第四章 研究與結果
第三節 學生的乘法學習表現
壹、學生的先備能力檢驗
加法為學習乘法的重要基礎，在乘法學習前，為了確實掌握學生在加法方面 的能力如何，於是在前測驗的部分編擬了一份加法的試題，包含選擇、計算及文 字題，從多面向的角度出題，希望能客觀的測量出學生真正的加法能力來，並請 本縣國教輔導團數學領域的輔導員審題，以求試題的內容效度，試題內容請參閱 附錄一。學生答題情形如下：
一、選擇題（共 6 題）
最高答對題數 6 題，最低答對題數 3 題。答對題數分布如下：
表 4-3-1 前測選擇題答題分析
班級人數 答對 6題者 答對5 題者 答對 4題者 答對 3題者 27人 23人 0人 4人 0人 百分比（％） 85％ 0 15％ 0 資料來源：研究者自行整理
加法能力測驗在選擇題的部分幾乎多數的學生都全數答對，有 23 位；另外，
有 4 位則是答錯二題，答錯題目的原因幾乎都是對題意不清楚，或是連加時加錯 了，以至於選錯答案。
前測卷：選擇題部分錯誤解題舉隅
用 15 公分的尺量一條帶子，剛好量了三次，帶子長有幾公分？
3 公分15 公分18 公分45 公分
十位數的加法是一年級就已經學過的，所以二年級的孩子應該是有能力可以 解這樣的題目；而 S1、S11、S26 在這題都選擇了 3，很明顯的對於題目的重點 無法掌握，就將 15 和 3 加起來，得到 18 的答案，答錯的原因不是在加法的技能 上，而是無法理解題意。
二、計算題（共 4 題）
最高答對題數 4 題，最低答對題數 1 題。答對題數分布如下：
表 4-3-2 前測計算題答題情形
班級人數 答對 4題者 答對 3題者 答對 2題者 答對 1題者 27人 24人 2人 0人 1人 百分比（％） 89％ 7％ 0 4％
資料來源：研究者自行整理
計算題的部分全部答對的人更多，有 24 位，答對 3 題者有 2 位，另外有一 位只答對一題。題目都是二位數以內的加法，研究者分析答錯的原因大部分都是 因為忘了進位或不需進位卻進位而計算錯誤，但多數的學生在這個部份的技能是 沒有問題的。
前測卷：計算題部分錯誤解題舉隅
58 34 + 9 + 42
57 86
忘了進位 不需進位
三、文字題（共 3 題）
最高答對題數 3 題，最低答對題數 0 題。答對題數分布如下：
表 4-3-3 前測文字題答題情形
班級人數 答對 3題者 答對 2題者 答對 1題者 答對 0題者 27人 16人 5 人 6人 0人 百分比（％） 59％ 19％ 22％ 0
資料來源：研究者自行整理
文字題因為需要理解題意才能順利解題，全數答對的人明顯減少一些，只有 16 位，答對 2 題及 1 題者則分別有 5 位及 6 位。研究者分析學生前測卷的文字題 發現到最多人答錯的題目為：
老師將全班分成 4 組，一組有 7 個人，請問全班有幾個人？
錯誤解題算式一：4+7＝11 （6 位）
錯誤解題算式二：7+7＝14 （2 位）
從上面的錯誤解題算式中可以發現學生對於文字題的題目是在一知半解的情 況下，就隨意的將題目中的可以找到的兩組數字相加，所列出來的算式連自己都 無法解釋，研究者認為學生會有這樣的解法最主要的還是對題目的意思不了解，
於是，研究者將這幾位學生（S1、S2、S11、S3、S23、S21、S22、S18）找來，
請他們再將這一題算一次，但這次在題目的旁邊多了圖示：
老師將全班分成 4 組，一組有 7 個人，請問全班有幾個人？
○○○○○○○ ○○○○○○○
