1 3 5 7 9 1113151719212325
右端點
‧
表 4.1：新臺幣兌美元原始資料(2011/2/16~3/31)
日期 美元兌新臺幣每日匯率 區間表示法
最高匯價 最低匯價 左右端點法 中心點半徑法
2011/2/16 29.479 29.470 [29.470, 29.479] (29.4185;0.0665) 2011/2/17 29.470 29.432 [29.432, 29.470] (29.3940;0.0760) 2011/2/18 29.432 29.408 [29.408, 29.432] (29.3560;0.0760) 2011/2/21 29.408 29.366 [29.366, 29.408] (29.3665;0.0415) 2011/2/22 29.366 29.557 [29.557, 29.366] (29.4740;0.1080) 2011/2/23 29.557 29.572 [29.572, 29.557] (29.5520;0.0690) 2011/2/24 29.572 29.760 [29.572, 29.760] (29.6855;0.1155) 2011/2/25 29.760 29.754 [29.754, 29.760 ] (29.8150;0.0900) 2011/3/1 29.754 29.572 [29.572, 29.754 ] (29.6630;0.0910) 2011/3/2 29.699 29.590 [29.590, 29.699] (29.6445;0.0545) 2011/3/3 29.665 29.480 [29.480, 29.665] (29.5725;0.0925) 2011/3/4 29.542 29.310 [29.310, 29.542] (29.4260;0.1160) 2011/3/7 29.499 29.355 [29.355, 29.499] (29.4270;0.0720) 2011/3/8 29.437 29.333 [29.333, 29.437] (29.3850;0.0520) 2011/3/9 29.437 29.310 [29.310, 29.437] (29.3735;0.0635) 2011/3/10 29.522 29.365 [29.365, 29.522] (29.4435;0.0785) 2011/3/11 29.642 29.535 [29.535, 29.642] (29.5885;0.0535) 2011/3/14 29.620 29.460 [29.460, 29.620] (29.5400;0.0800) 2011/3/15 29.613 29.470 [29.470, 29.613] (29.5415;0.0715) 2011/3/16 29.574 29.468 [29.468, 29.574] (29.5210;0.0530) 2011/3/17 29.647 29.545 [29.545, 29.647] (29.5960;0.0510) 2011/3/18 29.600 29.495 [29.495, 29.600] (29.5475;0.0525) 2011/3/21 29.617 29.538 [29.538, 29.617] (29.5775;0.0395) 2011/3/22 29.652 29.525 [29.525, 29.652] (29.5885;0.0635) 2011/3/23 29.632 29.540 [29.540, 29.632] (29.5860;0.0460) 2011/3/24 29.605 29.542 [29.542, 29.605] (29.5735;0.0315) 2011/3/25 29.585 29.440 [29.440, 29.585] (29.5125;0.0725) 2011/3/28 29.519 29.457 [29.457, 29.519] (29.4880;0.0310) 2011/3/29 29.539 29.469 [29.469, 29.539] (29.5040;0.0350) 2011/3/30 29.510 29.430 [29.430, 29.510] (29.4700;0.0400) 2011/3/31 29.510 29.395 [29.395, 29.510] (29.4525;0.0575)
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4.2 以區間型 ARIMA 模式建構
我們利用 2.3 節中的定義 2.8 及 2.9，以表 4.1 中的區間資料為依據，分別觀 察左端點、右端點與中心點、半徑四個時間數列的 ACF 圖與 PACF 圖，以西元 1920 年 Box 與 Jenkins 所提出的「自我迴歸移動平均」整合模式建構程序，以 ADF 單根檢定(Augmented Dickey-Fuller Test)驗證模式是否為定態(stationary)，適當的選 擇模式中的差分階數(d)、自我迴歸級數(p)、移動平均級數(q)，配適出其個別的 ARIMA(p,d,q)模式，最後再綜合左、右端點與中心點、半徑合成兩組不同的區間 時間數列。
