第四章 結果與討論

第四章 結果與討論

本研究主要探討三位高、中、低程度的學生在進行數學寫作活動之前後，(1) 學生的解方程式應用問題的成就表現及解題歷程發展情形的差異，(2)學生的對 於方程式應用問題的學習態度的轉變情形，(3)數學寫作活動的進行中，研究者 所設計的寫作教學活動對於學生改變情況的影響，(4)我們分析學生對於數學寫 作活動的感受及想法。本章共分成五節來進行討論，第一節為資料分析概述，第 二節為學生方程式應用問題的成就表現及解題歷程分析，第三節為學生方程式應 用問題的學習態度分析，第四節為學生數學寫作內容分析，第五節為學生對於數 學寫作的感受及想法。

第一節 資料分析概述

本研究將受試學生分成高、中、低成就組後，從三組學生中各抽取出一名學 生，進行數學寫作教學活動，並且在寫作教學前後進行放聲思考解題與訪談，接 下來，再對放聲思考原案與訪談記錄以及受試者作答試卷等進行資料編碼分析。

在施測進行前，研究者已根據解題歷程相關的文獻初步架構出解題歷程階段區分 表，後來經由研究中所收集的質性資料的處理過程，研究者決定將先前的架構重 新整理，主要聚焦於方程式應用問題，並且將三位學生在解題歷程中出現的各種 外顯的行為，加以條列編碼(如表 4-1-01)。

表 4-1-01 方程式應用問題解題歷程架構及解題行為標籤 方程式

解題歷 程

讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

解題行 為標籤

初閱 重讀 標記

檢視條件 比較關係 轉換表徵 做出推論 回憶

嘗試性操作 拼湊算式 猜測

確定解題方向 列方程式

化簡式子 進行運算 判斷答案

產生質疑 偵錯 重新檢查 代回驗算

透過方程式應用問題解題活動的編碼與分析，可以更清楚的看出三位學生在 方程式應用問題解題歷程中，實際進行了哪些歷程活動。從所蒐集原案資料的編 碼與編碼分類後的整理結果顯示，解方程式應用問題會經歷一連串具階段性外顯 的解題歷程活動，而且，藉由這些外顯行為可以推測學生內隱的解題歷程活動。

研究者經由分析三位學生在方程式應用問題的解題歷程中發現，這些階段的 發生彼此之間有前後的進行順序性，其解題先後順序分別為：讀題階段—分析/

探索階段—計劃階段—執行階段—驗證階段。解題者要能夠解決數學問題，先決 條件就是在於解題者對問題是否能夠理解，因此，理解問題與否是決定成功解題 的重要關鍵，很多學者(Lester, 1980; Mayer, 1992)都很重視它在解題歷程的地 位，將它視為將問題中的每個句子轉譯成某種內在的心理表徵的過程。學生藉由 讀題、分析、探索階段的解題行為來理解問題。理解問題包括理解語詞內涵、句 子意義、整題題意，還要能理解自己所採取的解題策略，它是一種內隱的活動，

因此，研究者需藉由解題者的各種外顯行為(例如放聲思考或試卷上的各種答題 符號)來進行推論。當學生經由前三個階段的解題歷程而對問題有深入的理解 後，接著開始進入了擬定計劃的階段。

在三位學生的解題歷程中，分析/探索階段通常沒有固定的前後順序，學生 若對題意不清，就會進行探索；若在讀題時就能稍為掌握題意，則能進行較有系 統的分析。最後的驗證階段較屬於是「結果的驗證」，也就是學生對其求得的答 案進行驗算的工作，另外，有一種「過程的驗證」，是發生在解題各歷程階段之 間，這是一種後設的監控，即學生能對解題歷程做自我檢查的工作。根據上述的 想法，本研究的解題階段可以繪製成「方程式應用問題解題歷程模式」，如圖 4-1-01 所示。

圖 4-1-01：方程式應用問題解題歷程模式

讀題 計劃 執行 結果的驗證

過 程 的 驗 證

監控監控

分析

探索

監控

監控 監控

研究者認為一個成功的解題，各階段會依循如此的順序進行，加上過程中使 用正確解題策略，而自我監控的後設認知則穿插於各階段進行中，能立即檢驗分 析、探索、計劃、執行的結果，懂得質疑解答的合理性，察覺問題所在。在描述 三位學生前後測解題歷程變化之前，研究者先將各階段活動概況與放聲思考原案 分析方式先做一番說明：

(一) 讀題階段

1. 是解題的第一件工作，解題者在解題一開始會先「進行讀題」，讀題的目 的是為了要完成題目中各字元的辨識。若讀完後不瞭解題意，解題者也可 能再重新閱讀題目。

2. 此歷程的時間短暫，且從放聲思考影帶和轉譯的逐字稿中發現，並不是每 位學生都完整地朗讀出每個字詞，有些人習慣挑重要句子讀出，有些並未 發聲，而是將目光停留在題目上幾秒鐘，接著就進行下一個階段。在標記 重點方面，有的是一邊讀題就一邊做標記，有的則是在讀完題目後再回頭 標出重要句子。

觀察三位學生的解題歷程，可以歸納出讀題階段的初閱、重讀、標記三種行 為，以下列舉兩個例子來描述這些解題行為：

例 1. 初閱、標記

前測 3.快樂國中某社團共 30 人，今年收得社費 10600 元。已知繳費的標準為：

一年級、二年級、三年級分別是每人 500 元、300 元、100 元。如果一年 級的人數比二年級人數的 2 倍少 6 人，那麼三年級有多少人？

L 在初閱題目的同時，會邊進行標記重要句子的工作。雖然前測第三題的題 目中出現很多可以標記的重點，L 則是將一、二年級的關係當作主要的解題條件 先畫線。

「快樂國中某社團共 30 人，收得社費 10600 元。繳費標準：一年級、二年 級、三年級是 500、300、200。一年級人數比二年級人數的 2 倍少 6 人，

三年級有多少人？」 (引自 L 前測解題 082095)

例 2. 重讀

後測 1.李老師有一塊每邊長為 20 公尺的正方形土地。想在中間用柵欄圍出一個 長寬相差 4 公尺的長方形區域養羊，且希望柵欄外的土地面積為 80 平方 公尺。請問養羊區域的長和寬分別為多少公尺？

在解題進行到中間的過程，解題者有時會再次出現讀題的動作，此時的讀題 行為與第一次的讀題行為就不太一樣。例如上面所列原案是 M 對後測第一題進 行解題，經 6 分鐘後發現解題失敗，因此再重新閱讀題目，欲進行第二次解題的 讀題行為。在第二次讀題時，M 並沒有將題目中每個字元完整讀出，只是挑重 點閱讀。

(二) 分析階段

1 若從讀題的過程能知道問題的內容陳述大意，就容易進行較有系統的分 析，解題者就會跳過探索階段；倘若無法在讀題後立即掌握題意，解題 者可能會對題目進行探索，瞭解題意後再進行分析，因此分析階段的行 為可能發生於讀題階段或探索階段後。分析的目的在於尋找解題的方 向，所以通常會直接導致計劃階段的形成。

2 三位學生在此階段中出現不少的分析行為，例如將題目的各種訊息歸 類，且條列成關鍵條件，以便認清問題的結構；將問題變形，以便應用 熟悉的策略與技巧…。通常在分析階段中找到解題路徑，後續的解題就 會比較順利，但學生也可能因誤解題意而進行一個錯誤的分析，導致解 題的失敗。

觀察三位學生的解題歷程，可以歸納出分析階段的檢視條件、比較關係、轉 換表徵、做出推論、回憶五種行為，以下列舉三個例子來描述這些解題行為：

例 1 做出推論、比較關係

前測 1.大炳家有一塊長方形的草地，它的長是 30 公尺、寬是 20 公尺。大炳想要 將草地上一棟邊長為 10 公尺的正方形舊房子改建成渡假別墅。若每邊增

「每邊長 20 公尺的正方形土地，在中間用柵欄圍出一個長寬相差 4 公尺的 區域養羊，長寬相差 4 公尺？(沈默)柵欄外的土地面積是 80」

(引自 M 後測解題 100595)

