第二章 文獻探討
第三節 艾薛爾的平面鑲嵌版畫
第二節 艾薛爾創作背景
艾薛爾 1922 年在西班牙旅行時，對格拉納達的阿爾罕布拉宮（Alhambra Palace and Garden）印象深刻，尤其是摩爾式的棋盤形嵌石飾（tessellation），這宮殿是十
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在鑲嵌版畫上所看到的圖案，如：飛魚、螃蟹、蜥蜴等，皆為主題元素，而 數學家稱之為磁磚（tile）。
2.平移單位（sliding cell）
一個圖案能夠以重複的排列方式密鋪整個平面，稱為平移單位。我們以艾薛 爾編號《E022 鳥與魚》(圖 2.3.1)為例，其平移單位是一隻鳥搭配一隻魚，但平移 單位可能不只一種，因為鳥與魚的相對位置可以有魚上鳥下、魚下鳥上、魚右鳥 左或魚左鳥右。
3.數學骨架（lattice）
一個多邊形如果恰好包含一個平移單位且能夠以重複的排列方式密鋪整個平 面，稱為數學骨架，此以艾薛爾編號《E099 飛魚》（圖 2.3.2）、編號《E025 蜥蜴》
（圖 2.3.3）、編號《E011 海馬》（圖 2.3.4）及編號《E042 貝殼與海星》（圖 2.3.5）
為例。
圖 2.3.1 E022 鳥與魚
圖 2.3.2 E099 飛魚 圖 2.3.3 E025 蜥蜴
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圖 2.3.2 的綠框正三角形為飛魚的數學骨架，仔細觀察可以看出正三角形裡的 區塊能拼成飛魚，也就是此正三角形內恰包含一個平移單位─飛魚，由圖 2.3.6 可 以看出此正三角形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.3.3 的紅框正六邊形為 蜥蜴的數學骨架，可以觀察出正六邊形裡的區塊能拼成蜥蜴，由圖 2.3.7 可以看出 此正六邊形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.3.4 海馬的數學骨架為綠框平 行四邊形，此平行四邊形裡的區塊能拼成海馬，由圖 2.3.8 可以看出此平行四邊形 能以重複的排列方式密鋪整個平面；而圖 2.3.5 貝殼與海星的數學骨架為綠框五邊 形，此五邊形裡的區塊可以拼成一隻海星及兩個半貝殼，由圖 2.3.9 可以看出此五 邊形能以重複的排列方式密鋪整個平面。由上述可知，數學骨架的面積等於一個 平移單位的面積。
圖 2.3.4 E011 海馬 圖 2.3.5 E042 貝殼與海星
圖 2.3.6 圖 2.3.7
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艾薛爾將數學骨架主要分成兩大類：三角形及四邊形，其中三角形包含正三 角形及由六個正三角形組成的正六邊形，四邊形包含正方形、矩形、菱形、平行 四邊形及鳶形（箏形），為更清楚區分，本研究將正六邊形歸類在六邊形，為求分 類的完整性亦增加五邊形這一類。
對於如何密鋪平面的問題，艾薛爾整理出三種規則：平移（translation）、軸向
（axes）及滑行鏡射（glide reflection），軸向為以一個點為軸心發展圖案，滑行鏡 射為平移與鏡射的合成，本研究用旋轉表示軸向，並用以下三種規則平移、旋轉 及鏡射來說明如何密鋪平面。我們以艾薛爾的八幅版畫為例，分別說明其數學骨 架為哪一個多邊形以及此數學骨架鋪滿整個平面的方式。
《E099 飛魚》（圖 2.3.6）的數學骨架為正三角形，其密鋪方式為：以飛魚的 右翅為旋轉點一次旋轉 60 度，共六次，圍繞旋轉點的六個正三角形視為一組，形 成正六邊形的數學骨架，再將正六邊形以平移鋪滿方式密鋪於平面。
《E025 蜥蜴》（圖 2.3.7）的數學骨架為正六邊形，其密鋪方式為：以蜥蜴左 臉頰為旋轉點一次旋轉 120 度，共三次，圍繞旋轉點的三個正六邊形視為一組，
再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密鋪於平面。
圖 2.3.8 圖 2.3.9
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《E011 海馬》（圖 2.3.8）的數學骨架為平行四邊形，其密鋪方式為：先將平 行四邊形的左右對邊兩兩貼齊，之後將一平行四邊形旋轉 180 度上下對邊貼齊剛 排好平行四邊形的上下對邊，重複此排列方法密鋪於平面。
