國立臺灣師範大學
物理研究所
碩士論文
雷射共振腔 V 型模態偏振特性之研究
Research on the polarization of
V mode in laser cavities
研究生: 蘇冠銘
指導老師 : 陸亭樺 博士
iii
摘要
本篇論文的主要方向在「雷射模態偏振特性」之探討，藉由調整腔長以及離 軸產生各種不同的雷射橫向模態。在實驗中我們採用兩個曲率半徑不同的球面鏡 (分別為 10 mm 和 20 mm )，並使用 Nd:YVO4當作雷射晶體。當腔長處於特殊的 簡併共振腔時，橫向模態會落在幾何光束 V mode 軌跡之上。在實驗結果中發現 可以產生 V mode 的腔長範圍並非一個連續的區間而是有兩個特殊的簡併共振 腔長皆可以產生。論文中針對這兩個腔長做了一系列的模態偏振特性研究。實驗 結果顯示當改變腔長時，雷射模態的線性偏振方向也會有所改變。此外，論文中 的另一個重點是利用共心共振腔結構產生角度可變化的高斯光束，期待將來能應 用於提高雷射加工的便利性。 關鍵字 : 雷射模態偏振特性、Nd:YVO4、簡併共振腔、V mode、共心共振腔iv
Abstract
This thesis focuses on “laser resonator cavities.” This feature of resonator
cavities is that there are various modes or degenerate states under different cavity lengths and off-axis pumping. We used two spherical mirrors of different radius of
curvatures (10 mm and 20 mm) and a Nd:YVO4 crystal to achieve V mode from the degenerate cavity. The result reveals that the lasing range for the V mode is not a
continuous interval. We study the characteristics of polarization for the V mode under two specific degenerate cavity lengths. The experimental results show that the
polarization of lasing mode is variable with cavity lengths. Therefore, we also consider the characteristics of lasing mode generated from a concentric cavity. The
experimental results reveal that the fundamental mode is direction changeable under different pump offsets.
v
誌謝
光陰似箭，兩年半的日子就這樣過去了。還記得剛開學時，自己內心充滿了 徬徨，因為自己並不是本科系的學生，因此對於物理這門學科的基礎可以說是非 常薄弱。在學業上除了要從頭修習部分物理系的必修之外，還要面對研究所的課 程，而對於實驗的內容也是完全從零開始，最後能夠順利完成學業實則要感謝很 多人。 首先要感謝的是指導教授陸亭樺老師，除了在實驗和論文上給我很多的指導 之外，也給予我在實驗及修課的時間安排上很大的彈性，才能讓我順利在兩年半 內完成課業的修習及論文的撰寫。此外，也要特別感謝兩位口試委員口試當天給 我諸多的建議，讓我知道自己仍需補強的地方。 在碩士班的生涯裡，也有幸認識幾位同學和實驗的學長、學弟。特別要感謝 的是沛樺經常不厭其煩的讓我問問題，如果不是有這位「高手」相助，我恐怕無 法那麼順利通過每一場考試。另外，也要感謝實驗室的學長立軒，教我很多基本 的實驗方法。當然還要感謝東憬、育仁、名正、家豪、易哲、政浩、建豪，感謝 你們給予我在課業或實驗上諸多的幫忙。最後，還要感謝我的家人，如果不是你 們的支持，我想我也沒有勇氣和毅力堅持到最後。vi