以左右端點法建構
左端點之 ARIMA 模式：
(1−0.7335B )at = 0.1280 + εt B為倒退算子 εt為白干擾項 右端點之 ARIMA 模式：
(1 − 0.7894B)bt = 0.1171 + εt B 為倒退算子 εt為白干擾項 左右端點法之 ARIMA 模式：
at, bt = (1 − 0.7335B)at = 0.1280+εt
(1 − 0.7894B)bt = 0.1171 + εt B 為倒退算子 εt為白干擾項
以中心點半徑法建構 中心點之 ARIMA 模式：
(1−0.7868B)ct = 0.0075 + εt B 為倒退算子 εt為白干擾項 半徑之 ARIMA 模式：
(1−0.2943B) rt = 0.1799 + εt B 為倒退算子 εt為白干擾項 中心點半徑法之 ARIMA 模式：
(ct, rt) =
(1 − 0.7868B) ct = 0.0075 + εt (1 − 0.2943B) rt = 0.1799 + εt
B 為倒退算子 εt為白干擾項
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4.3 以平均累加模糊熵分類
由於在建構區間 SETAR 模式前需事先給定門檻值，因此在本節中我們希望 先以平均累加模糊熵分別對左、右端點，中心點、半徑作分類，分析各數列中的 結構轉變之處，藉此客觀的找出可能的門檻候選值。
第一步：先利用 k-means method(Sharma,1996)找出時間序列{Yt}的 2 個群落中 心，並決定{Yt}對 2 個群落中心的隸屬度μit , i = 1,2
表 4.2：左、右端點與中心點、半徑的兩個群落中心
左端點 右端點 中心點 半徑
群落中心C1 29.3618 29.4923 29.4270 0.0653 群落中心C2 29.5281 29.6607 29.5944 0.0663 第二步：計算出對應的模糊熵 δ(yt)、平均累加模糊熵MSδ(yt) = 1t ti=1δ(yi)
及此數列的中位數Median( MSδ(yt))，繪成如圖 4.3、4.5、4.7、4.9 之 走勢圖
表 4.3：左、右端點與中心點、半徑的平均累加模糊熵中位數
左端點 右端點 中心點 半徑
Median( MSδ(yt)) 0.034503 0.031965 0.032264 0.046285 第三步：取適當的一門檻值λ，將{Yt}對應的平均累加模糊熵 MSδ(yt)數列進行
分類。若 MSδ(yt)落在區間[0，Median( MSδ(yt))-λ]，則以 1 表示第一 組；若 MSδ(yt)落在區間[Median( MSδ(yt))-λ，Median( MSδ(yt))+λ]，則 以 2 表示第二組；若 MSδ(yt)落在區間[Median( MSδ(yt))+λ，1]，則以 3 表示第三組，依據理論中之分類法，繪成如圖 4.4、4.6、4.8、4.10 之分類圖
第四步：選取適當的顯著水準α，此時取α=0.2 若連串的樣本數大於[31α]=6 時我們才算分類成功，反知將視為轉折型式歸納分組，當分類的組數超 過一組時，表示此數列發生結構改變，進而找出其可能的門檻轉折點。
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觀察圖 4.3~4.10 可以發現左端點的轉型期皆發生在 21 期(3/17)到 24 期(3/22)；
右端點發生在 22 期(3/18)到 25 期(3/23)；中心點發生在 23 期(3/21)到 26 期(3/24)；
半徑則發生在 19 期(3/15)到 22 期(3/18)，將轉型期中的各期匯價作為門檻候選值 如下表：
表 4.4：左、右端點與中心點、半徑的門檻候選值
門檻候選值 左端點 右端點 中心點 半徑
r1 29.545 29.600 29.5775 0.0715 r2 29.495 29.617 29.5885 0.0530 r3 29.538 29.652 29.5860 0.0510 r4 29.525 29.632 29.5735 0.0525
圖 4.3 左端點之平均累加模糊熵走勢圖
圖 4.4 左端點以 λ=0.01 所作出之分類圖
0 0.1 0.2 0.3 0.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 左端點平均累加模糊熵
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 λ=0.01之分類圖
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圖 4.9 半徑之平均累加模糊熵走勢圖
圖 4.10 半徑以 λ=0.01 所作出之分類圖
4.4 以區間型門檻自迴歸模式建構
本節針對左右端點、中心點半徑兩種區間模糊數的定義方式，把左端點、右 端點、中心點、半徑假設為四個獨立的時間數列，先利用上節所找出的門檻候選 值，並以 Tong 所建議的 L=[320.5]=5 作為最大可能階次，依 3.2 所述之步驟建構，
