區間SETAR模式的建構分析與預測 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系碩士學位論文. ‧. ‧ 國. 學. 政治大區間 SETAR立模式的建構分析與預測 Interval SETAR Modelling and Forecasting Evaluation. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 碩士班學生：廖育琳撰. 指導教授：吳柏林博士中華民國一百年六月.

(2) 摘要雖然傳統線性時間數列在預測上已被廣泛的使用，但是在一般的時間數列中或多或少都會有結構改變(structural changes)的現象，我們往往很難找到一簡單的線性模式來詮釋資料中普遍存在的非線性(nonlinearity)結構，同時隨著模糊理論的興起與區間軟計算(soft computing)的發展，區間預測(interval forecasting)已成為未來研究的重點。本文應用模糊分類法(fuzzy classification)，找出結構改變的位置，藉此發展出非線性的區間門檻自迴歸模式(interval SETAR model)，再以「來臺觀光客人數」與「新臺幣兌美元匯率」作為實例，建構兩種區間門檻自迴歸模式與. 政治大關鍵字：非線性，區間軟計算、門檻自迴歸、觀光客、匯率立. 區間 ARIMA 模式並比較之，結果顯示兩種非線性的預測效果都比線性模式好。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i. i Un. v.

(3) Abstract Although the traditional linear time series has been widely used in forecasting, there are, more or less, some structural changes in general time series. It is difficult to find a simple linear model to interpret the nonlinear structure which exists in many cases. In the mean time, with the rise of fuzzy theory and the development of interval soft computing, interval forecasting has been the research topic in the future. Therefore, this study is going to apply the fuzzy classification to point out the position of structural changes, so as to develop nonlinear interval SETAR model. Furthermore, "the number of tourists to Taiwan" and "the exchange rate of NTD to USD" will be taken as examples in order to construct two kinds of interval SETAR models and compare them with interval ARIMA model. The results reveal that these two nonlinear models are more accurate than linear ones.. 政治大. Keywords：nonlinear, soft computing , SETAR , tourist , exchange rate. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ii. i Un. v.

(4) 目錄第一章前言....................................................................................................................1 第二章研究方法............................................................................................................4 2.1 門檻自迴歸模式...............................................................................................4 2.2 模糊隸屬度與模糊熵分類法..........................................................................8 2.3 區間 ARIMA 模式、區間門檻自迴歸模式...............................................10 2.4 預測效率評估.................................................................................................12 第三章實證分析-來臺觀光客人數..........................................................................16. 政治大 3.2 以區間型 ARIMA 模式建構........................................................................18 立 3.1 資料來源.........................................................................................................16. ‧ 國. 學. 3.3 平均累加模糊熵分類....................................................................................19 3.4 以區間型門檻自迴歸模式建構...................................................................22. ‧. 3.5 預測結果比較與分析....................................................................................28. sit. y. Nat. 第四章實證分析-新臺幣兌美元匯率.....................................................................30. n. al. er. io. 4.1 資料來源.........................................................................................................30. i Un. v. 4.2 以區間型 ARIMA 模式建構........................................................................32. Ch. engchi. 4.3 平均累加模糊熵分類....................................................................................33 4.4 以區間型門檻自迴歸模式建構...................................................................36 4.5 預測結果比較與分析....................................................................................42 第五章結論..................................................................................................................44 參考文獻........................................................................................................................ 46. iii.

(5) 第一章前言傳統線性時間數列在預測上已被廣泛的使用，但是其限制條件如：穩定性 (stationarity)、線性(linearity)的隨機過程，卻常常困擾著實證的學者，在一般的時間數列中或多或少都會有結構改變(structural changes)的現象，我們往往很難找到一合適的線性模式來配適，由於時間數列的資料普遍存在有非線性(nonlinearity) 的現象，使得非線性的領域在近幾年受到極大的重視，舉凡社會(Abraham, 1987， Macmillan, 1995，Roger 與 Wilson, 1996)、農業(Machado, 1995)、通訊(Szmania, 1989)，經濟(Perron 與 Vogelsang, 1992，Dufour 與 Ghysels, 1996，Stock 與 Watson, 1996)(程. 政治大 autoregressive models; Tong, 1983)、雙線性模式(Bilinear models), (Subba-Rao 與 Gabr, 立. 友梅, 1995)，並同時發展出了許多非線性的模式，比如說門檻自迴歸模式(threshold. ‧ 國. 學. 1984)、指數型自迴歸模式(Exponential autoregressive models; Haggan, 1981)等...。這些模式當中，門檻自迴歸模式因具有許多線性 ARIMA 模式所不能描述的特性而. ‧. 受到重視，從早期 Tong 與 Lim (1980)利用門檻自迴歸模式分析加拿大山貓成長趨. sit. y. Nat. 勢與太陽黑子出現情形，以及 Byers 與 Peel (1995)以門檻自迴歸模式預測六個國. n. al. er. io. 家的工業生產指數，和傳統線性分析的方法比較之下，發現利用門檻自迴歸模式. i Un. v. 來分析不僅能有較佳的配適度也更能呈現出資料的發展趨勢。. Ch. engchi. 隨著近年來全球經濟蓬勃發展，休閒旅遊產業越來越受到重視，觀光業已是目前世界各國公認最重要的無煙囪工業之一，除了可以提升國際知名度、展現國家文化內涵外，在創造就業機會及活絡經濟發展上亦具有明顯的效益。根據世界觀光組織(World Tourism Organization, WTO)的分析報告指出，「觀光」已成為許多國家賺取外匯的首要來源，在全球各國的外匯收入中約有超過百分之八來自觀光收益，高居所有國際貿易種類之冠，而 WTO 更預估至 2020 年全球觀光人數將突破五十六億二百萬人次，全球觀光收益也將達到二兆美元。因此近年來我國陸續推出「觀光客倍增計畫」、「旅行臺灣年」、「觀光拔尖領航方案」、「旅行臺灣‧感動 100」等各種規劃(中華民國觀光年報, 2010)，希望藉由增加觀光客來增加外匯 1.

(6) 並振興經濟，然而不論是本地觀光業者或政府對於觀光環境之投資與政策制定，皆有賴於相關單位對於觀光客人數的掌握，若能準確的評估將可事先對各種軟硬體環境做出完善的籌劃，不僅可避免各種資源的不敷使用或浪費閒置的情形，更能促進我國觀光產業的正向發展，因此對於來臺觀光人口數作一準確的預測實屬必要。 Michael and Charles (1997)指出「匯率」為衡量兩國產品與勞務相對價格的重要指標，說明了兩國之間的產品競爭力。對於全球任何開放經濟體系而言，國內經濟活動與國外經濟情勢的關連性十分密切，而各國的匯率在這個國內與國外經濟活動的交互作用中，扮演著極為重要的角色，而我國自 1979 年外匯市場開放. 治政運作以來，由於對美貿易順差持續增加，引起美方的強烈關注，再加上國際政治大立因素及貿易金融自由化的考量，促使我國的中央銀行採取「管理浮動匯率制度」 ‧ 國. 學. (managed floating exchange rate)政策，以減少政府對於外匯市場的干預，將貨幣視. ‧. 作一種商品，讓自由的市場的供需機制來決定其價值，自此之後，為使臺幣符合. sit. y. Nat. 市場真實價格，新臺幣對美元的匯率已從 1985 年的 40.43 元經過多次波動，漸漸. io. 絕對是經濟、金融、學術各界所關注的焦點。. al. er. 攀升到目前約 29 元的水準(張新發, 1996)，而未來的走勢將如何的做變化，相信. n. iv n C 在過去傳統的時間數列預測中，使用的資料以及作出的預測往往是以單一的 hengchi U. 數值為主，然而在人類的生活中有許多的事物皆存在一不明確的範圍，如氣溫的高低是以早晨、正午或半夜的溫度為準？或者新臺幣對美元的匯率是以開盤、收盤還是平均值為主呢？由於僅用單一數值形式收集來的資料，其建立的模式並不足以描述每日或每月的發展趨勢，因此隨著軟計算的興起，越來越多的學者開始重視區間預測的方法，Chatfield (1993)是區間計算預測的先驅之一，Tseng, Tzeng, Yu, and Yuan (2001)將模糊 ARIMA 模式應用於臺幣與美元間的匯率，Lin (2007)研究隸屬度函數及區間長度改良對模糊時間序列預測之影響，Chen (2008)發表區間型模糊數的迴歸分析，Ludermir (2008)將區間預測建立在時間數列模型上，Hsu (2008)探討區間時間序列預測及分析，Liao (2009)研究多變量模糊時間數列分析與 2.

(7) 轉折區間的檢測，Ro (2010)提出區間模糊相關係數，隨著近年來學著們的努力，區間預測的領域已漸漸受到了重視。對於「觀光客」和「匯率」這兩種資料而言，容易受到國際局勢變化、或政府政策推行因素的影響，可能具有結構改變的特性，這是一般傳統線性 ARIMA 模式難以描述及處理的地方(吳柏林, 1991)，因此我們希望使用非線性模式來配適「來臺觀光客人數」與「新臺幣兌美元匯率」，不過自 1983 年 Tong 提出門檻自迴歸模式以來，文獻中大多將其用於建構單點的模式，關於區間資料的研究反而較少，然而在現實生活中有許多的資料都是以區間來呈現及預測的，就比方說因為一天中的氣溫有高有低，氣象預報會說明天最高溫、最低溫幾度之間的範圍，. 治政因此由於許多的資料本身即具有不確定性及模糊性大，若我們利用假性的「精確值」立來做分析，就有可能造誤導預測模式的建構((吳柏林, 2005)，對於「來臺觀光客 ‧ 國. 學. 人數」或「新臺幣兌美元匯率」亦為如此，一年當中每個月份的旅客人次不可能. ‧. 完全相同，每年都有所謂的淡、旺季之分；一天之內的匯率也有高有低，而非單. sit. y. Nat. 一的匯價，所以若要預測的話也不該武斷的只採取單點值的資料，而應是若干個. io. er. 不同範圍的區間資料才是。因此本文的目標即是以模糊理論為基礎，突破傳統一般點對點的時間數列模式，建構出一套以區間資料為主的門檻自迴歸模式，希望. al. n. iv n C 不僅能兼顧資料的模糊性、並同時解決可能隱藏在資料中的結構性改變的問題。 hengchi U 本文主要分為四大部份。第一章說明研究動機、探討相關文獻並提出研究方向；第二章引進區間運算及模糊理論的觀念，並以此為基礎建構區間型門檻自迴歸模式，並定義區間預測之效度評估標準；第三章和第四章以「來臺觀光客人數」與「新臺幣兌美元匯率」為原始區間資料，分別以區間 ARIMA 與兩種區間 TAR 模式建構並比較其預測效果，最後第五章為結論。. 3.

