第三個將描述學生 L 的改變，L 她是一位程度較差的學生。
(一) 前後測各題解題歷程與時間分析之比較 第一題
1 前測解題歷程與時間分析
圖 4-2-25 L 前測第一題原案分析的時間架構表徵圖
由圖 4-2-25 可知，L 只經歷了讀題、探索等二個階段轉換，其中以探索階段 所花的時間較長，但最後並未獲得正確的答案。以下是各階段解題歷程分析：
(1) 讀題階段：能正確地讀出題目，並以畫底線的方式標記部分的關鍵數字【長 是 30 公尺、寬是 20 公尺】
(2) 探索階段：A.求長與寬的最小公倍數，卻不瞭解為什麼【先找 30 跟 20 的最 小公倍數】。
B.不清楚最小公倍數 60 有何用處，且未完全瞭解題意，又算出 長方形與正方形的面積【30 × 20 = 600、10 × 10 = 100】。
C.無法瞭解「每邊增加多少」與「375」的關係。
綜合上述 L 的解題歷程可知，L 在讀完題目後，即進入探索的階段。由於不 清楚題意，因此也就不清楚解題的目標，故在探索階段的解題行為，只是盲目的 拼湊數據，最後只好放棄作答。
每一階段所花的時間及順序 階段
讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證
花 費 的 時 間(分)
2 4 6 8 10
54
105
2 後測解題歷程與時間分析
圖 4-2-26 L 後測第一題原案分析的時間架構表徵圖
由圖 4-2-26 可知，L 共經歷了讀題、探索、分析、計劃、執行、驗證等六個 階段轉換，其中以執行階段所花的時間最長，最後的驗證階段，發現所得的答案 符合題目的條件，故肯定自己獲得正確的答案。以下是各階段解題歷程分析：
(1) 讀題階段：能正確讀出題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出來【20 公尺的正方形、長寬相差 4 公尺、80 平方公尺】。
(2) 探索階段：A.在未完全瞭解題意前，將可進行運算的數字做運算【20 × 20 = 400】。
B.不太明白「長寬相差 4 公尺」意思，嘗試性地先假設未知數【設 長 x，寬…】。
(3) 分析階段：能正確指出正方形土地面積與柵欄所圍長方形區域面積之間的關 係【400 – 80 = 320，320 是長方形土地】。
(4) 計劃階段：經過探索和分析階段後，確定解題方向，並列出方程式【x(x + 4)
= 320】。
(5) 執行階段：針對計劃階段所列出的方程式，在此階段進行計算的工作，但解 出的答案有點小差錯【(x – 16)(x + 20) = 0，x = 16、20】。
(6) 驗證階段：對執行階段所求得的答案進行驗算的工作，雖未發現計算錯誤的 每一階段所花的時間及順序
階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證
花 費 的 時 間(分)
2 4 6 8 10
37
23 78
39
47 123
地方，卻不影響作答的結果。
綜合上述 L 的解題歷程可知，L 在讀完題目後，即進入探索的階段，將題目 可進行運算的數字進行運算，並且嘗試性地假設出未知數：
師：好，長跟寬的關係，長是 x、寬是 x+ 4，你覺得這樣子有沒有 問題？
L：……
師：長跟寬？你對長跟寬了解多少？
L：哦，因為題目說它們相差 4，我不知道是 x – 4 還是 x + 4？
師：那在你的印象當中，長和寬有沒有大小之分？譬如說：哥哥和 弟弟…誰的年齡比較大？
L：喔喔喔…長比較長…。
師：所以你的寬設成這樣子，你覺得合理嗎？
L：不合理…。
師：所以你求出來的答案，長反而比寬還要短…
L：喔，所以它們要對調。
(引自 L 後測訪談 100595)
L 在解題時並未清楚長與寬的大小關係，不過在後測訪談時經由研究者的引 導，L 便能說出「長比較長」，並認為應將長與寬對調假設。雖然是錯誤的假設，
