設計理論(Design Theory)在各項工程領域都扮演了極重要的角色，其中的
PHF(Perfect Hash Family)可用作網路安全應用中的臨界秘密分享(Threshold Secret Sharing)。於本篇論文內，我們將會使用到以下的設計理論產物：affine plane 以及 PHF，而於本節，我們將簡單地介紹這些組合式物件。
1.3.1 Affine Plane
定義 1.3.1：(Pairwise Balanced Design(PBD))
一個 pairwise balanced design(PBD)是一個有序對(S,B)，其中S是一個符號的有 限集合，裡頭的元素稱作點，而B是一個以S中的子集合為元素的集合，裡頭的元素稱 作區塊。並且，任兩點恰會一起出現在同一個區塊。
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以下我們稱 PBD 內的一個區塊為一條線。如果兩點在同一條線，我們稱該兩點為共 線。如果兩條線不共點，則我們稱該兩線為平行。
定義 1.3.2：(Affine Plane)
一個 affine plane 是一個滿足下列兩性質的一個 PBD(P,B)：
(1) 存在至少一個四點的集合S包含於P，滿足S中的任三點不共線。
(2) 給定一線l與一不在l上的點p，則恰有一條線包含p且與l平行。
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定義 1.3.3：(order of an affine plane)
一個 affine plane 是一個 PBD(P,B)，若|P|=n2，則稱n為該 affine plane 的 order。
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另外，一個 order 為n,n≥ 2 的 affine plane(P,B)必滿足下列性質：
(a) |B|=n2+n (b) ∀ ∈b B b,| |= n
(c) B可組成n + 1 個P的分割，其中每個分割皆有n個元素
1.3.2 Perfect Hash Family
定義 1.3.5：(Perfect Hash Family(PHF))
一個(A,B,w)-perfect hash family(PHF)是一個由A到B的函式的集合F。並且，
對於任何大小為w的A的子集合X，都存在至少一個f∈F，使得當限制函式輸入屬於X 時，f為一對一函式。並且若|F|=N，則我們表示該 PHF 為 PHF(N;A,B,w)。另外，若|A|=n，
|B|=m，則這樣的 PHF 又可稱為 PHF(N;n,m,w)，本篇論文將採用 PHF(N;n,m,w)這樣的表 示法。
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範例 1.3.6：PHF(4;9,3,3)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
f2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
f3 1 2 3 3 1 2 2 3 1
f4 1 2 3 2 3 1 3 1 2
圖 3 PHF(4;9,3,3)
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一個 PHF 除了上述的定義外，還可以其他的方法的表示之，我們稱之為 PHF 的區塊 表示法。使用區塊表示法的主要原因在於，我們不在意B集合內元素的實值，而在意的 是B集合內的元素被哪些A集合內的元素所對應。
定義 1.3.7：(PHF 的區塊表示法)
對於任一個 PHF(N;n,m,w)，都可以將其轉換成N個A的分割以及N個由{Ai|Ai⊆A}
到B的函式。轉換方法如下：對於每個 fi∈ ，我們將對應到同一F B集合元素的A集合 元素，收集到同一集合。則很顯然地，這些集合將構成一個A的分割Pi。並且，可針對 每一 f 定義一函式i bi，稱作區塊對應函式，其輸入是Pi中的任一元素(為一A的子集 合)，其輸出是該集合成員所對應到的B集合元素。另外，本篇論文中將另稱A集合內 的一個元素為一個點，分割Pi內的一個元素為一個區塊。
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範例 1.3.8：PHF(4;9,3,3)的區塊表示法
對於範例 1.3.6 的 PHF(4;9,3,3)，我們可以區塊表示法表示為 4 個分割以及 4 個區 塊對應函式，如下：
P1={{123},{456},{789}}
P2={{147},{258},{369}}
P3={{159},{267},{348}}
P4={{168},{249},{357}}
b1({123})=1, b1({456})=2, b1({789})=3 b2({147})=1, b2({258})=2, b2({369})=3 b3({159})=1, b3({267})=2, b3({348})=3 b4({168})=1, b4({249})=2, b4({357})=3
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定義 1.3.9：((λ=1)-PHF)
首先定義λ為一個 PHF 中，任兩點在各個分割恰屬於同一區塊的個數，則由 PHF 的 定義可知，λ不見得在任一個 PHF 皆能夠被定義。而(λ=1)-PHF 是指一個 PHF 其λ值為 一，故其必滿足任兩點在各個分割恰屬於單一個區塊。
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範例 1.3.10：(λ=1)-PHF
範例 1.3.6 的 PHF(4;9,3,3)是一個(λ=1)-PHF，因為在此 PHF(4;9,3,3)中，任兩 點再各個分割恰屬於一個區塊。任舉幾對點如下：
1,2 只在P1屬於同一個區塊 6,8 只在P4屬於同一個區塊 4,7 只在P2屬於同一個區塊 3,9 只在P2屬於同一個區塊
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定義 1.3.11：(balanced PHF)
一個 balanced PHF 為一個滿足下列特性的 Perfect Hash Family，＂任一分割所含
區塊個數，等同於任一區塊所含點個數＂。
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範例 1.3.12：balanced PHF
範例 1.3.6 的 PHF(4;9,3,3)是一個 balanced PHF，因為其任一分割所含區塊個數，
等同於任一區塊所含個數，皆為 3。
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