(8) 第二章研究方法 2.1 門檻自迴歸模式由於傳統的單根檢定無法探討資料中可能存在的不對稱非線性關係，因此就有門檻自迴歸模式(threshold autoregressive models, TAR)的出現，此模式最早是由 Tong (1983)所提出，它的基本原理就是把時間數列中的各觀察值，依其走勢變化的情形，找出一個資料結構轉變的地方，稱之為轉捩點(change point)或門檻值 (threshold)，將數列資料清楚的劃分為數個狀態(regime)，各自形成一個系統，服從不同的線性自迴歸(autoregressive, AR)模式。門檻模式本身有幾項明顯的特徵，. 政治大. 作為一般判斷識別的標準，如有周期循環性、上下起伏的震動、或突然向上、向. 立. 下的現象，這些特徵是傳統 ARIMA 模式難以描述的地方(吳柏林, 1995)，因此這. ‧ 國. 學. 種模式常常用來解決時間數列中資料不對稱的狀況，在我們的生活中就有許多結構改變的現象是依據某些門檻所產生的，舉例來說，股價持續上漲，會因投資人. ‧. 獲利回吐，而導致股價下跌；數量過於龐大的生物族群，會因環境資源的侷限，. y. Nat. sit. 而導致物種逐漸的減少，諸如此類...。因此近年來非線性方法逐漸受到了重視，. n. al. er. io. TAR 模式已被廣泛的利用到財務金融及社會科學等非線性的領域上，如經濟成長. Ch. i Un. v. 率、加權股票指數、匯率、出生率、死亡率、醫療健保支出、毒品查獲量等...。. engchi. 以下我們將詳細介紹門檻自迴歸模式及其建構方法。. 1. 模式基本介紹基本上門檻自迴歸模式是由幾個線性自迴歸模式將資料分成數個不同的狀態，各個狀態之間再利用門檻值(threshold parameter)區分為兩個以上的狀態，而一般的門檻值主要分為兩類：一種是以「時間」作為狀態變化的分水嶺(piecewise in time)，在某個時點前後構成兩種不同的自迴歸模式；或者是利用模式中「變數」作為結構改變的依據(piecewise in variable)，於此門檻值上下各自形成不同的系統，此類亦可稱為 SETAR 模式(Self-Excited TAR)，以下即為兩類門檻自迴歸模式的表 4.

(9) 示方法，其中(2.1)是以時間點分段的 TAR 模式，其表示法如下； K1 i=1 Φ1,i Yt−i + a1,t K2 i=1 Φ2,i Yt−i + a2,t. Φ1,0 +. Yt =. Φ2,0 +. if t ≦ s. (2.1). if t＞s. 其中 K1 , K 2 ：為兩個自迴歸模式的階次(order) Φ1,i , Φ2,i ：為自迴歸係數 a1,t , a2,t ：為白干擾項(white noise) t 為期數或時間 s 為某期或某一時點另外 2.2 為 Tong (1983)所提出的兩階段之門檻自迴歸模式 SETAR(2；K1 , K 2 )，如下列所示：. 立. ‧ 國. Φ2,0 +. K1 i=1 Φ1,i Yt−i + a1,t K2 i=1 Φ2,i Yt−i + a2,t. if Yt−d ≦ r. 學. Yt =. Φ1,0 +. 政治大. if Yt−d ＞r. ‧. 其中 K1 , K 2 ：為兩個自迴歸模式的階次(order). (2.2). sit. y. Nat. Φ1,i , Φ2,i ：為自迴歸係數. io. er. a1,t , a2,t ：為白干擾項(white noise) d：為控制門檻發生處之變數，稱之為延誤參數. n. al. ni Ch r：為一常數，稱之為門檻值 U engchi. v. 所謂的門檻自迴歸模式即是利用門檻值的特性來作切換(switch)的動作，當模式處於某個特殊的時點前後，或者是當其中的延誤參數(delay parameter)高於或低於某一門檻值時，原本的 AR 模式就會被切換到另一個不同狀態的 AR 模式，數個不同的狀態之間便可透過門檻值彼此切換，亦即所謂的「片斷線性」(piecewise linear)的函數(楊奕農, 2009)。. 5.

(10) 2. 模式建構方法雖然一般以時間分段的 TAR 模式而言，我們只要找到結構改變的時點再分別配適線性迴歸模式即可，但是對於以「變數」分段的 SETAR 而言，將一時間數列分成兩段不同的系統卻不是很容易，如何找出該模式中的延誤參數(d)、以及門檻值(r)是建構模式的一大難題，因此 Tong (1983)提出了一個利用 AIC(Akaike Information Criteria)準則(Akaike, 1974)作為選擇參數依據的建構方法。接下來我們先介紹何謂 AIC 準則，再以 SETAR(2；K1 , K 2 )為例，說明詳細的建構步驟。. 定義 2.1 AIC 準則(Akaike Information Criteria; Akaike, 1974). 治政設y 為一樣本數為 n 之時間數列，若以 p 階自迴歸模式配適，K 為待估參數大立總數、ln(RSS(p)/n)為殘差均方和取對數，則其 AIC 值定義如下：學. AIC(p) = ln(RSS(p)/n) + 2K/n. ‧. ‧ 國. t. y. Nat. SETAR(2；K1 , K 2 )模式建構步驟：. er. io. sit. 第一步：首先令 L 為模式的最大階次(Tong 建議 L= nα ，α＜0.5，n 為樣本數)，事先給定某組 d 和 r 值，再將觀察值由小至大依序排列，接著根據往前. al. n. iv n C d 期的觀察值yt−d 高於或低於門檻值 U h e n g c hr，i 將所有的觀察值分成兩個部份，分別以最小平方法(The ordinary least squares, OLS)作參數的估計，配適恰當的線性自迴歸模式，並以 AIC(k i )= ln(RSS(k i /ni ))+2(k i )/ ni. i=1,2. (其中ni 為該段的樣本數、RSS(k i )為殘差平方和、k i 為待估參數總數) 作為選擇階次的依據，使得 AIC(k i )=min0≤k i ≤L AIC(k i ) i=1,2 最後再計算其和 AIC(d, r) = AIC(k1 )+AIC(k 2 ). 6.

(11) 第二步：考慮門檻值可能發生的位置{r1 , r2 , r3 … rs }，並固定延誤參數 d，重複第一個步驟得到 AIC(d, r) =minr∈ r 1 ,r 2 ,r 3 …r s AIC(d, r) 其中r即為 r 的估計值。第三步：由於不同的 d 值會造成樣本數的變化，為了不使樣本數的多寡影響到 AIC 值的比較，因此我們利用下式來做調整 AIC(d)=AIC(d,r)/(n-d) 以此作為估計 d 的依據，以上一步中的門檻值r作為基礎，在 d ≤ L 的範圍內搜尋，重複第一與第二步驟一直到找到使 AIC(d)最小的d值為止。. 立. 政治大. 完成了上述三個步驟後，可以求得 k i , k, r, d 四個值，即分別為兩個自迴歸. ‧ 國. 學. 模式的階次k1 , k 2、門檻值 r 以及延誤參數 d，這時所得到的模式，即是所謂的門. ‧. 檻自迴歸模式，兩段Yt 皆為線性迴歸模式，其參數隨過去的值變動。. sit. y. Nat. 然而由前述門檻自迴歸的演算法可得知，若自迴歸模式的個數為 M，最大階. io. al. iv n S S−1 S−2 …..(S−M+2) C × T = LhM e × ngchi U ×T 1∙2∙3…..(M−1). n. 計算的模式個數為：. er. 次為 L，門檻值的個數為 S(S≧M-1)，延誤參數的個數為 T，則演算過程所需的. S. LM × M−1. 故當門檻值的個數S很大且自迴歸模式個數 M 在某個程度時，所需計算模式個數將非常大(阮正治, 1996)，這對是門檻自迴歸模式建構時的一個很大的困難， Tsay (1989)亦表示：(1)門檻變數的認定與相對門檻值估計是很困難的。(2)此類模式目前並沒有一既定的建構程序。因此若我們能修正模式建構的程序，在開始計算前避免主觀的選取門檻值，利用有系統的方式檢定模式可能的結構改變之處，在第一步驟即時給定可信度較高的門檻候選值，除了較為客觀外，亦可避免掉一些盲目的計算，相信必能提升演算過程中的效率。目前學界已提出許多關於結構轉變的檢定，例如 Lagrangian multipler (LM) test; Guegan 與 Pham, 1992、Likelihood 7.

(12) ratio-basedtest; ChanTong, 1986、Bispectrum test; Hinich, 1982，然而這些檢定方法是針對特定的非線性時間數列所設計的，僅對特定的模式具有相當的檢定力，若是要檢定其他的模式，則檢定力將會降低(Gooijerm 與 Dumar, 1992)，因此為了提高此模型的適用性，我們在下一節中將會引進 Zadeh (1965)所提出的模糊集合理論 (Fuzzy Set Theory)，利用平均累加模糊熵 (吳柏林, 1999)有系統的來蒐尋模式中的可能的結構轉變點。. 2.2 模糊隸屬度與模糊熵分類法人類的思維主要來自對於自然與社會現象的認知意識，而人類的知識語言也. 政治大社會科學的範疇中，我們無法將某些現象簡單分成非此即彼的關係，比如說若我立. 會因本身的主觀意識時間環境和研判事情的角度不同而具有模糊性，因此在許多. ‧ 國. 學. 們將一群人的心情簡單的分成「快樂」與「不快樂」與兩類，這樣的劃分法很明顯有不合理之處，因為人的的心情並非是二元的現象，而是有各種不同情緒程度. ‧. 連續性之特性，因此為了解釋這些現實生活中具有模糊性的事物，Zadeh (1965). sit. y. Nat. 發表了模糊集合理論，解決了許多傳統二元邏輯所無法描述的現象，重新以隸屬. n. al. er. io. 度(membership grade)來呈現元素與集合之間的關係，例如，人們身高 200 公分絕. i Un. v. 對屬於高，則其隸屬度當屬於 1，而身高 180 公分或 178 公分的隸屬度則約等於. Ch. engchi. 0.8，這表示身高 180 公分或 178 公分屬於高的程度有 0.8 之多，因此隸屬度表示論域中某一元素屬於集合的程度，一般通常會以介於 0 到 1 之間函數來描述這樣的關係，即為所謂的隸屬度函數，當我們要分析時間數列中是否有發生結構轉變時，便是運用模糊隸屬度與模糊熵等觀念作分類，進而找出數列中可能的轉折之處，其定義如下：定義 2.2 模糊隸屬度(Fuzzy Membership Grade; Wu,1999) 令一時間數列 Yt , t = 1,2, … , n，C1 與C2 為其兩個群落中心，令μit ,i=1,2 表示時間數列 Yt 中的元素yt 對C1 、C2 的隸屬度，則定義隸屬度為 y t －C i μit = 1－ 2 i=1 y t －C i 8.

