變動樣本大小的無母數平均值管制圖之研究 - 政大學術集成
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(2) 謝辭 兩年的時間悄然流逝，來不及多餘的感慨，研究生的生活已然到達尾聲。兩 年的努力與付出，隨著此次畢業論文的完成將要畫下句點。在這段時間中有許多 人值得我去感謝。 在本次的論文中首先需要感謝的是我的論文指導老師 楊素芬 教授，本論文 是在老師的悉心指導和嚴格要求下完成，從論文選題到寫作規範，老師都為我提 供了種種專業指導，讓我對統計與品管的知識更加深厚，同時也讓我更有勇氣面 對將來的挑戰。. 立. 政 治 大. 然後需要感謝我的口試委員 葉小蓁教授、葉金田教授和黃榮臣教授，三位. ‧ 國. 學. 教授在口試過程中提供了許多專業性建議，而這些建議都使本論文變得更加完善。. ‧. 也需要感謝陪伴我兩年研究生生涯的同學和朋友，正是這些同學和朋友讓我. sit. y. Nat. 由最開始對學校和課業的陌生，慢慢地走上正軌，最終愉快的完成了兩年的學業。. n. al. er. io. 最後，感謝我的家人，在這兩年的時間里雖然相隔萬里，但仍默默的陪伴我. i n U. v. 度過無數個日夜。正是這些陪伴給了我無數的勇氣，助我完成繁重的課業。. Ch. engchi. 周遊宇. 僅致. 中華民國一百零六年七月.
(3) 摘要 自舒華特發明以管制圖監測製程以來，管制圖在工程的應用日趨重要。在特 殊工程中，一個高效的管制圖方法尤為重要。基於此項事實，在文獻中各式各樣 的管制圖層出不窮且技術日益完善。但傳統管制圖往往受制于常態分佈，因此在 無母數管制圖研究方向仍有大量工作值得探討。於是本文在母體分佈未知情況下， 推廣 Yang (2015)的無母數平均值管制圖方法建立變動樣本指数加权移动平均管 制圖，VSS EWMA-np control chart。新的管制圖將變動樣本大小（VSS）和指數. 政 治 大. 加權移動平均（EWMA）方法結合建立一種新的管制圖方法，並用這種新型管制. 立. 圖監測未知分佈母體的平均值是否發生變動。而為了監測平均數是否發生變化，. ‧ 國. 學. 也為了減少抽樣損失，本文評估管制圖監測效力的指標為管制圖偵測出異常訊息. ‧. 所需抽樣的樣本數期望值（EN） 、平均連串長度（ARL）和平均觀測值總數（ANOS） 。. y. sit. n. al. er. io. 偵測力。. Nat. 從本文的比較結果看出新的變動樣本指數加權移動平均管制圖擁有更好的失控. Ch. engchi. i n U. v. 關鍵詞：無母數管制圖；變動樣本；抽樣的樣本數期望值；平均連串長度；平均 觀測值總數. i.
(4) Abstract Since Shewhart invention control chart monitor the process, control charts are increasingly important in engineering applications. In special projects, an efficient control chart is especially important. Based on this fact, the various kinds of control charts in the literature are not poor and the technology is improving. However, traditional control charts are often subject to normal distribution, so there is still a lot of work to be discussed in the direction of the study of non-parametric control charts. So in this paper under unknown distribution in the matrix, Yang (2015) established on the basis of the theory of a non-parametric method of control chart - Exponentially Weighted Moving Average Control Chart with Variable Sampling Sizes (VSS EWMA - np control chart). New control chart will change the sample size (VSS) and exponential weighted moving average (EWMA) method to establish a new control chart, and use new control chart for monitoring the mean of unknown distribution matrix is changed. And whether to monitor the average changes in order to reduce the loss of sampling, this paper mainly evaluate control chart for monitoring the effectiveness of the statistics for the expected value of the sample size (EN), the average run length (ARL) and the average number of observations to signal (ANOS). From the comparison shown in this paper, the new control chart has better detection.. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. Keywords: non-parametric; Variable Sampling Sizes; expected value of the sample size; average run length; the average number of observations to signal. ii.
(5) 目錄 1.文獻綜述 ........................................................................................................................1 2.VSS EWMA-np control chart 之建立........................................................................4. 2.1.VSS EWMA-np control chart 的建立方法 ............................... 4 2.2.VSS EWMA-np control chart 的管制界限決定 ....................... 8 2.3.VSS EWMA-np control chart 之失控偵測力 ......................... 17. 政 治 大. 3.和文獻上無母數平均值管制圖的失控偵測力比較 .............................................. 20. 立. 3.1.品質變數𝑿𝒋,𝒕 為未知分佈時失控偵測力的比較 ....................... 21. ‧ 國. 學. 3.2.品質變數𝑿𝒋,𝒕 為已知分佈時失控偵測力的比較 ....................... 31. ‧. 4.實際案例 ..................................................................................................................... 59. Nat. io. sit. y. 5.結論 .............................................................................................................................. 67. er. 參考文獻.......................................................................................................................... 68. al. n. v i n Ch 附錄 .................................................................................................................................. 71 engchi U 附錄一.馬爾科夫鏈詳細過程.............................................................................. 71 附錄二.不同樣本組合下 VSS EWMA-np control chart 在不同 b 值下的完整 結果 ........................................................................................................... 74. iii.
(6) 表格列表 表 1. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，FSS EWMAAM chart 管制界限（𝑘3 ，𝑘4 ）的組合。 ......................................................................... 9 表 2. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，FSS EWMAAM chart 管制界限（𝑘3 ，𝑘4 ）的組合。 ......................................................................... 9 表 3. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，FSS EWMAAM chart 管制界限（𝑘3 ，𝑘4 ）的組合。 ...................................................................... 10. 政 治 大. 表 4. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界限. 立. （𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2）的組合。 ............................................................................................ 15. ‧ 國. 學. 表 5. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界（𝑘1 ，. ‧. 𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2）的組合。............................................................................................................ 15. sit. y. Nat. 表 6. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界（𝑘1 ，. io. al. er. 𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2）的組合。............................................................................................................ 16. n. 表 7. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.1和不同（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）下的 EN、. Ch. engchi. i n U. v. 𝐴𝑅𝐿1 和 ANOS。 ............................................................................................................................. 17 表 8. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.2和不同樣本組合下的 EN、𝐴𝑅𝐿1 和 ANOS。 ......................................................................................................................................... 18 表 9. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.3和不同樣本組合下的 EN、𝐴𝑅𝐿1 和 ANOS。 ......................................................................................................................................... 18 表 10. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.4和不同樣本組合下的 EN、𝐴𝑅𝐿1 和 ANOS。 ...................................................................................................................................... 19 表 11. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.5和不同樣本組合下的 EN、𝐴𝑅𝐿1 iv.
(7) 和 ANOS。 ...................................................................................................................................... 19 表 12. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.1和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ................................................................................................................................................................ 22. 表 13. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.2和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ................................................................................................................................................................ 22. 表 14. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.3和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. 政 治 大 ................................................................................................................................................................ 23 立 表 15. λ = 0.05，（𝑛 ，𝑛 ，𝑛 ）=（4，5，6），𝑝 = 0.4和𝑝 = 0.1(0.1)0.9，. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. 1. 0. 2. 𝑚0. 𝑚1. ‧ 國. 學. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. ‧. ................................................................................................................................................................ 23. 表 16. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.5和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. y. Nat. io. sit. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. n. al. er. ................................................................................................................................................................ 24. i n U. v. 表 17. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.1和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. Ch. engchi. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ................................................................................................................................................................ 24. 表 18. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.2和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ................................................................................................................................................................ 25. 表 19. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.3和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ................................................................................................................................................................ 25. 表 20. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.4和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， v.
(8) VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ................................................................................................................................................................ 26. 表 21. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.5和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ................................................................................................................................................................ 26. 表 22. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.1和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA- np control chart、SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ..................................................................................................... 27. 政 治 大 VSS EWMA- np control 立 chart 與 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. 表 23. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.2和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. ‧ 國. 學. ................................................................................................................................................................ 27. 表 24. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.3和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. ‧. VSS EWMA- np control chart、SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM. sit. y. Nat. chart 的失控偵測力比較。 ..................................................................................................... 28. n. al. er. io. 表 25. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.4和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. i n U. v. VSS EWMA- np control chart 與 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. Ch. engchi. ................................................................................................................................................................ 28. 表 26. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.5和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA- np control chart、SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 ..................................................................................................... 29 表 27. 在不同分佈下發生偏移𝛿1 時，對應𝑝𝑚1 發生偏移的程度表。 .......................... 31 表 28. 𝑋𝑗,𝑡 ~N(𝛿1，1)，λ = 0.05，𝑛0 = 10，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMA-np control、SDS EWMA-AM、EWMA-AM、NLE 與 CEW charts 的失控偵測 力比較。 ........................................................................................................................................... 36 vi.