加的長度要相同，請問要每邊分別增加多少公尺，才能使保留的草地面積 為 375 平方公尺？

H 在讀完題目後，從標記的重點「邊長為 10 公尺……每邊增加的長度要相 同」中馬上可以推論得到一個結果：「改建成的渡假別墅也是正方形」，接著比較 渡假別墅和保留草地的面積關係，並且用 600−375=225 得出渡假別墅的面積。藉 由這樣的分析，H 緊接著在計劃階段中列出正確的方程式。

例 2 檢視條件、轉換表徵

前測 5.量販店一瓶賣價 150 元的洗髮精，一天可賣掉 250 瓶。若每瓶降價 1 元，

則每天多賣出 2 瓶，某日該品牌洗髮精共賣得 37200 元。問該日此品牌洗 髮精一瓶賣價多少元？賣出幾瓶洗髮精？

「每瓶降價 1 元，多賣出 2 瓶…」

「先…如如果果先先設設一瓶要價是 x 元的話…

那麼…咦？」

(停頓片刻)

「那那天要賣出幾瓶……」

(手托住下巴)

在『一瓶賣價多少元』下劃線，並寫 x

「然後將草地上一棟邊長為 10 公尺的 正方形舊房子改建成渡假別墅，每邊 增加的長度要相同」

(學生再讀題)

「所以表示它是一個正方形」

「問每邊要增加多少公尺，才能使保留 的草地面積為 375 平方公尺」

(學生再讀題)

「所以…渡假別墅的面積是 600 減掉 375…這有點難…」(計算)

「600 減掉 375 是 225」

(引自 H 前測解題 082095)

能推論出改建成的渡假別墅 也是正方形

能比較渡假別墅和保留草地

H 在之前的探索階段中共花費了 37 秒，後來發現無法順利進行，思考約 7 秒後，馬上進入分析階段，在這個階段裡，H 不斷看著「每降價 1 元，就多賣了 2 瓶」這樣的一個訊息，因此研究者將之歸於 H 在檢視這樣一個條件；接著，她 將這個文字表徵，改寫成另一個簡單的圖示，是在做轉換表徵的工作，如此的做 法，是試圖要比較「降價」與「多賣瓶數」的關係，藉由這些分析行為，H 正確 地假設出未知數 x。

例 3 回憶

後測 4.大毛和小毛錢筒裡各有若干元，兩人每天各存 20 元，大毛對小毛說：「兩 天前我的錢是你的 5 倍，現在可能不只 5 倍了。」，小毛說：「你錯了，

三天後，你的錢只是我的 3 倍而已，我會慢慢趕上你的！」請問大毛和 小毛現在各有多少錢？

(讀題)

「兩天前、三天後、現在……好熟悉 喔！」

「每天各存 20 元…」(畫表格)

「三天後…三天後！」

(引自 L 後測解題 100595) 兩天前、三天後、現在

小毛 大毛

兩天前 三天後 現在

回憶起以前做過的題目，因而對 這些詞感到很熟悉

將文字表徵轉換成用表格表示

「每降價 1 元，就多賣了 2 瓶…所以，

每降價 x 元，每降價 x 元，就多賣 2x 瓶」

「咦…所以應該是…設當日降價 x 元，

然後…賣出 2x 瓶」

(引自 H 前測解題 082095)

1－2

x－2x 瓶 將文字表徵轉換成簡單的圖示

比較出兩者之間的關係，並 用 x 表示

再次檢視這個條件

L 在讀題時，特別將三個時間字詞框起來，對於這三個時間字詞，L 似乎感 到非常熟悉，研究者從她當下的解題行為推測 L 可能回憶起曾經做過類似的題 目。接著，畫了一個表格，並且用「姓名」和「時間點」為兩個分析的面向，欲 將題目的文字表徵轉換成表格的方式重新呈現出來。雖然在整個分析階段中花了 相當長的時間，但這樣的分析確實幫助 L 找到一條解題路徑。

(三) 探索階段

1. 探索階段的行為發生於讀題階段或分析階段後，探索階段的行為通常發 生在解題者無法瞭解題意時，利用比較嘗試性的方式來進行解題。

2. 探索與分析的差別在於分析較具良好結構的形式，而探索則是比較不具 良好的結構，也就是分析比探索更系統化的在找尋解題的路徑(涂金堂，

民 88)。這兩個解題階段常常穿插著進行，並無一定發生的順序，學生 可能經由探索後瞭解題意，接著進行較有系統的分析；也可能在一開始 的分析無效後，轉而嘗試性地作答。不過在三位學生的解題過程中，發 現他們較多的解題歷程是「先探索再分析」。

觀察三位學生的解題歷程，可以歸納出探索階段的嘗試性操作、拼湊算式、

猜測三種行為，以下列舉三個例子來描述這些解題行為：

例 1 嘗試性操作

後測 5.台南麵包店新推出的中秋月餅一個售價 45 元，一天可賣掉 500 個。若每 個漲價 1 元，其銷售量就減少 10 個，某日此中秋月餅共賣得 22500 元。

問該日此中秋月餅一個多少元？共賣出幾個？

「一個月餅 45 元，賣掉 500 個，所以共賺得 話是…共賺了 45×500……22500」

(開始畫圖)

「怎麼跟這個好像一樣？」

「如果每個漲 1 元就減少 10 個…減少 10 個…可是 45 塊錢，一天賣掉 500 個的話…

是 22500 啊～」

「45×5…」(再算一次)「那這樣是等於沒有 漲啊～」

嘗試性地將題目給定的數 字進行運算

M 在讀完後測第 5 題後，不知從何著手解題，於是試著將題目中給定的數 字進行運算，經由「一個月餅 45 元，賣掉 500 個」得到「共賺了 22500」，而這 樣的結果也意外地讓 M 發現與原題目「某日此中秋月餅共賣得 22500 元」是一 樣的，M 檢查自己的計算過程確定無誤後，得到了其中一個答案。

例 2 拼湊算式

前測 2.棒球隊長去運動用品店買手套 10 個和棒球 50 個，總共花了 7000 元。回 來後發現手套太多，棒球太少，於是他拿 1 個手套去換棒球，老闆對他說：

「再拿 100 元來，我換給你 5 個棒球。」請問：棒球 1 個和手套 1 個各是 多少元？

L 閱讀完題目後，在尚未瞭解題意之前，就先嘗試將未知數假設出來，也沒 有標明 x 和 y 的單位，在讀題階段後的解題過程，可以發現，L 沒有依尋一個較 有系統的方式解題，對自己寫下的方程式塗塗改改，在解題後的訪談中，說不出 所列方程式的理由，於是研究者認定 L 只是在藉由假設出來的未知數和題目中出

「設手套 x、棒球 y」

「列式…x+y=7000，然後…」

(停頓片刻)「ㄟ…棒球太少…」(停頓片刻)

「那就…1…嗯」(將 1 塗掉)「10x+50y 等於…」

(停頓片刻)「10x−100…」

(停頓片刻)

「加…5y」

(列出聯立方程式)

「x+y…解方程式」(停頓片刻)

「x…」(看著第二式)「嗯？好像寫錯了」

「ㄟ……這邊…」

(筆一直指著第二式)

「棒球……啊！算了」

(將『10x−100』劃掉)

「加 5y 減……」(停頓片刻)

「嗯？奇怪…7000 是對的…」(停頓片刻)

「為什麼會這樣？」

「10x+50y…啊！」

(將『10x−100+5y』都劃掉)

(引自 L 前測解題 082095)

7000

10 50 10 100 5 x y

x y x y

+ =

+ = − +

⎧⎨

⎩

7000 10 50 7000

x y

x y x

+ =

+ = −

⎧⎨

⎩

盲目地將題目中的 數字和假設的未知 數符號拼湊成方程 式

嘗試性地假設出 未知數，卻不清楚 x、y 的單位為何

盲目地將題目中的 數字和假設的未知 數符號拼湊成方程 式

現的數字盲目地拼湊方程式。這樣的探索，並未幫助 L 在解這題上有任何進展，

最後只好放棄作答。

例 3 猜測

後測 1.李老師有一塊每邊長為 20 公尺的正方形土地。想在中間用柵欄圍出一個 長寬相差 4 公尺的長方形區域養羊，且希望柵欄外的土地面積為 80 平方 公尺。請問養羊區域的長和寬分別為多少公尺？