分別計算各種可能的 AIC 值，以 AIC 最小的延誤參數和門檻值配適出 SETAR 模 式；另外再用可能影響匯率的某一重大歷史事件作為一特殊時點，前後分段形成 不同的自迴歸模式，最後我們再分別將左右端點、中心點半徑兩兩合成不同的區 間型門檻自迴歸模式。
1. 區間型 SETAR 模式
以左右端點法建構0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 半徑平均累加模糊熵
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 λ=0.01之分類圖
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左端點之 SETAR 模式：
首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1, r2, r3, r4配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參 數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自 迴歸模式再加總之：
表 4.5：以不同的門檻值與延誤參數計算左端點之 AIC 值 {r=r1, r2, r3, r4}×{d=1,2,3,4,5}
AIC(1, 𝐫𝟏) AIC(2, 𝐫𝟏) AIC(3, 𝐫𝟏) AIC(4, 𝐫𝟏) AIC(5, 𝐫𝟏)
－4.5712 －3.7518 －2.9721 －1.1204 0.3217
AIC(1, 𝐫𝟐) AIC(2, 𝐫𝟐) AIC(3, 𝐫𝟐) AIC(4, 𝐫𝟐) AIC(5, 𝐫𝟐)
－4.6982 －3.7624 －2.2227 －1.7691 0.7156
AIC(1, 𝐫𝟑) AIC(2, 𝐫𝟑) AIC(3, 𝐫𝟑) AIC(4, 𝐫𝟑) AIC(5, 𝐫𝟑)
－4.1798 －3.6617 －2.6603 －1.5454 0.0147
AIC(1, 𝐫𝟒) AIC(2, 𝐫𝟒) AIC(3, 𝐫𝟑) AIC(4, 𝐫𝟑) AIC(5, 𝐫𝟑)
－4.1142 －3.7744 －2.1476 －1.0249 0.6725
比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,29.495)時為最小，我們以其為最終的延誤參 數和門檻值，可以得到左端點的門檻自迴歸模式如下：
at =
0.7167at−1 = 0.0034 + εt if at−1 < 29.495 0.9241at−1 = 0.0073 + εt if at−1 ≥ 29.495
右端點之 SETAR 模式：
首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1, r2, r3, r4配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參 數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自
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迴歸模式再加總之：
表 4.6：以不同的門檻值與延誤參數計算右端點之 AIC 值 {r1, r2, r3, r4}×{d=1,2,3,4,5}
AIC(1, 𝐫𝟏) AIC(2, 𝐫𝟏) AIC(3, 𝐫𝟏) AIC(4, 𝐫𝟏) AIC(5, 𝐫𝟏)
－4.2671 －3.1674 －2.0198 －1.0463 0.0176
AIC(1, 𝐫𝟐) AIC(2, 𝐫𝟐) AIC(3, 𝐫𝟐) AIC(4, 𝐫𝟐) AIC(5, 𝐫𝟐)
－4.7843 －3.1845 －2.6179 －1.0171 0.9736
AIC(1, 𝐫𝟑) AIC(2, 𝐫𝟑) AIC(3, 𝐫𝟑) AIC(𝟒, 𝐫𝟑) AIC(5, 𝐫𝟑)
－4.1836 －3.0548 －2.3667 －1.0369 0.3047
AIC(1, 𝐫𝟒) AIC(2, 𝐫𝟒) AIC(3, 𝐫𝟒) AIC(4, 𝐫𝟒) AIC(5, 𝐫𝟒)
－4.1873 －3.9644 －2.0112 －1.0176 0.9916
比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,29.617)時為最小，我們以其為最終的延誤參 數和門檻值，可以得到左端點的門檻自迴歸模式如下：
bt =
0.6347bt−1 = 0.0012 + εt if bt−1 < 29.617 0.7145bt−1 = 0.0041 + εt if bt−1 ≥ 29.617
左右端點法之 SETAR 模式：
綜合以上左端點及右端點之 SETAR 模式合成區間型 SETAR 模式如下：
at, bt =
at =