(13) 定義 2.3 模糊熵(Fuzzy Entropy; Wu,1999) 令一時間數列 Yt , t = 1,2, … , n，μit 表yt 對群落中心Ci ,(i=1,2...k)的隸屬度，則yt 的模糊熵定義為 1. δ (yt ) = -( ) k. k i=1[μit. ln μit + 1 − μit ln⁡ (1 − μit )]. 定義 2.4 平均累加模糊熵(Mean Cumulated Fuzzy Entropy; Wu,1999) 令一時間數列 Yt , t = 1,2, … , n，δ (yt )為其模糊熵，則定義平均累加模糊熵為 1. MSδ (yt ) =. 立. t. t i=1 δ. (yi ). 政治大. 所謂熵原是熱力學中蘊含能量的標準單位，在模糊理論中定義模糊熵來測量. ‧ 國. 學. 模糊集合的不確定性，以資訊理論(Information Theory)的觀點來說，它代表來模糊集合的平均內部訊息量，此訊息量是作為對以模糊集合描述之對象進行分類時的. ‧. 判斷標準，運用模糊熵可有效判斷一時間數列是否有結構性改變的發生，利用t. y. Nat. sit. 個時間的平均累加模糊熵來觀測模糊熵的訊息變化情形，並以此來作為模型轉折. n. al. er. io. 分類的標準，意即若是當MSδ (yt )發生顯著的群據變化時，表示模型正在發生結. Ch. i Un. v. 構性改變，我們便可以透過觀察MSδ (yt )的走勢來了解改變發生之處，進而選定. engchi. 合適的門檻候選值。以下便是吳柏林與張建瑋 (1999)根據一般的時間數列實證分析經驗所提出的模糊熵分類法。. 平均累加模糊熵分類法：第一步：先利用 k-means method(Sharma, 1996)找出時間序列{Yt }的 2 個群落中心，並決定{Yt }對 2 個群落中心的隸屬度μit , i = 1,2，其中 μit = 1－. y t －C i 2 i=1 y t －C i. 第二步：計算出對應的模糊熵 δ(yt )、平均累加模糊熵 MSδ(yt ) = 及此數列的中位數 Median( MSδ(yt )) 9. 1 t. t i=1 δ(yi ).

(14) 第三步：取適當的一門檻值λ，將{Yt }對應的平均累加模糊熵 MSδ(yt )數列進行分類。若 MSδ(yt )落在區間[0，Median( MSδ(yt ))-λ]，則以 1 表示第一組；若 MSδ(yt )落在區間[Median( MSδ(yt ))-λ，Median( MSδ(yt ))+λ]，則以 2 表示第二組；若 MSδ(yt )落在區間[Median( MSδ(yt ))+λ，1]，則以 3 表示第三組。第四步：若分類結果不一致，則對此分類結果作調整；若分類皆相同，則跳過至第五步。第五步：選取適當的判定水準α，若連串的樣本數大於[αn]，則此連串樣本屬於同一組，當分類的組數超過一組時，表示此數列發生結構性改變。. 政治大. 立. ‧ 國. 學. 2.3 區間型 ARIMA 模式 & 區間型門檻自迴歸模式. ‧. 傳統時間數列為{ Yt , t = 1,2, … . n}，其預測方式為Yt =E( Yt ｜Yt−1 , Yt−2 … , Y1 )，為一般點對點之間的預測，使用上只能侷限於單時點的資料，若是樣本為區間的. y. Nat. sit. 型式，則無法以傳統的方法來進行預測，使的一般時間的數列在應用上受到了限. n. al. er. io. 制，為了增加其廣泛性及適用性，以下先引進區間模糊數的概念，介紹區間時間. Ch. i Un. v. 數列，最後再分別以 ARIMA 以及 TAR 法針對左右端點、中心點半徑兩種區間表式法來定義區間型式的時間數列。. engchi. 定義 2.5 區間模糊數(Fuzzy Number of Interval; Wu,2006) (a+b). 令 X=[a,b]=(c;r)，其中 c=. 2. (b−a). 為區間 X 之中心，r=. 2. 為區間長度的半徑，. 若 a,b,c,r 皆為隨機變數，則稱 X 為區間模糊數。. 定義 2.6 區間時間數列(Interval time series; Wu,2006) 令 Yt =[at , bt ]= (ct ; rt ),t=1,2,..,n}，則稱 Yt }為一個區間時間數列。. 10.

(15) 定義 2.7 左右端點法之 ARIMA 模式(Tsu, 2007) 令 Yt =[at , bt ],t=1,2,..,n}為一個區間時間數列， at =θ+∅1 at−1 +...+∅p c at−p c +εt -θ1 εt−1 -...-θq c εt−q c bt =α+β1 bt−1 +...+βp c bt−p c +εt -η1 εt−1 -...-ηq c εt−q c. 其中εt 為白干擾項，. 則Yt = E[Yt |Yt−1 , Yt−2 , Yt−3 , . . . . Y1 ]=[ at , bt ]，其中 at =E[at ｜at−1 , at−2 , … . a1 ]= θ+∅1 at−1 +...+∅p c at−p c bt =E[bt ｜bt−1 , bt−2 , … . b1 ]=α+β1 bt−1 +…+βp c bt−p c. 定義 2.8 中心點及半徑法之 ARIMA 模式(Tsu, 2007). 治政令 Y =(c ; r ),t=1,2,..,n}為一個區間時間數列，大立 +ε -θ ε -...-θ ε c =θ+∅ c +...+∅ a t. t. 1 t−1. p c t−p c. t. 1 t−1. q c t−q c. rt =α+β1 rt−1 +...+βp c rt−p c +εt -η1 εt−1 -...-ηq c εt−q c. 學. ‧ 國. t. t. 其中εt 為白干擾項，. ‧. 則Yt = E[Yt |Yt−1 , Yt−2 , Yt−3 , . . . . Y1 ]= [ ct －rt , ct + rt ]，其中. y. Nat. ct =E[ct ｜ct−1 , ct−2 … c1 ]= θ+∅1 ct−1 +...+∅p c ct−p c. er. io. sit. rt =E[rt ｜rt−1 , rt−2 … r1 ]= α+β1 rt−1 +...+βp c rt−p c. n. al. ni Ch 定義 2.9 左右端點法之區間門檻自迴歸模式 U engchi. v. 令 Yt =[at , bt ],t=1,2,..,n}為一個區間時間數列,其中 at =. Φa,1,0 +. Φa,2,0 + Φb,1,0 + bt = Φb,2,0 +. K1 i=1 Φa,1,i K2 i=1 Φa,2,i K1 i=1 Φb,1,i K2 i=1 Φb,2,i. at−i + εa,1,t if at−d1 ≤ S1 at−i + εa,2,t if at−d1 > S1 bt−i + εb,1,t if bt−d2 ≤ S2 bt−i + εb,2,t if bt−d2 > S2. Φ為自迴歸係數，S 為門檻值，at−d1 , bt−d2 為延誤參數，εa,1,t , εb,1,t 為白干擾項則 Yt = E[Yt |Yt−1 , Yt−2 , Yt−3 , . . . . Y1 ]=[ at , bt ]，其中 at =E[at ｜at−1 , at−2 , … . a1 ]= bt =E[bt ｜bt−1 , bt−2 … . b1 ]=. Φa,1,0 + Φa,2,0 + Φb,1,0 + Φb,2,0 + 11. K1 i=1 Φa,1,i K2 i=1 Φa,2,i K1 i=1 Φb,1,i K2 i=1 Φb,2,i. at−i if at−d1 ≤ S1 at−i if at−d1 > S1 bt−i if bt−d2 ≤ S2 bt−i if bt−d2 > S2.

(16) 定義 2.10 中心點及半徑法之區間門檻自迴歸模式令 Yt = (ct ; rt ),t=1,2,..,n}為一個區間時間數列,其中 Φc,1,0 + ct = Φc,2,0 + Φr,1,0 + rt = Φr,2,0 +. K1 i=1 Φc,1,i K2 i=1 Φc,2,i K1 i=1 Φr,1,i K2 i=1 Φr,2,i. ct−i ct−i rt−i rt−i. + + + +. εc,1,t εc,2,t εr,1,t εr,2,t. if ct−d1 if ct−d1 if ct−d2 if ct−d2. ≤ > ≤ >. S1 S1 S2 S2. Φ為自迴歸係數，ct−d1 , rt−d2 為延誤參數，S 為門檻值，εc,1,t , εr,1,t 為白干擾項則 Yt = E[Yt |Yt−1 , Yt−2 , Yt−3 , . . . . Y1 ]=[ ct －rt , ct + rt ] ct =E[ct ｜ct−1 , ct−2 … c1 ]=. Φc,1,0 + Φc,2,0 + Φr,1,0 +. 政Φ +治大. rt =E[rt ｜rt−1 , rt−2 … r1 ]=. r,2,0. 立. K1 i=1 Φc,1,i ct−i K2 i=1 Φc,2,i ct−i K1 i=1 Φr,1,i rt−i K2 i=1 Φr,2,i rt−i. if ct−d1 ≤ S1 if ct−d1 > S1 if ct−d2 ≤ S2 if ct−d2 > S2. ‧ 國. 學. 2.4 預測效率評估. ‧. 預測結果的好壞，是預測者最關心的問題，在一般的點預測中有許多的評估. sit. y. Nat. 標準、如平均百分誤差(MPE)、平均誤差平方和(MSE)、平均絕對誤差(MAE)、平. io. er. 均絕對百分誤差(MAPE)等等...。然而對於區間預測而言，亦需要一套可供比較的評估準則，然而由於在文獻中各種區間運算並沒有統一的規則，因此對於區間距. al. n. iv n C 離的測量尚無完備之定義(吳柏林, h2010)，所以目前針對區間預測的效度評估還未 engchi U 有一既定的法則，所以本節將以模糊理論為基礎，將區間資料反模糊化 (defuzzification)轉換為合適的實數值，計算兩區間之間的距離，估計可能的誤差範圍，藉此分析最後的預測結果。. 定義 2.11 區間反模糊化值(Wu,2010) a+b. 若 A=[a,b]為一區間模糊數，c= 則此區間的反模糊化值定義為. 2. 為區間中心點、 A =b-a 為區間長度，. RA = c+[1-. 12. ln ⁡(1+ A ) ] A.

