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2.2. VSS EWMA-np control chart 的管制界限決定
在本文中，決定管制圖失控偵測力好壞的失控偵測指標有三個，分別是：
（1）EN：在整個製程中每次抽樣數的期望值，當製程發生失控時，EN 越小越 好。（2）𝐴𝑅𝐿：ARL 在整個製程中存在 2 種狀態，一是在𝑝𝑚0時的𝐴𝑅𝐿0（Average Run Length，平均連串長度），即穩定製程下第一次點落在管制圖失控區域的平均 抽樣次數， 𝐴𝑅𝐿0越大越好；二是在𝑝𝑚1 ≠ 𝑝𝑚0時的𝐴𝑅𝐿1（Average Run Length），
指製程失控下平均連串長度，即第一次點落在管制圖失控區域的平均抽樣次數，
𝐴𝑅𝐿1越小越好；（3）ANOS (Average Number of Observations to Signal）：管制圖 直到偵測出異常訊息所需抽樣的平均觀測值總數，ANOS 的算法為ANOS𝑖 = EN×𝐴𝑅𝐿𝑖，𝑖 = 0，1，同樣在失控製程下 ANOS 越小越好。
參考Yang and Wu (2017)，本文採用以三組樣本組合（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（4，
5，6）、（6，8，12）和（8，10，16），分別代表小樣本組合、中樣本組合和大樣 本組合，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5和λ = 0.05分別舉例建立管制界限。
𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀
𝑛𝑖,𝑡的期望值與方差可以通過計算獲得，但𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀
𝑛𝑖,𝑡分佈過於複 雜，因此管制界限（𝑘1，𝑘2，𝑊1，𝑊2）很難通過計算獲得，於是本文採用蒙地 卡羅模擬的方法模擬管制界限（𝑘1，𝑘2，𝑊1，𝑊2）。
其中𝑘1、𝑘2、𝑊1和𝑊2的決定步驟如下（管制界限決定流程圖見圖 11）：
①．計算FSS EWMA-AM chart 管制界限：在已知𝑛0、𝑛1、𝑛2、𝑝𝑚0、λ和𝑀𝑛𝑖,𝑡~ B(𝑛𝑖，𝑝𝑚0)，採用馬爾科夫鏈方法（Lucas and Sacsusi (1990)）使𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370。以 得到FSS （Fixed Sample Size）EWMA-AM chart 初始管制界限（𝑘3，𝑘4）（馬爾 科夫鏈方法詳細步驟見附錄）。
應用馬爾科夫鏈方法，在樣本組合為（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（4，5，6）、（6，8，
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表 3. （𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16），𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，FSS EWMA-AM chart 管制界限（𝑘3，𝑘4）的組合。
FSS EWMA-AM chart 管制界限 𝑛0 𝑝𝑚0 𝑘3 𝑘4 𝐴𝑅𝐿0
10 0.1 2.90 2.19 370.41 10 0.2 2.94 2.20 370.39 10 0.3 2.82 2.26 370.39 10 0.4 2.36 2.66 370.47 10 0.5 2.24 2.93 370.47 10 0.6 2.29 2.81 370.49 10 0.7 2.33 2.73 370.62 10 0.8 2.30 2.84 370.56 10 0.9 2.31 2.95 370.42
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②．給管制界限（𝑘3，𝑘4）增加限制式：在計算獲得管制界限（𝑘3，𝑘4）后，將
（𝑘3，𝑘4）乘以係數𝑎（𝑎 ≥ 1）得到管制界限𝑘1、𝑘2；并將（𝑘3，𝑘4）乘以係數 𝑏（0< 𝑏 <1）得到管制界限𝑊1和𝑊2：
𝑘1 = 𝑎𝑘3； 𝑘2 = 𝑎𝑘4； 𝑊1 = 𝑏𝑘3；
𝑊2 = 𝑏𝑘4。 （11）
然後應用蒙地卡羅模擬方法（Monte Carlo method）使𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，這時的（𝑘1， 𝑘2，𝑊1，𝑊2）即為（𝑛1，𝑛0，𝑛2）在𝑝𝑚0下VSS EWMA-np control chart 的管制 界限。這時只需要控制（𝑎，𝑏），即可控制管制界限（𝑘1，𝑘2，𝑊1，𝑊2）。
③．選擇合適b 值：應用步驟②得到的（𝑎，𝑏）組合有無限多組，而這無限多組 的（𝑎，𝑏）組合都有其相對應的管制界限，如何选择适当的（𝑎，𝑏）組合是需要 探讨的。在通過大量失控偵測結果比較（圖 2~圖 10：在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，
10，16）、𝑝𝑚0 = 0.3， 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9下，不同 b 值的失控偵測指標 EN、ARL 和ANOS 之變化）后發現：隨著 b 值增大 EN 呈現一種變小的趨勢，隨著 b 值增 大 ARL 和 ANOS 呈現一種先增大后減小的趨勢；當 b 值越接近 1 時 ARL 和 ANOS 遞減的趨勢越大，由此得到結論：為了得到最小的 EN、ARL 和 ANOS，
b 值越大越好，因此在本文中 b 值选择为 0.9。
④．模擬𝑎值：根據步驟③確定 b 值為 0.9 后，再根據樣本組合（𝑛1，𝑛0，𝑛2）、 𝑝𝑚0和λ應用蒙地卡羅模擬的方法使𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，決定𝑎，這時的（𝑎，𝑏）組合即 為所需組合。最後再應用式（11）得到管制界限（𝑘1，𝑘2，𝑊1，𝑊2）。
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本文以（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、𝑝𝑚0 = 0.3為例畫出以下結果：
圖 2. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0= 0.3和𝑝𝑚1 = 0.1時，
EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
圖 3. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.2 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