仍做了有效的分析，並且在計劃階段列出了一個一元二次方程式。接下來的執行 階段中也出現了小差錯【(x – 16) (x + 20) = 0，x = 16、20】，不過其後驗證階段中 所決定的答案，與正確答案仍是相符的。
3 綜合比較
表 4-2-17 L 前後測第一題各階段歷時百分比
前測 後測
讀題 54 秒 34% 37 秒 11%
分析 0 秒 0% 23 秒 7%
探索 105 秒 66% 78 秒 22%
計劃 0 秒 0% 39 秒 11%
執行 0 秒 0% 123 秒 35%
驗證 0 秒 0% 47 秒 14%
總和 159 秒 100% 347 秒 100%
L 在前測第一題並未解出正確答案，而後測第一題解出了正確答案，且由表 4-2-17 可知，L 在前測第一題只花了 159 秒，而且只經歷了讀題和探索兩個階段，
其中以探索階段所花的時間最長，占全部時間的 66%；後測解題花了 347 秒，其 中以執行階段所花的時間最長，占全部時間的 35%。
L 在前測解題中，讀完題目後，剩下的時間都停留在探索的階段，靠之前的 片段記憶在解題，無法說出進行某個解題動作的理由：
師：第一題讀完題目之後啊，你做了一個動作，就是「求……」(研 究者指著學生 L 求 20 與 30 的最小公倍數的地方)，這個應該 是在做什麼事情？
L：這個喔？唉呀，就是看到這兩個數字，就會想要先求最小公倍 數。
師：為什麼？為什麼這個題目會讓你想求最小公倍數？
L：因為它說…咦？我在想什麼？每邊增加的長度要相同，嗯，然 後直覺…。
師：哦！你是直覺喔？但是最後又劃掉了，為什麼？
L：因為覺得這種題目好像不是這樣做…呵。
(引自 L 前測訪談 082095)
可見 L 是完全不清楚解題目標的，而探索階段後半所求得的長方形和正方形 面積，也無法幫助 L 對題目有任何想法，這樣的解題行為只是盲目的在拼湊而 已。相較之下，雖然後測解題中，L 雖採取了同樣的動作，在探索階段中算出正 方形面積【20 × 20 = 400】，不過卻有助於在後面的分析等階段尋得一條解題路徑。
後測解題中，L 解題過程的自我監控發生在對解出答案的驗證，雖然對於執 行階段中因小差錯所解得的 x = 20 做了驗算，不過對驗證的結果卻沒有任何質 疑：
師：還有這邊(L 求出 x=16 or 20)為什麼 20 不合？
L：因為…
師：好，我先問你這 20 是如何求出來的？
L：20…這個啊！咦？等一下…負 20
師：負 20，對…，那你在當初求出 20 時，你為什麼覺得不合？
L：因為…把它代進去這裡…
師：代進去哪邊？
L：就是它(指著所列出的方程式 x(x + 4) = 320)…咦？等一下喔…嗯……
師：代進去哪裡？你有對 20 做了什麼檢查？
不可能等於 320。
師：所以你覺得可能會出現這樣的不合？
L：嗯！發現代進去後和原本的 320 不一樣，所以 20 是不合的。
(引自 L 後測訪談 100595)
L 把獲得的答案代回方程式驗算，而不是帶回原題目驗算，所進行的是一個 較無效的驗證工作。此外，如果 20 是經由 x(x + 4) = 320 所求得的其中一個答案，
那麼不應該會發生「代回驗算時，等號右邊不是 320」的情況，但 L 對自己採取 的驗算的方式不曾產生質疑，而且還相信自己的驗證過程是非常合理的，雖然後 測第一題最後的答案是正確的，也比前測表現了較多的監控能力，不過，L 在「解 方程式」的觀念上仍有不足的地方。
第二題
1 前測解題歷程與時間分析
圖 4-2-27 L 前測第二題原案分析的時間架構表徵圖
由圖 4-2-27 可知，L 仍然只經歷了讀題、探索等二個階段轉換，其中也是以 探索階段所花的時間最長，最後並未獲得正確的答案。以下是各階段解題歷程分 析：
(1) 讀題階段：能正確讀出題目，但無做出任何標記的動作。
(2) 探索階段：A.嘗試性將手套和棒球分別設為 x、y，但卻忽略了單位【設手套 x、棒球 y】
每一階段所花的時間及順序 階段
讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證