(9) 表 29. 𝑋𝑗,𝑡 ~N (𝛿1，1)，λ = 0.05，𝑛0 = 5，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 500，b=0.9，VSS EWMA-np、 SDS EWMA-AM、SL 與 SC charts 的失控偵測力比較。 .................................. 37 表 30. 𝑋𝑗,𝑡 ~N (𝛿1，1)，λ = 0.05，𝑛0 = 4，𝐴𝐴𝑇𝑆0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMA-np、 SDS EWMA-AM 與 Shewhart charts 的失控偵測力比較。 ................................ 38 表 31. 𝑋𝑗,𝑡 ~N (𝛿1，1)，λ = 0.05，𝑛0 = 5，𝐴𝐴𝑇𝑆0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMA-np、 SDS EWMA-AM 與 Shewhart charts 的失控偵測力比較。 ................................ 38 表 32. 𝑋𝑗,𝑡 ~DE(𝛿1，1/√2)，λ = 0.05，𝑛0 = 5，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 500，b=0.9，VSS EWMA-. 政 治 大 ~DE(√2𝛿 ，1)，λ 立= 0.05，𝑛 = 5，𝐴𝑅𝐿 ≈ 500，b=0.9，VSS EWMA-. np、SDS EWMA-AM、EWMA-AM 與 SL charts 的失控偵測力比較。 ...... 42 表 33. 𝑋𝑗,𝑡. 1. 0. 0. 𝑡(3). + 𝛿1 ，λ = 0.05，𝑛0 = 10，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMA-np. ‧. √3. ‧ 國. 表 34. 𝑋𝑗,𝑡 ~. 學. np、SDS EWMA-AM、SL 與 SC charts 的失控偵測力比較。........................ 43. control、SDS EWMA-AM、NLE、CEW 與 FSS EWM-AM charts 的失控偵. y. Nat. er. io. sit. 測力比較。 ...................................................................................................................................... 48 表 35. 𝑋𝑗,𝑡 ~t(4) + √2𝛿1，λ = 0.05，𝑛0 = 5，𝐴𝐴𝑇𝑆0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMA-. al. n. v i n C Shewhart charts 的失控偵測力比較。 np、SDS EWMA-AM t 與h ................... 49 engchi U. 表 36. 𝑋𝑗,𝑡 ~t(10) +. √5 𝛿 ，λ 2 1. = 0.05，𝑛0 = 5，𝐴𝐴𝑇𝑆0 ≈ 370，b =0.9，VSS EWMA-. np、SDS EWMA-AM 與 Shewhart charts 的失控偵測力比較。 ..................... 49 15. 表 37. 𝑋𝑗,𝑡 ~t(30) + √ 𝛿1，λ = 0.05，𝑛0 = 5，𝐴𝐴𝑇𝑆0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMA14. np、SDS EWMA-AM 與 Shewhart charts 的失控偵測力比較。 .................... 50 表 38. 𝑋𝑗,𝑡 ~Unif(−√3, √3) + 𝛿1，λ = 0.05，𝑛0 = 10，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMA-np、SDS EWMA-AM 和 Shewhart charts 的失控偵測力比較。 ... 52 表 39. 𝑋𝑗,𝑡 ~Exp(1) + 𝛿1，λ = 0.05，𝑛0 = 10，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMAvii.
(10) np、SDS EWMA-AM 與 Shewhart charts 進行的失控偵測力比較。 ........... 54 表 40. 𝑋𝑗,𝑡 ~(𝑥32 − 3)/√6 + 𝛿1時，λ = 0.05，𝑛0 = 10，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，b=0.9，VSS EWMA-np、SDS EWMA-AM 和 Shewhart charts 的失控偵測力比較。 ... 57 表 41. 在 15 天里，銀行前十筆交易服務時間數據表。 ..................................................... 60 表 42. 𝑀𝑛1 ,𝑡 ，𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛1,𝑡 ，Z𝑀𝑛 ,𝑡 的值和描點結果。 ................................................................ 62 𝑖. 表 43. 新抽樣服務時間數據。 ............................................................................................................ 63 表 44. 新數據的𝑀𝑛𝑖 ,𝑡 、Z𝑀𝑛 ,𝑡 和描點結果。 .................................................................................. 64 𝑖. 政 治 大 表 46. 不同 b 值下，樣本組合為（6，8，12）下的管制界限。 ................................... 75 立 表 45. 不同 b 值下，樣本組合為（4，5，6）下的管制界限。 ..................................... 74. ‧ 國. 學. 表 47. 不同 b 值下，樣本組合為（8，10，16）下的管制界限。 ................................ 76 表 48. 不同 b 值下，樣本組合為（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.1的失控偵測結果。 .......... 77. ‧. 表 49. 不同 b 值下，樣本組合為（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.2的失控偵測結果。 .......... 78. y. Nat. er. io. sit. 表 50. 不同 b 值下，樣本組合為（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.3的失控偵測結果。 .......... 79 表 51. 不同 b 值下，樣本組合為（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.4的失控偵測結果。 .......... 80. n. al. Ch. engchi. 表 52. 不同 b 值下，樣本組合為（4，5，6），𝑝𝑚0. iv n U = 0.5的失控偵測結果。 .......... 81. 表 53. 不同 b 值下，樣本組合為（6，8，12），𝑝𝑚0 = 0.1的失控偵測結果。 ....... 82 表 54. 不同 b 值下，樣本組合為（6，8，12），𝑝𝑚0 = 0.2的失控偵測結果。 ....... 83 表 55. 不同 b 值下，樣本組合為（6，8，12），𝑝𝑚0 = 0.3的失控偵測結果。 ....... 84 表 56. 不同 b 值下，樣本組合為（6，8，12），𝑝𝑚0 = 0.4的失控偵測結果。 ....... 85 表 57. 不同 b 值下，樣本組合為（6，8，12），𝑝𝑚0 = 0.5的失控偵測結果。 ....... 86 表 58. 不同 b 值下，樣本組合為（8，10，16），𝑝𝑚0 = 0.1的失控偵測結果。 ..... 87 表 59. 不同 b 值下，樣本組合為（8，10，16），𝑝𝑚0 = 0.2的失控偵測結果。 ..... 88 viii.
(11) 表 60. 不同 b 值下，樣本組合為（8，10，16），𝑝𝑚0 = 0.3的失控偵測結果。 ..... 89 表 61. 不同 b 值下，樣本組合為（8，10，16），𝑝𝑚0 = 0.4的失控偵測結果。 ..... 90 表 62. 不同 b 值下，樣本組合為（8，10，16），𝑝𝑚0 = 0.5的失控偵測結果。 ..... 91. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ix. i n U. v.
(12) 圖形列表 圖 1. VSS EWMA-np control chart 示意圖。 .................................................................................. 7 圖 2. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3和𝑝𝑚1 = 0.1時，EN、 ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。 ......................................................................................... 12 圖 3. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.2時，EN、 ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。 ......................................................................................... 12 圖 4. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.3時，EN、. 政 治 大. ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。 ......................................................................................... 12. 立. 圖 5. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.4時，EN、. ‧ 國. 學. ARL、ANOS 對應𝑏的變化圖。 ............................................................................................ 13. ‧. 圖 6. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.5時，EN、 ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。 ......................................................................................... 13. sit. y. Nat. io. al. er. 圖 7. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.6時，EN、. n. ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。 ......................................................................................... 13. Ch. engchi. i n U. v. 圖 8. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.7時，EN、 ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。 ......................................................................................... 14 圖 9. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.8時，EN、 ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。 ......................................................................................... 14 圖 10. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.9時 EN、 ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。 ......................................................................................... 14 圖 11. 建立 VSS EWMA-np 管制圖界限之流程圖。 ........................................................... 16 圖 12. 銀行服務時間數據的密度曲線。 ....................................................................................... 60 x.
(13) 圖 13. VSS EWMA-np control chart 在 t=1，2，3，…，15。 ........................................... 62 圖 14. VSS EWMA-np control chart。 .............................................................................................. 66 圖 15. SDS EWMA-AM chart。 ........................................................................................................... 66. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. xi. i n U. v.
(14) 1. 文献综述 管制圖是一種在工程上監測製程参数是否產生偏差的重要工具，近年來各式 各樣的管制圖方法層出不窮，且技術日益成熟。傳統管制圖 Shewhart chart 是一 種建立在母體分佈為常態分佈的管制圖。但從很多服務業中產生的數據看，數據 的母體分佈往往並不服從常態分佈，因此傳統管制圖應用在這些數據時很難達到 正確診斷出失控的过程。經過研究發現應用無母數統計方法建立的管制圖能有效 的解決這類問題。在文献中利用無母數建立的監測平均數或是方差的管制圖方法. 政 治 大 Bakir (1995)；Altukife (2003)；Altukife (2003)；Bakir (2004)；Bakir (2006)； 立. 有很多，比如：Ferrell (1953)；Bakir and Reynolds (1979)；Amin, Reynolds, and. ‧ 國. 學. Chakraborti and Eryilmaz (2007)；Chakraborti and Graham (2007)；Chakraborti, van der Lann， and Bakir (2001)；Li, Tang, and Ng (2010)；Zou and Tsung (2010)；. ‧. Graham, Chakraborti, and Human (2011)；Graham, Chakraborti, and Human (2011)；. y. Nat. er. io. sit. Graham, Mukherjee, and Chakraborti (2012)；Yang and Cheng (2011)；Yang et al. (2011)；Yang et al. (2012)；Yang (2015)；Yang and Arnold (2014) (2016) 和 Yang. al. n. v i n C h (2012)中提出了一種簡單高效的無母數方法建 and Wu (2017)。其中在 Yang et al. engchi U. 立監測過程平均管制圖，而后在 Yang (2015)中改進這一方法，建立非對稱管制 圖。這種管制圖監測過程平均數是否發生偏移相較之前的方法更加有效快捷。 其中 Yang (2015)的目的是將未知母體分佈轉換成一種已知可監測的二項分 佈，並依二項分佈建立加權移動平均數管制圖，經過改進后的管制圖在偵測微小 平均數偏移方面相較之前的傳統管制圖顯示更好的績效。而後 Yang and Wu (2017) 在 Yang (2015)的理論基礎上考慮雙次抽樣（Double Sampling，簡稱 SDS）的方 法，這種方法證實在偵測平均數發生微小偏移的失控侦测力更具優勢。本文也在 1.
(15) Yang (2015)的理論基礎上考慮變動樣本大小（Variable Sampling Sizes，簡稱 VSS） ， 建立一種變動樣本大小的無母數平均值管制圖（VSS EWMA-np control chart）以 監控平均數，希望能用這種新的管制圖提高監測力度。（本文中變動樣本大小的 無母數平均管制圖全部採用英文，VSS EWMA-np control chart，表示此提出的管 制圖。） 在變動樣本大小管制圖方法的歷史上首先由 Prabhu Runger and Keats (1993) 和 Costa (1994)提出。這種方法相對於傳統的 Shewhart chart 在微小偏移方面能顯. 政 治 大 and Lucas (1990)提出將指數加權移動平均管制圖（EWMA chart）與變動抽樣間 立 著提高管制圖的監測效果，Reynolds and Arnold (2001)，Reynolds (1996)，Saccucci. ‧ 國. 學. 隔（Variable Sampling Intervals ，簡稱 VSI）結合建立管制圖。而後 Zhang and Song (2014)通過將 EWMA chart 應用在變動樣本大小技術，以抽樣樣本的中位數. ‧. 監測製程是否發生變化。. y. Nat. er. io. sit. 本文提出以變動樣本大小的無母數平均管制圖（VSS EWMA-np control chart） 監測平均值。本文共分為五個章節，第一章，文獻綜述。第二章，本文介紹 VSS. al. n. v i n Ch EWMA-np control chart 的理論知識。第三章分成兩小節：第一節在母體分佈未知 engchi U 條件下計算 VSS EWMA-np control chart 的失控績效，並將所得到的結果分別與 Yang and Wu (2017)之雙次抽樣平均數管制圖（SDS EWMA-AM chart）和 Yang and Arnold (2014)之 EWMA-AM chart 的失控績效結果進行比較；第二節，在母 體分佈已知的條件下，假設母體平均數發生偏移，VSS EWMA-np control chart 的 失控偵測績效與 SDS EWMA-AM chart、FSS EWMA-AM chart、Zou and Tsung (2010)之 CEW chart、NLE chart 和 Shewhart chart 等管制圖的失控績效進行比較。 在第四章中，本文應用 Yang and Wu (2017)的真實服務業數據，展示 VSS EWMA2.