0.7167at−1 = 0.0034 + εt if at−1 < 29.495 0.9241at−1 = 0.0073 + εt if at−1 ≥ 29.495
bt =
0.6347bt−1 = 0.0012 + εt if bt−1 < 29.617 0.7145bt−1 = 0.0041 + εt if bt−1 ≥ 29.617
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以中心點半徑法建構 中心點之 SETAR 模式：
首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1, r2, r3, r4配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參 數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自 迴歸模式再加總之：
表 4.7：以不同的門檻值與延誤參數計算中心點之 AIC 值 {r1, r2, r3, r4}×{d=1,2,3,4,5}
AIC(1, 𝐫𝟏) AIC(2, 𝐫𝟏) AIC(3, 𝐫𝟏) AIC(4, 𝐫𝟏) AIC(5, 𝐫𝟏)
－3.7261 －2.0184 －1.0544 －0.3147 0.0041
AIC(1, 𝐫𝟐) AIC(2, 𝐫𝟐) AIC(3, 𝐫𝟐) AIC(4, 𝐫𝟐) AIC(5, 𝐫𝟐)
－3.6174 －2.3016 －1.6154 －0.2168 0.2716
AIC(1, 𝐫𝟑) AIC(2, 𝐫𝟑) AIC(3, 𝐫𝟑) AIC(𝟒, 𝐫𝟑) AIC(5, 𝐫𝟑)
－3.4651 －2.0174 －1.7459 －0.9863 0.9862
AIC(1, 𝐫𝟒) AIC(2, 𝐫𝟒) AIC(3, 𝐫𝟒) AIC(4, 𝐫𝟒) AIC(5, 𝐫𝟒)
－3.1264 －2.3967 －1.3349 －0.8741 0.1145
比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,29.5775)時為最小，我們以其為最終的延誤參 數和門檻值，可以得到中心點的門檻自迴歸模式如下：
ct ∶
0.7843ct−1 = 0.0167 + εt if ct−1 < 29.5775 0.6516ct−1 = 0.0037 + εt if ct−1 ≥ 29.5775
半徑之 SETAR 模式：
首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1, r2, r3, r4配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參
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核電廠爆炸幅射外洩事件，導致當日東京日經指數(Nikkei225)重挫 1,015.3 點，創 下歷年有史以來第三大跌幅，亞洲股價幾乎呈現一面倒的趨勢，臺灣加權股價指‧
3/29 [29.469, 29.539] [29.621,30.617] [29.331,29.636] [29.315,29.634]
3/30 [29.430, 29.510] [28.301,29.889] [29.681,29.624] [29.671,29.368]
3/31 [29.395, 29.510] [29.361,29.631] [29.634,29.671] [29.614,29.634]
IME 0.237 0.054 0.087
IMPE 12.38% 5.36% 6.12%
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表 4.10 以 IME、IMPE 評估中心點半徑法之預測結果
保留 期數
實際區間
中心點半徑法
區間 ARIMA 區間 SETAR 區間 TAR
3/29 (29.5040;0.0350) (29.6714;0.0476) (29.4751;0.0041) (29.6315;0.0720) 3/30 (29.4700;0.0400) (29.1473;0.0432) (29.5671;0.0132) (29.6712;0.0630) 3/31 (29.4525;0.0575) (29.6712;0.0627) (29.6127;0.0474) (29.3716;0.0887)
IME 0.324 0.012 0.074
IMPE 14.65% 5.89% 6.42%
由以上各表中的比較，我們可以藉由 IME、IMPE 為模式優劣比較工具，發 現中心點半桱法的預測結果與左右端點法差不多，而三種模式之預測能力依序為 區間 SETAR ＞ 區間 TAR ＞＞ 區間 ARIMA，表示兩種門檻自迴歸模式都比單 純的區間 ARIMA 法好得多，這正符合我們的假設，表示若能找出發生結構改變 之處，對於掌握資料走勢或是做進一步的預測分析都會有較好的結果。
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