目錄
論文授權書 . . . i 摘要 . . . iii 誌謝 . . . v 圖目 . . . viii第一章. 緒論
1.1 前言 . . . 1 1.2 研究動機 . . . 3 1.3 內容概要 . . . 4第二章. 理論背景
2.1 雷射晶體 Nd:YVO4 . . . 5 2.2 光的偏振性 . . . 10 2.3 光學共振腔的穩定條件 . . . 14 2.4 球型共振腔之電場波函數 . . . 182.5 Hermite - Gaussian Modes 的疊加 . . . 26
2.6 橫向模態和縱向模態的頻寬比 . . . 29
第三章. 實驗結果與討論
3.1 雙凹共振腔 3.1.1 實驗裝置及架構 . . . 32vii 3.1.3 實驗內容 . . . 36 3.1.4 結論 . . . 56 3.2 凹凸共振腔 3.2.1 實驗裝置及架構 . . . 57 3.2.2 實驗理論分析 . . . 58 3.2.3 實驗內容 . . . 60 3.2.4 結論 . . . 65
第四章. 總結
. . . . . . 66第五章. 未來工作
. . . 67附錄
( V mode 離軸與角度變化對應表 ) . . . 68參考文獻
. . . 69
viii
圖目
圖 2-1 Nd:YVO4 能帶示意圖 圖 2-2 單位 Nd:YVO4 晶體結構圖 圖 2-3 Nd:YVO4 a、b、c 三軸 圖 2-4 橢圓偏振示意圖 圖 2-5 球面共振腔 圖 2-6 共心共振腔 圖 2-7 光學共振腔的穩區圖 圖 2-8 Hermite–Gaussian Modes 圖 2-9 Laguerre–Gaussian Modes 圖 2-10 模態係數及頻寬示意圖 圖 3-1 實驗裝置示意圖 圖 3-2 腔長和頻寬比的對應圖 ( 𝑅1 = 10 mm 、𝑅2= 20 mm ) 圖 3-3 腔長和頻寬比的對應圖 ( 𝑅1 = 20 mm 、𝑅2= 20 mm ) 圖 3-4 晶軸方向表示法 圖 3-5 Fundamental mode 在不同腔長下的偏振方向對照示意圖 圖 3-6 Fundamental mode 在不同腔長下的偏振方向對照示意圖 圖 3-7 造成線性偏振方向改變示意圖 : (a) 入射光平行 a 軸； (b) 入射光沒有平行 a 軸 圖 3-8 V mode 在共振腔內的幾何軌跡示意圖 圖 3-9 V mode 在共振腔內的幾何軌跡示意圖 圖 3-10 V mode 在共振腔長為 10 mm 時，腔內的幾何軌跡示意圖 圖 3-11 V mode 在近場以及腔內的所觀察到的圖形。(a) ∆𝑞 = 0；(b) ∆𝑞 = 0.10 (c) ∆𝑞 = - 0.10 [mm] 圖 3-12 V mode 在不同位置成像的比較圖ix 圖 3-13 改變 x 或 y 方向離軸，以及同時改變的比較圖 圖 3-14 改變 x 方向離軸或腔長 ( L )，以及同時改變的比較圖 圖 3-15 只改變腔長 ( L ) 或 y 方向離軸的比較圖 圖 3-16 (a) 實驗架構圖； (b) V mode 在共振腔長為 20 mm 時，腔內的幾何 軌跡示意圖。 圖 3-17 V mode 在不同位置成像的比較圖 圖 3-18 V mode 角度計算示意圖 圖 3-19 不同的 ∆x 及 ∆y 所對應的圖形
圖 3-20 (a) Fundamental mode 偏振方向；(b) V mode 偏振方向
圖 3-21 (a) 橫向 V mode [ ∆x = 0.2 mm , ∆y = 0 ] ；