(16) np control chart 的應用方法以及與 SDS EWMA-AM 管制圖失控偵測績效做比較。 第五章為總結。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 3. i n U. v.
(17) 2. VSS EWMA-np control chart 之建立 2.1. VSS EWMA-np control chart 的建立方法 本文 VSS EWMA-np control chart 的理論架構乃依照 Yang (2015)的 EWMAAM chart 推廣而得。 Yang (2015)：假設抽樣統計量為𝑋𝑗,𝑡 ，j=1，2，…，𝑛0 ，t=1，2，…，母體分 佈未知，但已知母體平均數為μ0 ，方差為𝜎 2 。 𝑌𝑗,𝑡 = 𝑋𝑗,𝑡 − μ0 ，. 立. 𝑌 >0 政1 ，𝑖𝑓治 大. 𝐼𝑗,𝑡 = {. 𝑗,𝑡. 0，其他. ‧ 國 𝑛. 0 𝑀𝑛0 ,𝑡 = ∑𝑗=1 𝐼𝑗,𝑡 ~𝐵(𝑛0 ，𝑝𝑚0 )，𝑡 = 1，2， … ，. 學. 𝑝𝑚0 = 𝑃(𝑌𝑗,𝑡 > 0)，j = 1，2， … ，𝑛1 ，𝑡 = 1，2， … ，. （1） （2）. ‧. 統計量𝑀𝑛0 ,𝑡 服從二項分佈B(𝑛0 ，𝑝𝑚0 )，其中𝑝𝑚0 取決於𝑋𝑗,𝑡 母體分佈。依照. Nat. sit. y. 統計量 𝑀𝑛0 ,𝑡 統計量可以建立指數加權移動平均管制圖（Exponentially Weighted. n. al. er. io. Moving Average，簡稱 EWMA）。因此統計量𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛0 ,𝑡 為：. Ch. i n U. v. 𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛0 ,𝑡 = λ𝑀𝑛0 ,𝑡 + (1 − 𝜆)𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛0,𝑡−1 ，0 < λ ≤ 1，t = 1，2， … ， （3）. engchi. 在 t=0 時，𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛0,0 = 𝑀𝑛0 ,𝑡 ；所以𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛0,0 = 𝑀𝑛0 ,𝑡 = 𝑛0 𝑝𝑚0 。因此也有： E (𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛0,𝑡 ) = 𝑛0 𝑝𝑚0 ； Var (𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛0 ,𝑡 ) =. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ] 2−𝜆. 𝑛0 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )。. （4）. 上式方法中 n 为固定值，但本文變動樣本數大小的方法是依據管制圖上的描 點位置決定採用大樣本（𝑛2 ）或是小樣本（𝑛1 ） （𝑛1 < 𝑛0 < 𝑛2 ） ，其中𝑛0 為單次 抽樣樣本數。 當樣本大小為𝑛1 時，根據 Yang (2015)理論同理可得統計量𝑀𝑛1 ,𝑡 的分佈： 4.
(18) 𝑀𝑛1 ,𝑡 ~𝐵(𝑛1 ，𝑝𝑚0 ) 依照統計量 𝑀𝑛0 ,𝑡 可以建立指數加權移動平均管制圖，因此統計量𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛1,𝑡 為： 𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛1 ,𝑡 = λ𝑀𝑛1 ,𝑡 + (1 − 𝜆)𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛1,𝑡−1 ，0 < λ ≤ 1，t = 1，2， … ， E (𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛1,𝑡 ) = 𝑛1 𝑝𝑚0 ； Var (𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛1,𝑡 ) =. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ] 2−𝜆. 𝑛1 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )。 （5）. 建立的管制界限包含管制上下線、警告界線和中心線。令UCL1 為管制上線， LCL1 為管制下線，UWL1 為警告上線，LWL1 為警告下線和CL1 為中心線。依據. 政 治 大. 𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛1 ,𝑡 的期望值和方差值可以建立管制界限如下：. 立. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ]. UCL1 = 𝑛1 𝑝𝑚0 + 𝑘1 √. 2−𝜆. 𝑛1 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )；. ‧ 國. 2−𝜆. 學. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ]. UWL1 = 𝑛1 𝑝𝑚0 + 𝑊1 √. 𝑛1 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )；. CL1 = 𝑛1 𝑝𝑚0 ；. 𝑛1 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )。. （6）. io. er. 2−𝜆. y. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ]. LCL1 = 𝑛1 𝑝𝑚0 − 𝑘2 √. 𝑛1 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )；. sit. Nat. 2−𝜆. ‧. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ]. LWL1 = 𝑛1 𝑝𝑚0 − 𝑊2 √. 其中0 < 𝑊1 < 𝑘1 、0 < 𝑊2 < 𝑘2 。. n. al. i n C 當抽樣樣本大小為𝑛2 ，統計量𝑀 h e n𝑛g,𝑡 分佈： chi U. v. 2. 𝑀𝑛2 ,𝑡 ~𝐵(𝑛2 ，𝑝𝑚0 ) 依照統計量 𝑀𝑛2 ,𝑡 統計量可以建立加權移動平均，因此統計量𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛2,𝑡 ： 𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛2 ,𝑡 = λ𝑀𝑛2 ,𝑡 + (1 − 𝜆)𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛2,𝑡−1 ，0 < λ ≤ 1，t = 1，2， … ， E (𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛2,𝑡 ) = 𝑛2 𝑝𝑚0 ； Var (𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛2,𝑡 ) =. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ] 2−𝜆. 𝑛2 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )。. 同理依據𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀2,𝑡 的期望值和方差值可以建立管制界限：. 5. （7）.
(19) 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ]. UCL2 = 𝑛2 𝑝𝑚0 + 𝑘1 √. 2−𝜆. 𝑛2 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )；. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ]. UWL2 = 𝑛2 𝑝𝑚0 + 𝑊1 √. 2−𝜆. 𝑛2 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )；. CL2 = 𝑛2 𝑝𝑚0 ； 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ]. LWL2 = 𝑛2 𝑝𝑚0 − 𝑊2 √. 2−𝜆. 𝜆[1−(1−𝜆)2𝑡 ]. LCL2 = 𝑛2 𝑝𝑚0 − 𝑘2 √. 2−𝜆. 𝑛2 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )；. 𝑛2 𝑝𝑚0 (1 − 𝑝𝑚0 )。. （8）. 其中0 < 𝑊1 < 𝑘1 、0 < 𝑊2 < 𝑘2 。 為了統一管制界限，將統計量𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛 ,𝑡 (i=1，2)標準化建立新的統計量 𝑖. Z𝑀𝑛 ,𝑡 (i=1，2)。即令： 𝑖. 立. Z𝑀𝑛 ,𝑡 = 𝑖. 政 治 大 𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛 ,𝑡 −𝑛𝑖 𝑝𝑚0 𝑖. ，其中 i=1，2. 2𝑡 √𝜆[1−(1−𝜆) ]𝑛𝑖 𝑝𝑚0 (1−𝑝𝑚0 ). （9）. 2−𝜆. E (Z𝑀𝑛 ,𝑡 ) = 0； 𝑖. y. Nat. Var (Z𝑀𝑛 ,𝑡 ) = 1。. n. Ch. UCL = 𝑘1 ；. engchi. er. io. al. sit. 𝑖. 所以建立的Z𝑀𝑛 ,𝑡 (i=1，2)管制圖的管制界限為： 𝑖. ‧. ‧ 國. 學. 因此有：. i n U. v. UWL = 𝑊1 ； CL = 0；. （10）. LWL = −𝑊2 ； LCL = −𝑘2 。 根據管制界限將 VSS EWMA-np control chart 分為三區域，分別是：CR （Central Region，中心區域）、WR（Warning Region，警告區域）、OR(Out-of-control region，失控區域），其中 CR=[−𝑊2 ，𝑊1 ]、WR=(−𝑘2 ， − 𝑊2 ] ⋃[𝑊1 ，𝑘1 )和 OR= (−∞，𝑘2 ) ⋃(𝑘1 ，∞)（見圖 1）。 6.
(20) 使用 VSS EWMA-np control chart 追蹤平均數是否發生偏移時，若樣本大小 為𝑛𝑖 ，計算統計量Z𝑀𝑛 ,𝑡 ，i=1， 2，則有如下之決策規則： 𝑖. ①．當統計量Z𝑀𝑛 ,𝑡 落在 CR 時，下次抽樣的樣本數為小樣本𝑛1 ； 𝑖. ②．當統計量Z𝑀𝑛 ,𝑡 落在 WR 時，下次抽樣的樣本數為大樣本𝑛2 ； 𝑖. ③．當統計量Z𝑀𝑛 ,𝑡 落在 OR 區域時，製程停止。 𝑖. 學 ‧. ‧ 國. 立. 政 治 大. 圖 1. VSS EWMA-np control chart 示意圖。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 7. i n U. v.
