單位的面積相同，也就是 一個多邊形的數學骨架可以經由裁切與拼貼，變成一個有趣的平移單位，但要如 何裁切與拼貼才能密鋪又能不失生動活潑呢？接下來延續上一節的例子繼續往下 探究。

平移─以《E022 鳥與魚》為例：圖 3.2.1 的黑色平行四邊形為左魚右鳥的數學 骨架，也就是此平行四邊形可以經由裁貼變成魚與鳥的鑲嵌圖案。圖 3.2.2 為平行 四邊形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉七小塊，再拼貼至正確的 位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。

在拼貼的過程中可以發現規律：裁左邊拼貼至右邊、裁右邊拼貼至左邊、裁上面 拼貼至下面、裁下面拼貼至上面。這與密鋪的方式有這很大的關係，這也是為什 麼如此裁貼出的鳥與魚可以密鋪平面。

圖 3.1.26 圖 3.1.27

圖 3.2.1 圖 3.2.2

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先將平行四邊形密鋪於平面，並留下裁切線，如圖 3.2.3。將裁切線以及輪廓 線畫至與其相鄰的平行四邊形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊 平行四邊形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以 密鋪平面的鑲嵌圖案。將一個平行四邊形的裁貼經由想像擴大到無窮多的平行四 邊形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。

旋轉─以《E021 小丑》為例：圖 3.2.4 的黑色正六邊形為小丑的數學骨架，也 就是此正六邊形可以經由裁貼變成小丑的鑲嵌圖案。圖 3.2.5 為正六邊形裡的裁切 線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉七小塊，再拼貼至正確的位置，以大寫英 文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中 可以發現：A、D、G 以 O 點為旋轉點拼貼至 a、d、g，B、E 以 P 點為旋轉點拼 貼至 b、e，C、F 以 Q 點為旋轉點拼貼至 c、f。這與平移單位的密鋪方式有這很 大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的小丑可以密鋪平面。

先將正六邊形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.6。將裁切線及輪廓線 畫至與其相鄰的正六邊形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊正六

圖 3.2.3

圖 3.2.4 圖 3.2.5

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邊形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於 平面的鑲嵌圖案。將一個正六邊形的裁貼經由想像擴大到無窮多的正六邊形一起 裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。

鏡射─以《E096 天鵝》為例：圖 3.2.7 的藍色鳶形為天鵝的數學骨架，也就是 此鳶形可以經由裁貼變成天鵝的鑲嵌圖案。圖 3.2.8 為鳶形裡的裁切線及拼貼後的 輪廓線，裁切部分需剪掉五小塊，再拼貼至正確位置，以大寫英文字母表示需裁 切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：每一 塊都是以鉛直線為鏡射軸鏡射拼貼。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，

這也是為什麼如此裁貼出的天鵝可以密鋪平面。

先將鳶形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.9。將裁切線及輪廓線畫至 與其相鄰的鳶形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊鳶形，而搬動 的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖

圖 3.2.6

圖 3.2.7 圖 3.2.8

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案。將一個鳶形的裁貼經由想像擴大到無窮多的鳶形一起裁貼，便更能意會鑲嵌 圖形的藝術。

合成─以《E016 狗》為例：圖 3.2.10 的藍色矩形為狗的數學骨架，也就是此 矩形可以經由裁貼變成狗的鑲嵌圖案。圖 3.2.11 為矩形裡的裁切線及拼貼後的輪 廓線，裁切部分需剪掉七小塊，再拼貼至正確的位置，以大寫英文字母表示需裁 切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B 以鉛直線為鏡射軸鏡射往上拼貼至 a、b，C 以水平線為鏡射軸鏡射往右拼貼至 c，

D、E 分別以 O 點及 P 點為旋轉點拼貼至 d、e。這與平移單位的密鋪方式有這很 大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的小丑可以密鋪平面。

先將矩形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.12。將裁切線及輪廓線畫至 與其相鄰的矩形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊矩形，而搬動 的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖

圖 3.2.9

圖 3.2.10 圖 3.2.11

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案。將一個矩形的裁貼經由想像擴大到無窮多的矩形一起裁貼，便更能意會鑲嵌 圖形的藝術。

圖 3.2.12

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