○○○○○○○ ○○○○○○○
解題算式一：7+7+7+7＝28 （4 位）
解題算式二：14+14＝28 （1 位）
多了圖示的輔助，這 5 位（S2、S 11、S23、S22、S18）學生果然順利答對，這不 但顯示出圖示可以促進學生對於題目的理解，也再一次確認學生在加法上的計算
是沒有問題，具備可以學習乘法的基礎。
透過以上的前測結果分析，研究者對於每一個學生的學習基礎有了更清楚的 瞭解，除了 S1、S3 在先備能力（加法技能及理解題意）上較為不足外，其餘學 生應該可以藉由既有的數學能力，透過繪本教學後，順利發展出乘法能力來。
貳、乘法概念建立過程
一、圖示活動表示等值群組
導讀完「阿曼達的瘋狂大夢」這本繪本後，在延伸活動中，首先，教學者先 讓學生利用點數的方式算出繪本中等值群組的總數：
〈繪本情境佈題〉例：一排書架有幾本書？有幾排？整座書櫃有幾本書？
例：每一扇窗戶有幾個窗格？有幾扇窗戶？這棟建築物上共有 幾個窗格？
以上的題目學生都能用點數的方式算出一排書架有 9 本書，有 7 排，點數結 果總共有 63 本書；一扇窗戶有 4 個窗格，有 8 扇窗戶，點數結果總共有 32 個窗 格。點數活動是學生早就具備的能力，而在這之前學生也有數到 200 的經驗，所 以這個活動進行的很順暢，只有極少數的人在點數時因為疏忽而重複點數或漏點 了。
利用點數的方式算出不超過百位的總數，對二年級的孩子來說幾乎不成 問題，每位學生都能答對老師的題目，連 S1 和 S3 也都數對了，這個部份應 該讓他們增加不少信心。（961213 觀）
教學者為了讓學生利用累進性合成運思策略，學習重複製作集聚單位以進行 點數，並往下發展出累加活動，於是在點數活動之後，引導學生先理解題意，再 加上圖示後，才進行點數：
〈繪本情境佈題〉例：櫥櫃裡，一排有 3 個蛋糕，3 排共有幾個蛋糕？
圖 4-3-1 S9 上課記錄 961213
〈繪本情境佈題〉例：一盒有 4 枝棒棒糖，5 盒共有幾枝棒棒糖？
圖 4-3-2 S8 上課記錄 961213
研究者要求學生將繪本當中的插圖用自己的表徵方式畫下時，學生們並沒有 發揮多少的創意，大部分的學生只是將插圖上的實物畫下，但即使是如此，讓學 生理解題意並加上圖示後再進行點數，其一方面可以訓練學生將獨立物件看成數 的集合，另一方面也讓學生不會因為無規則性的點數造成點數錯誤。以上的圖示 雖然可以呈現題意，但並不是最好又最快的方式，研究者希望學生試試利用別的 方法來表徵，因此研究者繼續引導學生：
961213 課 T：老師看到很多小朋友把蛋糕和棒棒糖都畫得很好喔！但是畫了很久 耶！
961213 課 S：不會啊！
961213 課 T：可是如果老師出的題目數字大一點的話，小朋友可能要花更多的時 間才能畫好，對不對？
961213 課 S：對！
961213 課 T：好！那有沒有可以畫得更快的方法？是不是一定要畫蛋糕和棒棒糖
？可不可以畫別的圖形來代替蛋糕和棒棒糖？或是你有更好的方 法？
961213 課 S7 ：畫圈圈。
961213 課 S23：畫星星。
961213 課 S26：也可以畫三角形啊！
961213 課 T ：可以啊！那現在我們再把蛋糕那一題用別的方法重新畫一次，可 是不能像剛剛用了那麼多的時間喔！好，開始！
〈重複佈題〉例：櫥櫃裡，一排有 3 個蛋糕，3 排共有幾個蛋糕？
圖 4-3-3 S5 上課記錄 961213
圖 4-3-4 S10 上課記錄 961213