(21) 2.2. VSS EWMA-np control chart 的管制界限決定 在本文中，決定管制圖失控偵測力好壞的失控偵測指標有三個，分別是： （1）EN：在整個製程中每次抽樣數的期望值，當製程發生失控時，EN 越小越 好。 （2）𝐴𝑅𝐿：ARL 在整個製程中存在 2 種狀態，一是在𝑝𝑚0 時的𝐴𝑅𝐿0（Average Run Length，平均連串長度） ，即穩定製程下第一次點落在管制圖失控區域的平均 抽樣次數， 𝐴𝑅𝐿0 越大越好；二是在𝑝𝑚1 ≠ 𝑝𝑚0時的𝐴𝑅𝐿1（Average Run Length） ， 指製程失控下平均連串長度，即第一次點落在管制圖失控區域的平均抽樣次數，. 政 治 大. 𝐴𝑅𝐿1 越小越好；（3）ANOS (Average Number of Observations to Signal）：管制圖. 立. 直到偵測出異常訊息所需抽樣的平均觀測值總數，ANOS 的算法為ANOS𝑖 =. ‧ 國. 學. EN×𝐴𝑅𝐿𝑖 ，𝑖 = 0，1，同樣在失控製程下 ANOS 越小越好。. ‧. 參考 Yang and Wu (2017)，本文採用以三組樣本組合（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4， 5，6）、 （6，8，12）和（8，10，16），分別代表小樣本組合、中樣本組合和大樣. sit. y. Nat. io. al. er. 本組合，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5和λ = 0.05分別舉例建立管制界限。 𝑖. n. 𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛 ,𝑡 的期望值與方差可以通過計算獲得，但𝐸𝑊𝑀𝐴𝑀𝑛 ,𝑡 分佈過於複. Ch. engchi. i n U. v. 𝑖. 雜，因此管制界限（𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2 ）很難通過計算獲得，於是本文採用蒙地 卡羅模擬的方法模擬管制界限（𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2 ）。 其中𝑘1 、𝑘2 、𝑊1 和𝑊2 的決定步驟如下（管制界限決定流程圖見圖 11）： ①．計算 FSS EWMA-AM chart 管制界限：在已知𝑛0 、𝑛1 、𝑛2 、𝑝𝑚0 、λ和𝑀𝑛𝑖 ,𝑡 ~ B(𝑛𝑖 ，𝑝𝑚0 )，採用馬爾科夫鏈方法（Lucas and Sacsusi (1990)）使𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370。以 得到 FSS （Fixed Sample Size）EWMA-AM chart 初始管制界限（𝑘3，𝑘4 ） （馬爾 科夫鏈方法詳細步驟見附錄）。 應用馬爾科夫鏈方法，在樣本組合為（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6） 、 （6，8， 8.
(22) 12）、（8，10，16），𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5和λ = 0.05條件下，計算 FSS EWMA-AM chart 管制界限如表 1、表 2、表 3。 當品質變數𝑋𝑗,𝑡 為非常態分佈時，中位數常用以表示分佈位置，所以在本 文方法中平均值等於中位數時𝑝𝑚0 = 0.5。. 表 1. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，FSS EWMAAM chart 管制界限（𝑘3 ，𝑘4 ）的組合。 FSS EWMA-AM chart 管制界限 4. 0. 2.20. 370.29. 5. 0.3. 2.79. 2.26. 370.30. 5. 0.4. 2.70. 2.33. 370.18. 5. 0.5. 2.76. 2.30. 370.38. 5. 0.6. 2.75. 2.32. 370.56. 5. 0.7. 2.83. 2.29. 370.38. 5. 0.8. 2.53. 2.46. 370.46. 5. 0.9. 2.39. 2.54. 370.65. io. er. 2.93. ‧. Nat. 0.2. y. 3. 學. ‧ 國. 立5. 𝑘 𝐴𝑅𝐿 政𝑘 治 大 2.89 2.16 370.38. 𝑝𝑚0 0.1. sit. 𝑛0 5. al. n. v i n C h，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ 表 2. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） e n g c h i U = 0.05時，FSS EWMAAM chart 管制界限（𝑘3 ，𝑘4 ）的組合。 FSS EWMA-AM chart 管制界限 𝑛0 8. 𝑝𝑚0 0.1. 𝑘3 2.86. 𝑘4 2.20. 𝐴𝑅𝐿0 370.60. 8. 0.2. 2.60. 2.37. 370.61. 8. 0.3. 2.88. 2.23. 370.45. 8. 0.4. 2.97. 2.22. 370.49. 8. 0.5. 2.81. 2.28. 370.49. 8. 0.6. 2.75. 2.31. 370.76. 8. 0.7. 2.79. 2.31. 370.34. 8. 0.8. 2.87. 2.29. 370.83. 8. 0.9. 2.82. 2.33. 370.87. 9.
(23) 表 3. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，FSS EWMAAM chart 管制界限（𝑘3 ，𝑘4 ）的組合。 FSS EWMA-AM chart 管制界限 𝑛0 10. 𝑝𝑚0 0.1. 𝑘3 2.90. 𝑘4 2.19. 𝐴𝑅𝐿0 370.41. 10. 0.2. 2.94. 2.20. 370.39. 10. 0.3. 2.82. 2.26. 370.39. 10. 0.4. 2.36. 2.66. 370.47. 10. 0.5. 2.24. 2.93. 370.47. 10. 0.6. 2.29. 2.81. 370.49. 10. 0.7. 2.33. 2.73. 370.62. 10. 0.8. 2.30. 2.84. 370.56. 10. 0.9 2.31 2.95 370.42 政 治 大. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 10. i n U. v.
(24) ②．給管制界限（𝑘3，𝑘4 ）增加限制式：在計算獲得管制界限（𝑘3，𝑘4 ）后，將 （𝑘3，𝑘4 ）乘以係數𝑎（𝑎 ≥ 1）得到管制界限𝑘1、𝑘2；并將（𝑘3，𝑘4 ）乘以係數 𝑏（0< 𝑏 <1）得到管制界限𝑊1 和𝑊2 ： 𝑘1 = 𝑎𝑘3 ； 𝑘2 = 𝑎𝑘4 ； 𝑊1 = 𝑏𝑘3 ； 𝑊2 = 𝑏𝑘4。. （11）. 政 治 大 𝑘 ，𝑊 ，𝑊 ）即為（𝑛 ， 立𝑛 ，𝑛 ）在𝑝 下 VSS EWMA-np control chart 的管制 然後應用蒙地卡羅模擬方法（Monte Carlo method）使𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，這時的（𝑘1 ， 2. 1. 2. 1. 0. 2. 𝑚0. ‧ 國. 學. 界限。這時只需要控制（𝑎，𝑏），即可控制管制界限（𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2）。 ③．選擇合適 b 值：應用步驟②得到的（𝑎，𝑏）組合有無限多組，而這無限多組. ‧. 的（𝑎，𝑏）組合都有其相對應的管制界限，如何选择适当的（𝑎，𝑏）組合是需要. y. Nat. er. io. sit. 探讨的。在通過大量失控偵測結果比較（圖 2~圖 10：在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8， 10，16） 、𝑝𝑚0 = 0.3， 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9下，不同 b 值的失控偵測指標 EN、ARL. al. n. v i n C b 值增大 EN 呈現一種變小的趨勢，隨著 和 ANOS 之變化）后發現：隨著h b 值增 engchi U 大 ARL 和 ANOS 呈現一種先增大后減小的趨勢；當 b 值越接近 1 時 ARL 和. ANOS 遞減的趨勢越大，由此得到結論：為了得到最小的 EN、ARL 和 ANOS， b 值越大越好，因此在本文中 b 值选择为 0.9。 ④．模擬𝑎值：根據步驟③確定 b 值為 0.9 后，再根據樣本組合（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ） 、 𝑝𝑚0 和λ應用蒙地卡羅模擬的方法使𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，決定𝑎，這時的（𝑎，𝑏）組合即 為所需組合。最後再應用式（11）得到管制界限（𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2 ）。. 11.
(25) 本文以（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16）、𝑝𝑚0 = 0.3為例畫出以下結果：. 圖 2. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3和𝑝𝑚1 = 0.1時， EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. al. Ch. engchi. er. io. 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. sit. y. Nat. 圖 3. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.2. i n U. v. 圖 4. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.3 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. 12.
(26) 圖 5. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.4 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. 圖 6. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.5. n. al. er. io. sit. y. Nat. 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. Ch. engchi. i n U. v. 圖 7. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.6 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. 13.
(27) 圖 8. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.7 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 圖 9. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16）、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.8. ‧. 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 10. 在（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） 、λ = 0.05、𝑝𝑚0 = 0.3 和𝑝𝑚1 = 0.9 時，EN、ARL 和 ANOS 對應𝑏的變化圖。. 14.
(28) 根據以上方法當（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6） 、 （6，8，12）和（8，10，16） ， 𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時的管制界限見表 4、表 5 和表 6。. 表 4. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界限 （𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2）的組合。 VSS EWMA-np control 管制界限 𝑏 0.90. 𝑝𝑚0 0.1. 𝑛1 4. 𝑛0 5. 𝑛2 6. 𝑘1 2.893035. 𝑘2 2.162268. 𝑎 1.00105. 𝑊1 2.603731. 𝑊2 1.946041. EN 4.04. 𝐴𝑅𝐿0 370.68. 0.90. 0.2. 4. 5. 6. 2.943800. 2.210362. 1.00471. 2.649420. 1.989326. 4.04. 371.07. 0.90. 0.3. 4. 5. 6. 2.820718. 2.056394. 4.03. 370.44. 0.90. 0.4. 4. 5. 6. 2.716740. 2.110001. 4.04. 370.73. 0.90. 0.5. 5. 6. 2.794666. 2.095999. 4.03. 370.06. 立. 學. ‧ 國. 4. 1.01101 2.538646 治 政 2.344446 1.00620 大 2.445066 2.328888 1.01256 2.515199 2.284883. 表 5. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界限. ‧. 𝑘1 2.863260. 𝑘2 2.202508. 𝑎 1.00114. 0.90. 0.2. 6. 8. 12. 2.405858. 1.01513. 0.90. 0.3. 6. 8. 12. 0.4. 6. 8. 12. C h2.264565 1.01550 e n g1.00890 chi 2.996433 2.239758. 0.90 0.90. 0.5. 6. 8. 12. 2.852712. al. 2.639338. 2.924640. 2.314656. 15. 1.01520. sit. 𝑛0 8. 𝑊1 2.576934. 𝑊2 1.982257. EN 6.10. 𝐴𝑅𝐿0 370.13. 2.375404. 2.165272. 6.09. 370.28. 2.038109. 6.09. 370.89. er. 𝑛2 12. n. 𝑛1 6. io. 𝑝𝑚0 0.1. Nat. 𝑏 0.90. VSS EWMA-np control 管制界限. y. （𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2）的組合。. iv n U2.632176. 2.69679 2.015782 6.09 370.66 2.567441 2.083190 6.08 370.58.
