實證研究方法

一、相關分析

相 關 分 析 是 衡 量 兩 變 數 間 的 線 性 關 係 。 以 皮 爾 森 相 關 係 (Person＇s Correlation Coefficient )ρ -求 兩 變 數 的 相 關 程 度。皮爾森相關係數ρ的定義如下:

y x

xy

σ σ ρ = σ

其中 -1<ρ<1，正負符號表示表示相關的方向(斜率)，正相 關表示線性的斜率為正，負相關表示線性相關的斜率為負。

二、常態分配檢定

時間數列是否為常態分配檢定，利用 Jarque and Bera 統計 檢定，其計算式如下:

JB= _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

+ 24

) 3 ( 6

2

2 K

n S ~X_α²(2)

非常態分配 H

常態分配 H

: :

1 0

其中，N:觀察值數量 K:峰態

S:偏態

當 JB>X_α²(2)時，則拒絕虛無假設，序列為非常態分配。

三、單根檢定

在 時 間 序 列 裡 ， 大 多 的 變 數 為 非 定 態 數 列 。 Granger and Newbold(1974)指 出 如 果 迴 歸 式 的 自 變 數 為 非 定 態 ， 直 接 進 行 迴 歸分析，將產生假性迴歸關係，使得估計結果不具意義。因此在 採用時間序列的資料作分析前，必須保證資料為定態序列。單根 檢定主要的目的在於確定變數的時間序列的整合級次，用以判定 時間序列的定態性質。

3.1 ADF[Augmented Dickey-Fuller]單根檢定

在 DF 檢定法之中假設ε_t為白噪音，然後迴歸殘差項常會有 顯 著 的 自 我 相 關 現 象 ， 即 具 有 豐 富 的 時 間 相 依 異 質 性 ， 使 得 DF 檢定的範圍受到限制，其檢定能力也受到質疑。Dickey 與 Fuller

【40】將 DF 檢定法的三個檢定模型重置加入應變數(Y_t)之落後 期 ， 即 考 慮 變 數 (ΔY_t)的 自 我 相 關 的 問 題 來 對 時 間 序 列 資 料 (Y_t) 進行單根檢定。其模型為:

∑

= −

− + Δ +

=

Δ ^k

i

t t i t

t Y Y

Y

1

1

1 ρ ε

β

∑

= −

− + Δ +

+

=

Δ ^k

i

t t i t

t Y Y

Y

1

1

1 ρ ε

β α

∑

= −

− + Δ +

+ +

=

Δ ^k

i

t t i t

t T Y Y

Y

1

1

1 ρ ε

β γ α

k 為最適落後期，使誤差項ε_t趨於白噪音。

假設檢定為:

0

0:β =

H [存在單根，為非定態]

0

1:β ≠

H [不存在單根，為定態]

若檢定結果顯示，變數的時間序列非定態，則可對等號兩邊 取其差分，以差分形態再做一次單根檢定。

3.2 PP[Phillips-Perron]單根檢定法

在 ADF 檢定法中，雖然已將殘差具有序列相關的問題考慮進 去，但是能仍有可能存在異質性的問題，因此 Phillips 與 Perron

【57】提出以函數化中央極限定理之非參數法來修正殘差項可能 產生序列相關及異質性的問題。利用迴歸 AR(1)模型所得到的殘 差值來修正 Dickey-Fuller 檢定法之 t 統計量，並將模式擴充至 包含漂浮項及趨勢項的模型，這和 Dickey-Fuller(1979)所得到 的極限分配相同。Pillip 依據 Dickey-Fuller 所設定的模型如 下:

模型 1: y_t =μ^* +γ^*y_t−1 +ε_t^*

模型 2: yt μ β

(

t T

)

γ^~yt ε^~t

2

~ ~

1 + +

− +

= ₋

* 0 :γ

H [有單根]

ˆ 1

1:γ =

H [無單根]

其檢定統計量分別為:

(

_{1 1}

)

^{2 1/2}

2 2 2

1 1

* 1

*) ( / ) (1/2 )( )[ ]