M 在後測第 1 題共經過三次的解題，第一次解題失敗後，M 重新讀題，不 過仍不確定「長和寬相差 4 公尺」的意思，只知道一個為 x 公尺的話，另一個一 定是 x−4 公尺，最後決定猜測長和寬的關係，將寬假設為 x 公尺，而長則是 x−4 公尺。

(四) 計劃階段

1. 經由各種分析或探索的策略，學生從中能全盤或部分理解問題，緊接著確定 解題方向，便開始擬定計劃。解題者在策略擬定後，接著就要將所理解的文 字題題意與解題策略轉譯寫成數學符號，也就是進行「列方程式」活動。學 生在此階段不習慣將他們確定的解題方向放聲說出，而「列方程式」即是將 解題者內在不可能直接觀察的「理解題意進而確定解題方向」過程，轉化成 外顯可看見的數學符號表徵。

2. 從這個階段的歷程活動中，可以看出解題者經由前階段的題意理解，引發出 所需要的「方程式概念」，例如：是否能根據未知數的個數，在此階段列出對 應個數的方程式來幫助解題。另外，這個階段持續的時間並不長，在三位學 生的解題歷程中，大部分在理解問題後，就能確定解題方向，也就是說這個 階段持續的時間相當短。有些學生在整個解題過程中，甚至未出現「確定解 題方向」階段，只從反覆地探索或分析就得到答案或是放棄作答。

「長和寬相差 4 公尺」

「意思是如果長是 x，咦？好吧！那…寬 是 x 的話，長是 x…x−4」

(沈默片刻)

「相差 4 公尺…相差 4 公尺？」

(引自 M 前測解題 082095)

猜測長和寬的關係

觀察三位學生的解題過程，可以歸納出計劃階段的確定解題方向、列方程式 兩種行為，以下列舉兩個例子來描述這些解題行為：

例 1. 確定解題方向、列方程式

前測 6.甲、乙兩堆小球，原來各有若干個。先從甲堆中，拿出和乙堆同樣多的小 球放入乙堆，再從乙堆中，拿出和這時的甲堆同樣多的小球放入甲堆。

這時甲、乙兩堆的球恰好都是 48 個，請問乙堆最初有小球幾個？

H 在確定解題方向並且擬定計劃之前，經過約 131 秒探索及分析的時間，並 在分析完的同時，隨即列出了第一條方程式。此外，H 意識到若假設兩個未知數，

勢必需再列出第二條方程式才可能得到唯一解，於是研究者將這個行為視為學生 H 已經能確定解題方向。從原案資料也顯示，H 在此階段大部分的時間都在尋找 其餘的關係條件，並嘗試列出第二條方程式。

例 2. 確定解題方向、列方程式

後測 1.李老師有一塊每邊長為 20 公尺的正方形土地。想在中間用柵欄圍出一個 長寬相差 4 公尺的長方形區域養羊，且希望柵欄外的土地面積為 80 平方 公尺。請問養羊區域的長和寬分別為多少公尺？

「所以它們等於 48，然後想辦法找第二式」

(列出第一個等式)

「嗯…」

「乙堆原本有 y 個，y+x 個…拿出和乙堆同 樣多的小球放入乙堆」

(複讀並將 y+x 劃掉)

「y 加 y 個小球，然後再減掉和甲堆同樣多 的小球，那時候的甲堆是…x-y，然後也等 於 48 個」

「所以是… 2y− + =x y 3y− =x 48」

(引自 H 前測解題 082095)

x−y+x−y=2x−2y=48 確定解題方向，且能知道光 只有一條方程式是不夠的。

尋找其餘關係條件，可用來 列出第二條方程式。

雖然 M 在後測第 1 題的放聲思考中，並未明確說出解題方向，但在原案分 析資料及測後訪談中，M 提到：「像我畫的圖那樣，可以找到全部土地減去養羊 的區域就是題目所給的 80 平方公分，而且全部土地算得出來，養羊區域也可以 用 x 表示出來」(引自 M 後測訪談 100595) 。由此可知，M 確實已經了解接下來 該如何進行，因此研究者將當時的行為歸在進行「確定解題方向」這個階段的解 題活動。

(五) 執行階段

1. 「執行」不完全只是執行前一階段的解題計劃，它可能是執行某個歷程中所 出現的算式。由於本研究的試題主要是牽涉到方程式的計算，包括「化簡式 子」、「進行解方程式的運算」或是運算後「判斷答案」的行為都歸在這個解 題歷程活動裡。

2. 方程式的計算能力是解題者對方程式運算規則學習的結果，在本研究中，解 題者對方程式運算的規則是否熟練是影響解題結果的重要因素。從解題者在 此階段的表現情形，可以推測出解題者在方程式相關運算規則的學習成效，

對運算規則不熟練的學生，此階段可能在解題過程中占大部分的時間。

觀察三位學生的解題過程，可以歸納出執行階段的化簡式子、進行運算、決 定答案三種行為，以下列舉三個例子來描述這些解題行為：

「柵欄外的土地面積…柵欄外的土地面積，

柵欄以外的土地面積，是養羊區域以外的 土地面積」

「所以是…這邊是羊、這邊是 80…」

(畫斜線)

20

20 x

x−4 羊

「柵欄以外…所以 20×20−x(x−4)=80」

(引自 M 後測解題 100595) 20×20−x(x−4)=80

經由分析階段比較柵欄內 外土地面積後，已能掌握住 接下來的解題方向。

列出方程式來解未知數。

例 1. 化簡式子、進行運算

前測 3.快樂國中某社團共 30 人，今年收得社費 10600 元。已知繳費的標準為：

一年級、二年級、三年級分別是每人 500 元、300 元、100 元。如果一年 級的人數比二年級人數的 2 倍少 6 人，那麼三年級有多少人？

M 在確定解題方向後，決定列出兩條方程式，從放聲思考原案中，研究者 發現 M 在列方程式的同時，已經在對列出的式子進行移項化簡，整理出來的聯 立方程式就相當簡潔。不過在化簡的過程中發生錯誤，聯立方程式的第一個式子 是錯誤的：等號左邊的「−3000」移到等號右邊後應該為「+3000」，但 M 並未注 意到要變號。有時候計劃階段和執行階段這兩個解題歷程是難以區分的，當計劃 階段有部分的時間是在化簡式子，研究者只好將列出聯立方程式後的行為才歸於 執行階段，像 M 這樣在列出方程式的同時就已經進行化簡，雖然化簡過程發現 錯誤，但對於這簡潔的聯立方程式，在執行階段中利用「加減消去法」的計算僅 花 42 秒的時間。

「2x−6 人，每人有 500 元，再加上 300x，加上 100y，等於 10600」

(列出第一個等式)

「1000x−3000+300x+100y=10600，加起來…

1300x+100y=10600−3000，等於 7600」

「然後…(2x−6)+y+x=30，所以 2x−6+x+y=30，

3x+y=36」

「3x+y=36，聯立」 1300 100 7600 3 36

x y

x y

+ =

⎧⎨ + =

⎩

(列出聯立方程式) 1300 100 7600 300 100 3600

x y

x y

+ =

⎧⎨ + =

⎩

「1300x+100y=7600，300x+100y=3600，所以…上 減下，1000x=4000，x=4，12+y=36，y=24」

「A：24 人」

(引自 M 前測解題 082095)