(b) 縱向 V mode [ ∆x = 0 , ∆y = 0.2 mm ] 圖 3-22 (a)、(b) 兩組 V mode 在不同腔長下偏振方向的比較圖 圖 3-23 實驗裝置示意圖 圖 3-24 腔長和頻寬比的對應圖 ( 𝑅1 = 20 mm 、𝑅2= -15 mm ) 圖 3-25 共心共振腔示意圖 圖 3-26 V mode 在凹凸共振腔，腔內的幾何軌跡示意圖 圖 3-27 V mode 在近場以及腔內的所觀察到的圖形。(a) ∆𝑞 = 0；(b) ∆𝑞 = 0.08 (c) ∆𝑞 = - 0.08 [mm] 圖 3-28 V mode 在不同位置成像的比較圖
圖 3-29 (a) Fundamental mode 偏振方向；(b) V mode 偏振方向 圖 3-30 共心共振腔各點相對位置示意圖
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第一章 緒論
1.1 前言
西元 1960 年，梅曼 ( T. H. Maiman ) 製作出全世界第一台可見光範圍 ( 波 長 400 - 800 nm ) 的雷射─紅寶石雷射 [1]，在經過了五十餘年後，現今雷射的 應用已從一開始僅侷限於實驗室的研究，拓展至我們的生活周遭。舉例來說 : 每 台光碟機所需的讀取技術，即是藉由雷射光照射光碟片以存取碟片上的資料。又 1986 年，朱棣文等人研發了雷射冷卻技術可大幅降低原子的溫度，而歸根究柢 雷射冷卻的原理，同樣也是藉由雷射光讓原子運動的速率降低，以達到降溫的效 果 [2]。然而，雷射除了上述於原子或機械上的應用之外，近來也開始應用於人 類的身體上，以改善人體的健康，例如對於近視患者所使用的雷射眼科手術 ( LASIK ) [3] 即是一例。 從上述我們可以了解到，雷射在我們目前的生活可以說是應用廣泛。然而， 除了了解到其應用之外，其實我們更有興趣的是雷射(光)的本質，以及其產生的相關原理。雷射的英文全名是 Light Amplification by the Stimulated Emission of
Radiation，其本質也是一種光波或說是電磁波，因此我們可使用波動光學分析其 數學形式。而且其實雷射的英文字義就足以說明雷射的基本原理，其中最主要精 神即是愛因斯坦在 1917 年提出的受激輻射 ( Stimulated Emission of Radiation )
為，簡單的說即是入射光子會誘發電子躍遷，而電子在躍遷的過程中前會放出光 子，而被釋放出的光子會和原先入射的光子有相同的頻率及相位。然而，要產生
雷射事實上需要有幾個條件 : (1) 激發來源 ( Pumping Source ) (2) 增益介質
( Gain Medium ) (3) 光學共振腔 ( Optical Cavity )。其中，隨著增益介質的不同， 各種雷射的特性也不盡相同，例如可以選擇用氖氣和氦氣混和的氣體雷射 [4]； 或是，選擇用 Nd : YAG (neodymium-doped yttrium aluminum garnet ) [5]、Nd :
YVO4 ( Neodymium-doped yttrium vanadate ) 的固體雷射等等。此外，不同的光 學共振腔則會產生各種不同的模態以及不同的物理特性 [6] [7]，而腔長的長
2 短更關係到能否穩定的產生雷射 [8]。由上述我們可以發現，對一個簡單的雷射 系統來說，即有許多參數可供改變，而藉著改變不同的參數，相信可以提供許多 研究者對雷射這個領域繼續更深且廣的研究。 在不同的雷射共振腔會產生不同的模態，然而，若我們想藉由計算機去模擬 這些模態的話，則勢必得先找出一套相對應的數學形式。有趣的是，透過波動光 學的理論，我們可以推得在球型共振腔的條件下，其波函數和薛丁格 ( Schrödinger ) 方程式的二維諧振子具有相同的數學形式 [9] [10]。因此，在實 驗上我們以藉由不同的球型共振腔，例如 : 雙凹、平凹、凹凸腔等等，觀察其 雷射的模態及特性，而其數學的形式則提供我們一個方法去模擬是否和我們實驗 觀測到吻合。 最後，值得一提的是，雷射共振腔的波函數在近軸近似 ( paraxial