(17) 定義 2.12 區間距離(Wu,2010) a i +b i. 若A1 =[a1 , b1 ]、A2 =[a2 , b2 ]為兩個區間模糊數， ci =. 2. ，i=1,2 分別為. 兩區間中心點、 Ai =bi − ai ，i=1,2 分別為兩區間長度，則兩區間之距離為 d(A1 , A2 ) = c1 − c2 +. ln ⁡ (1+ A 1 ) A1. 例 2.1：設有兩組區間資料分別為 X1 =[2,4]、X2 =[3,7]. −. ln ⁡ (1+ A 2 ) A2. Y1 =[3,9]、Y2 =[7,9]. 與. 其中心點距離皆為 2，無法比較出兩組距離遠近，因此我們以定義 2.11、 2.12 分別計算其區間距離如下：. 立. 政治大. 可得 RX1 = 3 + [1-. ln ⁡(1+2) ] = 3.5493 2. 學. X2 =[3,7]之區間中心為 5、區間長度為 4. ‧. y. ln ⁡(1+4) ] = 5.5976 4. io. 則 d(X1 , X2 )= 3 − 5 +. n. al. ln ⁡(1+2). Ch. engchi. 2. sit. Nat. 可得 RX2 = 5 + [1-. −. ln ⁡(1+4). er. ‧ 國. X1 與X 2 距離： X1 =[2,4]之區間中心為 3、區間長度為 2. i Un. v. 4. =2.1469. Y1 與Y2 距離： Y1 的區間中心為 6、區間長度為 6 可得 RY1 = 6 + [1-. ln ⁡(1+6) ] = 6.6757 6. Y2 的區間中心為 8、區間長度為 2 可得 RY2 = 8 + [1-. ln ⁡(1+2) ] = 8.4507 2. 則 d(Y1 , Y2 )= 6 − 8 +. ln ⁡(1+6) 6. −. ln ⁡(1+2) 2. =2.225. 故我們可以得到 d(X1 , X2 )＜d(Y1 , Y2 )，即X1 與X2 兩區間距離較近。. 13.

(18) 定義 2.13 區間平均誤差(mean error of interval,IME) 令 Xt =[at , bt ]= (ct , rt ),t=1,2,...,n}為一個區間時間數列，區間預測值為Xt =[at , bt ]=(ct ; rt )，εt = d(Xt , Xt )為預測區間與實際區間之誤差，則定義區間平均誤差為 IME =. 1. n+k t=n+1 εt. k. 其中 n 表當期時間、k 表往後預測期數. 定義 2.14 區間平均百分誤差(mean persent error of interval,IMPE). 政治大 =[a , b ]=(c ; r )，RX 為區間[a , b ]的反模糊化值，ε = d(X , X )為預測區間立令 Xt =[at , bt ]= (ct , rt ),t=1,2,...,n}為一個區間時間數列，區間預測值為. Xt. t. t. t. t. t. t. t. t. 100. n+k εt t=n+1 RX. k. t. %. ‧. ‧ 國. IMPE =. 學. 與實際區間之誤差，則定義區間平均百分誤差為. t. 其中 n 表當期時間、k 表往後預測期數. sit. y. Nat. n. al. er. io. 例 2.2：某地區溫度預測如下表. iv n C h 實際溫度預測溫度 engchi U [21,31] [20,28]. 往前期數 1 2. [23,27]. [24,32]. 則根據定義 2.11、2.12 可知反模糊化值： x1 =[21,31] 其區間中心為 26、區間長度為 10 則 Rx1 = 26 + [1-. ln ⁡ (1+10). ]= 26.7602. 10. x1 =[20,28] 其區間中心為 24 區間長度為 8 則 Rx1 = 24 + [1-. ln ⁡ (1+8). 14. 8. ]= 24.7253. t.

(19) x2 =[23,27] 其區間中心為 25、區間長度為 4 則 Rx2 = 25 + [1-. ln ⁡ (1+4) 4. ]= 25.5976. x2 =[24,32] 其區間中心為 28、區間長度為 8 則 Rx2 = 28 + [1-. ln ⁡ (1+8) 8. ]= 28.7253. 區間距離： ε. 1. = d (x1 , x1 ) = 26 − 24 +. ln⁡(1+10). ε. 2. = d (x2 , x2 )=. ln ⁡(1+4). 25 − 28 +. 10. 4. −. −. ln ⁡(1+8) 8 ln ⁡(1+8) 8. = 2.0349. = 3.1277. 政治大 1. 則根據定義 2.13、2.14 可知區間平均誤差(IME)與區間平均百分誤差(IMPE)為 1 k k. εt n+k t=n+1 RX. t. 2.0349. % = 100 ( 2. 26.7602. +. 3.1277 25.5976. )% = 9.91%. ‧. io. sit. y. Nat. n. al. er. IMPE =. 學. 100. 立. n+k t=1 εt = 2 (2.0349 + 3.1277) = 2.5813. ‧ 國. IME =. Ch. engchi. 15. i Un. v.

(20) 第三章實證分析-來臺觀光客人數 3.1 資料來源資料來源為我國交通部觀光局從西元 1979 年至西元 2010 年共 32 年來臺觀光客人數的月別統計資料，依據各年一到十二月每月不同的來臺觀光客人次，以月為單位選取該年當中最高人次、最低人次的月份，作為當年來臺觀光客人次的最大值、最小值，再分別以左右端點法、及中心點半徑法形成兩組各 32 筆的區間資料，圖 3.1~3.2 分別為其走勢圖，詳細數據如表 3.1 所示。(民國九十二年四月由於我國爆發 SARS 疫情，被列為旅遊紅燈區，故來臺人次數驟然減少，此年數據不列入計算)。. 立. 200000. Nat. 0. ‧. 100000. 600000 500000 400000 300000 200000 100000 0. y. 300000. 學. 400000. 右端點. ‧ 國. 左端點. 政治大. 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31. er. io. sit. 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31. n. 圖 3.1：來臺旅遊人次區間左、右端點走勢圖 a v 中心點. i l C n U hengchi. 500000. 100000. 400000. 80000. 300000. 60000. 200000. 40000. 100000. 20000. 0. 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31. 半徑. 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31. 圖 3.2：來臺旅遊人次區間中心點、半徑走勢圖. 16.

(21) 表 3.1：來臺觀光旅客人數原始資料(1979~2010) 年份. 單月來台旅遊人次. 區間表示法. 西元. 民國. 單月最多. 單月最少. 左右端點法. 中心點半徑法. 1979. 68. 108059. 75336. [75336,108059]. (91698;16362). 1980. 69. 105890. 80928. [80928,105890]. (93409;12481). 1981. 70. 100878. 78336. [78336,100878]. (89607;11271). 1982. 71. 111096. 83461. [83461,111096]. (97279;13818). 1983. 72. 118054. 86955. [86955,118054]. (102505;15550). 1984. 73. 119473. 89701. [89701,119473]. (104587;14886). 1985. 74. 117034. 87686. [87686, 117034]. (102360;14674). 1986. 75. 133426. 96795. [96795,133426]. (115111;18315). 1987. 76. 147693. (130503;17191). 1988. 77. 164811. 1989. 78. 171599. [113312,147693] 治政 122282 [122282,164811] 大 126773 [126776,171599] 立. 1990. 79. 163715. 126420. [126420,163715]. 1991. 80. 157962. 107532. [107532,157962]. 1992. 81. 180962. 131258. [131258, 180962]. 1993. 82. 178962. 129408. [129408, 178962]. 1994. 83. 200433. 155972. [155972,200433]. 1995. 84. 228808. 168140. [168140,228808]. 1996. 85. 213496. 184081. [184081,213496]. 1997. 86. 227591. 1998. 87. 215647. 1999. 88. 238957. 2000. 89. 249352. 180922. [180922,249352]. (215137;34215). 2001. 90. 266176. 212103. [212103,266176]. (239140;27037). 2002. 91. 285303. 217600. [217600,285303]. (251452;33852). 2003. 92. 259861. 40256. [40256,259861]. (150059;109803). 2004. 93. 276680. 212854. [212854,276680]. (244767;31913). 2005. 94. 311245. 244252. [244252,311245]. (277749;33497). 2006. 95. 323931. 254347. [254347,323931]. (289139;34792). 2007. 96. 363916. 261799. [261799,363916]. (312858;51059). 2008. 97. 352038. 297442. [297442,352038]. (324740;27298). 2009. 98. 449806. 290099. [290099,449806]. (369953;79854). 2010. 99. 530594. 345981. [345981,530594]. (438288;92307). (143547;21265) (149188;22412). 學. (132747;25215) (156110;24852) (154185;24777). y. (198474;30334). sit. io. er. Nat. (178203;22231). n. [180176,227591] a 180176 iv l C 169908 [169908,215647] n h gchi U 162282 e n[162282,238957]. 17. (145068;18648). ‧. ‧ 國. 113312. (198789;14708) (203884;23708) (192778;22870) (200620;38338).

(22) 3.2 以區間型 ARIMA 模式建構我們利用 2.3 節中的定義 2.7 及 2.8，以表 3.1 中的區間資料為依據，分別觀察左端點、右端點與中心點、半徑四個時間數列的 ACF 圖與 PACF 圖，以 1920 年 Box 與 Jenkins 所提出的「自我迴歸移動平均」整合模式建構程序，以 ADF 單根檢定(Augmented Dickey-Fuller Test)驗證模式是否為定態(stationary)，適當的選擇模式中的差分階數(d)、自我迴歸級數(p)、移動平均級數(q)，分段配適出其個別的 ARIMA(p,d,q)模式，最後再綜合左、右端點與中心點、半徑兩兩合成不同的區間時間數列。以左右端點法建構. 立. 左端點之 ARIMA 模式：. 政治大 B 為倒退算子 εt 為白干擾項. ‧ 國. 學. (1−0.0045B) (1 − B)at = 0.0019 + εt 右端點之 ARIMA 模式：. ‧. (1 − 0.0152B)(1 − B)bt = 0.0126 + εt. B 為倒退算子 εt 為白干擾項. sit. (1 − 0.0045B)(1 − B)at = 0.0019+εt. B 為倒退算子 εt 為白干擾項. er. io. a l − B)bt = 0.0126 + εt i v (1 − 0.0152B)(1 n Ch engchi U n. at , bt =. y. Nat. 左右端點法之 ARIMA 模式：. 以中心點半徑法建構中心點之 ARIMA 模式： (1−0.0095B) (1 − B)ct = 0.0089 + εt. B 為倒退算子 εt 為白干擾項. 半徑之 ARIMA 模式： (1−0.0021B) (1 − B)rt = 0.0007 + εt. B 為倒退算子 εt 為白干擾項. 中心點半徑法之 ARIMA 模式： (ct , rt ) =. (1 − 0.0095B) (1 − B)ct = 0.0089 + εt (1 − 0.0002B) (1 − B)rt = 0.0007 + εt 18. B 為倒退算子 εt 為白干擾項.