《E042 貝殼與海星》（圖 2.3.9）的數學骨架為五邊形，其密鋪方式為：以橙 色貝殼尖點為旋轉點一次旋轉 90 度，共四次，圍繞旋轉點的四個五邊形視為一組，
再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密鋪於平面。
《E013 蜻蜓》（圖 2.3.10）的數學骨架為正方形，其密鋪方式為：將兩隻面對 面的白蜻蜓及兩隻背對背的藍蜻蜓視為一組，再以一組為一個單位以平移鋪滿方 式密鋪於平面。
《E016 狗》（圖 2.3.11）的數學骨架為矩形，其密鋪方式為：先將一個矩形以 水平線為鏡射軸鏡射並朝水平方向密鋪，之後將一矩形以鉛直線為鏡射軸鏡射並 朝鉛直方向密鋪，重複此排列方法密鋪於平面。
《E021 小丑》（圖 2.3.12）的數學骨架為菱形，其密鋪方式為：以小丑膝蓋為 旋轉點一次旋轉 120 度，共三次，圍繞旋轉點的三個菱形視為一組，再以一組為 一個單位以平移鋪滿方式密鋪於平面。
《E096 天鵝》（圖 2.3.12）的數學骨架為鳶形，其密鋪方式為：先將鴛形由 左至右朝水平方向密鋪，之後以鉛直線為鏡射軸鏡射並與上一排鳶形貼齊後朝水 平方向密鋪，重複此排列方法密鋪於平面。
圖 2.3.10 圖 2.3.11
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圖 2.3.12 圖 2.3.13
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第三章
從數學觀點看艾薛爾平面鑲嵌版畫
第一節 尋找數學骨架
數學骨架可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，但究竟如何判斷一個鑲 嵌圖案的數學骨架是什麼形狀的多邊形呢？我們可以由密鋪平面的三種方式平移、
旋轉及鏡射來尋找蛛絲馬跡。下面依平移、旋轉及鏡射分別說明如何由密鋪方式 尋找其數學骨架。
平移─以《E022 鳥與魚》為例：先觀察圖 3.1.1 的平移單位是什麼？一隻魚及 一隻鳥，魚和鳥有好幾種組合，可以是左右及上下，這裡以左邊魚右邊鳥（圖 3.1.2 的綠框）為此鑲嵌版畫的平移單位來說明。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪 整個平面？觀察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，藍框為綠框左右平移，而 紫框為綠框上下平移，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方 形、矩形或平行四邊形。
這數學骨架除須滿足兩對邊互相平行，還須滿足一個數學骨架只能有一個平 移單位。如圖 3.1.3 當畫了下面那一條黑色的邊時，對邊必須是紅色的線之一，另 一對邊則將黑線與紅線端點相連。此平行四邊形即為鳥與魚的數學骨架（圖 3.1.4）， 檢查是否只包含一個平移單位並仔細觀察此平行四邊形的四個頂點有什麼特點，
圖 3.1.1 E022 鳥與魚 圖 3.1.2
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可以發現此平行四邊形不僅只包含一個平移單位且四個頂點“皆為”魚鰭尖端
（或鳥嘴）。
圖 3.1.5 的平行四邊形也是鳥與魚的數學骨架，不僅只包含一個平移單位且其 四個頂點“皆為”魚前鰭尖端（或鳥尾巴）。除了尋找共同點，還有其他可能嗎？
將黑色平行四邊形的底邊往水平方向平移一些距離，如圖 3.1.6 的紅色平行四邊形，
再檢查是否滿足數學骨架的定義。
由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為平移的數學骨架時，依平移單位 可以選四個共同點相連，如《E074 鳥》（圖 3.1.7）的平移單位是鳥，選其鳥的頭 頂為共同點，則此紅色平行四邊形即為鳥的數學骨架。將紅色平行四邊形的某條 邊向平行自己的方向平移仍是鳥的數學骨架（圖 3.1.8）。因此每個人所選的頂點不 同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。
圖 3.1.3 圖 3.1.4
圖 3.1.5 圖 3.1.6
