第三章 . 實驗結果與討論
3.1.3 實驗內容
本節的實驗內容將分成幾個部分來介紹 :
(1) 當腔長介於 0 𝑚𝑚 ~ 10 𝑚𝑚 時，Fundamental mode 的偏振性質 (2) 當腔長介於 20 𝑚𝑚 ~ 30 𝑚𝑚 時，Fundamental mode 的偏振性質 (3) 腔長在 10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，近、遠場的觀察 (4) 腔長在 20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，近、遠場的觀察 (5) 腔長在 10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，其偏振性質 (6) 腔長在 20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，其偏振性質
(1) 當腔長介於 0 𝑚𝑚 ~ 10 𝑚𝑚 時，Fundamental mode 的偏振性質
我們在接下來的實驗觀測中，將會去測量雷射模態的偏振性。而在光學 實驗中，判定線性偏振的方式是較簡易的，只要用一個線性偏振片，並觀察是否 在特定方向可以將「光」完全濾去即可，但即使如此，還是需定義一個參考的方 向，以便讓我們得知此時的偏振方向為何。因此，在一開始我們需先定義出晶體 各個軸方向的表示法，而在後面的實驗偏振方向的表示，就以此為標準。此外，
由於在本次實驗所有的偏振性都是線性偏振或兩組線偏的疊加，因此我們並不需 要特別在意圓偏振或橢圓偏振的問題。因為本次實驗所用的晶體為 a - cut Nd:YVO4 在一般正常的情況下，其輸出的雷射光偏振方向為平行 c 軸，為了方 便起見，我們就先在此定義 c 軸以及 b 軸的方向。如圖 3-3 所示。
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圖 3-4 晶軸方向表示法
一開始我們先從最基本的模態 Fundamental mode 觀察起，由於我們已經算 出在此架構下，可雷射出光腔長的臨界條件為 10 mm ，因此在實際的實驗操作 上我們就從當腔長等於 10 mm 開始，接著逐漸縮短範圍，直到可操作的最小值，
也就是 9.1 mm。值得注意的是，雖然我們算出來的理論值，可允許雷射的腔長 最小可至 0 mm，然而在實際的實驗放並無法做到這麼小的範圍。因此，我們僅 能就實驗儀器可允許的架構下，做一個完整的探討。圖 3-5 即是 Fundamental mode 在各腔長下所對應的偏振情況。
圖 3-5 Fundamental mode 在不同腔長下的偏振方向對照示意圖
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從上面的示意圖可以發現，當腔長介於 10 mm - 9.1 mm 之間時，
Fundamental mode 的偏振方向皆是在「c 軸」。然而，事實上，腔長介於 0 mm -10 mm 時 Fundamental mode 的偏振方向皆會是在「c 軸」。不過，若腔長處於另一 個可雷射的範圍時，是否也會有一樣的結果呢。 我們可從下一個實驗來檢視。
(2) 當腔長介於 20 𝑚𝑚 ~ 30 𝑚𝑚 時，Fundamental mode 的偏振性質
此實驗的方法，基本上和上一個實驗相同，差別在於我們選擇的腔長是從 20 mm 開始，然後逐漸拉長腔長。實驗的結果可參考圖 3-6。
圖 3-6 Fundamental mode 在不同腔長下的偏振方向對照示意圖
從上圖可以發現，Fundamental mode 的偏振性隨著腔長的改變，也會有所 變化，我們可藉由下表，做一個更清楚的呈現。
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圖 3-7 造成線性偏振方向改變示意圖 : (a) 入射光平行 a 軸；
(b) 入射光沒有平行 a 軸
註 : 𝑎̂、𝑏̂、𝑐̂ 表示晶體的三維座標軸；𝑘̂ 表示光的行進方向，𝐸̂ 表 示電場振動方向。
(3-1) 腔長在 10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，近場觀察
接下來我們將介紹在腔長為 10 mm 時，所產生的特殊簡併態 V mode，透 過近場的觀察，可以讓我們了解其在腔內幾何軌跡。實驗的步驟，一開始先得調 出 V mode 的模態，如 圖 3-8 或 圖 3-9 所示，也就是在屏幕上會呈現「兩個光 點」。然而，就如同圖 3-8、圖 3-9 所示，要呈現這樣的圖像，事實上是有兩種可 能，但實際是哪一種可能，我們無法直接從屏幕上來判斷。因此，需藉由物鏡觀 察腔內圖像的變化情形，讓我們得以反推其真實的幾何軌跡。
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圖 3-8 V mode 在共振腔內的幾何軌跡示意圖
圖 3-9 V mode 在共振腔內的幾何軌跡示意圖
當我們調出 V mode 的圖像後，開始將物鏡前後移動，由於物鏡的可觀察到 其鏡筒前 13 mm 的地方，所以，即可觀得近場以及腔內的圖形。而須特別注意