(^{t = S S t − S S −S T−}

∑

^y₋ ^−y₋ ⁻

Z _{a u T a T T u t}

) )(

3 4 / ( ) / ( )

(t^~_a S_u S_T1 t^~_a T³ D¹_y^/2S_T1 S_T²₁ S_u

Z = − −

其中:t_a^*、t_a^~為一般的 t 統計量，T 為樣本的個數。

D_y =det(y^Ty)為解釋變數的行列式值。

S_u²為δ²的一般估計式，

∑

=

−

∞

= → ^T

t t

T T E u

1 2 1

2 lim ( )

δ 。

S_T²₁為δ²的一般估計式，δ² =lim_T→∞T⁻¹E(S_T²)，

∑

=

= ^T

t t

T u

S

1

。

落後期數之選取:

單根檢定需要決定一個最適的落後期，以修正殘差項的自我 相關問題，使殘差項為白噪音形式。由於加入太多落後期數，將 使得拒絕虛無假設之檢定能力下降；但若加入太少落後期數，模 式將無法完全修正由移動平均項所造成臨界值放大的缺點；究竟 要加入多少落後期數，則可用 AIC 準則來判斷，選擇 AIC 最小者 為最適落後期。

在作時間序列定態檢定與用 VAR 模型分析時，此時時間數列 落後期數的選擇就佔有重要的地位，不同的落後期數會影響最後 的分析結果。因此落後期數的選定就相當的重要，AIC 值是模型 最適變數的重要參考值，判斷方法乃是選取各個模型中 AIC 值最 小的。

AIC（Akaike Information Criterion）準則。Akaike【28】

（1969）提出 AIC 準則，選取的方法為 AIC 愈小之 P 愈佳。其 定義為：

N k

AIC Nⁱ 2

ˆ ) log(

2

+

=

∑

^ε

其中N為樣本數。

εˆi為殘差項的估計值。

k為參數的個數。

四、ARIMA模型:

Box＆Jenkins【32】(1976)提出一套時間序列分析方法，稱 為 自 我 迴 歸 整 合 移 動 平 均 模 型 (Autoregressive Integrated Moving Average Model；ARIMA)。自我迴歸-AR(p)模式，主要是 指 變 數 ( X_t)除 了 受 誤 差 項 影 響 外 ， 還 受 變 數 前 期 ( X_t−1、 X_t−2、

−3

Xt 、…)所影響。移動平均-MA(q)模式是指變數(X_t)受變數前期 的誤差項(ε_t−1、ε_t−2、ε_t−3、…)所影響。若變數(X_t)受變數前期以 及 誤 差 項 前 期 影 響 的 話 ， 則 模 式 為 ARMA(p,q)模 式 。 在 配 適 時 間 序 列 模 型 時 ， 一 般 的 作 法 是 當 序 列 不 平 穩 或 有 趨 勢 (trend)時 ， 先 對 其 取 差 分 直 到 序 列 平 穩 ， 接 著 才 以 ARMA(p,q)模 型 來 配 適 序 列，則可稱此模型為ARIMA(p,d,q)，d為所需差分次數。AR(p)、

MA(q)、ARMA(p,q)模型可表式如下:

AR(p)模型:

t p t p t

t

t X X X

X =α₀ +α_{1 −1} +α_{2 −2} +...+α ₋ +ε MA(q)模型:

q t q t

t t

t

Xt =μ +ε −β₁ε ₋₁ −β₂ε ₋₂ −β₃ε ₋₃ −...−β ε ₋ ARMA(p,q)模型:

q t q t

t t

p t p t

t

t X X X

X =α₀ +α_{1 −1} +α_{2 −2} +...+α ₋ +ε −β₁ε ₋₁ −β₂ε ₋₂ −...−β ε ₋

根據Box-Jenkins方法論，建構ARIMA模型流程圖如下:

1、模型認定(Identification of the model)

第 一 個 步 驟 先 判 定 資 訊 為 何 種 模 式 ， 也 就 是 決 定 p、 d、 q分 別是多少。首先先確定差分的階次d，當序列資料呈現不平穩時，

則對資料進行差分直到序列呈現穩定為止。而決定最適ARMA(p,q) 模 型 是 利 用 自 我 相 關 函 數 (ACF)圖 與 偏 自 我 相 關 函 數 (PACF)圖 ， 來判斷模式中AR(p)與MA(q)的階次。