聯立後開始解二元一次 聯立方程式

將所列出的式子進行移 項整理化簡。

例 2. 決定答案

後測 3.某種牌子的飲料有大小包裝 3 種，大瓶、中瓶、小瓶一瓶各需 25、20、

15 元。小炳買了 25 瓶此牌飲料共花了 515 元。如果所購買的大瓶數比小 瓶數的 2 倍少 2 瓶，那麼小炳買了幾瓶中瓶？

H 在解題一開始即設「小瓶買了 x 瓶、中瓶買了 y 瓶」，不過，在將計劃階 段所列出的聯立方程式進行運算，只求得未知數 x 的值，並沒有將 y 的值也一併 求出，此時 x 的值並非題目要求的答案。由放聲思考原案顯示得知，H 知道得出 的 x=5 為小瓶瓶數，且將它代入 2x-2 得到 8 為大瓶瓶數，然後利用全部的 25 瓶 減去小瓶瓶數和大瓶瓶數得到 12 為中瓶瓶數，並且決定 12 瓶為最後呈現的答案。

依題目的性質不同，有時候解題者無法將題目所要求的東西假設成為未知 數，往往在未知數的值算出來後，還需再經過一些運算才能得到最後的答案；或 者，當解題時開始是假設兩個未知數，而只有一個未知數才是題目欲求的答案 時，解題者都必需去決定最後將呈現出來的答案，研究者將這樣的行為稱為「決 定答案」。

(六) 驗證階段

1. 本研究的「驗證階段」包含了兩個部分：「結果的驗證」和「過程的驗證」。「結 果的驗證」出現在完成執行的的工作，學生將所求得未知數的值，代回原方 程式或原題目中檢驗；「過程的驗算」則指整個解題歷程中自我監控的後設認 知，解題自我監控就是解題者對自己的解題活動自我檢查的動作。解題者在 解題過程中，從「讀題」開始的每個階段中，只要有一個環節出差錯都足以 列出聯立方程式 ^{3 27}

65 20 565 x y

x y

⎧ + =

⎨ + =

⎩

「所以現在…上面的乘以 4 的話，

12x+4y=108，13x+4y=113…然後，

(2)減(1)的話得到 x 等於……喔！

這多少？13−8…5。

所以 2x-2=8，25-13=12」

「買了 12 瓶中瓶的」

(引自 H 後測解題 100395)

求得上述聯立方程式中未知 數 x 的值為 5

將 x=5 代入 2x-2 中得到 8，

並且決定以 25-13=12 為最 後的答案。

影響解題的成功與否。若解題者能時時自我監控解題歷程的各個活動可以減 少錯誤出現的機率，因此「過程的驗證」可能出現在「讀題」、「分析」、「探 索」、「計劃」、「執行」這五個解題歷程階段，甚至於出現在「結果的驗證」

過程中。

2. 學生在解題過程中，若對自己寫出的算式產生質疑，有些會採取全部重新解 題，有些則只檢查算式。很多學者(Lester, 1980; Mayer, 1992; Polya, 1945;

Schoenfeld, 1985)都認為在解題歷程中有後設認知機制，但並沒有討論這個能 力的多寡強弱，研究者在學生的放聲思考原案中發現，H 較能時時監控自己 解題歷程，而 M 和 L 則常會等到解題無法進行，才開始檢查先前的解題步驟。

觀察三位學生的解題歷程，可以歸納出驗證階段的產生質疑、偵錯、重新檢 查、代回驗算四種行為，以下列舉三個例子來描述這些解題行為：

例 1. 重新檢查、偵錯

後測 2.媽媽在大賣場買了茶壺 15 個，茶杯 50 個，總共花了 8000 元。回來後發 現茶壺太多，茶杯太少，於是他拿 1 個茶壺去換茶杯，店員對她說：「如 果妳再拿 50 元來，可以換 5 個茶杯。」請問：茶壺 1 個和茶杯 1 個各是 多少元？

「15 個茶杯，不對！15 個茶壺加上 50 個杯子 總共 8000 塊錢。後來茶壺太多，茶杯太少，

他拿 1 個茶壺去換茶杯，所以 1 個荼壺換茶 杯的話，可以換 5 個杯子，可是你要再加 50 塊錢」

「所以應該是…1 個茶杯…1 個茶壺加上 50 塊，可以等於 50 個，不對！5 個杯子」

1 茶壺+50 元=5 杯

不斷地檢視關鍵條件，

重新檢查先前所列的式 子。

發現之前所列的第二個 方程式是錯誤的 15x+50y=8000

x=5y+50

先前所列出來的錯誤方 程式

M 在前半段的解題中，一直將「1 個茶壺換茶杯，再加 50 元，可以換 5 個」

這個條件轉譯成「1 茶=5 杯+ 50 元」，而列出錯誤的方程式「x=5y+50」，因此一 直無法順利求得解答。於是重新閱讀題目並且再一次檢視關鍵條件，重新檢查所 列的聯立方程式，終於發現自己一直錯誤的地方，並將它改正為「1 茶壺+50 元

=5 杯」，總算列出了正確的方程式。這樣的偵錯也確實幫助 M 在之後的執行中 順利得到答案。

例 2. 代回驗算

後測 3.某種牌子的飲料有大小包裝 3 種，大瓶、中瓶、小瓶一瓶各需 25、20、

15 元。小炳買了 25 瓶此牌飲料共花了 515 元。如果所購買的大瓶數比小 瓶數的 2 倍少 2 瓶，那麼小炳買了幾瓶中瓶？

「代回去看的話…大瓶…也就是說大瓶、中瓶、

小瓶，大瓶是 2 倍的小瓶減掉 2」(沈默)

「小瓶的 2 倍…10−2 是 8，中瓶是 12，小瓶是 5。

如果代進去算的話…25×8…25 每一瓶乘以 8…

是 200，200 加上 20×12…240 加上 5×15…75，

最後等於 515，耶～」

「所以…答：買了中瓶 12 瓶」

(引自 M 後測解題 082095)

將執行階段得到的未 知數的值根據原題敍 述的條件代回驗算。

大 8 中 12 小 5

200+240+75=515 (重新轉譯後，擦掉其他算式)

「所以…算式整個列錯了」

「然後，荼壺是 x，15x+50y 的話…是 8000，

x+50=5y」

(列出聯立方程式)

(引自 M 後測解題 100595) 15x+50y=8000

x+50=5y

M 在前面已成功地解出了未知數 x 的值(小瓶的個數)，並且將大瓶、中瓶、

小瓶的數目表示出來，接著則是根據題目中「大瓶、中瓶、小瓶一瓶各需 25、

20、15 元。小炳共花了 515 元」來驗算答案是否正確。M 將執行階段所求得的 答案做驗證的工作，來確定它的合理性及正確性，像這樣能夠在活動後對結果加 以查核與修正，我們就說 M 在此部分的解題中表現了自我監控的能力。此外，「根 據題意來進行答案的驗算」比起「只將 x 的值代回原來所列出的方程式中，去檢 驗等式是否成立？」的作法，是更合宜的，較容易發現解題上的錯誤，所以我們 把「只將 x 的值代回原來所列出的方程式中，去檢驗等式是否成立？」這樣的驗 證方式視為較無效的驗證。

例 3. 產生質疑

後測 2.媽媽在大賣場買了茶壺 15 個，茶杯 50 個，總共花了 8000 元。回來後發 現茶壺太多，茶杯太少，於是他拿 1 個茶壺去換茶杯，店員對她說：「如 果妳再拿 50 元來，可以換 5 個茶杯。」請問：茶壺 1 個和茶杯 1 個各是 多少元？

L 經由探索列出方程式後，利用加減消去法解聯立方程式，最後得到

「1450x=112675」¹這一個等式，由於 112675 是一個很大的數字，L 對它產生質 疑：「怎麼可能那麼大？」，可見 L 能監督自己解題活動，察覺出部分算式的不合

1按這樣的解法，x 項的係數應為 1400，經後續訪談，學生 L 表示此部分是自己計算上的錯誤

「那就是…1450…怎麼可能那麼大？

等於 112675」(沈默)

「ㄟ…怎麼可能？112675÷1450」

(欲用長除法) (直式計算 1450×8)

「超過了…」(直式計算 1450×7)

「除不盡…，哪裡錯了？」

(檢查算式)