經過教學者的引導之後，學生在圖示的呈現上有了新的想法，雖然大多數的 學生所畫的都是像圖 4-3-3 的表徵方式，但還是有少數幾個呈現了圖 4-3-4 的樣貌，
這是研究者最希望學生能夠自行建構出的表徵方式，除了 S10 外，S16、S27 也 都呈現這樣的記錄方法，教學者便將 S10 的記錄呈現給全班看，並與全班討論。
961213 課 T ：你們看 S10 的記錄不太一樣喔！
961213 課 S16：老師，我也是寫這樣！
961213 課 T ：有，老師看到了，還有 S27，他們的記錄和大家都不一樣喔！我 們先請 S10 來說說看為什麼要這樣記，S16 和 S27 可以再幫他補 充，或是你們有什麼想法再舉手說。來，S10 你先把你的記錄解
釋給大家聽。
能正確告知答案，在後測的檢驗中，也可以發現學生確實理解了這個部分的概念，
除此之外，研究者也發現透過圖示的輔助對於學生在學習乘法算則時有很大的幫 助，待陳述該該活動時再詳細說明。
二、累加活動解決等值群組的總數未知乘法問題
在二年級階段的學生之數概念運思發展正處於序列性合成運思、累進性合成 運思以及部份—全體運思三個階段的過渡時期，學生是否能順利發展並提昇自身 的能力，教師的引導與教學相當重要。在點數活動之後，教學者要求學生將數的 過程用算式寫下來，發現學生對於重複製作集聚單位以進行點數活動和運用累加 策略來解題的成功率相當高。
〈繪本情境佈題〉例：每輛腳踏車有 2 個輪子，5 輛腳踏車共有幾個輪子？
學生的作答情形大致分為以下兩種，有些學生還能利用兩種不同表徵方式來 呈現題意，如圖 4-3-5，顯示學生能以多重表徵來代表某一概念，並且不同的表 徵還可以互相轉換。
圖 4-3-5 S25 上課記錄 961213
圖 4-3-6 S8 上課記錄 961213
多數學生還是以圖 4-3-5 的呈現為主，可能是因為這個題目數字太簡單的關 係，學生很容易就算出 2 連加 5 次等於 10 的答案，幾乎沒有學生算錯。於是研 究者又佈了一題之前算過但數字較大的題目重新讓學生再算一次，剛剛是用點數 的，現在用累加的，請學生前後驗證一下不同的算法，可以發現到，當累加的數 字較大的時候，就有部分的學生在計算上出現失誤。以下為學生的解題示例：
〈繪本情境佈題〉例：一排書架有 9 本書，有 7 排，總共有幾本書？
圖 4-3-7 S16 上課記錄 961213
圖 4-3-8 S10 上課記錄 961213
以上兩位學生只是算式寫法不同，但都解出正確答案，班上的學生以圖 4-3-8 呈現的較多，但研究者發現以圖 4-3-8 方式呈現的學生也較多錯誤。這兩個題目 學生在解題的過程花了比較多的時間，而總數算錯的人也明顯增加，雖然學生知 道使用累加的策略解題，但容易在過程中就加錯，而一路錯下去，如圖 4-3-9。
圖 4-3-9 S19 上課記錄 961213
或者有些學生會被繁瑣的過程記錄所混淆，因而會出現多加幾次、少加幾次 的情形，如圖 4-3-10。
圖 4-3-10 S24 上課記錄 961213
雖然累加策略的過程會出現計算上的失誤，但此過程是學習「幾的幾倍」的 前置概念，學生必須理解某數加了幾次，就是某數的幾倍，而累加策略就是建構 此概念的過渡時期，所以此步驟不可省略，但也因為計算的繁瑣，反而讓學生體 會到背乘法表的重要。
三、累加活動與乘法算則並用解決等值群組的總數未知乘法問題
三、累加活動與乘法算則並用解決等值群組的總數未知乘法問題