第二個將描述學生 M 的改變，M 她是一位程度中等的學生。
(一) 前後測各題解題歷程與時間分析之比較 第一題
1 前測解題歷程與時間分析
圖 4-2-13 M 前測第一題原案分析的時間架構表徵圖
由圖 4-2-13 可知，M 共經歷了讀題、分析、計劃、執行等四個階段轉換，
其中以執行階段所花的時間最長，最後並未獲得正確的答案。以下是各階段解題 歷程分析：
(1) 讀題階段：能正確地讀出題目【將 30 公尺特別框起來】
(2) 分析階段：能根據題目的敍述，將文字內容轉換成圖形【畫出長方形土地和 正方形舊房子】。
(3) 計劃階段：經由分析階段後，確定了解題方向，並且列出了一個方程式【30 每一階段所花的時間及順序
階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證
花 費 的 時 間(分)
2 4 6 8 10
25 36
22 137
× 20 − x = 375】。
所以…是 x 跟 x + 4】。
(3) 計劃階段：經由分析階段後確定了解題方向，但由於誤解題意而列出錯誤的 方程式【(20 − 2x) [20 − (2x + 8)] = 80】。
(4) 執行階段：針對計劃階段所列出的方程式進行運算，利用公式解得到一個帶 有根號的答案【x2 − 18x + 60 = 0， 18 800
x= ±2 】。
(5) 讀題階段：對執行階段所算出的答案產生質疑，因此再一次讀題欲進行第二 次解題。
(6) 探索階段：A.不確定「長和寬相差 4 公尺」的意思，猜測長和寬的關係，嘗 試性地假設出未知數【寬是 x 的話、長是 x − 4】。
B.未注意運算符號的改變，列出一個錯誤的方程式【400 − x2 − 4x
= 80】。
(7) 執行階段：針對探索階段所列出的錯誤方程式進行運算，而計算過程也發生 錯誤，最後得到錯誤的答案【x2 + 4x − 320 = 0，(x − 4) (x + 8) = 0，
x = 4 or −8】。
(8) 驗證階段：對執行階段所求得的答案進行驗算的工作，產生矛盾，因此擦掉 所有的算式。
(9) 分析階段：A.進行第三次解題，重新檢視「長和寬相差 4 公尺」這個條件。
B.將題目敍述轉換成圖形，並且反覆地檢視條件。
(10) 計劃部分：經由分析階段後，確定解題方向，並且列出正確的方程式【20 × 20 −x (x − 4) = 80】。
(11) 執行階段：針對計劃階段所列出的方程式進行運算，得到了正確的答案【400
− x2 + 4x = 80，(x + 16) (x − 20) = 0， x= −16 or 20 (−16 不合) 】。
(12) 驗證階段：對執行階段所求得的答案進行驗算的工作，帶回圖形檢驗，符合 題目的所有條件【400 – 320 = 80】。
綜合上述 M 的解題歷程可知，M 進行了三次的解題。在第一次的解題中，
完整讀完題目後，馬上進入分析階段，雖然將題目的文字敍述正確地轉換成圖形 表徵，卻在計劃階段決定了錯誤的解題方向，導致在執行階段中無法順利求得答 案。第二次解題中，只讀了題目的部分敘述，隨即進入探索階段，因無法瞭解「長
和寬相差 4 公尺」這句話的意思，嘗試性地假設出未知數並列出方程式，
M：因為我不懂「相差」是什麼意思，所以我就乾脆就設…反正它 們…我覺得它們好像減起來都會是…反正它們某一個減某一個 都會是 4。
師：所以根據這樣，最後你的假設是什麼？因為你這裡沒有寫出設 什麼為 x 嘛，所以我想要知道一下這個 x 是指什麼？
M：x 是指養羊那個區域的這個地方…我不知道應該叫長還是寬？
師：所以在你的經驗當中，長和寬是沒有誰比較大？誰比較小？
M：我不知道長和寬要怎麼決定…老師並沒有教過。
(引自 M 後測訪談 100595)