2、參數估計(Parameter estimation of chosen model)

在 決 定 p、 d、 q的 序 次 後 ， 接 下 來 就 是 估 計 參 數 值 ， 由 於 時 間序列的模式並非為線性，因此不能利用一般的最小平方法來估 計模式中的參數，必須使用非線性估計法反覆的求解過程來估計 模式中的參數。

3、診斷檢定(Diagnostic checking) 模型認定

參數估計

診斷檢定

預測

是

否

在估計時間序列模型的參數後，接下來是診斷這種設定是否 適合，檢查殘差項(ε_t)是否仍有序列相關的問題，也就是檢定是 否 符 合 白 噪 音 ， 假 如 符 合 白 噪 音 則 判 定 此 時 的 模 式 為 適 當 的 模 式 。 估 計 ARCH與 GARCH模 型 前 ， 必 須 確 定 殘 差 項 是 否 具 有 序 列 相 關 ， 本 文 藉 由 Ljung-Box Q統 計 量 檢 定 有 無 自 我 相 關 。 此 外 ， 在 對模型做估計前，必須先檢定時間序列資料是否具有ARCH效果，

再進行模型估計，藉由ARCH LM檢定來判斷是否存在ARCH效果。

模型檢定:

Ljung-Box Q檢定:

Ljung-Box的純白噪音檢定(pure white noise test)，簡稱 Q統 計 量 ， 是 用 來 檢 定 時 間 序 列 資 料 是 否 具 有 序 列 相 關 及 異 質 變 異數的情形，模型如下:

∑

=

+

= ^k

k

T k

T Q

2

ˆ2

) 2

( γ

H0:殘差項平方(ε_t²)無自我相關

H1:殘差項平方(ε_t²)有自我相關 其中:T為觀察值個數

γ^ˆ_k²為ε^ˆ_k樣本自我相關係數

當拒絕虛無假設，表示此時間序列資料有序列相關。

LM test (Lagrange multiplier):

Lagrange Multiplier(LM) 檢 定 是 由 Engle【 41】 (1984)所 提出，利用所求得之殘差平方項之迴歸方程式作檢定，迴歸式如

下:

t p t p t

t

t α α ε α ε α ε ν

ε² = ₀ + ₁ ²₋₁+ ₂ ²₋₂ +...+ ²₋ + 0

...

: _{1 2}

0 = = = _p =

H α α α [無ARCH效果]

H1:α₁至α_p不全為零 [有ARCH效果]

根據上述的樣本數與判定係數R²，求出TR²的值，而TR²近似於 卡方分配，所以當TR² >x²(p)時，則拒絕需無假設，可證明時間序 列模型之殘差項變異數不齊一，具有異質性。

4.預測(Forecasting)

在完成適當模式後，即可利用模式進行預測分析。

五、ARCH、GARCH、TGARCH、EGARCH 模型

過 去 傳 統 的 計 量 模 型 與 時 間 序 列 模 型 都 是 假 設 殘 差 變 異 數 固定，也就是誤差項不會隨著時間的改變而改變，但事實上許多 金 融 性 的 資 產 之 時 間 序 列 大 多 存 在 波 動 叢 聚 （ volatility clustering）的現象，例如股價大幅波動後往往下一期會伴隨大 幅度的波動，而股價小幅度波動後亦會伴隨著小幅度的波動，代 表時間序列的變異數會隨著時間而改變。對於變異數異質性的現 象 ， Engle(1982) 提 出 了 自 我 迴 歸 條 件 異 質 變 異 數 模 型 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model ,ARCH 模型)，模型中時間序列資料之條件變異數具有隨時 間改變的現象。而 Bollerslev(1986)將 ARCH 模型加以擴充，將 過去的殘差項及過去的變異數納入條件變異數方程式中，成為一 般 化 自 我 迴 歸 模 型 條 件 異 質 變 異 數 模 型 (Generalized

Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model,GARCH)。

一 般 GARCH 模 型 皆 假 定 新 訊 息 所 造 成 的 波 動 反 應 是 對 稱 的 ， 即 表 示 不 論 訊 息 的 好 壞 ， 對 於 市 場 的 好 壞 都 具 有 相 同 的 影 響。而傳統之 ARCH(p)模型或 GARCH(p,q)並不能掌握波動性的不 對稱性效果，為反應出前期正、負報酬訊息對本期股價報酬變異 數 可 能 產 生 的 不 對 稱 性 影 響 ， 因 此 許 多 學 者 開 始 發 展 不 對 稱 GARCH 模型來捕捉這些現象。接下來將分別對 ARCH、GARCH、TGACH 不對稱性模型分別做介紹：

5.1、對稱型條件異質變異數模型 (一)ARCH 模型

Engle【42】(1982)所提出ARCH(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)模 型 ， 其 考 慮 到 條 件 變 異 數 隨 時 間 經 過 而 變動的特性，將h_t設為Y_t的條件變異數，使受到前q期誤差項平方 之影響，因而能適切地描寫出市場報酬率波動的狀態，並可以成 功 的 掌 握 到 時 間 序 列 的 趨 勢 ， 進 而 提 昇 估 計 效 率 ， 其 ARCH(q)模 型架構為:

t t

t X b

Y = +ε ) , 0 (

1 ~ t

t

t Ω₋ N h

ε

∑

= −

+

= ^p

i

i t i

t C

h

1 2

0 α ε

其中：ε_t為模型之殘差項

−1

Ω_t 表示t−1期為止所有可利用之資訊。

h_t表示條件變異數，會受過去q期誤差項的干擾 (二)GARCH模型

Bollerslve 【 34 】 (1986) 修 正 ARCH 模 型 的 條 件 變 異 數 方 程 式，根據傳統的ARMA模型使條件變異數符合ARMA過程，即受自我 迴歸影響亦受移動平均影響；也就是說使條件變異數不僅受前期 預 測 誤 差 平 方 項 的 影 響 ， 也 受 其 條 件 變 異 數 的 影 響 ， 而 形 成 了 GARCH模型。而當β_j =0時，則回到Engle之ARCH模型。

模型如下:

t t

t X b

Y = +ε ) , 0 (

1 ~ t

t

t Ω₋ N h

ε

∑ ∑

= − + = −

+

= ^q

j

p

i

i t i i

t j

t C h

h

1 1

2

0 β αε

其中：ε_t為模型之殘差項

−1

Ω_t 表示到t−1期為止所有可利用之資訊

ht為Y_t的條件變異數，其受到前 p期誤差項平方與前q期條 件變異數影響

5.2、不對稱型條件異質變異數模型 TGARCH模型:

為 了 要 反 應 波 動 的 不 對 稱 與 資 訊 度 偏 誤 效 果 等 行 為 特 性 ， TGARCH模型的設定方式，是運用虛擬變數的方法，將訊息對波動 的影響，區分為好消息對波動的影響及壞消息對波動的影響，使

模 型 得 以 同 時 偵 測 不 同 程 度 的 好 (壞 )消 息 對 波 動 的 影 響 效 果 與 不對稱效果。

TGARCH糢型是由Zakoian【66】(1990)、Glosten,Jaganathan and Runkle【48】(1993)所提出。TGARCH 條件變異數的設定為:

2 1 1

2 1 2

1 − − −

− + +

+

= _{t t t t}

t d

h ω αε γε βσ

其中，若ε_t−1<0時，γ >0;反之，d_t−1=0

模 型 中 虛 擬 變 數 值 (d) 的 設 定 ， 表 示 在 有 好 的 消 息 (ε_t−1>0) 時 ， 會 有α 的 衝 擊 效 果 ； 而 在 壞 的 訊 息 (ε_t−1 <0)發 生 時 ， 其 衝 擊 效果成為α +γ 。若γ >0，代表槓桿效果存在(leverage effect)；

若γ ≠0， 表 示 消 息 的 衝 擊 為 不 對 稱 。 藉 由 模 型 中 虛 擬 變 數 (d_t−1) 的設定，使得ε_t−1的效果產生不同的影響力。

EGARCH 模型:

