及其 common key。相對地來說，若是無法對於給定的分割，找到一個 renewable subset 及其 common key，是否就是 ESBM 的失敗呢？
我們可針對上面的情況：“無法對於給定的分割，找到一個 renewable subset 及 其 common key＂，再細分為下列兩種情形。情形一：該分割仍有 renewable subset，
但 ESBM 無法為該 renewable subset 找到 common key。情形二：該分割已不存在 renewable subset。就情形二的情況，任何演算法都無法針對該分割找到一個
renewable subset 及其 common key，因為該分割已不存在任何的 renewable subset。
故我們定義 ESBM 的失敗僅包含情形一，也就是針對一個仍有 renewable subset 的分 割，無法找到其中一個 renewable subset 及其 common key。
定義 3.5.1：(ESBM 的失敗)
若對於一個仍有 renewable subset 的分割，ESBM 無法找到其中一個 renewable subset 及其 common key，則我們稱為 ESBM 於該分割的失敗。
圖 13 ESBM 失敗的例子
說明：上頭打星號的點代表發生錯誤或不存在，而P ,…,2 P5皆有四個不同的區塊元素 不存在(被圈起來的地方)，故P ,…,2 P5皆無完整區塊。
□
3.5.2：欲分析的問題
於接下來的分析，我們將探討一個問題：在至少多少個點不存在的情形下，ESBM 有可能會失敗呢？換句話說，我們也為下面的問題尋求一個解答：在不存在的點的個數 少於多少點的情形下，ESBM 一定會成功？
3.5.3：定義變數
為了方便分析時的討論，我們定義下列變數。
(1) q：PHF 的第一個參數，也就是說，輸入至 ESBM 的 PHF 為 PHF(q,w)。
(2) N：一個點的集合，若集合內的點皆不存在，則 ESBM 將會失敗。
(3) n：集合N的大小。
(4) p：不失一般性，我們假定欲尋找 renewable subset 及其 common key 的分割 為P ，則在將1 N與P 的各個區塊一一作交集所形成的集合中，其最大的元素大小1
為p。
故我們想要問的問題便是：集合N的大小n至少要多小？
3.5.4：界定 n 的範圍
現在考慮n的範圍，假設n<q，則任意分割都必存在至少一個完整區塊，ESBM 可找 到該區塊並成功的傳回，所以n<q不成立。假設n = q，則在P , …, 2 Pq+1中，N中的 n個點必屬於不同的區塊，由定理 2.1 可知，此n點必在P 屬於同一區塊。但是，這種1
情況不在 ESBM 失敗的定義內，故n = q不成立。
引理 3.5.3：
假設輸入至 ESBM 的分割的索引為k，令Pk={B , 1 B , …, 2 B }。對於所有能夠使 ESBMq 失敗的集合 N，存在Bi∈Pk∋ ∀ ∈Bj P jk, ≠i B,| j∩N| |≤ Bi∩N|。令Bi∩N={u1, u2, …,
u }= U，p Bi−Bi∩N ={v1, v2, …, vq−p}= V。∀P mm, ≠ ，可定義k Q ={點s的 share|s∈V}，R ={點s的 share|s∈N-U}，則有 Q⊆ 。 R
證明：
因為N在輸入至 ESBM 的分割的索引為k時，能使 ESBM 失敗，故由定義 3.5.1 可知，
N必滿足下列條件：
1. ∀ B∈Pk， B - N ≠ ∅，即B⊄N。
2. 對於Pk以外的其他分割P ，j ∀ ∈ ，| B - B Pj N| < | B |，即 B 中至少有一元素 屬於N。
亦即若N中的點皆不存在，則Pk必仍有至少一個 renewable subset。
並且，若N中的點皆不存在，則 ESBM 將傳回＂FAIL＂，因為此時P mm, ≠ 中已無k 任何完整的區塊。
考慮u1, u2, …, u , p v1, v2, …, vq−p這q個點，由於在Pk擁有相同的 share，故 在P mm, ≠ 擁有不同的 share（定理 2.1.2）。假設k N ={u1, u2, …, u , p w1, w2, …,
n p
w − }，則由性質２可以推知，若 V 中有一點在P mm, ≠ 擁有 share k s，則N–U = W ={w1, w2, …, wn−p}中也必有一點在Pm擁有 share s。亦即對於Pm，可定義兩 個收集 share 為元素的集合Q={點s的 share|s∈V}以及R={點s的
share|s∈N-U=W}，滿足 Q⊆ 。 R
Q.E.D.
定理 3.5.4：
n≥ + q p 證明：
承引理 3.5.3，V中任一點s在P mm, ≠ 中共有k q個 share。由定理 2.1.1，N-U中 任一點t擁有s的一個 share。
因為 Q⊆ ，故|R N-U|≥q。 即|N|≥q+|U|
⇒ |N|≥ q+p
⇒ n ≥ q+p
Q.E.D.