「算了…」

(引自 L 後測解題 100595) 210x+700y=112000

210x−700y=−675 1450x=112675

對執行階段所化簡成的式子產生 質疑。

發現未知數並非為一整數，覺得是 列式發生錯誤，於是決定重新檢查 算式。

理，因此，我們可以說 L 在此表現了自我監控的能力。不過 L 並未對這樣的認 知結果進行修正，質疑後沒有立刻回頭檢查算式，而是嘗試繼續解題，看是否能 得出一個合理的 x 值。當接下來的執行階段，並未成功地解出 112675÷1450 的值，

才決定回頭檢查算式。

第二節 學生方程式應用問題的成就表現及解題歷程分析

本節主要在分析高、中、低程度的三位學生(分別為學生 H、M、L)在經過 數學寫作教學後，在解方程式應用問題的能力及其解題歷程發展情形上的差異。

以下我們將分別比較三位學生在前後測的解題中，其解題能力及歷程的轉變。

一、 學生 H 前測後結果分析與討論

第一個將描述學生 H 的改變，H 她是一位程度較高的學生。

(一) 前後測各題解題歷程與時間分析之比較 第一題

1 前測解題歷程與時間分析

圖 4-2-01 H 前測第一題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-01 可知，H 共經歷了讀題、探索、讀題、分析、計劃、執行等六 個階段轉換，其中以讀題所花的時間最長，經由最後一個執行階段得到了正確的 答案。以下是各階段解題歷程分析：

(1) 讀題階段：能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出 來【長方形的草地、長是 30 公尺、寬是 20 公尺、375 平方公尺】。 (2) 探索階段：只要看到題目給定長方形的長和寬，就想先算出面積【30 × 20 =

600】。

每一階段所花的時間及順序 階段

讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

23 33 17

37

34 11

(3) 讀題階段：再讀題目後半段，找出其他的重要條件並標記【長為 10 公尺、

每邊增加的長度要相同】。

(4) 分析階段：A.能推論得出改建成的渡假別墅也是正方形。

B.能比較渡假別墅和保留草地面積的關係【渡假別墅的面積是 600 – 375 = 225】。

(5) 計劃階段：經過分析後，能設出未知數並列出正確的方程式【設增加的長度 為 x，(10 + x)(10 + x) = 225】。

(6) 執行階段：利用平方根的方式求得 x 的值【225 = 15²】。

綜合上述 H 的解題歷程可知， H 在尚未讀完題目，在未判斷是否對解題有 幫助前，就先嘗試將題目出現的數字進行運算。接著讀完題目後半段，即進入分 析的階段，並且成功地在計劃階段中列出一個一元二次方程式，之後的執行階段 並未將式子化簡以求解，而是經由觀察得到 x 的值【225 = 15²】。H 在整個求解 的過程中並未出現監控解題的行為，對於算出來的答案也沒有進行驗算的工作。

2 後測解題歷程與時間分析

圖 4-2-02 H 後測第一題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-02 可知，H 共經歷了讀題、分析、讀題、分析、計劃、執行、驗 證等七個階段轉換，其中以執行階段所花的時間最長，經由最後的驗證階段，發

每一階段所花的時間及順序 階段

讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

8 5 29

58

27 70

28

現所得的答案符合題目的條件，故肯定自己獲得正確答案。以下是各階段解題歷 程分析：

(1) 讀題階段：只讀了題目的第一句話【20 公尺、正方形土地】。

(2) 分析階段：讀完第一句，馬上將題目的正方形轉換成自己熟悉的表徵【畫一 個邊長 20 公分的正方形】。

(3) 讀題階段：繼續讀完題目全部，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出來

【長寬相差 4 公尺、長方形區域、土地面積為 50 平方公尺】。

(4) 分析階段：將題目轉換成為圖形，且能比較出長和寬的關係，成功地假設出 未知數【設養羊區域的長為 x、寬為 x – 4】。

(5) 計劃階段：清楚明白題意，並正確地使用可以列出方程式的關鍵條件

【400−x²+4x=80】。

(6) 執行階段：將式子化簡，利用十字交乘解一元二次方程式【x²−4x−320= ，0 x = –16 or 20】

(7) 驗證階段：將所算出的長和寬代回圖形檢驗，符合題目的所有條件【20 × 20

= 400，20 × 16 = 320，400 – 320 = 80】。

綜合上述 H 的解題歷程可知，H 在讀題 5 秒後，馬上將題目前半段敍述的 圖形畫出來，接著才繼續讀完題目後半段。在分析階段中，均成功地將文字表微 轉換成圖形表微，並且獲得一條解題路徑。對於計劃階段所列出的一元二次方程 式，接下來 70 秒的執行階段大部分皆花在十字交乘的分解，能判斷所解出的 x 值獲得正確答案。整個解題過程十分順利，最後將得到的答案代回分析階段所畫 出的圖形中檢驗，肯定獲得的答案是正確的。

3 綜合比較

表 4-2-01 H 前後測第一題各階段歷時百分比

前測 後測

讀題 50 秒 32% 34 秒 15%

分析 37 秒 24% 66 秒 29%

探索 23 秒 15% 0 秒 0%

計劃 34 秒 22% 27 秒 12%

執行 11 秒 7% 70 秒 31%

驗證 0 秒 0% 28 秒 13%

總和 155 秒 100% 225 秒 100%

H 在前後測的第一題均解出了正確答案，且由表 4-2-01 可知，前測第一題 花費不到 3 分鐘(155 秒)的時間，後測也僅花費約 4 分鐘(225 秒)的時間，可見兩 題的整個解題過程都很順利。前測解題中讀題階段所花的時間為最多，約占了全 部時間的 32%，而整個解題歷程中沒有任何驗證階段的行為發生；後測解題中則 以執行階段所花的時間為最多，約占全部時間的 31%，而整個解題歷程中則沒有 任何探索階段的行為發生。

兩題中分析階段所花的時間分別占全部的 24%及 29%，可見在面對這兩個 題目，H 均能有組織地處理題目所提供的條件，並且將之轉換成圖形表微以幫助 假設出未知數及列出方程式。雖然都很順利地解出正確答案，但在後測中，H 還 能將所求出的答案代回題目的條件中進行驗算，更肯定自己獲得的解答是正確 的。顯示 H 在後測中能懂得監控自己的解題結果。

第二題

1 前測解題歷程與時間分析

圖 4-2-03 H 前測第二題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-03 可知，H 共經歷了讀題、探索、分析、讀題、分析、驗證、執 每一階段所花的時間及順序

階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

28 11

21 39

81 20

39

行等七個階段轉換，其中以執行階段所花的時間最長，並且經由最後的執行階段 獲得正確答案。以下是各階段解題歷程分析：

(1) 讀題階段：能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出 來【手套 10 個、棒球 50 個、花了 7000 元】。

(2) 探索階段：看到兩種物品就嘗試地將之設為 x 和 y【設手套一個 x 元，棒球 一個 y 元】。

(3) 分析階段：檢視讀題時所標記的條件，列出第一個方程式【10x + 50y = 7000】。

(4) 讀題階段：再讀題目後半段，找出其他的重要條件並標記【1 個手套、再拿 100 元來】。

(5) 分析階段：從「手套換棒球」的問題推論得到出手套 9 個和棒球 55 個共需 要 7100 元【9x + 55y = 7100】。

(6) 驗證階段：列出聯立方程式後，感覺計算困難而產生質疑，回頭對重新檢查 列式。

(7) 執行階段：A.經由檢查發現所列的聯立方程式確實無誤後，開始進行方程式 的解題運算。

B.得到正確的答案，並對所求得的答案做了初步的評斷【手套好 貴！】。

綜合上述 H 的解題歷程可知，H 在讀完題目的前半段後，先根據以往解題 的經驗，嘗試性地直接將未知數假設出來。接著分別分析題目前半段和後半段，

完成整個分析階段後，也同時列出了聯立方程式，不過緊接著卻察覺到計算的困 難，因而立即進行回顧檢查的工作，在此顯示 H 具有不錯的監控能力。經由執 行階段獲得答案後，也對答案做初步的評斷【手套好貴！】，雖覺得答案不太合 理，卻沒有進行任何驗算的工作。