將執行階段所得到的答案代回驗算，發現與已知條件產生矛盾。接著進行第 三次的解題，沒有閱讀題目，而是直接進入分析階段，成功地將文字敍述轉換成 圖形表徵，並且確定解題方向，最後將得到的答案代回分析階段所畫出的圖形中 檢驗，也肯定獲得的答案是正確的。
3 綜合比較
表 4-2-09 M 前後測第一題各階段歷時百分比
前測 後測
讀題 25 秒 11% 40 秒 5%
分析 36 秒 16% 82 秒 10%
探索 0 秒 0% 68 秒 8%
計劃 22 秒 10% 85 秒 11%
執行 137 秒 62% 450 秒 56%
驗證 0 秒 0% 81 秒 10%
總和 220 秒 100% 806 秒 100%
M 在前測第一題並未解出正確答案，而後測第一題解出了正確答案，且由 表 4-2-09 可知，M 在前測解題的 220 秒中，執行階段就花了 137 秒，占全部時 間的 62%為最高，整個解題過程中並未無任何探索階段和驗證階段的行為發生；
後測開始的解題，並不是很順利，兩次的解題共花了 806 秒，其中也以執行階段 所花的時間為最長，占全部時間的 56%。
M 在前後測第一題均花相當長的時間在執行階段，後測第一題的解題時間
法順利求得答案或得到了不合理的答案，直到最後一次終於找到正確的解題方 向。由此可見 M 在後測解題中比前測解題較能持之以恆，每次失敗後都能重新 解題，直到得到正確的答案為止。在自我監控方面，M 在後測已能判斷答案的 不合理，也能將求出的解答帶回驗算，不過因為沒有監控解題的每個過程，所以 無法立即發現錯誤。當求得的答案與已知條件矛盾時，並沒有回頭檢查解題過 程，而是採取重新解題的方式，顯示 M 尚缺乏可以偵測出錯誤的監控能力。
第二題
1 前測解題歷程與時間分析
圖 4-2-15 M 前測第二題原案分析的時間架構表徵圖
由圖 4-2-15 可知，M 共經歷了讀題、探索、分析、執行、分析等五個階段 轉換，其中以分析階段所花的時間最長，最後並未獲得正確的答案。以下是各階 段解題歷程分析：
(1) 讀題階段：能正確讀出題目，但無做任何標記的動作。
(2) 探索階段：看到兩種物品就嘗試地將之設為 x 和 y【設手套一個 x 元，
y 元】。
(3) 分析階段：A.能根據題目第一個條件列出第一個方程式，但未注意到個數而 產生列式上的錯誤【x + y = 7000】。
B.將手套換棒球的文字敍述轉譯成數學式子表示【x + 100 = 5y】。 每一階段所花的時間及順序
階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證
花 費 的 時 間(分)
2 4 6 8 10
28
25
66 50
(4) 執行階段：針對分析階段所列出的聯立方程式進行運算，由於所列的聯立方
己獲得正確的答案。以下是各階段解題歷程分析：
(1) 讀題階段：能正確讀出題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出來【茶 壺 15 個、茶杯 50 個、共花 8000 元】。
(2) 分析階段：A.能將題目的敍述轉換數學式子表徵出來【15 荼+50 杯=8000 元】。 B.能指出茶壺換茶杯的關鍵條件【1 個茶壺換茶杯，再加 50 元，
可以換 5 個】。
C.反覆閱讀「茶壺換茶杯」的句子，將之轉換成圖形和式子表徵 出來【1 茶=5 杯+50 元】。
(3) 探索階段：A.經過分析階段後，對題目並未完全瞭解，於是嘗試性地假設未 知數【設壺 x 元，杯 y 元】。
B.列出聯立方程式【15x + 50y = 8000、x = 5y + 50】。
(4) 執行階段：針對探索階段所列的聯立方程式進行運算，由於方程式是錯誤 的，因此無法順利求得答案【利用代入消去法 75y + 750 + 50y = 8000，125y + 750 = 8000，125y = 7240】。
(5) 驗證階段：由於無法求得答案，將計算過程擦掉，重新檢查列出的方程式。