(23) 3.3 以平均累加模糊熵分類由於在建構區間 SETAR 模式前需事先給定門檻值，因此在本節中我們希望先以平均累加模糊熵分別對左、右端點，中心點、半徑作分類，分析各數列中的結構轉變之處，藉此客觀的找出可能的門檻候選值。第一步：先利用 k-means method(Sharma,1996)找出時間序列{Yt }的 2 個群落中心，並決定{Yt }對 2 個群落中心的隸屬度μit , i = 1,2 表 3.2：左、右端點與中心點、半徑的兩個群落中心左端點群落中心C1. 134306. 群落中心C2. 259609. 立. 右端點. 中心點. 半徑. 政191195治大162751 351077 305343. ‧ 國. 學. 第二步：計算出對應的模糊熵 δ(yt )、平均累加模糊熵 MSδ(yt ) =. 28444 45734 1 t. t i=1 δ(yi ). 及此數列的中位數 Median( MSδ(yt ))，繪成如圖 3.3、3.5、3.7、3.9 之. ‧. 走勢圖. Nat. al. n. Median( MSδ(yt )). 右端點. 0.042632. Ch. 0.039048. engchi. 中心點. er. io. 左端點. sit. y. 表 3.3：左、右端點與中心點、半徑的平均累加模糊熵中位數. 0.040814 iv n U. 半徑 0.041448. 第三步：取適當的一門檻值λ，將{Yt }對應的平均累加模糊熵 MSδ(yt )數列進行分類。若 MSδ(yt )落在區間[0，Median( MSδ(yt ))-λ]，則以 1 表示第一組；若 MSδ(yt )落在區間[Median( MSδ(yt ))-λ，Median( MSδ(yt ))+λ]，則以 2 表示第二組；若 MSδ(yt )落在區間[Median( MSδ(yt ))+λ，1]，則以 3 表示第三組，依據理論中之分類法，繪成如圖 3.4、3.6、3.8、3.10 之分類圖第四步：選取適當的顯著水準α，此時取α=0.2 若連串的樣本數大於[32α]=6 時我們才算分類成功，反知將視為轉折型式歸納分組，當分類的組數超過一組時，表示此數列發生結構改變，進而找出其可能的門檻轉折點。 19.

(24) 觀察圖 3.3~3.10 可以發現左端點與右端點的轉型期皆發生在 25 期(92 年)到 28 期(95 年)；中心點發生在 23 期(90 年)到 26 期(93 年)；半徑則發生在 24 期(91 年)到 27 期(94 年)，將轉型期中的各期人數作為門檻候選值如下表：表 3.4：左、右端點與中心點、半徑的門檻候選值門檻候選值. 左端點. 右端點. 中心點. 半徑. r1. 217600. 259861. 239140. 33852. r2. 212854. 276680. 251452. 31913. r3. 244252. 311245. 244767. 33497. r4. 254347. 323931. 277749 治政大. 34792. 0. y. Nat. 0.2. io. sit. 0.4. ‧. 0.6. 左端點平均累加模糊熵. 學. 0.8. ‧ 國. 立. er. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132. al. n. iv n C 左端點之平均累加模糊熵走勢圖 hengchi U. 圖 3.3 4. λ=0.01之分類圖. 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132. 圖 3.4 左端點以 λ=0.01 所作出之分類圖. 20.

(25) 右端點平均累加模糊熵 0.8 0.6. 0.4 0.2 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132. 圖 3.5 右端點之平均累加模糊熵走勢圖 λ=0.01之分類圖 4 3 2 1 0. 立. 政治大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32. ‧ 國. 學. 圖 3.6 右端點以 λ=0.01 所作出之分類圖. 0. y. sit er. al. n. 0.2. io. 0.4. ‧. 0.6. Nat. 0.8. 中心點平均累加模糊熵. Ch. engchi. i Un. v. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32. 圖 3.7 中心點之平均累加模糊熵走勢圖 λ=0.01之分類圖 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32. 圖 3.8 中心點以 λ=0.01 所作出之分類圖 21.

(26) 半徑平均累加模糊熵 0.8 0.6. 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32. 圖 3.9 半徑之平均累加模糊熵走勢圖 λ=0.01之分類圖 4 3 2 1 0. 立. 政治大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32. ‧ 國. 學. 圖 3.10 半徑以 λ=0.01 所作出之分類圖. ‧ sit. y. Nat. io. n. al. er. 3.4 以區間型門檻自迴歸模式建構. i Un. v. 本節針對左右端點、中心點半徑兩種區間模糊數的定義方式，把左端點、右. Ch. engchi. 端點、中心點、半徑假設為四個獨立的時間數列，先利用上節所找出的門檻候選值，並以 Tong 所建議的 L=[320.5 ]=5 作為模式最大可能階次，依 3.2 所述之步驟建構，分別計算各種可能的 AIC 值，以 AIC 最小的延誤參數和門檻值配適出 SETAR 模式；另外再用可能影響觀光的某一重大歷史事件作為一特殊時點，前後分段形成不同的自迴歸模式，最後我們再分別將左右端點、中心點半徑兩兩合成不同的區間型門檻自迴歸模式。. 1. 區間型 SETAR 模式以左右端點法建構左端點之 SETAR 模式： 22.

(27) 首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1 , r2 , r3 , r4 配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自迴歸模式再加總之：表 3.5：以不同的門檻值與延誤參數計算左端點之 AIC 值 {r=r1 , r2 , r3 , r4 }×{d=1,2,3,4,5} AIC(1, 𝐫𝟏). AIC(2, 𝐫𝟏). AIC(3, 𝐫𝟏). AIC(4, 𝐫𝟏). AIC(5, 𝐫𝟏). 44.31288. 46.19569. 47.96844. 50.36749. 51.66678. AIC(1, 𝐫𝟐). AIC(2, 𝐫𝟐). AIC(3, 𝐫𝟐). 46.52504. 46.32696. AIC(1, 𝐫𝟑). AIC(2, 𝐫𝟑). 立. AIC(4, 𝐫 ) 治政49.36457 大49.36529. 45.90493. 48.63794. 50.99874. 52.66647. AIC(2, 𝐫𝟒). AIC(3, 𝐫𝟑). AIC(4, 𝐫𝟑). AIC(5, 𝐫𝟑). 46.40886. 49.36277. 51.69997. 53.67112. AIC(5, 𝐫𝟑). er. io. sit. y. ‧ 國. AIC(4, 𝐫𝟑). Nat. 48.45365. 52.99967. AIC(3, 𝐫𝟑). ‧. AIC(1, 𝐫𝟒). AIC(5, 𝐫𝟐). 學. 48.01642. 𝟐. al. iv n C hengchi U 數和門檻值，可以得到左端點的門檻自迴歸模式如下： n. 比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,217600)時為最小，我們以其為最終的延誤參. at =. 0.0009at−1 + εt if at−1 < 217600 0.0120at−1 + εt. if at−1 ≥ 217600. εt 為白干擾項. 右端點之 SETAR 模式：首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1 , r2 , r3 , r4 配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自迴歸模式再加總之：. 23.

(28) 表 3.6：以不同的門檻值與延誤參數計算右端點之 AIC 值 {r1 , r2 , r3 , r4 }×{d=1,2,3,4,5} AIC(1, 𝐫𝟏). AIC(2, 𝐫𝟏). AIC(3, 𝐫𝟏). AIC(4, 𝐫𝟏). AIC(5, 𝐫𝟏). 45.93630. 46.99371. 47.62359. 50.36471. 52.31479. AIC(1, 𝐫𝟐). AIC(2, 𝐫𝟐). AIC(3, 𝐫𝟐). AIC(4, 𝐫𝟐). AIC(5, 𝐫𝟐). 46.42516. 47.29922. 48.69736. 50.93149. 53.62179. AIC(1, 𝐫𝟑). AIC(2, 𝐫𝟑). AIC(3, 𝐫𝟑). AIC(𝟒, 𝐫𝟑). AIC(5, 𝐫𝟑). 46.68541. 47.61810. 49.36712. 49.67812. 52.34167. AIC(1, 𝐫𝟒). AIC(2, 𝐫𝟒). 47.16106. 47.74531. 立. AIC(3, 𝐫 ) AIC(4, 𝐫 ) 政治大 49.33258 51.64187 𝟒. AIC(5, 𝐫𝟒). 𝟒. 53.41796. ‧ 國. 學. 比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,259861)時為最小，我們以其為最終的延誤參. n. al. Ch 左右端點法之區間型 SETAR 模式：. y. er. io. 0.0590bt−1 + εt if bt−1 ≥ 259861. εt 為白干擾項. sit. Nat. bt =. 0.0038bt−1 + εt if bt−1 < 259861. ‧. 數和門檻值，可以得到左端點的門檻自迴歸模式如下：. engchi. i Un. v. 綜合以上左端點及右端點之 SETAR 模式合成區間型 SETAR 模式如下： at =. 0.0009at−1 + εt. if at−1 < 217600. 0.0120at−1 + εt. if at−1 ≥ 217600. at , bt =. εt 為白干擾項 bt =. 0.0038bt−1 + εt if bt−1 < 259681 0.0590bt−1 + εt if bt−1 ≥ 259681. 以中心點半徑法建構中心點之 SETAR 模式： 24.

(29) 首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1 , r2 , r3 , r4 配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自迴歸模式再加總之：表 3.7：以不同的門檻值與延誤參數計算中心點之 AIC 值 {r1 , r2 , r3 , r4 }×{d=1,2,3,4,5} AIC(1, 𝐫𝟏). AIC(2, 𝐫𝟏). AIC(3, 𝐫𝟏). IC(4, 𝐫𝟏). AIC(5, 𝐫𝟏). 43.62987. 44.63219. 46.35179. 47.64439. 48.32719. AIC(1, 𝐫𝟐). AIC(2, 𝐫𝟐). AIC(3, 𝐫𝟐). 44.32179. 44.99867. AIC(1, 𝐫𝟑). AIC(2, 𝐫𝟑). 立. AIC(4, 𝐫 ) 治政46.35298 大47.00929. 47.99876. 46.16327. 49.22279. AIC(2, 𝐫𝟒). AIC(3, 𝐫𝟒). AIC(4, 𝐫𝟒). AIC(5, 𝐫𝟒). 46.33217. 47.33214. 47.63477. 50.11147. AIC(5, 𝐫𝟑). er. io. sit. y. ‧ 國. 45.11197. Nat. 45.61987. 48.32985. AIC(𝟒, 𝐫𝟑). ‧. AIC(1, 𝐫𝟒). AIC(5, 𝐫𝟐). AIC(3, 𝐫𝟑). 學. 45.66378. 𝟐. al. iv n C hengchi U 數和門檻值，可以得到中心點的門檻自迴歸模式如下： n. 比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,277749)時為最小，我們以其為最終的延誤參. ct =. 0.008ct−1 + εt. if ct−1 < 277749. 0.014ct−1 + εt. if ct−1 ≥ 277749. εt 為白干擾項. 半徑之 SETAR 模式：首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1 , r2 , r3 , r4 配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自迴歸模式再加總之：. 25.