範例 3.5.5：n=q+p
若q=4 且N ={1,4,5,6,9,11}，則由p的定義可知p=2。假設Bi={1,2,3,4}，則由 引理 3.5.3 可知，N中除了 1,4 以外的點，需要擁有點 2,3 在P ,…,2 P5所擁有的 share。
並且，N中除 1,4 外的任一點，皆擁有點 2,3 中任一點在P ,…,2 P5所擁有的一個 share。
而 2,3 中任一點在P ,…,2 P5共有四個 share，故起碼需要再增加 1,4 以外的四點(如下 圖的 5,6,9,11)，N才能夠擁有點 2,3 在P ,…,2 P5所有的 share。如下圖所示：
3
所能擁有最多的 pair key 量為q 1
代入(3.2)的右半，可得最大的 pair key 量: 4 7 3
很容易可以得知，因為N中的點是從(λ=1)-PHF 選出，故其所含的 pair key 恰為
□
考慮事件S：若N中的點不存在，ESBM 將會失敗。
定理 3.5.11：
若n存在下限使其滿足T，則n存在下限使其滿足S。 證明：
n存在下限使其滿足T，即存在t滿足n≥t才能滿足T。
假設n<t時可能滿足S，則由引理 3.5.3 及定理 3.5.8，可知n<t時可能滿足E⇒n<t 時可能滿足T，此與已知的敘述＂n≥t才能滿足T＂為矛盾。
故原假設不成立，即n≥t才能滿足S，也就是n存在下限使其滿足S。 Q.E.D.
由推廣 3.5.10 以及定理 3.5.11，我們可以很容易地推廣至以下結論。
推廣 3.5.12：
相較於其他所有方式，選擇一的取點方式可在n最小的情形下滿足S。
□
由推廣 3.5.12 可知，以選擇一的方式來增加點到N，可在|N|最小的情形下使 ESBM 失敗。因為選擇一的增加點方式，其實是增加p值，故其是否擁有足夠 pair key 的判 斷可交由式(3.2)來決定。如果式(3.2)成立，代表增加的p值(點的個數)已足夠多：如 果式(3.2)不成立，則代表增加的p值(點的個數)仍不夠多。
3.5.6：總結
經由上面略嫌冗長的討論，我們終於能夠確定限制|N|=n下限的一組方程式，為 ,
n≥ +q p p∈ ` ， (3.3)
以及
1
2 2 2
2 q p
q p p
q p p q p p
q p
p
⎛ + −⎢ + ⎥⋅ ⎞
+ +
⎛ ⎞≤ ⎛ ⎞ ⎢+ + ⎥ ⎛ ⎞+⎜ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3.4)
也就是說，當不存在的點的個數大於等於n時，ESBM 便有可能失敗，否則，ESBM 會有百分之百的成功機率。
[13]提到了一個與ESBM相類似的演算法，它與ESBM不同的地方在於，選取區塊的方
式為隨機選取。並且，[13]針對此演算法的容錯能力作了程式的模擬，其中失敗的定義 與ESBM不同，改為＂找不到一個renewable subset，便是失敗，不管該分割目前有沒有 renewable subset＂。
下表列出了在q=4,5，n=3,4,5,6,7,8 時，若套用 [13]的定義，ESBM的可能失敗情 形個數：
割沒有 renewable subset 的選取點方法個數，為
32 3
割沒有 renewable subset 的選取點方法個數，為
42 4
考慮q=5 的情形。表 2 中(q,n)=(5,5)時的失敗情形有 5 種，恰等於此時欲更新分
割沒有 renewable subset 的選取點方法個數，為
52 5 5 5 5
⎛ − ⎞
⋅ ⎜⎝ − ⎟⎠=5 種；表 2 中(q,n)=(5,6)
時的失敗情形有 100 種，恰等於此時欲更新分割不含 renewable subset 的選取點方法
個數，為
52 5 5 6 5
⎛ − ⎞
⋅ ⎜⎝ − ⎟⎠=100 種；表 2 中(q,n)=(5,7)時的失敗情形有 950 種，恰等於此時
欲更新分割不含 renewable subset 的選取點方法個數，為
52 5 5 7 5
⎛ − ⎞
⋅ ⎜⎝ − ⎟⎠=950 種。故我們
可以得知q=5,n<8 時確實不能使 ESBM 失敗，這與(3.3)、(3.4)吻合。並且，我們實際 地找到一個n=8 時，使 ESBM 失敗的選取點方式，為選取點 1,7,11,13,15,21,24,25。
考慮最簡單的情況：q=2，我們可以很容易推知此時 ESBM 不可能失敗。另外，由以 上討論，我們可以得知由(3.3)與(3.4)所推出的理論值，在q=3、q=4 以及q=5 時，與 實際值吻合。