(6) 執行階段：未檢查出列式的錯誤，於是改用加減消去法運算，發生計算上的 錯誤，仍無法得到正確的答案【2x = 8500，x = 4250】。
(7) 驗證階段：將執行階段求得的答案帶回原式驗算，發現矛盾【茶壺 15 個，
可是 x 乘以 15 會超過 8000】。
(8) 分析階段：A.進行第二次解題，重對「茶壺換茶杯」的條件做檢視，但仍列 出與之前相同的式子【15x + 50y = 8000、x = 5y + 50】。
B.反覆閱題這些關鍵條件，不斷確認自己所列出的式子。
(9) 執行階段：A.發現所列的式子與第一次解題相同，仍決定再計算一次【這個 剛剛已經算過了，可是不確定剛算的是不是對的】
B.利用代入消去法重新計算，仍無法順利求得答案。
(10) 驗證階段：重新閱題題目，並且發現第二式的錯誤【應該是 1 個茶壺加上 50 塊等於 5 個杯子】。
(11) 計劃階段：完全確定了解題方向，並且重新列出了聯立方程式【15x + 50y = 8000，x + 50 = 5y】。
(12) 執行階段：針對計劃階段所列出的聯立方程式進行運算，並且求得正確的答 案【x = 300、y = 70】。
(13) 驗證階段：將得到的答案帶回題目驗算，符合題目的所有條件【x、y 代回 去 4500 + 3500 = 8000，300 + 50 = 350】
綜合上述 M 的解題歷程可知，M 進行了兩次的解題。在第一次解題中，完 整讀完題目後，馬上進入分析階段，不斷地檢視題目中的重要條件，轉換成不同 的表徵，仍無法完全瞭解題意。於是進入探索階段，嘗試性地假設出未知數，並 且列出聯立方程式，接著不斷地在執行、驗證兩階段中轉換，卻仍無法偵測錯誤 所在，最後決定重新解題。在第二次解題中，直接再次檢視題目中的重要條件，
並且列出聯立方程式，同時，M 也察覺到所列的式子與第一次解題相同，於是 決定再計算一次。執行階段仍無法順利求得答案，不過在隨後的驗證階段偵測出 錯誤，重新列出正確的聯立方程式，也在執行階段中得到一組答案，最後將得到 的答案代回題目中檢驗，也肯定所獲得的答案是正確的。
3 綜合比較
表 4-2-10 M 前後測第二題各階段歷時百分比
前測 後測
讀題 28 秒 12% 50 秒 5%
分析 116 秒 51% 206 秒 22%
探索 25 秒 11% 39 秒 4%
計劃 0 秒 0% 26 秒 3%
執行 60 秒 26% 392 秒 41%
驗證 0 秒 0% 238 秒 25%
總和 229 秒 100% 951 秒 100%
M 在前測第二題並未解出正確答案，而後測第二題解出了正確答案，且由 表 4-2-10 可知，M 在前測解題只花了 229 秒就結束作答，其中以分析階段所花 的時間最多，約占全部時間的 51%，整個解題過程中並未無任何計劃階段和驗證 階段的行為發生；後測解題花了 951 秒，其中以執行階段所花的時間最多，約占 全部時間的 41%。
M 在前測解題失敗的原因是：未注意「購買的手套和棒球的個數」，而列出 錯誤的第一式；反之，在後測解題中，則是一直將「再拿 50 元，可以換 5 個茶 杯」做錯誤的轉譯。不同的是，M 在整個前測的解題歷程中，沒有任何監控解 題的行為產生，所以無法察覺到自己的錯誤，最後只好放棄作答；在後測則不斷 地經過執行、驗證、再分析等階段，終於偵測出錯誤，並且能修正成正確的式子，
最後得到正確的答案，此外，M 也能將最後得到的答案再代回題目條件中驗算。
在此，顯示 M 在後測解題中已具有良好的自我監控能力。
值得一提的是，在前後測兩題中，未知數出現的時機有所差異：
師：好，那還有一個問題，當你念完這個題目後，你就馬上設手套 一個 x 元、棒球一個 y 元，為什麼可以這麼快？
師：好，那還有一個問題，當你念完這個題目後，你就馬上設手套 一個 x 元、棒球一個 y 元，為什麼可以這麼快？