(29) 表 6. （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，λ = 0.05時，管制界限 （𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2）的組合。 VSS EWMA-np control 管制界限 𝑏 0.90. 𝑝𝑚0 0.1000. 𝑛1 8. 𝑛0 10. 𝑛2 16. 𝑘1 2.914007. 𝑘2 2.200578. 𝑎 1.00483. 𝑊1 2.622606. 𝑊2 1.980520. EN 8.14. 𝐴𝑅𝐿0 370.99. 0.90. 0.2000. 8. 10. 16. 2.972340. 2.224200. 1.01100. 2.675106. 2.001780. 8.11. 370.77. 0.90. 0.3000. 8. 10. 16. 2.845380. 2.280340. 1.00900. 2.560842. 2.052306. 8.13. 370.21. 0.90. 0.4000. 8. 10. 16. 2.393276. 2.697506. 1.01410. 2.153948. 2.427755. 8.11. 370.53. 0.90. 0.5000. 8. 10. 16. 0.90. 0.3679. 8. 10. 16. 0.90. 0.3916. 8. 10. 16. 2.273376 2.839200 3.014550. 2.973657 2.301780 2.253300. 1.01490 1.01400 1.01500. 2.046038 2.555280 2.713095. 2.676291 8.13 370.15 2.071602 8.13 370.66 2.027970 8.12 371.81. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 已知𝑛0、𝑛1 、𝑛2 、𝑝𝑚0 、λ、𝑀𝑛𝑖 ,𝑡 分佈（i = 1，2）. y. ‧. Nat. er. io. 馬爾科夫鏈計算方法。. n. al. sit. 利用𝑀𝑛0,𝑡 ~B (𝑛0 ，𝑝𝑚0 ). Ch. engchi. i n U. v. 得到 FSS EWMA-AM chart 管制界限（𝑘3 ，𝑘4） 選擇一個較大的係數𝑏值，如 0.9。然後使用 蒙地卡羅模擬方法使𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370，尋找𝑎值。. 得到係數組合（𝑎，𝑏） 根據式 11 將（𝑎，𝑏）與管制界限（𝑘3 ，𝑘4）相乘。. 確定（𝑘1 ，𝑘2 ，𝑊1 ，𝑊2 ）. 圖 11.建立 VSS EWMA-np 管制圖界限之流程圖。 16.
(30) 2.3. VSS EWMA-np control chart 之失控偵測力 在本文中評價管制圖的失控偵測力的指標為前文所提的 EN、ARL 和 ANOS。 在已知表 4、表 5 和表 6 的管制界限（𝑘1 ，𝑘2，𝑊1 ，𝑊2）后，當𝑝𝑚0 發生偏 移變成𝑝𝑚1 （ 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9），平均抽樣樣本期望數（EN）、失控時的𝐴𝑅𝐿1 和平均觀測值總數（ANOS）都將發生改變。我們依據上述蒙地卡羅模擬方法計 算在𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5下的 EN、𝐴𝑅𝐿1 和 ANOS，結果列示於表 7 ~11。 由表 7~11 發現，當樣本組合、𝑝𝑚0 和λ固定時，管制圖失控指標 ARL 和 ANOS. 政 治 大. 都隨著𝑝𝑚1 先增大后減小，且當𝑝𝑚1 越接近𝑝𝑚0 時 ARL 和 ANOS 值越大。. 立. ‧ 國. 學. 表 7. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.1和不同（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）下的 EN、. 𝑝𝑚1. n. al. 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. 0.1. EN 4.04. ARL 370.68. ANOS 1498.32. EN 6.10. 0.2. 4.18. 16.77. 70.10. 6.32. 0.3. 4.31. 6.00. 25.86. 6.35. 4.06. 0.4. 4.40. 3.42. 15.05. 6.31. 0.5. 4.42. 2.33. 10.30. 0.6. 4.37. 1.74. 0.7. 4.28. 0.8 0.9. iENv n 8.14 U. ANOS 2258.71. 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. ARL 370.99. ANOS 3019.86. 8.50. 10.00. 85.00. 25.78. 8.52. 3.57. 30.42. 2.28. 14.39. 8.36. 2.07. 17.32. 6.18. 1.56. 9.64. 8.15. 1.47. 11.98. 7.60. 6.06. 1.23. 7.45. 8.03. 1.19. 9.56. 1.41. 6.03. 6.01. 1.08. 6.49. 8.00. 1.06. 8.48. 4.16. 1.19. 4.95. 6.00. 1.02. 6.12. 8.00. 1.01. 8.08. 4.05. 1.05. 4.25. 6.00. 1.00. 6.00. 8.00. 1.00. 8.00. Ch. ARL 370.12. sit. io. 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. er. Nat. VSS EWMA-np control chart 失控偵測力. y. ‧. 𝐴𝑅𝐿1 和 ANOS。. eng 11.95 c h i75.52. 17.
(31) 表 8. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.2和不同樣本組合下的 EN、𝐴𝑅𝐿1 和 ANOS。 VSS EWMA-np control chart 失控偵測力 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 𝑝𝑚1. 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. ARL 19.17. ANOS 80.32. EN 6.48. ARL 15.80. ANOS 102.38. EN 8.53. ARL 10.66. ANOS 90.93. 0.2. 4.04. 371.07. 1498.35. 6.09. 370.28. 2253.41. 8.11. 370.77. 3007.26. 0.3. 4.11. 28.93. 118.90. 6.32. 16.36. 103.40. 8.43. 16.26. 137.07. 0.4. 4.17. 9.14. 38.11. 6.39. 5.41. 34.57. 8.37. 4.94. 41.35. 0.5. 4.21. 4.78. 20.12. 6.37. 2.90. 18.47. 8.16. 2.47. 20.16. 0.6. 4.27. 3.11. 13.28. 8.03. 1.59. 12.77. 0.7. 4.34. 2.31. 8.00. 1.22. 9.76. 0.8. 4.36. 1.79. 立7.80. 治 11.71 6.26 1.87 政 大 6.11 1.36 8.31 6.02. 1.11. 6.68. 8.00. 1.06. 8.48. 0.9. 4.28. 1.38. 5.91. 6.00. 1.02. 6.12. 8.00. 1.00. 8.00. ‧. ‧ 國. 10.03. 學. 0.1. EN 4.19. 表 9. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.3和不同樣本組合下的 EN、𝐴𝑅𝐿1. io. sit. y. Nat. 和 ANOS。. n. al. er. VSS EWMA-np control chart 失控偵測力. 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 𝑝𝑚1. Ch. 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. engchi. i n U. v. 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. 0.1. EN 4.25. ARL 8.32. ANOS 35.36. EN 6.27. ARL 4.76. ANOS 29.85. EN 8.95. ARL 4.36. ANOS 39.02. 0.2. 4.15. 24.64. 102.26. 6.35. 16.37. 103.95. 8.67. 13.54. 117.39. 0.3. 4.03. 370.44. 1493.82. 6.09. 370.89. 2257.28. 8.13. 370.21. 3010.84. 0.4. 4.10. 34.19. 140.18. 6.38. 26.83. 171.18. 8.50. 20.00. 170.00. 0.5. 4.15. 10.69. 44.36. 6.64. 8.47. 56.24. 8.79. 6.36. 55.90. 0.6. 4.18. 5.47. 22.86. 6.90. 4.50. 31.05. 9.04. 3.37. 30.46. 0.7. 4.19. 3.40. 14.25. 7.17. 2.91. 20.86. 9.28. 2.20. 20.42. 0.8. 4.17. 2.29. 9.55. 7.30. 2.04. 14.89. 9.20. 1.57. 14.44. 0.9. 4.08. 1.52. 6.20. 7.08. 1.50. 10.62. 8.60. 1.19. 10.23. 18.
(32) 表 10. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.4和不同樣本組合下的 EN、𝐴𝑅𝐿1 和 ANOS。 VSS EWMA-np control chart 失控偵測力 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 𝑝𝑚1. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8. ARL 5.78. ANOS 25.66. EN 6.45. ARL 3.10. ANOS 20.00. EN 8.08. ARL 2.84. ANOS 22.95. 4.28 4.14 4.04 4.12 4.18 4.25 4.37 4.58. 9.88 28.20 370.73 36.72 11.43 5.73 3.59 2.60. 42.29 116.75 1496.23 151.29 47.78 24.35 15.69 11.91. 6.47 6.38 6.09 6.34 6.43 6.36 6.19 6.03. 5.88 18.05 370.66 32.83 9.55 4.55 2.57 1.60. 38.04 115.16 2256.29 208.14 61.41 28.94 15.91 9.65. 8.47. 6.15. 52.09. 8.52. 20.81. 177.30. 8.11. 370.53. 3006.56. 8.56 政 治 大 8.77 8.64. 16.01. 137.05. 5.40. 47.36. 2.83. 24.45. 8.29. 1.73. 14.34. 8.03. 1.20. 9.64. 立. 學. 0.9. 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. EN 4.44. ‧. ‧ 國. 0.1. 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. 表 11. 在 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05，𝑝𝑚0 = 0.5和不同樣本組合下的 EN、𝐴𝑅𝐿1. Nat. er. io. sit. y. 和 ANOS。. VSS EWMA-np control chart 失控偵測力. n. al. 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 𝑝𝑚1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9. Ch. e n𝑛𝑛g==c126h i 1. i n U. v. 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. 2. EN 4.25. ARL 3.06. ANOS 13.01. EN 6.23. ARL 1.77. ANOS 11.03. EN 9.71. ARL 2.39. ANOS 23.21. 4.25 4.20 4.12 4.03 4.10 4.14 4.11 4.03. 4.89 9.23 27.09 370.06 42.02 12.67 6.10 3.32. 20.78 38.77 111.61 1491.73 172.28 52.45 25.07 13.38. 6.31. 3.03. 19.12. 6.35. 6.08. 38.61. 6.31. 18.79. 118.57. 6.08. 370.58. 2253.35. 6.34. 30.76. 195.02. 6.42. 9.18. 58.94. 6.33. 4.43. 28.04. 6.23. 1.77. 11.03. 9.03 8.82 8.56 8.13 8.61 8.92 9.28 9.52. 3.97 8.07 26.67 370.15 14.87 5.00 2.60 1.66. 35.85 71.18 228.30 3007.64 128.03 44.60 24.13 15.80. 19.
(33) 3. 和文獻上無母數平均值管制圖的失控偵測力比較 在這一章節中本文將對 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力（正文列 舉 VSS EWMA-np control chart 失控偵測力結果都是在 b=0.9 條件下，而其他 b 值下的管制界限和失控偵測力完整結果見附錄）與文獻上管制圖的失控偵測力進 行比較，以了解 VSS EWMA-np control chart 是否具有優勢！ 本章首先比較當品質變數𝑋𝑗,𝑡 為未知分佈時，VSS EWMA-np control chart 與 SDS EWMA-AM chart (Yang and Wu (2017) )和 FSS EWMA-AM control chart (Yang. 政 治 大 與 SDS EWMA-AM chart、FSS 立 EWMA-AM chart、Shewhart chart、NLE 和 CEW (2015))的失控偵測力；然後當𝑋𝑗,𝑡 為已知分佈時，比較 VSS EWMA- np control chart. ‧. ‧ 國. 學. charts (Zou and Tsung (2010))等管制圖的失控偵測力。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 20. i n U. v.