(30) 表 3.8：以不同的門檻值與延誤參數計算半徑之 AIC 值 {r1 , r2 , r3 , r4 }×{d=1,2,3,4,5} AIC(1, 𝐫𝟏). AIC(2, 𝐫𝟏). AIC(3, 𝐫𝟏). AIC(4, 𝐫𝟏). AIC(5, 𝐫𝟏). 25.21444. 26.31487. 27.14679. 27.3125. 29.33341. AIC(1, 𝐫𝟐). AIC(2, 𝐫𝟐). AIC(3, 𝐫𝟐). AIC(4, 𝐫𝟐). AIC(5, 𝐫𝟐). 26.14279. 27.31288. 27.31449. 28.31499. 28.31620. AIC(1, 𝐫𝟑). AIC(2, 𝐫𝟑). AIC(3, 𝐫𝟑). AIC(𝟒, 𝐫𝟑). AIC(5, 𝐫𝟑). 27.61549. 27.31468. 27.31497. 27.9986. 29.31561. AIC(1, 𝐫𝟒). AIC(2, 𝐫𝟒). 27.31963. 27.31468. 立. AIC(3, 𝐫 ) AIC(4, 𝐫 ) 政治大 28.11007 28.31497 𝟒. AIC(5, 𝐫𝟒). 𝟒. 30.14458. ‧ 國. 學. 比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,33497)時為最小，我們以其為最終的延誤參. io. n. al. Ch 中心點半徑之區間型 STAR 模式：. y. if rt−1 ≥ 33497. sit. 0.0067 rt−1 + εt. εt 為白干擾項. er. if rt−1 < 33497. Nat. rt =. 0.0005rt−1 + εt. ‧. 數和門檻值，可以得到半徑的門檻自迴歸模式如下：. engchi. i Un. v. 綜合以上中心點及半徑之 SETAR 模式合成區間型 SETAR 模式如下： ct =. 0.008ct−1 + εt. if ct−1 < 277749. 0.014ct−1 + εt. if ct−1 ≥ 277749. (ct , rt ) =. εt 為白干擾項 rt =. 0.0005 rt−1 + εt. if rt−1 < 33497. 0.0067rt−1 + εt. if rt−1 ≥ 33497. 26.

(31) 2. 區間型 TAR 模式由於民國 37 年國共內戰爆發，為了確保臺灣主權，全國開始進入動員戡亂(戒嚴)時期，當時政府對於觀光採取保守的態度，針對所有國內外出入境的旅客皆有所限制，一直到民國 80 年召開第一屆國民大會，一致通過廢止「動員戡亂臨時條款」後，終於宣佈終止長達近四十多年的動員戡亂時期，自此之後，我國的觀光產業才真正獲得發展的空間，因此我們以民國 80 年(第 13 期)為重大歷史事件的時間轉折點，在此時點前後分別以 AIC 準則配適自迴歸模式，建構左右端點法及中心點半徑之區間型 TAR 模式。以左右端點法建構左端點之 TAR 模式：. ‧ 國. (1 − 0.0009B)(1 − B)at−1 + εt if t < 13. 學. at =. 立. 政治大 B 為倒退算子 t 為期數. 1 − 0.0120B (1 − B)at−1 + εt. if t ≥ 13. ‧ sit. 1 − 0.0038B (1 − B)bt−1 + εt if t < 13. er. io. B 為倒退算子 t 為期數. (1 − 0.0590B)(1a−l B)bt−1 + εt if t ≥ 13 i v n Ch engchi U. n. bt =. y. Nat. 右端點之 TAR 模式：. 左右端點法之區間型 TAR 模式：最後綜合以上左端點及右端點之 TAR 模式合成區間型 TAR 模式如下 at =. 1 − 0.0009B (1 − B)at−1 + εt. if t < 13. 1 − 0.0120B (1 − B)at−1 + εt. if t ≥ 13. at , bt = bt =. (1 − 0.0038B)(1 − B)bt−1 + εt if t < 13 (1 − 0.0590B)(1 − B)bt−1 + εt if t ≥ 13. 27.

(32) 以中心點半徑法建構中心點之 TAR 模式： ct =. 1 − 0.008B (1 − B)ct−1 + εt. if t < 13. 1 − 0.014B (1 − B)ct−1 + εt. if t ≥ 13. B 為倒退算子 t 為期數. 半徑之 TAR 模式： rt =. 1 − 0.0005B (1 − B) rt−1 + εt. if t < 13 B 為倒退算子 t 為期數. (1 − 0.0067B)(1 − B)rt−1 + εt. if t ≥ 13. 中心點半徑法之區間型 TAR 模式：最後綜合以上中心點及半徑之 TAR 模式合成區間型 TAR 模式如下： ct =. 政治大. (1 − 0.008B)(1 − B)ct−1 + εt. if t < 13. + εt. if t ≥ 13. 立 (1 − 0.014B)(1 − B)c. t−1. ‧ 國. 學. (ct , rt ) =. 1 − 0.0005B (1 − B) rt−1 + εt. ‧. rt =. if t < 13. 1 − 0.0067B (1 − B)rt−1 + εt. Nat. y. if t ≥ 13. er. io. sit. 3.5 預測結果比較與分析. 我們以 2.4 節中所定義的區間平均誤差 (IME)、區間平均絕對誤差和(IMPE). al. n. iv n C 作為模式評估依據，分別對所建構的區間時間數列進行分析，詳如下列各表： hengchi U 表 3.9 以 IME、IMPE 評估左右端點法之預測結果左右端點法. 保留實際區間期數. 區間 ARIMA. 區間 SETAR. 區間 TAR. 2008. [297442,352038]. [324759,365197]. [309187,357819]. [288943,347614]. 2009. [290099,449806]. [269812,398711]. [283199,441339]. [298961,451135]. 2010. [345981,530594]. [345988,543512]. [355976,532371]. [336865,552899]. IME. 11967.24. 11967.24. 5812.61. IMPE. 10.21%. 10.21%. 4.32%. 28.

(33) 表 3.10 以 IME、IMPE 評估中心點半徑法之預測結果中心點半徑法. 保留實際區間期數. 區間 ARIMA. 區間 SETAR. 區間 TAR. 2008. (324740;27298). (34127;25471). (324579;26042). (330112;27035). 2009. (369953;79854). (369214;73985). (364671;78687). (357862;80051). 2010. (438288;92307). (453986;97869). (443271;92632). (446782;93671). IME. 12276.11. 6533.43. 5599.34. IMPE. 11.57%. 6.33%. 4.01%. 政治大現中心點半徑法的預測效果與左右端點法差不多，而三種模式之預測能力依序為立由以上各表中的比較，我們可以藉由 IME、IMPE 為模式優劣比較工具，發. 區間 TAR ＞區間 SETAR ＞＞區間 ARIMA，表示兩種門檻自迴歸模式都比單. ‧ 國. 學. 純的區間 ARIMA 法好得多，這正符合我們的假設，表示若能找出發生結構改變. ‧. 之處，對於掌握資料走勢或是做進一步的預測分析都會有較好的結果。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 29. i Un. v.

(34) 第四章實證分析-新臺幣兌美元匯率 4.1 資料來源資料來源為「財團法人台北外匯市場發展基金會」，搜集自 2011 年 2 月 16 日到 3 月 31 日 (扣除非交易日)共 31 筆新臺幣兌美元的單日統計資料，依據每日最高、最低匯價作為單日匯率的最大值、最小值，再分別以左右端點法、及中心點半徑法形成兩組各 31 筆的區間資料，圖 4.1~4.2 分別為其走勢圖，詳細數據如表 4.1 所示。左端點. 學. 29.800 29.700 29.600 29.500 29.400 29.300 29.200. y. ‧. ‧ 國. 立. 治政 30.000 大 29.900. Nat. 29.800 29.700 29.600 29.500 29.400 29.300 29.200 29.100 29.000. 右端點. 1 3 5 7 9 1113151719212325. er. io. sit. 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31. n. 圖 4.1：新臺幣兌美元匯率區間左、右端點走勢圖 a v 中心點. i l C n U hengchi. 29.9 29.8 29.7 29.6 29.5 29.4 29.3 29.2 29.1. 半徑. 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04. 0.02 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31. 1. 4. 7 10 13 16 19 22 25 28 31. 圖 4.2：新臺幣兌美元匯率區間中心點、半徑走勢圖. 30.

(35) 表 4.1：新臺幣兌美元原始資料(2011/2/16~3/31) 日期. 美元兌新臺幣每日匯率. 區間表示法. 最高匯價. 最低匯價. 左右端點法. 中心點半徑法. 2011/2/16. 29.479. 29.470. [29.470, 29.479]. (29.4185;0.0665). 2011/2/17. 29.470. 29.432. [29.432, 29.470]. (29.3940;0.0760). 2011/2/18. 29.432. 29.408. [29.408, 29.432]. (29.3560;0.0760). 2011/2/21. 29.408. 29.366. [29.366, 29.408]. (29.3665;0.0415). 2011/2/22. 29.366. 29.557. [29.557, 29.366]. (29.4740;0.1080). 2011/2/23. 29.557. 29.572. [29.572, 29.557]. (29.5520;0.0690). 2011/2/24. 29.572. 29.760. [29.572, 29.760]. (29.6855;0.1155). 2011/2/25. 29.760. 29.754. [29.754, 29.760 ]. (29.8150;0.0900). 2011/3/1. 29.754. 29.572. [29.572, 29.754 ]. (29.6630;0.0910). 2011/3/2. 29.699. 2011/3/3. 29.665. 2011/3/4. 29.542. 2011/3/7. 治 29.590政 [29.590, 29.699] 大 29.480 [29.480, 29.665] 立. (29.6445;0.0545) (29.5725;0.0925). 29.499. 29.355. [29.355, 29.499]. 2011/3/8. 29.437. 29.333. [29.333, 29.437]. (29.3850;0.0520). 2011/3/9. 29.437. 29.310. [29.310, 29.437]. (29.3735;0.0635). 2011/3/10. 29.522. 29.365. [29.365, 29.522]. 2011/3/11. 29.642. 29.535. [29.535, 29.642]. 2011/3/14. 29.620. 29.460. [29.460, 29.620]. 2011/3/15. 29.613. 29.470. [29.470, 29.613]. 2011/3/16. 29.574. 2011/3/17. 29.647. 2011/3/18. 29.600. 2011/3/21. (29.4260;0.1160) (29.4270;0.0720). ‧. (29.4435;0.0785). io. y. sit. Nat. (29.5885;0.0535). er. ‧ 國. [29.310, 29.542]. 學. 29.310. n. a 29.468 l C [29.468, 29.574]i v n U 29.545h e n g [29.545, 29.647] i h c. (29.5400;0.0800) (29.5415;0.0715) (29.5210;0.0530) (29.5960;0.0510). 29.495. [29.495, 29.600]. (29.5475;0.0525). 29.617. 29.538. [29.538, 29.617]. (29.5775;0.0395). 2011/3/22. 29.652. 29.525. [29.525, 29.652]. (29.5885;0.0635). 2011/3/23. 29.632. 29.540. [29.540, 29.632]. (29.5860;0.0460). 2011/3/24. 29.605. 29.542. [29.542, 29.605]. (29.5735;0.0315). 2011/3/25. 29.585. 29.440. [29.440, 29.585]. (29.5125;0.0725). 2011/3/28. 29.519. 29.457. [29.457, 29.519]. (29.4880;0.0310). 2011/3/29. 29.539. 29.469. [29.469, 29.539]. (29.5040;0.0350). 2011/3/30. 29.510. 29.430. [29.430, 29.510]. (29.4700;0.0400). 2011/3/31. 29.510. 29.395. [29.395, 29.510]. (29.4525;0.0575). 31.