花 費 的 時 間(分)
2 4 6 8 10
38
268
B.未明確表示 x 與 y 的單位，而造成列式上的錯誤【x + y = 7000】
C.無法瞭解「再拿 100 元來，給你 5 個棒球」的意思，而列出錯 誤的式子【10x + 50y = 10x – 100 + 5y】
D.對自己的列式沒有信心，遲遲不敢動手運算，只進行一些數字 或文字符號上的拼湊。
綜合上述 L 的解題歷程可知，L 在讀完題目後，即進入探索的階段。盲目地 假設未知數，也不清楚未知數所表示的東西，根據題目中的某些敍述進行數字和 文字符號上的拼湊。
L：我覺得列出來的方程式怪怪的，但我又不知道怎麼改。
師：所以你接下來完全沒有想要解出未知數的計算動作？
L：對啊，我就不敢繼續算下去了…。
師：所以你一開始就認為自己所列的方程式是錯的，所以才一直遅 遅沒有解解看的動作？
L：嗯…對啊！沒有什麼信心耶～
(引自 L 前測訪談 082095)
由於對自己的式子沒有信心，並未對探索階段所得到的聯立方程式進行運 算，最後只好放棄作答。
2 後測解題歷程與時間分析
圖 4-2-28 L 後測第二題原案分析的時間架構表徵圖 每一階段所花的時間及順序
階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證
花 費 的 時 間(分)
2 4 6 8 10
33 67
111
93
170
35 35
56
由圖 4-2-28 可知，L 共經歷了讀題、分析、探索、驗證、執行、驗證、執行、
驗證等八個階段轉換，其中以執行階段所花的時間最長，不過最後並未獲得正確 的答案。以下是各階段解題歷程分析：
(1) 讀題階段：能正確讀出題目，但無做出任何標記的動作。
(2) 分析階段：能假設出未知數，並將題目中某一條件轉換成數學式子【荼壺一 個為 x 元、茶杯一個為 y 元，15x + 50y = 8000】。
(3) 探索階段：不瞭解「再拿 50 元可以換 5 個茶杯」的意思，因此將文字和數 字拼湊出另一個方程式【15x + 50 = 50y + 5】。
(4) 驗證階段：對探索階段所列出的方程式產生懷疑，重新檢查後列出另一個方 程式【15x – x + 50 = 50y + 5】。
(5) 執行階段：針對列出的錯誤數學算式，在此階段進行計算的工作【210x + 700y
= 112000，210x − 700y = −675，1450x = 112675】。
(6) 驗證階段：對計算過程的數字產生質疑【怎麼可能那麼大？】。
(7) 執行階段：確定計算過程無誤後，決定試著將結果算出來【112675 ÷ 1450…，
1450 × 8、1450 × 9】。
(8) 驗證階段：因執行階段未能順利進行，決定重新檢查列式的過程，但未有任 何發現，最後就放棄繼續做答。
綜合上述 L 的解題歷程可知，L 在讀完題目後，即進入分析的階段。在此階 段中，成功地將題目中某一條件轉換成數學式子表徵，因為無法瞭解「再拿 50 元可以換 5 個茶杯」的意思，這可由 L 在後測訪談中無法清楚說明列式的想法得 到確認，所以研究者據此推測 L 在探索階段中，仍然是在對文字符號和出現的數 字進行拼湊而已，並非真正在進行解題：
師：好，那再來看第二個列式，是從哪一句話來的？
L：因為「茶杯太少，拿了一個茶壺去換」。
師：好，拿了一個茶壺去換茶杯。
L：然後可以換五個茶杯。
師：好，那你為什麼會有這式子跑出來？這應該是 15x – x + 50 吧？
這是怎麼來的？
L：嗯…我想一下喔…。
師：是怎麼樣的想法會讓你想要列出這條式子？
L：因為它拿了一個茶壺啊？茶壺是 x。
師：那 15x – x 是什麼意思？
L：15x – x 就是拿一個茶壺，原本有 15 個嘛，然後拿一個茶壺去 換啊！然後…。
師：然後+50？
L：再拿 50 塊。
師：那為什麼是用「+」？
L：我不知道要怎麼解釋……。
L：我不知道要怎麼解釋……。