2 後測解題歷程與時間分析

圖 4-2-04 H 後測第二題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-04 可知，H 共經歷了讀題、分析、計劃、執行、驗證、執行、驗 證等七個階段轉換，其中以執行階段所花的時間最長，經由最後的驗證階段，發 現所得的答案符合題目的條件，故肯定自己獲得正確答案。以下是各階段解題歷 程分析：

(1) 讀題階段：能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出 來【茶壺 15 個、茶杯 50 個、總共花了 8000 元，再拿 50 元，可 以換 5 個茶杯】。

(2) 分析階段：回憶起曾做過結構相似的問題，所以能馬上假設出未知數，並確 定解題方向【設茶壺 1 個 x 元、茶杯 1 個 y 元】。

(3) 計劃階段：決定列出兩個方程式來求得未知數的值，於是從題目的敍述找到 關鍵條件，將其轉換成數學式子，列出了需要的兩個方程式【15x + 50y = 8000、14x + 55y = 8050】。

(4) 執行階段：對第一式約分【15x + 50y = 8000 變成 3x + 10y = 1600】。 (5) 驗證階段：察覺列出式子中的數字並不好運算，而對自己列式的過程產生質

疑，重新回頭檢查列式。

(6) 執行階段：確定列式無誤後，只好勉為其難地利用加減消去法解聯立

【 42 140 22400 (1) 42 165 24150 (2)

x y

x y

+ =

⎧⎨ + =

⎩

L

L ，(2)−(1) ⇒25y=1750 , y=70，x = 每一階段所花的時間及順序

階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

29

18 30

63 48

146

50

300】。

(7) 驗證階段：將得到的答案代回原本列出的兩個方程式驗算，結果吻合。

綜合上述 H 的解題歷程可知，H 歷經 29 秒的讀題階段後，馬上進入分析階 段，並且能回憶之前曾做過類似的題目，於是緊接著確定了解題方向，進入計劃 階段。在後來的執行階段中，察覺所列出的式子有計算上的困難，對自己先前的 列式產生質疑，立即進行回顧檢查的工作。將最後執行階段所得到的答案代回原 本列出的兩個方程式中驗算，肯定獲得的答案是正確的。在此顯示 H 具有良好 的自我監控能力。

3 綜合比較

表 4-2-02 H 前後測第二題各階段歷時百分比

前測 後測

讀題 39 秒 16% 29 秒 8%

分析 59 秒 25% 30 秒 8%

探索 21 秒 9% 0 秒 0%

計劃 0 秒 0% 48 秒 12%

執行 81 秒 34% 164 秒 43%

驗證 39 秒 16% 113 秒 29%

總和 239 秒 100% 384 秒 100%

H 在前後測的第二題均解出了正確答案，且由表 4-1-02 可知，前後測解題 中執行階段所花的時間均為最多，前測執行階段所花的時間占了全部的 34%，後 測執行階段所花的時間更高達 43%，研究者認為 H 對兩題均採取較沒有效率的 作法²，列出數字較大的式子，增加了計算的困難度。H 在前測第二題經由探索 和分析階段則假設出未知數，產生方程式，解題過程中並沒有很明確地指出解題 方向；在後測第二題，H 在一開始回憶起曾過做類似的題目：

師：OK，好，那第二題呢…你一開始就直接設茶壺一個為 x 元、茶 杯一個為 y 元，是為什麼呢？

2 以前測第二題為例：針對題目中「再拿 100 元來，我換給你 5 個棒球」，可以將它轉譯成「一 個手套再加 100 元就相當於 5 個棒球」，因此可以列式成「x+100=5y」；H 則轉譯成「9 個手套 和 55 個棒球，共花 7100 元」而列出「9x+55y=7100」，相較之下，後者反而增加解二元一次聯 立方程式的困難度。

H：這種題目之前有出現過，討論兩個物品價錢之間的關係或總和，

設兩個未知數比較好列式。

(引自 H 後測訪談 100395)

接著馬上進入分析階段，同時也確定解題方向，在後測中並無任何探索階段的行 為發生。

H 均在前後測第二題兩題的解題過程中，對自己所列的式子產生質疑，並且 也立即回顧檢查之前的解題，顯示 H 具有對自己解題歷程進行監控的能力。此 外，在後測解題中，H 更是能對執行階段所獲得的答案進行代回驗算的工作，以 肯定自己的答案是正確的。即使解題過程中列出了較為複雜的式子，終究還是得 到一個正確的答案，但 H 仍察覺出自己的做法並不是最好的：

H：這種題目之前有出現過，討論兩個物品價錢之間的關係或總和，

設兩個未知數比較好列式。不過這題…我討厭它…。

師：你先講出了你的感覺，那你討厭的原因在哪邊？題目難懂還是 怎樣？

H：題目好懂，只是我覺得計算好複雜…。應該有比較好走的路吧！

(引自 H 後測訪談 100395)

可見，H 除了能對監控自己解題歷程和結果，還能進一步加以省思，檢討自己的 解法。

第三題

1 前測解題歷程與時間分析

圖 4-2-05 H 前測第三題原案分析的時間架構表徵圖 每一階段所花的時間及順序

階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

30

42 47

41

16 42

81

由圖 4-2-05 可知，H 共經歷了讀題、分析、執行、計劃、執行、驗證、執 行等七個階段轉換，其中以執行階段所花的時間最長，並且經由最後的執行階段 獲得正確答案。以下是各階段解題歷程分析：

(1) 讀題階段：能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出 來【共有 30 人、500 元、300 元、100 元】

(2) 分析階段：A.根據「一年級人數比二年級人數的 2 倍少 6 人」，決定未知數 的假設【設二年級有 x 人，一年級有 2x – 6 人】

B.比較三個年級人數的關係，能指出三年級的人數為總人數減去 二年級和一年級的人數【三年級有 30 – x – 2x + 6 人】

(3) 執行階段：化簡三年級的人數【30 – x – 2x + 6 = 36 – 3x】

(4) 計劃階段：決定用個別年級所應繳的錢數乘以人數得到總社費【300x + 1000x – 3000 + 3600 – 300x = 10600】

(5) 執行階段：解一元一次方程式【1600x + 600 = 10600，1600x = 10000】

(6) 驗證階段：發現解出的 x 值為一分數而感到奇怪，重新回頭檢查列式及計算 過程。

(7) 執行階段：經由驗證階段的檢查，發現錯誤後，重新改正並完成最後的運算。

【1000x = 10000，x = 10，36 – 3 × 10 = 6】

綜合上述 H 的解題歷程可知，H 完整讀完題目後才開始進入分析階段，能 依據題目的某些條件，決定最合適的未知數。經由計劃階段和執行階段，獲得一 個除不盡的結果【1600x + 600 = 10600，1600x = 10000】，於是重新檢查列式和計 算過程，並且成功地偵測錯誤，加以修正，完成最後的運算，獲得一個正確的答 案，在此顯示 H 具有不錯的監控能力。

2 後測解題歷程與時間分析

圖 4-2-06 H 後測第三題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-06 可知，H 共經歷了讀題、探索、分析、驗證、分析、計劃、執 行、驗證等八個階段轉換，其中以探索階段所花的時間最長，經由最後的驗證階 段，發現所得的答案符合題目的條件，故肯定自己獲得正確答案。以下是各階段 解題歷程分析：

(1) 讀題階段：能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出 來【25、20、15、25 瓶、515 元】。

