尋找數學骨架

從數學觀點看艾薛爾平面鑲嵌版畫

第一節 尋找數學骨架

數學骨架可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，但究竟如何判斷一個鑲 嵌圖案的數學骨架是什麼形狀的多邊形呢？我們可以由密鋪平面的三種方式平移、

旋轉及鏡射來尋找蛛絲馬跡。下面依平移、旋轉及鏡射分別說明如何由密鋪方式 尋找其數學骨架。

平移─以《E022 鳥與魚》為例：先觀察圖 3.1.1 的平移單位是什麼？一隻魚及 一隻鳥，魚和鳥有好幾種組合，可以是左右及上下，這裡以左邊魚右邊鳥（圖 3.1.2 的綠框）為此鑲嵌版畫的平移單位來說明。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪 整個平面？觀察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，藍框為綠框左右平移，而 紫框為綠框上下平移，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方 形、矩形或平行四邊形。

這數學骨架除須滿足兩對邊互相平行，還須滿足一個數學骨架只能有一個平 移單位。如圖 3.1.3 當畫了下面那一條黑色的邊時，對邊必須是紅色的線之一，另 一對邊則將黑線與紅線端點相連。此平行四邊形即為鳥與魚的數學骨架（圖 3.1.4）， 檢查是否只包含一個平移單位並仔細觀察此平行四邊形的四個頂點有什麼特點，

圖 3.1.1 E022 鳥與魚 圖 3.1.2

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可以發現此平行四邊形不僅只包含一個平移單位且四個頂點“皆為”魚鰭尖端

（或鳥嘴）。

圖 3.1.5 的平行四邊形也是鳥與魚的數學骨架，不僅只包含一個平移單位且其 四個頂點“皆為”魚前鰭尖端（或鳥尾巴）。除了尋找共同點，還有其他可能嗎？

將黑色平行四邊形的底邊往水平方向平移一些距離，如圖 3.1.6 的紅色平行四邊形，

再檢查是否滿足數學骨架的定義。

由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為平移的數學骨架時，依平移單位 可以選四個共同點相連，如《E074 鳥》（圖 3.1.7）的平移單位是鳥，選其鳥的頭 頂為共同點，則此紅色平行四邊形即為鳥的數學骨架。將紅色平行四邊形的某條 邊向平行自己的方向平移仍是鳥的數學骨架（圖 3.1.8）。因此每個人所選的頂點不 同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。

圖 3.1.3 圖 3.1.4

圖 3.1.5 圖 3.1.6

圖 3.1.7 圖 3.1.8

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旋轉─以《E021 小丑》為例：先觀察圖 3.1.9 的平移單位是什麼？一個小丑，

我們以頭上腳下的小丑作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找小丑的數學骨 架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面? 觀察圖 3.1.10 綠框的平移單 位與其相鄰的平移單位的關係，籃框為綠框以右腳後跟為旋轉點，一次旋轉 120 度，紫框是綠框的額頭為旋轉點，而紅框是綠框的左膝蓋為旋轉點。可進一步觀 察到如果將綠框及藍框視為一個鑲嵌圖案，即可密鋪平面。另外兩種顏色框同理。

由此可以推測這三個旋轉點為數學骨架的其中三個頂點，滿足這種特性的數學骨 架會是哪個多邊形呢？

可以知道每個旋轉點的角度皆為 120 度，因此數學骨架可能為正六邊形，因 為正六邊形的每個角度為 120 度，如圖 3.1.11 的正六邊形，檢查其是否滿足數學 骨架定義？小丑的數學骨架還有可能是哪個多邊形呢？圖 3.1.12 的同心圓為平移 單位鄰近的旋轉點，任選一個同心圓作為數學骨架的其中一個頂點，則此數學骨 架為菱形，且內角為60 -120 -60 -120 ，檢查此菱形否滿足數學骨架定義？由原 圖的鉛筆痕跡可知看出當年艾薛爾就是用菱形的數學骨架來拼出小丑的。

圖 3.1.9 E021 小丑 圖 3.1.10

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由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在平移單位 上挑出旋轉點，如《E004 稻草人》（圖 3.1.13）的平移單位是一個稻草人，黑色點 為平移單位的旋轉點，這三個旋轉點即為數學骨架的其中三個頂點，再依密鋪方 式選擇正確的數學骨架。圖 3.1.14 的同心圓為平移單位鄰近的旋轉點之其中一點，

圖中的菱形是稻草人另一種數學骨架。因此每個人選的旋轉點不同，就會有不同 的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。