圖 3.1.7 圖 3.1.8
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旋轉─以《E021 小丑》為例：先觀察圖 3.1.9 的平移單位是什麼？一個小丑，
我們以頭上腳下的小丑作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找小丑的數學骨 架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面? 觀察圖 3.1.10 綠框的平移單 位與其相鄰的平移單位的關係，籃框為綠框以右腳後跟為旋轉點，一次旋轉 120 度，紫框是綠框的額頭為旋轉點，而紅框是綠框的左膝蓋為旋轉點。可進一步觀 察到如果將綠框及藍框視為一個鑲嵌圖案，即可密鋪平面。另外兩種顏色框同理。
由此可以推測這三個旋轉點為數學骨架的其中三個頂點，滿足這種特性的數學骨 架會是哪個多邊形呢？
可以知道每個旋轉點的角度皆為 120 度，因此數學骨架可能為正六邊形，因 為正六邊形的每個角度為 120 度，如圖 3.1.11 的正六邊形，檢查其是否滿足數學 骨架定義？小丑的數學骨架還有可能是哪個多邊形呢？圖 3.1.12 的同心圓為平移 單位鄰近的旋轉點，任選一個同心圓作為數學骨架的其中一個頂點，則此數學骨 架為菱形，且內角為60 -120 -60 -120 ，檢查此菱形否滿足數學骨架定義？由原 圖的鉛筆痕跡可知看出當年艾薛爾就是用菱形的數學骨架來拼出小丑的。
圖 3.1.9 E021 小丑 圖 3.1.10
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由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在平移單位 上挑出旋轉點，如《E004 稻草人》（圖 3.1.13）的平移單位是一個稻草人，黑色點 為平移單位的旋轉點，這三個旋轉點即為數學骨架的其中三個頂點，再依密鋪方 式選擇正確的數學骨架。圖 3.1.14 的同心圓為平移單位鄰近的旋轉點之其中一點，
圖中的菱形是稻草人另一種數學骨架。因此每個人選的旋轉點不同，就會有不同 的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。
鏡射─以《E096 天鵝》為例：先觀察圖 3.1.15 的平移單位是什麼？一隻天鵝，
我們以綠框的天鵝（圖 3.1.16）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找天鵝的 數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面呢？觀察綠框的平移單 位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為綠框左右平移，紫框為綠框先以鉛直線為 鏡射軸鏡射，再上下貼齊，黃框為紫框左右平移。
圖 3.1.11 圖 3.1.12
圖 3.1.13 圖 3.1.14
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可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形、平行四 邊形或鳶形，因為左右為平移，試著依平移密鋪的結論，先選共同點如選天鵝的 頭（圖 3.1.17），檢查所選的數學骨架是否滿足其定義，檢查後可以知道此平行四 邊形即為天鵝的數學骨架。在鏡射情況使用平移密鋪的結論時，必須留意上下天 鵝有對鉛直線鏡射的關係，如圖 3.1.18，經檢查後發現藍色平行四邊形不是天鵝的 數學骨架，因為藍色平行四邊形對鉛直線鏡射後，無法與原藍色平行四邊形上下
可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形、平行四 邊形或鳶形，因為左右為平移，試著依平移密鋪的結論，先選共同點如選天鵝的 頭（圖 3.1.17），檢查所選的數學骨架是否滿足其定義，檢查後可以知道此平行四 邊形即為天鵝的數學骨架。在鏡射情況使用平移密鋪的結論時，必須留意上下天 鵝有對鉛直線鏡射的關係，如圖 3.1.18，經檢查後發現藍色平行四邊形不是天鵝的 數學骨架，因為藍色平行四邊形對鉛直線鏡射後，無法與原藍色平行四邊形上下