圖 4. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.3 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
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圖 5. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.4 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
圖 6. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.5 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
圖 7. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.6 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
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圖 8. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.7 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
圖 9. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.8 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
圖 10. 在（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.9 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。
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根據以上方法當（𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（4，5，6）、（6，8，12）和（8，10，16）， 𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時的管制界限見表 4、表 5 和表 6。
表 4. （𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界限
（𝑘1，𝑘2，𝑊1，𝑊2）的組合。
表 5. （𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（6，8，12），𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界限
（𝑘1，𝑘2，𝑊1，𝑊2）的組合。
VSS EWMA-np control 管制界限
𝑏 𝑝𝑚0 𝑛1 𝑛0 𝑛2 𝑘1 𝑘2 𝑎 𝑊1 𝑊2 EN 𝐴𝑅𝐿0
0.90 0.1 4 5 6 2.893035 2.162268 1.00105 2.603731 1.946041 4.04 370.68 0.90 0.2 4 5 6 2.943800 2.210362 1.00471 2.649420 1.989326 4.04 371.07 0.90 0.3 4 5 6 2.820718 2.284883 1.01101 2.538646 2.056394 4.03 370.44 0.90 0.4 4 5 6 2.716740 2.344446 1.00620 2.445066 2.110001 4.04 370.73 0.90 0.5 4 5 6 2.794666 2.328888 1.01256 2.515199 2.095999 4.03 370.06
VSS EWMA-np control 管制界限
𝑏 𝑝𝑚0 𝑛1 𝑛0 𝑛2 𝑘1 𝑘2 𝑎 𝑊1 𝑊2 EN 𝐴𝑅𝐿0
0.90 0.1 6 8 12 2.863260 2.202508 1.00114 2.576934 1.982257 6.10 370.13 0.90 0.2 6 8 12 2.639338 2.405858 1.01513 2.375404 2.165272 6.09 370.28 0.90 0.3 6 8 12 2.924640 2.264565 1.01550 2.632176 2.038109 6.09 370.89 0.90 0.4 6 8 12 2.996433 2.239758 1.00890 2.69679 2.015782 6.09 370.66 0.90 0.5 6 8 12 2.852712 2.314656 1.01520 2.567441 2.083190 6.08 370.58
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表 6. （𝑛1，𝑛0，𝑛2）=（8，10，16），𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界限
（𝑘1，𝑘2，𝑊1，𝑊2）的組合。
圖 11.建立 VSS EWMA-np 管制圖界限之流程圖。
VSS EWMA-np control 管制界限
𝑏 𝑝𝑚0 𝑛1 𝑛0 𝑛2 𝑘1 𝑘2 𝑎 𝑊1 𝑊2 EN 𝐴𝑅𝐿0
0.90 0.1000 8 10 16 2.914007 2.200578 1.00483 2.622606 1.980520 8.14 370.99 0.90 0.2000 8 10 16 2.972340 2.224200 1.01100 2.675106 2.001780 8.11 370.77 0.90 0.3000 8 10 16 2.845380 2.280340 1.00900 2.560842 2.052306 8.13 370.21 0.90 0.4000 8 10 16 2.393276 2.697506 1.01410 2.153948 2.427755 8.11 370.53 0.90 0.5000 8 10 16 2.273376 2.973657 1.01490 2.046038 2.676291 8.13 370.15 0.90 0.3679 8 10 16 2.839200 2.301780 1.01400 2.555280 2.071602 8.13 370.66 0.90 0.3916 8 10 16 3.014550 2.253300 1.01500 2.713095 2.027970 8.12 371.81
已知𝑛0、𝑛1、𝑛2、𝑝𝑚0、λ、𝑀𝑛𝑖,𝑡分佈（i = 1，2）
馬爾科夫鏈計算方法。
得到FSS EWMA-AM chart 管制界限（𝑘3，𝑘4）
選擇一個較大的係數𝑏值，如 0.9。然後使用
蒙地卡羅模擬方法使𝐴𝑅𝐿0≈ 370，尋找𝑎值。
得到係數組合（𝑎，𝑏）
根據式 11 將（𝑎，𝑏）與管制界限（𝑘3，𝑘4）相乘。
確定（𝑘1，𝑘2，𝑊1，𝑊2） 利用𝑀𝑛0,𝑡~B (𝑛0，𝑝𝑚0)