??? 1 和 ANOS。
4. 實際案例
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4. 實際案例
在本文前兩章中介紹了VSS EWMA-np control chart 的理論、建立管制界限 方法、與文獻上的平均值管制圖比較失控偵測力，得出結論在製程下平均值發生 變化時（製程的比例發生變化）本文管制圖VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 大部分會比其他存在的平均值管制圖的 ANOS 小，表示 VSS EWMA-np control chart 失控偵測力比其他平均值管制圖快。
接着本章中，本文將說明所提的VSS EWMA-np control chart 應用在監控銀 行的服務時間的案例，這一過程包括管制圖的建立、抽樣結果、數據轉換、描點 結果等。本文銀行服務時間數據取自Yang and Arnold (2014)（詳細數據見表 41）， 該例的數據來自某銀行 15 天里，每天最初 10 筆交易的服務時間。
根據表 41 的銀行服務時間數據畫出密度曲線見圖 12，由圖 12 可以看出數 據可能並不服從常態分佈，進一步對數據進行Shapiro-Wilk 正態分佈檢驗，結果 P − value = 2.304×10−12，表明數據拒絕常態分佈的原假設，因此可以應用本文 的管制圖監測數據平均值是否發生變化。
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表 41. 在 15 天里，銀行前十筆交易服務時間數據表。
t 𝑛1 𝑛2
𝑥1,𝑡 𝑥2,𝑡 𝑥3,𝑡 𝑥4,𝑡 𝑀𝑛1,𝑡 𝑥5,𝑡 𝑥6,𝑡 𝑥7,𝑡 𝑥8,𝑡 𝑥9,𝑡 𝑥10,𝑡 𝑀𝑛2,𝑡
1 0.88 0.78 5.06 5.45 0 2.93 6.11 11.59 1.20 0.89 3.21 2 2 3.82 13.40 5.16 3.20 1 32.27 3.68 3.14 1.58 2.72 7.71 2 3 1.40 3.89 10.88 30.85 2 0.54 8.40 5.10 2.63 9.17 3.94 2 4 16.80 8.77 8.36 3.55 3 7.76 1.81 1.11 5.91 8.26 7.19 4 5 0.24 9.57 0.66 1.15 1 2.34 0.57 8.94 5.54 11.69 6.58 3 6 4.21 8.73 11.44 2.89 2 19.49 1.20 8.01 6.19 7.48 0.07 4 7 15.08 7.43 4.31 6.14 3 10.37 2.33 1.97 1.08 4.27 14.08 2 8 13.89 0.30 3.21 11.32 2 9.90 4.39 10.50 1.70 10.74 1.46 3 9 0.03 12.76 2.41 7.41 2 1.67 3.70 4.31 2.45 3.57 3.30 0 10 12.89 17.96 2.78 3.21 2 1.12 12.61 4.23 6.18 2..33 6.92 3 11 7.71 1.05 1.11 0.22 1 3.53 0.81 0.41 3.73 0.08 2.55 0 12 5.81 6.29 3.46 2.66 2 4.02 10.95 1.59 5.58 0.55 4.10 1 13 2.89 1.61 1.30 2.58 0 18.65 10.77 18.23 3.13 3.38 6.34 4 14 1.36 1.92 0.12 11.08 1 8.85 3.99 4.32 1.71 1.77 1.94 1 15 21.52 0.63 8.54 3.37 2 6.94 3.44 3.37 6.37 1.28 12.83 3
圖 12. 銀行服務時間數據的密度曲線。
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將表 41 中的數據應用在VSS EWMA-np control chart 中，其中有母體平均值 𝜇0的估計值為𝑥̅̅ =∑ ∑ 𝑥𝑗,𝑡
10𝑗=1 15𝑡=1
15×10 = 5.77，然後通過第一章的理論基礎可以計算𝑀𝑛1,𝑡，
𝑀𝑛2,𝑡，其中𝑝̂ =𝑚0 ∑ ((𝑀𝑛1,𝑡+𝑀𝑛2,𝑡)/10)
15𝑡=1
15 ≈ 0.4。设定(𝑛1，𝑛0，𝑛2) = (4，5，6)，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.4和𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370.4，應用馬爾科夫鏈方法計算 FSS EWMA-AM control chart 的管制界限獲得：
𝑘3 = 2.70；
𝑘4 = 2.33； （13）
然後根據前文選擇b = 0.9，利用蒙地卡羅模擬的方法得到𝑎 = 1.0062。於 是有VSS EWMA-np control chart 的管制界限：
𝑈𝐶𝐿 = 𝑘1 = 2.71674；
𝐿𝐶𝐿 = −𝑘2 = −2.344446；
𝑈𝑊𝐿 = 𝑊1 = 2.445066；
LWL = −𝑊2= −2.110001。 （14）
根據表 41 得到的（𝑀𝑛1,𝑡，𝑀𝑛2,𝑡）經過轉化成Z𝑀
𝑛𝑖,𝑡，i=1，2 見表 42。
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圖 13. VSS EWMA-np control chart 在 t=1，2，3，…，15。