(2) 探索階段：不能完全了解題意，針對嘗試性地假設出知數【設小瓶的買了 x 瓶、大瓶的買了 2x−2 瓶、中瓶的買了 y 瓶】。

(3) 分析階段：檢視題目條件時未注意到單位上的不同(瓶和元)，而列出錯誤的 方程式【3x + y = 58】。

(4) 驗證階段：注意到「買了 25 瓶」的條件，發現與列出的方程式是互相矛盾 的【25 瓶代表什麼？我好像列錯了！】。

(5) 分析階段：重新檢視「買了 25 瓶」的條件，並列出了一個正確的方程式【3x + y = 27】。

(6) 計劃階段：確定解題方向，尋找第二個方程式可以用來聯立解未知數【65x + 20y = 565】。

每一階段所花的時間及順序 階段

讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

94

42 47

85 28

83 20

28

(7) 執行階段：開始進行解聯立方程式的運算【 12 4 108 (1) 13 4 113 (2)

x y x y

+ =

⎧⎨ + =

⎩

L L ， (2) (1)− ⇒ =x 5 , 2x− = ，2 8 25 13 12− = 】。

(8) 驗證階段：將得到答案代回原題目的敍述進行驗算，結果吻合。

綜合上述 H 的解題歷程可知，H 歷經 47 秒的讀題階段，對「大瓶比小瓶的 2 倍少 2 瓶」這個條件的敍述無法會意，因此之中停頓了一下。另外，也對題目 某些敍述有所疑問：

「各需 25、20、15 元，買了 25 瓶」(複讀，用筆指著這句話) 「所以他……他三種都買嗎？」

「那麼…ㄜ…ㄟ…」(沈默片刻)

(引自 H 後測解題 100395)

由於不清楚解題目標，故在探索階段中嘗試性地假設未知數。又對題目做了錯誤 的解讀，在分析階段列出了一個錯誤的式子。不過 H 能即時發現錯誤所在，並 且加以改正，再經由分析階段找到了解題方向，在執行階段解出答案。最後也能 代回驗算，肯定獲得的答案是正確的。

3 綜合比較

表 4-2-03 H 前後測第三題各階段歷時百分比

前測 後測

讀題 30 秒 10% 47 秒 12%

分析 47 秒 16% 48 秒 12%

探索 0 秒 0% 94 秒 24%

計劃 41 秒 14% 54 秒 13%

執行 100 秒 33% 83 秒 21%

驗證 81 秒 27% 70 秒 18%

總和 299 秒 100% 396 秒 100%

H 在前後測的第三題均解出了正確答案，且由表 4-2-03 可知，前測解題中 執行階段所花的時間為最多，約占全部時間的 33%，但無任何探索階段的行為發 生；後測解題中，各階段所花的時間頗為平均，最長的探索階段也只占全部時間 的 24%。前測解題中無何任探索階段的行為，在後測解題卻占用最多的時間，從 放聲思考的原案和訪談中得知，H 初讀完後測第三題，尚無法了解題意，於是進

入探索階段：

師：一樣在哪裡？(指前後測第三題題目結構)

H：就全部有多少，就…反正這句話跟這句話有關係…然後這句話 跟這句話有關係…然後一樣有三種，有三種價錢。

師：那為什麼當初你能夠很快的就找出三年級就是這樣子做？這次 你好像遇到中瓶的時候就直接設 y 了？是你對題目解讀不一 樣，或者是…？

H：我剛看到這邊的時候，我以為他沒有買中瓶的…呵…。

師：你以為他沒有買中瓶？

H：嗯！然後後來居然發現它問幾瓶中瓶，我很想寫 0 瓶 師：所以你這樣子假設的原因…？

H：因為我不曉得它到底存不存在啊？

師：那這一題(指前測第三題)也是一樣啊…。

H：可是我覺得三個年級都會有人吧？

師：都會有人？啊這個可以不買或買？

H：對…呵～

師：哦～那差別在於題目的情境？

H：嗯。

師：那你的意思是假設今天我把它改成「一、二、三年級，然後要 交 15 塊錢、20 塊錢和 25 塊錢，然後請問三年級有幾個人？或 者是二年級有幾個人？」你就不會這樣子設了(指設兩個未知數)？

H：有可能。

師：有可能？OK。

H：不過這邊…因為很後面才注意到這個(指買了 25 瓶)…啊這邊(指 某社團共 30 人)是一開始就看到了…所以我就知道它原本總共…。

(引自 H 後測訪談 100395)

雖然 H 能明確指出前後測兩個題目的結構是相似的，但同時也表示，由於

「總和」(指前測的「共 30 人」及後測的「共 25 瓶」)出現在題目中的位置不同，

導致 H 對兩題有不同的解讀。另外，從這裡也可以知道，H 在訪談中能明白地 說出自己對於題目的感覺，解題過程如何受到影響，顯示 H 能省思自己的解題，

具有良好的自我監控的能力。

H 在前後測解題中均有驗證階段的行為發生，不過，前測解題的驗證階段的 行為發生於解題過程，H 在執行階段中產了一個非正整數的解，於是對自己的列 式產生質疑，立即回頭檢查列式及計算過程，並且成功地偵測到錯誤；後測解題

中的驗證階段的行為除了發生在解題過程中，同時在解得答案後，也能將答案代 回原題目驗算，更肯定獲得的答案是正確的。

第四題

1 前測解題歷程與時間分析

圖 4-2-07 H 前測第四題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-07 可知，H 共經歷了讀題、分析、探索、分析、計劃、執行等六 個階段轉換，其中以分析階段所花的時間最長，經由最後的執行階段獲得正確答 案。以下是各階段解題歷程分析：

(1) 讀題階段：能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出 來【八年前我的年齡是你的 4 倍、兩年後】。

(2) 分析階段：就對題目的敍述做立即的判斷，評論小毛不可能迎頭趕上大毛的 歲數。

(3) 探索階段：嘗試性的設小毛的歲數為 x 歲，並試著寫出大毛的歲數。

(4) 分析階段：能從題目給的條件，比較兩人八年前歲數的關係，正確地用 x 表 示出大毛現在的年齡。【大毛現年 4 (x – 8) + 8 歲】。

(5) 計劃階段：根據分析的結果，決定列出一個一元一次式用來解出未知數 x 的 值【2 (x + 2) = 4x – 24 + 2】。

(6) 執行階段：解一元一次方程式，得到正確的 x，並代入得到大毛的歲數【2x 每一階段所花的時間及順序

階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

10 27

67 40

70

28

+ 4 = 4x – 22，–2x = –26，x = 13，大毛 4 × 13 – 24 = 28】。 綜合上述 H 的解題歷程可知，H 完整讀完題目後即在分析、探索兩個階段 中轉換。一開始未確定假設何者為未知數，於是嘗試性的判斷，40 秒的探索階 段後，決定較佳的假設方式，可以使得解題更為順利，進而在分析階段找到解題 路徑。

師：再來看第四題，你也是設…為什麼原本大毛，後來又變小毛？

H：因為如果我設大毛為 x 的話，小毛變成要用除的，我覺得寫成 分數很麻煩，所以反過來小毛設為 x，大毛就變成用乘的會比 較方便。

師：所以你在假設未知數，剛開始可能隨便抓一個設？

H：因為題目先出現大毛，所以先設大毛，結果發現錯了，再設小 毛。

(引自 H 前測訪談 082095)

確定解題方向後，列出一個一元一次式來解出所假設的未知數，並且在執行階段 成功地獲得正確答案。

2 後測解題歷程與時間分析

圖 4-2-08 H 後測第四題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-08 可知，H 共經歷了讀題、分析、計劃、執行、驗證、執行、驗 證等七個階段轉換，其中以執行階段所花的時間最長，經由最後的驗證階段，發

每一階段所花的時間及順序 階段

讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

2 4 6 8 10(分)

32

31 22

62

30 43

24

現所得的答案符合題目的條件，故肯定自己獲得正確答案。以下是各階段解題歷 程分析：

(1) 讀題階段：能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線或圈起來的方 式標記出來【每天各存 20 元、兩天、你的 5 倍】。

(2) 分析階段：清楚地了解題意，假設出未知數，並且根據題目給的條件，比較 出兩人兩天前存錢的關係，正確地表示出大毛身上的錢數【設小 毛在有 x 元，5 (x − 40)，5x − 200 + 40，大毛現在有 5x − 160 元】。