(36) 4.2 以區間型 ARIMA 模式建構我們利用 2.3 節中的定義 2.8 及 2.9，以表 4.1 中的區間資料為依據，分別觀察左端點、右端點與中心點、半徑四個時間數列的 ACF 圖與 PACF 圖，以西元 1920 年 Box 與 Jenkins 所提出的「自我迴歸移動平均」整合模式建構程序，以 ADF 單根檢定(Augmented Dickey-Fuller Test)驗證模式是否為定態(stationary)，適當的選擇模式中的差分階數(d)、自我迴歸級數(p)、移動平均級數(q)，配適出其個別的 ARIMA(p,d,q)模式，最後再綜合左、右端點與中心點、半徑合成兩組不同的區間時間數列。以左右端點法建構. 立. 左端點之 ARIMA 模式：. 政治大. ‧ 國. B為倒退算子 εt 為白干擾項. 學. (1−0.7335B )at = 0.1280 + εt 右端點之 ARIMA 模式：. ‧. (1 − 0.7894B)bt = 0.1171 + εt. B 為倒退算子 εt 為白干擾項. sit. (1 − 0.7335B)at = 0.1280+εt. B 為倒退算子 εt 為白干擾項. er. io. a l t = 0.1171 + εt (1 − 0.7894B)b iv n Ch engchi U n. at , bt =. y. Nat. 左右端點法之 ARIMA 模式：. 以中心點半徑法建構中心點之 ARIMA 模式： (1−0.7868B)ct = 0.0075 + εt. B 為倒退算子 εt 為白干擾項. 半徑之 ARIMA 模式： (1−0.2943B) rt = 0.1799 + εt. B 為倒退算子 εt 為白干擾項. 中心點半徑法之 ARIMA 模式： (ct , rt ) =. (1 − 0.7868B) ct = 0.0075 + εt (1 − 0.2943B) rt = 0.1799 + εt 32. B 為倒退算子 εt 為白干擾項.

(37) 4.3 以平均累加模糊熵分類由於在建構區間 SETAR 模式前需事先給定門檻值，因此在本節中我們希望先以平均累加模糊熵分別對左、右端點，中心點、半徑作分類，分析各數列中的結構轉變之處，藉此客觀的找出可能的門檻候選值。第一步：先利用 k-means method(Sharma,1996)找出時間序列{Yt }的 2 個群落中心，並決定{Yt }對 2 個群落中心的隸屬度μit , i = 1,2 表 4.2：左、右端點與中心點、半徑的兩個群落中心左端點群落中心C1. 29.3618. 群落中心C2. 29.5281. 右端點. 中心點. 半徑. 29.4270 政29.4923治大 29.6607 29.5944. 立. ‧ 國. 學. 第二步：計算出對應的模糊熵 δ(yt )、平均累加模糊熵 MSδ(yt ) =. 0.0653 0.0663 1 t. t i=1 δ(yi ). 及此數列的中位數 Median( MSδ(yt ))，繪成如圖 4.3、4.5、4.7、4.9 之. ‧. 走勢圖. Nat. al. n. Median( MSδ(yt )). 右端點. 0.034503. Ch. 0.031965. engchi. 中心點. er. io. 左端點. sit. y. 表 4.3：左、右端點與中心點、半徑的平均累加模糊熵中位數. i Un. v. 0.032264. 半徑 0.046285. 第三步：取適當的一門檻值λ，將{Yt }對應的平均累加模糊熵 MSδ(yt )數列進行分類。若 MSδ(yt )落在區間[0，Median( MSδ(yt ))-λ]，則以 1 表示第一組；若 MSδ(yt )落在區間[Median( MSδ(yt ))-λ，Median( MSδ(yt ))+λ]，則以 2 表示第二組；若 MSδ(yt )落在區間[Median( MSδ(yt ))+λ，1]，則以 3 表示第三組，依據理論中之分類法，繪成如圖 4.4、4.6、4.8、4.10 之分類圖第四步：選取適當的顯著水準α，此時取α=0.2 若連串的樣本數大於[31α]=6 時我們才算分類成功，反知將視為轉折型式歸納分組，當分類的組數超過一組時，表示此數列發生結構改變，進而找出其可能的門檻轉折點。 33.

(38) 觀察圖 4.3~4.10 可以發現左端點的轉型期皆發生在 21 期(3/17)到 24 期(3/22)；右端點發生在 22 期(3/18)到 25 期(3/23)；中心點發生在 23 期(3/21)到 26 期(3/24)；半徑則發生在 19 期(3/15)到 22 期(3/18)，將轉型期中的各期匯價作為門檻候選值如下表：表 4.4：左、右端點與中心點、半徑的門檻候選值門檻候選值. 左端點. 右端點. 中心點. 半徑. r1. 29.545. 29.600. 29.5775. 0.0715. r2. 29.495. 29.617. 29.5885. 0.0530. r3. 29.538. 29.652. 0.0510. r4. 29.525. 29.5860 治政29.632 大29.5735. ‧ 國. y. sit er. al. n. 0. io. 0.1. Nat. 0.2. 左端點平均累加模糊熵. ‧. 0.3. 學. 0.4. 立. 0.0525. Ch. i Un. v. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. engchi. 圖 4.3 左端點之平均累加模糊熵走勢圖 λ=0.01之分類圖 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. 圖 4.4 左端點以 λ=0.01 所作出之分類圖. 34.

(39) 右端點平均累加模糊熵 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. 圖 4.5 右端點之平均累加模糊熵走勢圖 λ=0.01之分類圖 4. 3 2 1. 立. 0. 政治大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. ‧ 國. 學. 圖 4.6 右端點以 λ=0.01 所作出之分類圖. 0. ‧. 0.1. y. sit er. al. n. 0.2. io. 0.3. Nat. 0.4. 中心點平均累加模糊熵. Ch. engchi. i Un. v. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. 圖 4.7 中心點之平均累加模糊熵走勢圖 λ=0.01之分類圖 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32. 圖 4.8 中心點以 λ=0.01 所作出之分類圖 35.

(40) 半徑平均累加模糊熵 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. 圖 4.9 半徑之平均累加模糊熵走勢圖 λ=0.01之分類圖. 4 3 2. 立. 1 0. 政治大. ‧ 國. 學. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. ‧. 圖 4.10 半徑以 λ=0.01 所作出之分類圖. al. er. io. sit. y. Nat 4.4 以區間型門檻自迴歸模式建構. n. iv n C 本節針對左右端點、中心點半徑兩種區間模糊數的定義方式，把左端點、右 hengchi U. 端點、中心點、半徑假設為四個獨立的時間數列，先利用上節所找出的門檻候選值，並以 Tong 所建議的 L=[320.5 ]=5 作為最大可能階次，依 3.2 所述之步驟建構，分別計算各種可能的 AIC 值，以 AIC 最小的延誤參數和門檻值配適出 SETAR 模式；另外再用可能影響匯率的某一重大歷史事件作為一特殊時點，前後分段形成不同的自迴歸模式，最後我們再分別將左右端點、中心點半徑兩兩合成不同的區間型門檻自迴歸模式。. 1. 區間型 SETAR 模式以左右端點法建構 36.

(41) 左端點之 SETAR 模式：首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1 , r2 , r3 , r4 配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自迴歸模式再加總之：表 4.5：以不同的門檻值與延誤參數計算左端點之 AIC 值 {r=r1 , r2 , r3 , r4 }×{d=1,2,3,4,5} AIC(1, 𝐫𝟏). AIC(2, 𝐫𝟏). AIC(3, 𝐫𝟏). －4.5712. －3.7518. －2.9721. AIC(1, 𝐫𝟐). AIC(2, 𝐫𝟐). －4.6982. －3.7624. AIC(5, 𝐫𝟐). －1.7691. AIC(2, 𝐫𝟑). AIC(3, 𝐫𝟑). AIC(4, 𝐫𝟑). AIC(5, 𝐫𝟑). －3.6617. －2.6603. －1.5454. 0.0147. AIC(2, 𝐫𝟒). AIC(3, 𝐫𝟑). AIC(4, 𝐫𝟑). AIC(5, 𝐫𝟑). －3.7744. －2.1476. －1.0249. io. y. sit. ‧ 國. －2.2227. 0.7156. 0.6725. er. －4.1142. 0.3217. 𝟐. Nat. AIC(1, 𝐫𝟒). AIC(5, 𝐫𝟏). 𝟐. ‧. －4.1798. －1.1204 治政AIC(3, 𝐫 ) 大AIC(4, 𝐫 ). 學. AIC(1, 𝐫𝟑). 立. AIC(4, 𝐫𝟏). al. n. iv n C hengchi U 比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,29.495)時為最小，我們以其為最終的延誤參數和門檻值，可以得到左端點的門檻自迴歸模式如下： at =. 0.7167at−1 = 0.0034 + εt if at−1 < 29.495 0.9241at−1 = 0.0073 + εt. if at−1 ≥ 29.495. 右端點之 SETAR 模式：首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1 , r2 , r3 , r4 配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自. 37.