UCL
UWL
LWL LCL
Z𝑀𝑛𝑖,𝑡
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由圖 12 的管制圖可以看出管制圖中的中心區域（CR）為[-2.110001，
2.445066]，當統計量Z𝑀
𝑛𝑖,𝑡落在這個區域時，下次的抽樣樣本大小仍是小樣本的 𝑛1 = 4；管制圖的警告區域（WR）為[−2.344446，−2.110001]和[2.445066，
2.71674]，當統計量Z𝑀
𝑛𝑖,𝑡落在這一區域時，下次抽樣的樣本大小為大樣本的𝑛2 = 6；管制圖的失控區域（OR）為(−∞， − 2.344446) ⋃(2.71674，∞)，當統計量 Z𝑀
𝑛𝑖,𝑡落在這一區域時，抽樣結束。在本案例的t=1~15 的數據轉換后統計量Z𝑀
𝑛𝑖,𝑡
全部落在中心區域。
在銀行更換系統后，用建立的式 14 的管制圖可以追蹤新的服務系統的服務 時間平均值是否發生變異。新的服務數據見表 43。
表 43. 新抽樣服務時間數據。
t 𝑛1 𝑛2
𝑥1,𝑡 𝑥2,𝑡 𝑥3,𝑡 𝑥4,𝑡 𝑀𝑛1,𝑡 𝑥5,𝑡 𝑥6,𝑡 𝑥7,𝑡 𝑥8,𝑡 𝑥9,𝑡 𝑥10,𝑡 𝑀𝑛2,𝑡 16 3.54 0.01 1.33 7.27 1 5.52 0.09 1.84 1.04 2.91 0.63 0 17 0.86 1.61 1.15 0.96 0 0.54 3.05 4.11 0.63 2.37 0.05 0 18 1.45 0.19 4.18 0.18 0 0.02 0.7 0.8 0.97 3.6 2.94 0 19 1.37 0.14 1.54 1.58 0 0.45 6.01 4.59 1.74 3.92 4.82 1 20 3.00 2.46 0.06 1.80 0 3.25 2.13 2.22 1.37 2.13 0.25 0 21 1.59 3.88 0.39 0.54 0 1.58 1.70 0.68 1.25 6.83 0.31 1 22 5.01 1.85 3.10 1.00 0 0.09 1.16 2.69 2.79 1.84 2.62 0 23 4.96 0.55 1.43 4.12 0 4.06 1.42 1.43 0.86 0.67 0.13 0 24 1.08 0.65 0.91 0.88 0 2.02 2.88 1.76 2.87 1.97 0.62 0 25 4.56 0.44 5.61 2.79 0 1.73 2.46 0.53 1.73 7.02 2.13 1
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以相同的數據應用於SDS EWMA-AM chart 中（Yang and Wu (2017)），可以
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發現在t=1、19 和 20 時，統計量落在警告區域；在 t=20~25 時，統計量落在失 控區域（見圖 14）。在整個管制圖的抽樣過程中，當製程處於穩定條件下時，總 共抽取樣本數為：ANOS0 = 15×4 + 1×6 = 66。然後當製程發生失控時在整個過 程中總共抽取樣本數為：𝐴𝑁𝑂𝑆1 = 10×4 + 3×6 = 58。
在本案例中可以發現:（1）VSS EWMA-np control chart 說明很容易使用在實 際工作中。（2）在失控條件下VSS EWMA-np control chart 的𝐴𝑁𝑂𝑆1比SDS EWMA-AM chart 的𝐴𝑁𝑂𝑆1小很多，表明VSS EWMA-np control chart 在檢測出失控點時 所需的樣本總數較少。
UCL
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圖 14. VSS EWMA-np control chart。
圖 15. SDS EWMA-AM chart。
Z𝑀𝑛𝑖,𝑡
UWL
LWL
LCL
t
UCL
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5. 結論
本文在推廣Yang (2015)的 FSS EWMA-AM chart 考慮具變動之樣本大小，以 建立新的VSS EWMA-np control chart。經由失控績效比較發現：以 EN 看，VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力較好；以 ARL 看，VSS EWMA-np control chart 的失控偵測比 SDS EWMA-AM chart 差，但在小偏移時，比固定抽樣樣本 數管制圖的失控偵測力好；以ANOS 看，在部分偏移和對稱分佈下 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力較好，這說明 VSS EWMA-EWMA-np control chart 是一個具 有很好失控偵測力的管制圖。再者，利用銀行服務時間監測說明VSS EWMA-np control chart 的應用，表明 VSS EWMA-np control chart 是一個容易建立和使用的 管制圖，該管制圖可以被廣泛應用於科技或是服務業流程的品質監控上。因此 VSS EWMA-np control chart 是一種有效的品質監控工具。
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