(34) 3.1. 品質變數𝑿𝒋,𝒕 為未知分佈時失控偵測力的比較 在品質變數𝑋𝑗,𝑡 為未知分佈時，本節將會比較 VSS EWMA-np control chart 與 SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM chart 的失控偵測績效。考慮在製程穩 定下的比例𝑝𝑚0 = 0.1(0.1)0.5，製程失控下的比例𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6）、 （6，8，12）、 （8，10，16）和𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370.4下比較 VSS EWMA-np control chart、SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM chart 的 失控偵測力，結果如表 12~26 所列。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 21. i n U. v.
(35) 表 12. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.1和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 0.1. EN 4.04. 𝐴𝑅𝐿1 370.68. ANOS 1498.32. EN 4.76. 𝐴𝑅𝐿1 371.89. ANOS 1770.12. 0.2. 4.18. 16.77. 70.10. 5.81. 11.56. 67.16. 0.3. 4.31. 6.00. 25.86. 6.39. 3.99. 25.50. 0.4. 4.40. 3.42. 15.05. 6.66. 2.25. 14.99. 0.5. 4.42. 2.33. 10.30. 6.59. 1.58. 10.41. 0.6. 4.37. 1.74. 7.60. 6.26. 1.25. 7.83. 0.7. 4.28. 1.41. 6.16. 0.8. 4.16. 0.9. 4.05. 治 1.03 1.19政 4.95 4.97 大 1.05 4.25 4.30 1.00. 𝑝𝑚1. 立. 6.03. 5.65. 1.09. 5.12 4.30. ‧ 國. 學. 表 13. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.2和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. ‧. n. v. 0.1 0.2. 4.04. 0.3. 4.11. 28.93. 118.90. 5.69. 17.21. 97.93. 0.4. 4.17. 9.14. 38.11. 6.21. 5.61. 34.84. 0.5. 4.21. 4.78. 20.12. 6.52. 2.96. 19.3. 0.6. 4.27. 3.11. 13.28. 6.69. 1.97. 13.18. 0.7. 4.34. 2.31. 10.03. 6.75. 1.46. 9.86. 0.8. 4.36. 1.79. 7.80. 6.55. 1.19. 7.79. 0.9. 4.28. 1.38. 5.91. 5.76. 1.05. 6.05. 371.07. EN 6.36. i n U. EN 4.19. 1. ANOS 80.32. sit. io. a l𝐴𝑅𝐿 19.17 Ch. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. er. Nat. 𝑝𝑚1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. y. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. e1498.35 hi n g c 4.73. 22. 𝐴𝑅𝐿1 15.92. ANOS 101.25. 368.31. 1742.11.
(36) 表 14. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.3和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 𝑝𝑚1. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 0.1. EN 4.25. 𝐴𝑅𝐿1 8.32. ANOS 35.36. EN 6.90. 𝐴𝑅𝐿1 6.03. ANOS 41.61. 0.2. 4.15. 24.64. 102.26. 6.00. 20.50. 123.00. 0.3. 4.03. 370.44. 1493.82. 4.71. 373.44. 1758.90. 0.4. 4.10. 34.19. 140.18. 5.78. 20.55. 118.78. 0.5. 4.15. 10.69. 44.36. 6.54. 6.24. 40.81. 0.6. 4.18. 5.47. 22.86. 7.02. 3.07. 21.55. 0.7. 4.19. 3.40. 13.17. 0.8. 4.17. 0.9. 4.08. 治 1.29 2.29 政9.55 6.94 大 1.52 6.20 5.88 1.06. 立. 14.25. 7.16. 1.84. 8.95 6.23. ‧ 國. 學. 表 15. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.4和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. ‧. sit. io. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. er. Nat. 𝑝𝑚1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. y. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. 0.3. 4.14. 28.20. 116.75. 6.09. 21.98. 133.86. 0.4. 4.04. 370.73. 1496.23. 4.78. 369.50. 1766.21. 0.5. 4.12. 36.72. 151.29. 5.85. 22.81. 133.44. 0.6. 4.18. 11.43. 47.78. 6.57. 6.96. 45.73. 0.7. 4.25. 5.73. 24.35. 7.19. 3.42. 24.59. 0.8. 4.37. 3.59. 15.69. 7.93. 2.09. 16.57. 0.9. 4.58. 2.60. 11.91. 8.85. 1.43. 12.66. n. 0.2. a l𝐴𝑅𝐿 ANOS EN 𝐴𝑅𝐿 i v ANOS 5.78 C h 25.66 8.40 U2.67n 22.43 n g c7.10h i 6.39 45.37 4.28 9.88 e42.29. 0.1. EN 4.44. 1. 1. 23.
(37) 表 16. λ = 0.05，（𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（4，5，6），𝑝𝑚0 = 0.5和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 𝑝𝑚1. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8. EN 4.25. 𝐴𝑅𝐿1 3.06. ANOS 13.01. EN 8.67. 𝐴𝑅𝐿1 1.66. ANOS 14.39. 4.25 4.20 4.12 4.03 4.10 4.14 4.11 4.03. 4.89 9.23 27.09 370.06 42.02 12.67 6.10 3.32. 20.78 38.77 111.61 1491.73 172.28 52.45 25.07 13.38. 7.56. 3.14. 23.74. 6.74. 6.88. 46.37. 5.94. 23.02. 136.74. 4.79. 373.77. 1790.36. 5.91. 22.97. 135.75. 6.78 6.76 政 治 7.58 3.10 大 8.67 1.66. 45.83. 立. 23.50 14.39. 學. ‧ 國. 0.9. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 4 𝑛2 = 6. 表 17. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.1和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. ‧. sit. io. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. er. Nat. 𝑝𝑚1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. y. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. 0.3. 6.35. 4.06. 25.78. 11.29. 2.38. 26.87. 0.4. 6.31. 2.28. 14.39. 10.43. 1.44. 15.02. 0.5. 6.18. 1.56. 9.64. 9.08. 1.15. 10.44. 0.6. 6.06. 1.23. 7.45. 7.82. 1.05. 8.21. 0.7. 6.01. 1.08. 6.49. 6.73. 1.01. 6.80. 0.8. 6.00. 1.02. 6.12. 6.22. 1.00. 6.22. 0.9. 6.00. 1.00. 6.00. 6.02. 1.00. 6.02. n. 0.2. a l𝐴𝑅𝐿 ANOS EN 𝐴𝑅𝐿 i v n 370.12 C h 2258.71 7.74 U371.24 h i 7.03 n g c10.73 6.32 11.95 e 75.52. 0.1. EN 6.10. 1. 1. 24. ANOS 2873.34 75.43.
(38) 表 18. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.2和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. 𝑝𝑚1. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. 0.1. EN 6.48. 𝐴𝑅𝐿1 15.80. ANOS 102.38. EN 11.49. 𝐴𝑅𝐿1 10.26. ANOS 117.89. 0.2. 6.09. 370.28. 2253.41. 7.76. 367.3. 2850.25. 0.3. 6.32. 16.36. 103.40. 10.70. 11.34. 121.34. 0.4. 6.39. 5.41. 34.57. 12.40. 3.61. 44.76. 0.5. 6.37. 2.90. 18.47. 13.53. 1.93. 26.11. 0.6. 6.26. 1.87. 11.71. 13.48. 1.32. 17.79. 0.7. 6.11. 1.36. 13.40. 0.8. 6.02. 0.9. 6.00. 治9.88 1.02 1.11政 6.68 大 1.02 6.12 7.31 1.00. 立. 8.31. 12.29. 1.09. 10.08 7.31. ‧ 國. 學. 表 19. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.3和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. ‧. sit. io. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. er. Nat. 𝑝𝑚1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. y. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. 0.3. 6.09. 370.89. 2257.28. 7.83. 368.89. 2888.41. 0.4. 6.38. 26.83. 171.18. 10.40. 13.82. 143.73. 0.5. 6.64. 8.47. 56.24. 12.00. 4.29. 51.48. 0.6. 6.90. 4.50. 31.05. 13.46. 2.22. 29.88. 0.7. 7.17. 2.91. 20.86. 14.48. 1.43. 20.71. 0.8. 7.30. 2.04. 14.89. 13.94. 1.12. 15.61. 0.9. 7.08. 1.50. 10.62. 11.55. 1.02. 11.78. n. ANOS 47.40. 0.2. a 𝐴𝑅𝐿 ANOS EN 𝐴𝑅𝐿 v l 4.76 ni C h 29.85 14.63 U3.24 h i 12.4 n g c11.38 6.35 16.37 e103.95. 0.1. EN 6.27. 1. 1. 25. 141.11.
(39) 表 20. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.4和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. 𝑝𝑚1. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8. EN 6.45. 𝐴𝑅𝐿1 3.10. ANOS 20.00. EN 14.9. 𝐴𝑅𝐿1 1.76. ANOS 26.22. 6.47 6.38 6.09 6.34 6.43 6.36 6.19 6.03. 5.88 18.05 370.66 32.83 9.55 4.55 2.57 1.60. 38.04 115.16 2256.29 208.14 61.41 28.94 15.91 9.65. 12.63. 3.96. 50.015. 10.62. 14.36. 152.50. 7.76. 368.81. 2861.97. 10.12. 15.23. 154.13. 11.34. 4.65. 52.73. 11.99 2.34 政 治12.14 大1.48 10.53 1.12. 28.06. 立. 17.97 11.79. 學. ‧ 國. 0.9. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. 表 21. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（6，8，12） ，𝑝𝑚0 = 0.5和𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. ‧. sit. io. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. er. Nat. 𝑝𝑚1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 6 𝑛2 = 12. y. VSS EWMA-np control chart 和 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. 0.3. 6.35. 6.08. 38.61. 12.93. 4.46. 57.67. 0.4. 6.31. 18.79. 118.57. 10.78. 15.07. 162.46. 0.5. 6.08. 370.58. 2253.35. 7.83. 371.62. 2909.79. 0.6. 6.34. 30.76. 195.02. 10.81. 15.13. 163.56. 0.7. 6.42. 9.18. 58.94. 12.84. 4.48. 57.52. 0.8. 6.33. 4.43. 28.04. 14.98. 2.06. 30.86. 0.9. 6.23. 1.77. 11.03. 17.11. 1.19. 20.36. n. 0.2. a 𝐴𝑅𝐿 ANOS EN 𝐴𝑅𝐿 v l 1.77 ni C h 11.03 17.11 U1.19 h i 2.07 n g c14.93 6.31 3.03 e19.12. 0.1. EN 6.23. 1. 1. 26. ANOS 20.36 30.91.