(42) 迴歸模式再加總之：表 4.6：以不同的門檻值與延誤參數計算右端點之 AIC 值 {r1 , r2 , r3 , r4 }×{d=1,2,3,4,5} AIC(1, 𝐫𝟏). AIC(2, 𝐫𝟏). AIC(3, 𝐫𝟏). AIC(4, 𝐫𝟏). AIC(5, 𝐫𝟏). －4.2671. －3.1674. －2.0198. －1.0463. 0.0176. AIC(1, 𝐫𝟐). AIC(2, 𝐫𝟐). AIC(3, 𝐫𝟐). AIC(4, 𝐫𝟐). AIC(5, 𝐫𝟐). －4.7843. －3.1845. －2.6179. －1.0171. 0.9736. AIC(1, 𝐫𝟑). AIC(2, 𝐫𝟑). AIC(3, 𝐫𝟑). AIC(𝟒, 𝐫𝟑). AIC(5, 𝐫𝟑). －4.1836. －3.0548. AIC(1, 𝐫𝟒). AIC(2, 𝐫𝟒). －4.1873. －3.9644. －2.3667 －1.0369 政治大 AIC(3, 𝐫 ) AIC(4, 𝐫 ). 立. 𝟒. 𝟒. －2.0112. －1.0176. 0.3047 AIC(5, 𝐫𝟒) 0.9916. ‧ 國. 學. al. er. 0.6347bt−1 = 0.0012 + εt if bt−1 < 29.617. io. bt =. sit. Nat. 數和門檻值，可以得到左端點的門檻自迴歸模式如下：. y. ‧. 比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,29.617)時為最小，我們以其為最終的延誤參. v. n. 0.7145bt−1 = 0.0041 + εt if bt−1 ≥ 29.617. Ch. engchi. i Un. 左右端點法之 SETAR 模式：綜合以上左端點及右端點之 SETAR 模式合成區間型 SETAR 模式如下： at =. 0.7167at−1 = 0.0034 + εt. if at−1 < 29.495. 0.9241at−1 = 0.0073 + εt. if at−1 ≥ 29.495. at , bt = bt =. 0.6347bt−1 = 0.0012 + εt if bt−1 < 29.617 0.7145bt−1 = 0.0041 + εt if bt−1 ≥ 29.617. 38.

(43) 以中心點半徑法建構中心點之 SETAR 模式：首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1 , r2 , r3 , r4 配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自迴歸模式再加總之：表 4.7：以不同的門檻值與延誤參數計算中心點之 AIC 值 {r1 , r2 , r3 , r4 }×{d=1,2,3,4,5} AIC(1, 𝐫𝟏). AIC(2, 𝐫𝟏). －3.7261. －2.0184. AIC(1, 𝐫𝟐). AIC(2, 𝐫𝟐) －2.3016. －1.6154. －0.2168. 0.2716. AIC(2, 𝐫𝟑). AIC(3, 𝐫𝟑). AIC(𝟒, 𝐫𝟑). AIC(5, 𝐫𝟑). －2.0174. －1.7459. －0.9863. 0.9862. AIC(2, 𝐫𝟒). AIC(3, 𝐫𝟒). AIC(4, 𝐫𝟒). AIC(5, 𝐫𝟒). er. 0.1145. ‧ 國. io. AIC(5, 𝐫𝟐). y. al. －2.3967. －1.3349. n. －3.1264. sit. AIC(1, 𝐫𝟒). 0.0041. AIC(4, 𝐫𝟐). Nat. －3.4651. AIC(5, 𝐫𝟏). AIC(3, 𝐫𝟐). ‧. AIC(1, 𝐫𝟑). AIC(4, 𝐫𝟏). 政－1.0544治大－0.3147. 學. －3.6174. 立. AIC(3, 𝐫𝟏). Ch. v ni. －0.8741. engchi U. 比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,29.5775)時為最小，我們以其為最終的延誤參數和門檻值，可以得到中心點的門檻自迴歸模式如下： ct ∶. 0.7843ct−1 = 0.0167 + εt. if ct−1 < 29.5775. 0.6516ct−1 = 0.0037 + εt. if ct−1 ≥ 29.5775. 半徑之 SETAR 模式：首先將所有的觀察值由小至大依序排列，利用上節中所找出的門檻候選值 r=r1 , r2 , r3 , r4 配合 d=1,2,3,4,5 將樣本分為兩個不同的系統，再以 AIC 值為參. 39.

(44) 數選擇的依據，分別配適門檻值前後兩段樣本，找出使兩段的 AIC 值最小的自迴歸模式再加總之：表 4.8：以不同的門檻值與延誤參數計算半徑之 AIC 值 {r1 , r2 , r3 , r4 }×{d=1,2,3,4,5} AIC(1, 𝐫𝟏). AIC(2, 𝐫𝟏). AIC(3, 𝐫𝟏). AIC(4, 𝐫𝟏). AIC(5, 𝐫𝟏). －6.1644. －6.2115. －5.3216. －4.3012. －4.0031. AIC(1, 𝐫𝟐). AIC(2, 𝐫𝟐). AIC(3, 𝐫𝟐). AIC(4, 𝐫𝟐). AIC(5, 𝐫𝟐). －6.8947. －7.3462. －5.3044. －4.69444. －3.1161. AIC(1, 𝐫𝟑). AIC(2, 𝐫𝟑). AIC(3, 𝐫𝟑). AIC(5, 𝐫𝟑). －7.4721. －6.6465. AIC(𝟒, 𝐫 ) 治政－5.9367 大－4.6327. AIC(1, 𝐫𝟒). AIC(2, 𝐫𝟒). AIC(3, 𝐫𝟒). AIC(4, 𝐫𝟒). AIC(5, 𝐫𝟒). －7.4567. －5.3217. －4.9125. －3.1749. －7.6271. 學. －3.1544. ‧. ‧ 國. 立. 𝟑. io. al. 0.0816 rt−1 = 0.0836 + εt. if rt−1 < 0.0525. iv n C 0.0071 rt−1 =h0.0016 if rt−1 ≥ 0.0525 e n g+cεht i U n. rt ∶. er. 數和門檻值，可以得到半徑的門檻自迴歸模式如下：. sit. y. Nat. 比較上列各 AIC 值發現(d,r)=(1,0.0525)時為最小，我們以其為最終的延誤參. 中心點半徑法之區間型 SETAR 模式：綜合以上中心點及半徑之 SETAR 模式合成區間型 SETAR 模式如下： ct =. 0.7843ct−1 = 0.0167 + εt. if ct−1 < 29.5775. 0.6516ct−1 = 0.0037 + εt. if ct−1 ≥ 29.5775. (ct , rt ) = rt =. 0.0816 rt−1 = 0.0836 + εt. if rt−1 < 0.0525. 0.0071rt−1 = 0.0016 + εt. if rt−1 ≥ 0.0525. 40.

(45) 2. 區間型 TAR 模式全球第三大經濟體－日本，於 2011 年 3 月 11 日時間 13:46 發生芮氏規模 9.0 前所未見的強烈地震，並引發巨大海嘯浪潮，除造成無數重大災情外，更引發了核電廠爆炸幅射外洩事件，導致當日東京日經指數(Nikkei225)重挫 1,015.3 點，創下歷年有史以來第三大跌幅，亞洲股價幾乎呈現一面倒的趨勢，臺灣加權股價指數(TWII)亦慘跌了 285.24 點，雖然日本政府為穩定匯率，緊急投注 12 兆日幣穩住日圓水準，但世界各國由於預期心理，紛紛大舉出脫日股或日幣，對於身為鄰近國家的臺灣造成了不小的影響(NHK , TSEC)，因此我們以此為重大歷史事件的. 政治大中心點半徑之區間型 TAR 模式。立. 時間轉折點，在此時點前後分別以 AIC 準則配適自迴歸模式，建構左右端點法及. ‧ 國. 學. 以左右端點法建構. ‧. 左端點之 TAR 模式：. io. 0.3241at−1 + εt. al. bt =. y. if t ≥ 17. n. 右端點之 TAR 模式：. Ch. sit. t 為期數. engchi. er. Nat. at =. 0.8212at−1 + εt if t < 17. i Un. v. 0.4133bt−1 + εt if t < 17. t 為期數. 0.9812bt−1 + εt if t ≥ 17. 左右端點法之區間 TAR 模式：綜合以上左端點及右端點之 TAR 模式合成區間型 TAR 模式如下： at =. 0.8212at−1 + εt. if t < 17. 0.3241at−1 + εt. if t ≥ 17. at , bt =. t 為期數 bt =. 0.4133bt−1 + εt if t < 17 0.9812bt−1 + εt if t ≥ 17. 41.

(46) 以中心點半徑法建構中心點之 TAR 模式： ct ∶. 0.6617ct−1 + εt. if t < 17. 0.3211ct−1 + εt. if t ≥ 17. t 為期數. 半徑之 TAR 模式： 0.0021rt−1 + εt. rt =. if t < 17 t 為期數. 0.0046rt−1 + εt. if t ≥ 17. 中心點半徑法之區間 TAR 模式：綜合以上中心點及半徑之 TAR 模式合成區間型 TAR 模式如下：. 政治 if大t < 17. 0.6617ct−1 + εt. 立 0.3211c. ct =. + εt. if t ≥ 17. 學. (ct , rt ) =. rt =. 0.0021 rt−1 + εt. if t < 17. 0.0046rt−1 + εt. if t ≥ 17. t 為期數. Nat. y. ‧. ‧ 國. t−1. er. io. sit. 4.5 預測結果比較與分析. 我們將 2.4 節中所定義的區間平均誤差€此作為模式評估依據，分別對所建. n. al. ni Ch 構的區間時間數列進行分析，詳如下列各表： U engchi. v. 表 4.9 以 IME、IMPE 評估左右端點法之預測結果左右端點法. 保留實際區間期數. 區間 ARIMA. 區間 SETAR. 區間 TAR. 3/29. [29.469, 29.539]. [29.621,30.617]. [29.331,29.636]. [29.315,29.634]. 3/30. [29.430, 29.510]. [28.301,29.889]. [29.681,29.624]. [29.671,29.368]. 3/31. [29.395, 29.510]. [29.361,29.631]. [29.634,29.671]. [29.614,29.634]. IME. 0.237. 0.054. 0.087. IMPE. 12.38%. 5.36%. 6.12%. 42.

(47) 表 4.10 以 IME、IMPE 評估中心點半徑法之預測結果中心點半徑法. 保留實際區間期數. 區間 ARIMA. 區間 SETAR. 區間 TAR. 3/29. (29.5040;0.0350). (29.6714;0.0476). (29.4751;0.0041). (29.6315;0.0720). 3/30. (29.4700;0.0400). (29.1473;0.0432). (29.5671;0.0132). (29.6712;0.0630). 3/31. (29.4525;0.0575). (29.6712;0.0627). (29.6127;0.0474). (29.3716;0.0887). IME. 0.324. 0.012. 0.074. IMPE. 14.65%. 5.89%. 6.42%. 政治大現中心點半桱法的預測結果與左右端點法差不多，而三種模式之預測能力依序為立由以上各表中的比較，我們可以藉由 IME、IMPE 為模式優劣比較工具，發. 區間 SETAR ＞區間 TAR ＞＞區間 ARIMA，表示兩種門檻自迴歸模式都比單. ‧ 國. 學. 純的區間 ARIMA 法好得多，這正符合我們的假設，表示若能找出發生結構改變. ‧. 之處，對於掌握資料走勢或是做進一步的預測分析都會有較好的結果。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 43. i Un. v.