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的是，我們在此實驗的參數 ∆𝑞 是將它當作物鏡移動的距離。
∆𝑞 > 0 表示觀察到腔外 ； ∆𝑞 < 0 表示觀察到腔內 。實驗所得的結果如圖 3-10、
圖 3-11、圖 3-12 所示。
圖 3-10 V mode 在共振腔長為 10 mm 時，腔內的幾何軌跡示意圖
圖 3-11 V mode 在近場以及腔內的所觀察到的圖形。(a) ∆𝑞 = 0；(b) ∆𝑞 = 0.10 (c) ∆𝑞 = - 0.10 [mm]
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圖 3-12 V mode 在不同位置成像的比較圖
從圖 3-12 的比較，可以發現雷射的模態在輸出鏡的鏡心上時，為一個點；
之後不管往腔內移動或腔外移動，皆會發散成兩個點。因此，我們可以藉此反推，
該模態在腔內的幾何軌跡就如圖 3-10 所示。此外，藉著圖 3-10 也可以很清楚的 看出該軌跡就如同英文字母「V」，因此，我們就把這樣的簡併態稱為「V mode」。
而從圖 3-11，不管是從「一個光點」或是「兩個光點」的情況來看，我們都可以 清楚的看見干涉條紋，而此結果完全和波動光學不謀而合。
(3-2) 腔長在 10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，遠場觀察
在這個實驗中，我們要觀察若在 V mode 的條件下，進而改變調整 x 、 y 方向的離軸以及腔長的長度，則 V mode 圖形會有什麼變化。而在實驗測量的 相關數據中，皆是和 V mode 的參數去做比較，例如 : ∆𝑥 = 𝑥𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑥。相 關實驗結果如圖 3-13、圖 3-14、圖 3-15 所示。須特別注意的是，本實驗器材可 提供的精準度只至 0.01 mm，因此若小於此尺度，皆為估計值。
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圖 3-13 改變 x 或 y 方向離軸，以及同時改變的比較圖
圖 3-14 改變 x 方向離軸或腔長 ( L )，以及同時改變的比較圖
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(4-1) 腔長在 20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，近場觀察
此實驗和實驗(3-1)一樣，都是希望藉由物鏡觀察 V mode 在近場以及腔內 所呈現的圖像，並加以判斷其在腔內的幾何軌跡。而在實驗操作的部分，一開始 一樣先調出 V mode 的模態，接著開始移動物鏡，而移動物鏡的距離以 ∆𝑞 表示。
∆𝑞 等於 0 表示物鏡幾乎貼在輸出鏡上，而須特別注意的是，此時物鏡所觀察 到的圖形，是其鏡筒「前方 13 mm」該空間的的成像，如圖 3-16 所示；而 ∆𝑞 小 於 0 則表示物鏡看到的空間是在共振腔內。實驗所得的結果如圖 3-17 所示。
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圖 3-16 (a) 實驗架構圖； (b) V mode 在共振腔長為 20 mm 時，腔內的幾何 軌跡示意圖。
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圖 3-17 V Mode 在不同位置成像的比較圖
從圖 3-17 可以發現，V mode 兩點張開的角度隨著物鏡越遠離輸出鏡，角 度就越大，然而因為儀器架設的關係，物鏡無法確實看到前鏡上的成像是否確實 為一個點，但我們依舊可以藉由觀察兩點之間的距離是否越來越大，來判斷其幾 何軌跡。因此，從此實驗得以反推 V mode 在共振腔長為 20 mm 時，腔內的幾何 軌跡就如圖 3-16(b)所示。到這裡我們就可以發現，雖然在此架構下有兩種情況 ( 分別當腔長等於 10 mm 以及 20 mm ) 得以允許簡併態 V mode 存在，然而其 本身在共振腔內的軌跡卻是完全不同的。那麼在同樣的狀況下，當我們把觀察的 重點拉到遠場時，此兩種情況是否也會有所差異呢。或許我們可以從實驗(4-2) 得到答案。
(4-2) 腔長在 20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，遠場觀察
此實驗和實驗(3-2)一樣，皆是觀察 V mode 在遠場時，當調整 x 及 y 方 向的離軸時，圖形有何變化。還記得在實驗(3-2)當我們改變 x 或 y 方向的離軸，
原本的兩點可能呈橫向或是縱向的展延；然而當腔長變為 20 mm 時，此時的模 態雖亦是 V mode，但此時改變 x 或 y 方向的離軸，卻發現原本的「兩點」會 有彼此距離拉開或是「旋轉」的情況出現。並且，隨著離軸的改變，兩點張開亦 會跟著有所變動，並且這樣的變動可以說大致是符合線性變化的。由於本實驗需 牽扯到一些角度的計算，因此，我們須先把相關的參數以及角度的計算方式說明
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清楚。