(3) 計劃階段：確定解題方向，根據分析的結果，決定列出一個一元一次式用來 解出未知數 x 的值【3 (x + 60) = 5x − 160 + 60】。

(4) 執行階段：A.解一元一次方程式，但得到一個錯誤的答案【3x + 180 = 5x − 100，2x = 80，x = 40】。

B.將解出來 x 的值代回算大毛的錢數，發現兩人錢數竟然相等，

因而產生疑問【大毛現在 40 元，小毛現在也 40 元？】。

(5) 驗證階段：回頭檢查計算過程並且發現錯誤所在【−2x = −280，x = 140，差 真多】。

(6) 執行階段：得到正確的 x 值後重新代回計算大毛的錢數【5 × 140 - 160 等於…

700 − 160 = 540】

(7) 驗證階段：檢驗所得到大毛和小毛的錢數在兩天前與三天後的關係，結果和 題目敍述吻合【500 ÷ 100 = 5，600 ÷ 200 = 3】

綜合上述 H 的解題歷程可知，H 完整讀完題目後即進入分析階段，並且找 到一條解題路徑，確定解題方向。由於執行階段的計算過程發生錯誤，因此產生 一個矛盾的答案，馬上進行回顧檢查。在驗證階段能偵測出先前解題過程的錯誤 所在，修正並且得到一個新的答案，接著也能將答案代回驗算，肯定所獲得的答 案是正確的，顯示其具有自我監控解題的能力。

3 綜合比較

表 4-2-04 H 前後測第四題各階段歷時百分比

前測 後測

讀題 27 秒 11% 32 秒 13%

分析 80 秒 33% 62 秒 26%

探索 40 秒 17% 0 秒 0%

計劃 28 秒 11% 22 秒 9%

執行 67 秒 28% 74 秒 30%

驗證 0 秒 0% 54 秒 22%

總和 242 秒 100% 244 秒 100%

H 在前後測的第四題均解出了正確答案，且由表 4-2-04 可知，H 在前測花 242 秒完成第四題的解題，後測則花 244 秒，兩題所花費時間差不多。前測解題 中以分析階段所花的時間為最多，約占了全部時間的 33%，而整個解題歷程中沒 有任何驗證階段的行為發生；後測解題中則以執行階段所花的時間為最多，約占 全部時間的 30%，分析階段占全部時間的 26%，位居第二，而整個解題歷程中 則沒有任何探索階段的行為發生。

H 在前後測第四題，均傾向於假設一個未知數，分析階段中不斷比較大毛與 小毛的關係，欲將另一個也以未知數 x 表示出來。

師：所以你還是比較喜歡只有一個未知數？

H：嗯……。

師：為什麼？

H：因為我覺得一個未知數比較簡單，因為比較早學。

師：因為比較早學，所以比較簡單？

H：用比較久，所以比較熟悉。

(引自 H 前測訪談 082095)

H 在談訪中表示，自己偏愛假設一個未知數，除非逼不得已，否則假設一個未知 數對自己而言是較為熟悉且簡單的。

第五題

1 前測解題歷程與時間分析

圖 4-2-09 H 前測第五題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-09 可知，H 對前測第五題進行了兩次的解題，前後共經歷了讀題、

探索、讀題、探索、分析、計劃、執行、讀題、驗證、執行等十個階段轉換，其 中以執行階段所花的時間最長，最後並未獲得正確答案。以下是各階段解題歷程 分析：

(1) 讀題階段：A.能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記 出來【賣價 150 元、250 瓶】。

B.閱讀完第一次後，並不了解題意，於是重新讀題。

(2) 探索階段：在未完全了解題意前，將可進行運算的數字做運算【150 × 250 = 37500 元、37500 – 37200 = 300 元】。

(3) 讀題階段：不瞭解什麼是「每降價 1 元，就多賣了 2 瓶」，而反複閱讀並畫 下重點【每降價 1 元、2 瓶】。

(4) 探索階段：嘗試性地設一瓶要價 x 元，卻發現無法寫出瓶數。

(5) 分析階段：認為「每降價 1 元，就多賣了 2 瓶」是主要的關鍵條件，簡化後，

比較出降價錢數與賣出瓶數的關係，決定假設的未知數【設當日 降價 x 元，賣出 2x 瓶】。

(6) 計劃階段：A.經過分析階段後，終於發現解題正確方向，但卻誤以為 2x 瓶 為總瓶數，而列出錯誤的方程式【2x (150 – x) = 37200】。

B.確定解題方向後，也能知道哪些算式是不需要用的到【指出 每一階段所花的時間及順序

階段 讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

71

41 55

44

26

25 30

42

12

56

37500 – 37200 = 300 為一個多餘的式子】。

(7) 執行階段：試圖解出未知數的值，發現整理完後的一元二次式無法順利因式 分解【300x−2x² =37200，2x²−300x+37200= ，0

2 150 18600 0 x − x+ = 】。

(8) 讀題階段：算完所有題目後，再回頭重新讀題。

(9) 驗證階段：沒有其他的策略進行解題，於是重新檢查原本的列式及計算過程。

(10) 執行階段：在確定式子無誤後，決定用十字交乘進行因式分別，但仍無法順 利分解出來。於是猜測應該有比較簡單的方法求解。

綜合上述 H 的解題歷程可知，H 在第一次解題中，由於不瞭解題意，開始 的 182 秒(約 3 分鐘)不斷在讀題、探索兩階段中轉換。在探索階段，將題目給予 的數字先行運算，這與第一題的解題行為一樣。

師：好，那接下來看第五題，為什麼你這麼快這裡就 150 × 250？然 後第一題也是一樣。

H：啊，我有說喔，先算出全部的面積…。

師：為什麼？為什麼你就這麼斷定說，算出全部面積是可以用的？

還是你只是習慣：長跟寬都給我了，那面積不算一下…

H：對不起它，所以就算一下。

師：那周長為什麼不一起算出來？

H：呵呵呵…因為題目一看發現它在講面積啊，一定跟面積有關，

所以就算面積。

師：那這一題也是一樣嗎？

H：因為「共賣得」所以我覺得要先算一下。

師：好，所以你常常有這個動作？

H：嗯……。

師：就是不管它可不可以用，就是至少把可以組合出來的相關數字 先擺著？

H：對…。

(引自 H 前測訪談 082095)

可見 H 在未對題目進行分析前，習慣先運算題目中某些相關數量，不管是 否使用得到。在接下來的分析階段，經由不斷檢視所認為的重要關鍵絛件，成功 地假設出未知數，並且確定了解題方向。雖然清楚瞭解題意，但因無法有效地將 問題表徵成正確的數學算式，經過(7)執行階段反覆的計算，仍然無法順利解出

答案，最後停止繼續作答。

完成前測所有其他題目後，回頭過來對第五題進行第二次解題，讀題後，無 法找出其他解法，於是重新檢查原本的列式及計算過程。由於無法偵測出錯誤，

在執行階段時無法順利解出答案，最後放棄繼續作答。

2 後測解題歷程與時間分析

圖 4-2-10 H 後測第五題原案分析的時間架構表徵圖

由圖 4-2-10 可知，H 共經歷了讀題、計劃、執行、驗證、執行、驗證等六 個階段轉換，其中以執行階段所花的時間最長，雖然成功地解出未知數的值，卻 沒有寫出最完整的答案。以下是各階段解題歷程分析：

(1) 讀題階段：能正確讀出整個題目，並且將需要的條件以畫底線的方式標記出 來【一個售價 45 元、漲價 1 元、銷售量就減少 10 個、賣得 22500 元】。

(2) 計劃階段：回憶起曾做過結構相似的問題，所以能馬上假設出未知數，並確 定解題方向【設當日漲價 x 元，少賣了 10x 個，

(45+x)(500 10 )− x =22500元】。

(3) 執行階段：將方程式利用分配律乘開並化簡【22500 50+ x−10x² =22500】。

(4) 驗證階段：發現等號兩邊均為 22500，對所列的方程式產生疑問，重新檢查 列式【為什麼會一樣？一樣有關係嗎？】。

每一階段所花的時間及順序 階段

讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證

花 費 的 時 間(分)

2 4 6 8 10

33

44 67

26

33 15