(40) 表 22. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.1和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA- np control chart、SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. FSS EWMA-AM chart 𝑛0 = 10. 0.1. EN 8.14. 𝐴𝑅𝐿1 370.99. ANOS 3019.86. EN 9.83. 𝐴𝑅𝐿1 370.65. ANOS 3643.49. 𝐴𝑅𝐿1 370.30. ANOS 3703.00. 0.2. 8.50. 10.00. 85.00. 13.51. 6.35. 85.79. 10.40. 104.00. 0.3. 8.52. 3.57. 30.42. 14.52. 2.30. 33.40. 4.90. 49.00. 0.4. 8.36. 2.07. 3.30. 33.00. 0.5. 8.15. 2.50. 25.00. 0.6. 8.03. 2.10. 21.00. 0.7. 8.00. 13.62 1.45 19.75 治 政 1.47 11.98 11.93 1.16 13.84 大 1.19 9.56 9.97 1.05 10.47 立 8.48 8.72 1.01 8.81 1.06. 1.90. 19.00. 0.8. 8.00. 1.01. 8.08. 8.15. 1.00. 8.15. 1.70. 17.00. 0.9. 8.00. 1.00. 8.00. 8.00. 1.00. 8.00. 1.30. 13.00. 17.32. 學. ‧. ‧ 國. 𝑝𝑚1. 表 23. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.2和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. y. Nat. n. al. Ch. 0.1. EN 8.53. 𝐴𝑅𝐿1 10.66. 0.2. 8.11. 0.3. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. er. io 𝑝𝑚1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. sit. VSS EWMA- np control chart 與 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. eANOS hi n g cEN. i n U. v. 90.93. 14.02. 𝐴𝑅𝐿1 8.40. 370.77. 3007.26. 9.76. 374.84. 3658.44. 8.43. 16.26. 137.07. 12.84. 9.09. 116.74. 0.4. 8.37. 4.94. 41.35. 13.84. 2.97. 41.10. 0.5. 8.16. 2.47. 20.16. 13.60. 1.66. 22.58. 0.6. 8.03. 1.59. 12.77. 12.15. 1.22. 14.82. 0.7. 8.00. 1.22. 9.76. 10.26. 1.06. 10.88. 0.8. 8.00. 1.06. 8.48. 8.65. 1.01. 8.74. 0.9. 8.00. 1.00. 8.00. 8.08. 1.00. 8.08. 27. ANOS 117.77.
(41) 表 24. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.3和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA- np control chart、SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。 𝑝𝑚1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. FSS EWMA-AM chart 𝑛0 = 10. 0.1. EN 8.95. 𝐴𝑅𝐿1 4.36. ANOS 39.02. EN 18.16. 𝐴𝑅𝐿1 2.62. ANOS 47.58. 𝐴𝑅𝐿1 7.30. ANOS 73.00. 0.2. 8.67. 13.54. 117.39. 14.24. 10.04. 142.97. 17.10. 171.00. 0.3. 8.13. 370.21. 3010.84. 9.95. 370.1. 3682.50. 373.70. 3737.00. 0.4. 8.50. 20.00. 170.00. 17.00. 170.00. 0.5. 8.79. 6.36. 7.40. 74.00. 0.6. 9.04. 3.37. 13.57 10.92 148.18 治 政 55.90 16.06 3.29 52.84 大 30.46 17.63 1.73 30.50. 4.80. 48.00. 0.7. 1.23. 21.52. 3.70. 37.00. 0.8. 9.20. 1.57. 14.44. 15.17. 1.06. 16.08. 2.90. 29.00. 0.9. 8.60. 1.19. 10.23. 10.88. 1.00. 10.88. 2.30. 23.00. ‧. ‧ 國. 17.49. 學. 9.28. 立20.42 2.20. 表 25. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.4和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9，. y. Nat. n. al. Ch. 0.1. EN 8.08. 𝐴𝑅𝐿1 2.84. 0.2. 8.47. 0.3. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. er. io 𝑝𝑚1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. sit. VSS EWMA- np control chart 與 SDS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. eANOS n g c hENi. i n U. v. 22.95. 17.79. 𝐴𝑅𝐿1 1.71. 6.15. 52.09. 15.65. 3.37. 52.74. 8.52. 20.81. 177.30. 13.44. 11.80. 158.60. 0.4. 8.11. 370.53. 3006.56. 9.87. 371.41. 3665.82. 0.5. 8.56. 16.01. 137.05. 13.55. 12.33. 167.07. 0.6. 8.77. 5.40. 47.36. 16.07. 3.71. 59.62. 0.7. 8.64. 2.83. 24.45. 18.10. 1.85. 33.49. 0.8. 8.29. 1.73. 14.34. 19.00. 1.25. 23.75. 0.9. 8.03. 1.20. 9.64. 16.51. 1.04. 17.17. 28. ANOS 30.42.
(42) 表 26. λ = 0.05， （𝑛1 ，𝑛0 ，𝑛2 ）=（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.5和 𝑝𝑚1 = 0.1(0.1)0.9， VSS EWMA- np control chart、SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM chart 的失控偵測力比較。. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9. ANOS 18.17. 𝐴𝑅𝐿1 3.90. ANOS 39.00. 1.86 30.23 9.03 3.97 35.85 16.25 3.77 56.29 8.82 8.07 71.18 14.93 8.56 26.67 228.30 13.15 12.41 163.19 8.13 370.15 3007.64 9.81 371.36 3643.04 8.61 14.87 128.03 13.09 12.56 164.41 3.73 55.65 8.92 5.00 44.60 14.92 1.84 29.77 9.28 2.60 24.13 16.18 1.21 18.17 9.52 1.66 15.80 15.02. 5.20. 52.00. 8.20. 82.00. 19.40. 194.00. 369.50. 3695.00. 18.80. 188.00. 8.10. 81.00. 5.20. 52.00. 3.90. 39.00. 立. EN 15.02. 𝐴𝑅𝐿1 1.21. 政 治 大. 學. 0.8. ANOS 23.21. ‧. Nat. y. 0.3. 𝐴𝑅𝐿1 2.39. FSS EWMA-AM chart 𝑛0 = 10. io. sit. 0.2. EN 9.71. SDS EWMA-AM chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. n. al. er. 0.1. VSS EWMA-np chart 𝑛1 = 8 𝑛2 = 16. ‧ 國. 𝑝𝑚1. Ch. engchi. 29. i n U. v.
(43) 在品質變數為未知分佈時，由表 12~26 的失控偵測力指標對比結果可以發現： （1）EN：VSS EWMA-np control chart 的 EN 都比 SDS EWMA-AM chart 和 FSS EWMA-AM chart 的 EN 小，表明 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力比較 好。 （2）ARL：VSS EWMA-np control chart 的 ARL 比 SDS EWMA-AM chart 的大， 但比 FSS EWMA-AM chart 的小，表明 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測 力比 SDS EWMA-AM chart 差，但比 FSS EWMA-AM chart 好。. 政 治 大 AM chart 的小，表明這時立 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力比較好（樣. （3）ANOS：在𝑝𝑚1 < 𝑝𝑚0時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 比 FSS EWMA-. ‧ 國. 學. 本組合為（8，10，16） ，𝑝𝑚0 = 0.5，時，情況稍有不同）；在𝑝𝑚0 發生小偏移，即 𝑝𝑚0 < 𝑝𝑚1 ≤ 𝑝𝑚0 + 𝑘（其中當𝑛0 = 5時，𝑘 = 0.4左右；當𝑛0 = 8時，𝑘 = 0.3左. ‧. 右；當𝑛0 = 10時，𝑘 = 0.2左右）時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 比. y. Nat. er. io. sit. SDS EWMA-AM chart 的大，表明此時 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測 力比較差；在𝑝𝑚1 > 𝑝𝑚0 + 𝑘時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 比 SDS. al. n. v i n C h VSS EWMA-npUcontrol chart 的失控偵測力稍 EWMA-AM chart 的稍小，表明此時 engchi. 好。而無論樣本組合和𝑝𝑚1 大小如何，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 都比 FSS EWMA-AM chart 的小，表明 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力比較 好。. 30.