首先，在實驗中所改變的參數，都是和 Fundamental mode 的參數 (𝑥, 𝑦) 去 做比較的。例如 : ∆𝑥 = 𝑥𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑥 ，∆𝑦 = 𝑦𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑦。
而從數學上得知，若我們想知道同時改變 (𝑥, 𝑦) 的大小為多少，可以寫成
∆𝑟 =（Δx + Δy）1/2 。
因此，就理論上來說，相同的 ∆𝑟 值，應可對應至相同的「角度」。而所謂的「角 度」，即是 V mode 兩點所張開的角度，計算的方式可以參考圖 3-18。圖中前鏡 至屏幕的距離為 17.5 cm； d 表示 V mode 兩點的距離，單位為公分；所以，
角度 =
θ
= 2Φ = 2 ∙ 𝑡𝑎𝑛−1( 𝑑⁄217.5 )。
而本實驗的重點就在於調整不同 x 或 y 方向的離軸，除記錄下圖片之外並計算 相應的角度。相關的實驗結果以及數據，如圖 3-19，表 3-2、表 3-3、表 3-4 以及 附錄 所示。
圖 3-18 V mode 角度計算示意圖
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圖 3-19 不同的 ∆x 及 ∆y 所對應的圖形
∆x[mm] ∆y[mm] ∆𝑟[mm] d/2[cm] θ[degree] ∆x[mm] ∆y[mm] ∆𝑟[mm] d/2[cm] θ[degree]
0 0.4 0.4 1.28 8.33 0.8 0 0.8 3.33 21.54
0 0.8 0.8 3.19 20.65 0.8 0.4 0.89 3.68 23.77
0 1.2 1.2 5.1 32.50 0.8 0.8 1.13 4.89 31.21
0 1.44 1.44 6.38 40.03 0.8 1.2 1.44 6.45 40.44
0.4 0 0.4 1.49 9.72 1.2 0 1.2 5.31 33.77
0.4 0.4 0.57 2.13 13.85 1.2 0.4 1.26 5.45 34.62
0.4 0.8 0.89 3.61 23.33 1.2 0.8 1.41 6.23 39.21
0.4 1.2 1.26 5.45 34.62 1.43 0 1.43 6.45 40.41
表 3-2 圖 3-19 各個圖形相應之角度
∆𝑟 = √∆𝑥2+ ∆𝑦2
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表 3-3 ∆r 及對應 V mode 的角度表 [註]
註 : 表 3-3 所有完整的數據請參閱 附錄
第一組 第二組 第三組 第四組 第五組
∆𝑟 [mm] 1 1.02 1 1 1.02
θ(degree) 27.74 27.74 27.30 27.30 27.30 表 3-4 幾組相近的 ∆r 值其對應 V mode 之角度做比較
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數，都是和 Fundamental mode 的參數 (𝑥, 𝑦) 去做比較的。例如 :
∆𝑥 = 𝑥𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑥 ，∆𝑦 = 𝑦𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑦。並且我們定一開始可雷射出光的腔長 為 20 mm。相關實驗結果如圖 3-22 所示。
圖 3-21 (a) 橫向 V mode [ ∆x = 0.2 mm , ∆y = 0 ] ； (b) 縱向 V mode [ ∆x = 0 , ∆y = 0.2 mm ]
圖 3-22 (a)、(b) 兩組 V mode 在不同腔長下偏振方向的比較圖 (b). ∆𝑥 = 0 𝑚𝑚 , ∆𝑦 = 0.2 𝑚𝑚
(a). ∆𝑥 = 0.2 𝑚𝑚 , ∆𝑦 = 0 𝑚𝑚
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從圖 3-22 可以發現，(a)、(b) 兩組 V mode 在不同腔長時，其偏振方向也會 有所不同，我們可以藉由下表作一個更清楚的檢視。
(a) (b)
腔長 [mm] 偏振方向 腔長 [mm] 偏振方向
21.64 - 21.79 b 軸 21.48 - 21.67 c 軸
21.80 兩組線性
偏振疊加
21.68 兩組線性
偏振疊加 21.81 - 21.87 c 軸 21.69 - 21.74 b 軸
21.75 兩組線性
偏振疊加 表 3-5 兩組 V mode 在不同腔長下的偏振方向比較表
從上面可以發現，橫向和縱向的 V mode 一開始的偏振方向並不一樣，然 而之後都會經過一段區間是「兩組線性偏振疊加」，而後再變成和一開始相反的 偏振方向。因此，從此實驗可以看出，事實上 V mode 在腔長為 20 mm 時，其 偏振方向並非固定的，並且隨著腔長的改變，偏振方向也會跟著改變。對比於腔 長為 10 mm 的 V mode，其偏振性質似乎有更多樣的變化。
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