EGRACH 模型是由 Nelson【56】(1991)所提出的，其條件變異數 為:

∑

∑

= −

−

−

−

= −

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ + ⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

+ +

= ^q

j t j

j t j j

t j t j p

i

i t

t h h h

h

1

1 1

1

) 2 log(

)

log( ε

δ π α

α ε β

ω

其中，ε_t:表示t期的殘差項

h_t: 報酬率的條件變異數

當α₁＞0 時，若δ =0時，表示不對稱效果不存在，同規模的 正 向 報 酬 衝 擊 與 負 向 的 報 酬 衝 擊 具 有 相 同 的 效 果 ， 而 若−1<δ <0

時，表示不論正或負的報酬衝擊對波動性的效果均為正，但是負 向報酬衝擊的增加效果較大，當δ <−1時，表示正的報酬衝擊對波

動性的效果為負，負向報酬衝擊對於報酬波動性效果為正，即只 要δ <0就存在不對稱效果。

本文在對股市加權股價波動性與解釋變數之波動性方面，擬 用 GARCH、 TGARCH與 EGARCH模 型 來 配 置 ， 並 依 所 建 立 的 模 型 估 計 條件變異數。

六、向量自我迴歸模型 (Vector Autoregression Model;VAR) Sim【 60】 (1980)提 出 向 量 自 我 迴 歸 ， 他 認 為 先 驗 理 論 所 建 立的結構化計量模型，認定上會有困難。在此模型不須在多個變 數間的因果關係未明之前進行內外生變數的假設，此分析方法是 根據資料本身的特性進行研究，首先將研究的指數變數放於模型 中，在此模型所有變數皆視為內生變數且不事先假設先驗理論基 礎來決定變數間的關係。VAR 模型是以一組迴歸表示出各變數間 彼此的互動關係，而迴歸方程式的自變數是由所有變數的落後項 所組成，並認為變數的落遲項涵蓋了所有相關的訊息。

VAR 的模型可用下式表示:

∑

= − + +

= ^M

i

t i t i t

t AY

Y

0

ε α

0 ) (u_t = E

∑

^≠

= 0

)

(u_tu_t^' _u E

s t u

u

E( _{t s}^')= ,0 ≠

其中，Y_t =(y_1t...y_mt)為(m×1)變數，m為模型內所討論的變數 a_t為(m×1)的常數項

A_i為(m×m)的係數矩陣，為變數 M 階落遲項變數 Y_t−i為(m×1)之 M 階落遲項變數

εt為結構干預項，為(m×1)的一期純白噪音誤差過程的預 測誤差，是無法解釋的部份，可視為隨機衝擊項或是創新 E(u_t)=0表示各期誤差為序列無關

∑

^≠

= 0

) (u_tu_t^' _u

E 為一對角化的共異矩陣

VAR 模型發展出三種重要的應用模型，因果關係檢定、衝擊 反應分析模式以及預測誤差變異數分解。

6.1 Granger 因果關係檢定

根據 Granger【46】(1969) 所定義的因果關係，若額外加入 一個訊息變數 X 可以解釋更多的變數 Y，並可以降低變數 Y 的條 件變異數，這個現象稱為變數 X 為變數 Y 的因(X cause Y)，如 果情形相反，則變數 Y 為變數 X 的因；若上述兩種情形都存在，

則表示 X、Y 之間有回餽關係；或兩變數不存在任何關係，則稱 X、

Y 兩變數為獨立關係。

若 Xt、Yt表示兩個定態序列，x 為 Xt序列過去值的集合，y 為 Y^t序列過去值的集合；ｘ^ａ代表 X 變數自第 1 期到第 t 期所有 可得到的資訊之集合，y^a代表 Y 變數自第 1 期到第 t 期所有可得 資訊的集合。

1.因果關係

若VAR(Y_t y,x)<VAR(Y_t y);表示 在 解 釋 Yt 時 若 加 入 Yt 的 過 去 值 後，再加入 X^t的過去值，將會降低誤差，則稱 X^t影響 Y^t。

在文檔中 中 華 大 學 (頁 57-74)