(44) 3.2. 品質變數𝑿𝒋,𝒕 為已知分佈時失控偵測力比較 在本小節中將會展示當品質變數𝑋𝑗,𝑡 為已知分佈時，VSS EWMA-np control chart 與其文獻的平均值管制圖進行的偵測力比較狀況。這些已知分佈包括：常 態分佈、指數分佈、t 分佈、均勻分佈、雙指數分佈和卡方分佈。在𝑋𝑗,𝑡 為已知分 佈時，仍將統計量轉換成二項分佈，方法與前文的式（1） 、 （2）相同。但假如這 些母體分佈的參數等發生偏移時，𝑝𝑚1 也會發生不同程度的偏移。因此假設平均 值偏移程度為𝛿1 ，對應𝑝𝑚1 狀況如下表 27（見 Yang and Wu (2017)）。. 立. 政 治 大. 學. t(3). t(4)+. √3 + 𝛿1. √2𝛿1. 0.5000. 0.5000. 0.5000. 0.5000. 0.5000. 0.5633. 0.5529. 0.5433. 0.5410. Unif(−√3，. 15 √ 𝛿1 14. Nat. 0.5000. 0.10. 0.5405. 0.5654. 0.20. 0.5790. 0.6223. 0.25. 0.5983. 0.30. 0.6175. 0.40. 0.6554. 0.50. √3) +𝛿1. er. /√2) 0.00. ‧. DE(𝛿1 ，1. √5 𝛿 2 1. t(30)+. 𝑥32 − 3 √6 + 𝛿1. Exp(1)+ 𝛿1. y. DE(√2𝛿1 ，1). sit. N（𝛿1 ，1）. 𝑝𝑚1 t(10)+. io. 𝛿1. ‧ 國. 表 27. 在不同分佈下發生偏移𝛿1 時，對應𝑝𝑚1 發生偏移的程度表。. n. 0.6043 0.5862 0.5810 v a 0.6241 i l 0.6483 0.6526 n C h0.6291 0.6073 0.6012 U e n g0.6279 0.6737 0.6802 0.6530 c h i 0.6213. 0.5000. 0.3916. 0.3679. 0.5295. 0.4311. 0.4059. 0.5589. 0.4733. 0.4489. 0.5719. 0.4967. 0.4725. 0.5865. 0.5193. 0.4971. 0.7165. 0.7311. 0.6991. 0.6680. 0.6590. 0.6154. 0.5684. 0.5484. 0.6913. 0.7531. 0.7742. 0.7411. 0.7052. 0.6957. 0.6441. 0.6201. 0.6070. 0.60. 0.7262. 0.7864. 0.8123. 0.7775. 0.7415. 0.7320. 0.6743. 0.6757. 0.6704. 0.75. 0.7736. 0.8268. 0.8574. 0.8259. 0.7998. 0.7781. 0.7171. 0.7620. 0.7788. 1.00. 0.8409. 0.8782. 0.9093. 0.8849. 0.8548. 0.8452. 0.7891. 0.9704. 1.0000. 1.25. 0.8940. 0.9147. 0.9407. 0.9237. 0.9036. 0.8970. 0.8610. 1.000. 1.000. 1.50. 0.9335. 0.9403. 0.9598. 0.9491. 0.9378. 0.9351. 0.9327. 1.000. 1.000. 2.00. 0.9771. 0.9704. 0.9799. 0.9764. 0.9754. 0.9765. 1.000. 1.000. 1.000. 2.50. 0.9940. 0.9856. 0.9885. 0.9880. 0.9906. 0.9926. 1.000. 1.000. 1.000. 3.00. 0.9987. 0.9929. 0.9931. 0.9933. 0.9964. 0.9979. 1.000. 1.000. 1.000. 31.
(45) 在進行比較時，文獻的平均值管制圖中存在兩個重要的監測統計量 ATS （The average time to signal）和 AATS（adjusted ATS），這兩種指標用於抽樣時間 存在間隔的管制圖。在時間間隔是固定時，ATS 等同於 ARL，且 AATS 與 ATS 的關係如下（Daudin (1992)）： AATS = ATS − 0.5; ANOS = (AATS + 0.5)×EN。. （12）. 在不同的管制圖中考慮兩種不同𝐴𝑅𝐿0 ，分別為 370 和 500。 （1）.假設在𝑋𝑗,𝑡 服從常態分佈時，管制圖存在偏移量𝛿1 =. 𝜇−𝜇0. 政 治 大. 𝜎. 。. 表 28 中在λ = 0.05，𝑛0 = 10，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370和偏移量0 ≤ 𝛿1 ≤ 3的條件下，. 立. VSS EWMA-np control chart 與 SDS EWMA-AM chart （Yang and Wu (2017)）、. ‧ 國. 學. FSS EWMA-AM chart （Yang (2015)）、NLE chart 和 CEW chart （Zou and Tsung. ‧. (2010)）進行失控偵測力的比較， SDS EWMA-AM chart 的管制界限為𝐿𝑚1 =. n. er. io. 通過失控偵測績效的比較發現：. al. y. sit. Nat. 𝐿𝑚2 = 2.76，𝑊𝑚1 = 𝑊𝑚2 = 1.68和𝐿𝑚3 = 𝐿𝑚4 = 2.35。. i n U. v. （1）EN：不管偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的 EN. Ch. engchi. 都比 SDS EWMA-AM、FSS EWMA-AM、NLE 和 CEW charts 的 EN 小，表明 VSS EWMA-np control chart 的失控績效比較好。 （2）ARL：不管偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的 ARL 都大於 SDS EWMA-AM chart 的，但都小於 FSS EWMA-AM、NLE 和 CEW charts 的，表明 VSS EWMA-np control chart 的失控績效比 SDS EWMA-AM chart 差，但比 FSS EWMA-AM、NLE 和 CEW charts 好。 （3）ANOS：不管偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 都比 SDS EWMA-AM、FSS EWMA-AM、NLE 和 CEW charts 的小，表明 32.
(46) VSS EWMA-np control chart 的失控績效比較好。 在表 29 中，λ = 0.05，𝑛0 = 5，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 500和0 ≤ 𝛿1 ≤ 1.5的條件下，與 VSS EWMA-np control chart 進行對比的管制圖有：SDS EWMA-AM chart （Yang and Wu (2017)） 、SL chart （Mukherjee and Chakraborti (2012)）和 SC chart （Chowdhury etal. (2014)）。SDS EWMA-AM chart 的管制界限為𝐿𝑚1 = 𝐿𝑚2 = 2.86，𝑊𝑚1 = 𝑊𝑚2 = 1.72和𝐿𝑚3 = 𝐿𝑚4 = 2.60。 通過失控偵測績效的比較發現：. 政 治 大 都比 SDS EWMA-AM、SL 立和 SC charts 的小，表明 VSS EWMA-np control chart （1）EN：不管偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的 EN. ‧ 國. 學. 的失控績效比較好。. （2）ARL：無論偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的. ‧. ARL 都大於 SDS EWMA-AM chart 的，表明 VSS EWMA-np control chart 的失控. y. Nat. er. io. sit. 績效比較差。當0 < δ1 ≤ 1時，VSS EWMA-np control chart 的 ARL 都比 SL chart 和 SC chart 的小，表明此時 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力績效比較. al. n. v i n Ch 好；但當1 < δ1 ≤ 1.5時，VSS EWMA-np chart 的 ARL 大於 SL chart 和 e n g ccontrol hi U SC chart 的，表明此時 SL chart 和 SC chart 的失控偵測績效要好。 （3）ANOS：無論偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的. ANOS 都小於 SDS EWMA-AM chart 的，表明 VSS EWMA-np control chart 的失 控績效比較好。當0 < δ1 ≤ 1時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 都比 FSS EWMA-AM chart、SL chart 和 SC chart 的小，表明此時 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力績效比較好；但當1 < δ1 ≤ 1.5時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 大於 SL chart 和 SC chart 的，表明 SL chart 和 SC chart 的失控偵測績效 33.
(47) 比較好。 表 30 中λ = 0.05，𝑛0 = 4，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370和0 ≤ 𝛿1 ≤ 3條件下與 VSS EWMAnp control chart 進行對比的管制圖有：SDS EWMA-AM chart （Yang and Wu (2017)） 和 Shewhart chart，其中 SDS EWMA-AM chart 的管制界限為𝐿𝑚1 = 𝐿𝑚2 = 2.74， 𝑊𝑚1 = 𝑊𝑚2 = 1.64和𝐿𝑚3 = 𝐿𝑚4 = 2.38。Shewhart chart 的管制界限為：ℎ1 = ℎ2 = 1和𝑘1 = 𝑘2 = 3。 通過失控偵測績效的比較發現：. 政 治 大 都比 SDS EWMA-AM chart、和 立 Shewhart chart 的小，表明 VSS EWMA-np control （1）EN:不管偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的 EN. ‧ 國. 學. chart 的失控績效要比較好。. （2）AATS：無論偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的. ‧. AATS 都大於 SDS EWMA-AM chart 的，表明 VSS EWMA-np control chart 的失. y. Nat. er. io. sit. 控績效比較差。當0 < δ1 ≤ 1.5時，VSS EWMA-np control chart 的 AATS 比 Shewhart chart 的小，表明此時 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力績效比. al. n. v i n C 較好；但當1.5 < δ1 ≤ 3時，VSShEWMA-np e n g c control h i Uchart 的 AATS 大於 Shewhart chart 的，表明 Shewhart chart 的失控偵測績效要好。. （3）ANOS：無論偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 都大於 SDS EWMA-AM chart 的，表明 VSS EWMA-np control chart 的失 控績效比較差。當0 < δ1 ≤ 1.5時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 比 Shewhart chart 的小，表明此時 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力績效比 較好；但當1.5 < δ1 ≤ 3時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 大於 Shewhart chart 的，表明 Shewhart chart 的失控偵測績效要好。 34.
(48) 表 31 中λ = 0.05，𝑛0 = 5，𝐴𝑅𝐿0 ≈ 370和0 ≤ 𝛿1 ≤ 3條件下與 VSS EWMAnp control chart 進行對比的管制圖有：SDS EWMA-AM chart （Yang and Wu (2017)） 和 Shewhart chart。其中 Shewhart chart 的管制界限為：𝐿1 = 1，𝑘1 = 3，而 SDS EWMA-AM chart 的管制界限為𝐿𝑚1 = 𝐿𝑚2 = 2.76，𝑊𝑚1 = 𝑊𝑚2 = 1.66和𝐿𝑚3 = 𝐿𝑚4 = 2.51。 通過失控偵測績效的比較發現： （1）EN：不管偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的 EN. 政 治 大. 都比 SDS EWMA-AM chart、和 Shewhart chart 的小，表明 VSS EWMA-np control. 立. chart 的失控績效要比較好。. ‧ 國. 學. （2）AATS：無論偏移程度（δ1 ）是小、中或大，VSS EWMA-np control chart 的 AATS 都大於 SDS EWMA-AM chart 的，表明 VSS EWMA-np control chart 的失. ‧. 控績效比較差。當0 < δ1 ≤ 1.5時，VSS EWMA-np control chart 的 AATS 比. y. Nat. er. io. sit. Shewhart chart 的 AATS 小，表明此時 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測力 績效比較好；但當1.5 < δ1 ≤ 3時，VSS EWMA-np control chart 的 AATS 大於. al. n. v i n C h chart 的失控偵測績效較好。 Shewhart chart 的，表明此時 Shewhart engchi U. （3）ANOS：當 0 < δ1 ≤ 1.5時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 比 SDS EWMA-AM chart 的大，但比 Shewhart chart 的 ANOS 小，表明此時 VSS EWMAnp control chart 的是失控績效比 SDS EWMA-AM chart 差，但比 Shewhart chart 的 失控績效好；當1.5 < δ1 ≤ 3時，VSS EWMA-np control chart 的 ANOS 比 SDS EWMA-AM chart 的小，但比 Shewhart chart 的 ANOS 大，表明 VSS EWMA-np control chart 的失控偵測績效比 SDS EWMA-AM chart 好，但比 Shewhart chart 的 失控績效差。 35.
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