鏡射─以《E096 天鵝》為例：先觀察圖 3.1.15 的平移單位是什麼？一隻天鵝，

我們以綠框的天鵝（圖 3.1.16）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找天鵝的 數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面呢？觀察綠框的平移單 位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為綠框左右平移，紫框為綠框先以鉛直線為 鏡射軸鏡射，再上下貼齊，黃框為紫框左右平移。

圖 3.1.11 圖 3.1.12

圖 3.1.13 圖 3.1.14

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可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形、平行四 邊形或鳶形，因為左右為平移，試著依平移密鋪的結論，先選共同點如選天鵝的 頭（圖 3.1.17），檢查所選的數學骨架是否滿足其定義，檢查後可以知道此平行四 邊形即為天鵝的數學骨架。在鏡射情況使用平移密鋪的結論時，必須留意上下天 鵝有對鉛直線鏡射的關係，如圖 3.1.18，經檢查後發現藍色平行四邊形不是天鵝的 數學骨架，因為藍色平行四邊形對鉛直線鏡射後，無法與原藍色平行四邊形上下 密合。

如果選的共頭點同樣為天鵝的頭，如圖 3.1.19，數學骨架變為鳶形（箏形），

檢查後可以發現其滿足數學骨架的定義，也能依天鵝密鋪方式密鋪平面。

圖 3.1.15 E096 天鵝 圖 3.1.16

圖 3.1.17 圖 3.1.18

圖 3.1.19

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由上述可以得到下面的結論：尋找密鋪方式為鏡射的數學骨架時，在平移單 位上挑出四個共同點相連，如《E034 鳥與魚》（圖 3.1.20）的平移單位是一隻鳥搭 配一隻魚，取其平移單位為左魚右鳥，並挑魚嘴為共同點，所以圖 3.1.20 的數學 骨架為平行四邊形；圖 3.1.21 的共同點一樣取的是魚嘴，卻有不同形狀的數學骨 架。因此每個人選的共同點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不 唯一。

合成─以《E016 狗》為例：先觀察圖 3.1.22 的平移單位是什麼？一隻狗，我 們以綠框的狗（圖 3.1.23）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找狗的數學骨 架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面? 觀察綠框的平移單位與其相 鄰的平移單位的關係，紅框為綠框以鉛直線為鏡射軸鏡射並上下貼齊，藍框為綠 框以水平線為鏡射軸鏡射並左右貼齊，則紫框為藍框以鉛直線為鏡射軸鏡射並上 下貼齊，也就是綠框分別以背及腳底中間為旋轉點並旋轉180 。

滿足這種密鋪方式的多邊形為正方形及矩形，但頂點該如何選擇呢？仿照尋 找旋轉密鋪的數學骨架方式，取旋轉點為數學骨架的頂點，如圖 3.1.24，數學骨架

圖 3.1.20 圖 3.1.21

圖 3.1.22 E016 狗 圖 3.1.23

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的兩個頂點分別是綠框狗的背及腳底中間，將這兩點與其鄰近的藍色旋轉點相連，

所形成的矩形即為狗的數學骨架。若頂點不為旋轉點時，矩形的對頂點必須是共 同點，以圖 3.1.25 為例，其中一對頂點為狗鼻子，另一對頂點的相對位置也必須 相同。

由上述可以得到下面的結論：尋找密鋪方式為合成的數學骨架時，先觀察平 移單位如何密鋪平面，並揣測數學骨架，再依前面三種密鋪方式的結論來尋找數 學骨架，以《E058 兩隻魚》（圖 3.1.26）為例，其平移單位是一隻紅魚搭配一隻黃 魚，取黃魚在上紅魚在下（綠框）為平移單位，淺藍色框為綠框以鉛直線為鏡射 軸鏡射並上下貼齊，藍框為綠框以水平線為鏡射軸鏡射並左右貼齊，則紫框為藍 框以鉛直線為鏡射軸鏡射並上下貼齊，也就是綠框以紅魚下魚鰭的一點為旋轉點 旋轉180。圖 3.1.27 的四個同心圓為皆為旋轉點，其中下面兩個同心圓在平移單位 上，上面兩個同心圓是與平移單位鄰近的旋轉點，將四個同心圓相連後所形成的 矩形即為兩隻魚的數學骨架。由《E016 狗》的數學骨架可知，每個人選的頂點不 同，就會有不同的數學骨架，因此數學骨架不唯一，《E058 兩隻魚》有異曲同工 之妙。

圖 3.1.24 圖 3.1.25

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