approximation ) 下，可解得球型共振腔內的波函數為 Hermite - Gaussian 的型式， 而在特定的腔長下，腔內的各個波函數會疊加成一個特殊的簡併態，例如 W
Mode、M mode 或 V Mode [11] 等等。然而，這些波函數在共振腔內理論上是 由許多光子疊加而成，並且在某些特定的位置有最大的出現機率，而此統計分佈
的結果，最後卻剛好和幾何光學的路徑吻合。這樣的結果除了提供我們一個方向， 得以用幾何光學的方法去分析雷射光在共振腔的運動軌跡之外 [12]，更使我們
3
1.2 研究動機
雷射這個領域在經過幾十年的發展，不管是在理論或實驗方面皆已有一定的 完整性，而近年來許多研究者也發現雷射共振腔有許多有趣的現象，例如 : 橫 模鎖定 ( transverse mode locking ) [13]、魔梯現象 ( Devil’s staircase ) [14] 或是混
合偏振雷射光束( hybridly polarized vector beams ) [15] 等等 。
此外，在不同的雷射共振腔下，輸出雷射的模態也不盡相同，例如只要稍微
改變腔長和離軸輸出模態的變化即可從 TEM00 mode （fundamental mode）到高 階的 Hermite - Gaussian modes，甚至在特定的腔長下，我們也可以找到一些特別
的簡併態，如前述的 M mode、W mode [11] 等等。因此，這樣的結果也引發 我們一些興趣，是否還有其它可能的簡併態存在，以及這些簡併態是否有什麼樣 特殊的性質 。 而以本論文為例，我們找到了在特定的腔長下會形成一個頻寬比為 1/2 的簡 併態，即 V mode。然而有趣的是，由於我們實驗所使用的兩個球面鏡其曲率半 徑並非完全一樣的，因此從理論的計算中發現到其可允許雷射的範圍並非連續的， 而是中間會有一個「斷層」存在。因此，對於這種有別於一般穩定共振腔的結構， 是否存在著較特殊的特性，是本篇論文主要的研究動機。
4
1.3 內容概要
本篇論文內容，第一章主要大致介紹雷射的發展及應用，並且陳述研究動機 。而第二章則是闡述及推導，實驗中所應用到的相關理論背景，例如 : 介紹實 驗晶體 Nd:YVO4之特性、光的偏振性、推導穩定共振腔的條件以及共振腔的波 函數等等。第三章則為本篇論文的重點，將把各實驗的結果及討論做一個完整的 呈現，例如 : 關於 V mode 允許存在的腔長、其張角範圍或是偏振特性等；並 且介紹在凹凸共振腔所觀察到異於雙凹共振腔之現象。第四章是把整篇論文做一 個總結。最後，第五章則是建議未來研究者可以研究方向。5
第二章 理論背景
2.1 雷射晶體
𝐍𝐝: 𝐘𝐕𝐎
𝟒一個雷射共振腔需有一個好的增益介質( Gain Medium )，且隨著增益介質 的不同，其輸出雷射光的物理特性也截然不同。而本論文所採用的增益介質
( Gain Medium ) 為 : Nd:YVO4 ( Neodymium-doped yttrium vanadate；摻釹釩酸 釔 )，其和其它晶體比較有幾個主要的優點為 : (1) 有較大的輻射截面 ( large
emission cross section ) (2) 且對波長為 808 nm 的光有強吸收 [16]。而事實上在 雷射發明後的不久，大約在 1966 年左右，人們即已對此晶體有所研究 [17]。然 而，早期對固體雷射是採用閃光 ( Flashlamp ) 作為激發光源，其輸出的效率極 差，但若以二極體雷射作為激發光源，則可以提高輸出光源的功率及品質 [18]。 因此，目前「摻釹釩酸釔晶體」被廣泛使用於「二極體激發固態式雷射」。 「摻釹釩酸釔」顧名思義就是在晶體中摻入Nd3+的離子，而參與雷射躍遷 和雷射振盪的活性介質事實上即是Nd3+離子。釹 ( Nd )為鑭系稀土元素，外層電 子組態為：4d104f45s25p66s2，若其失去三個外層電子 ( 6s2兩個電子及4f一個 電子 )則會形成三價正離子，所以Nd3+ 離子的外層電子組態變成 4d104f35s25p6。 而參與躍遷的電子為4f3的三個電子，因為在外層的電子(5s25p6 )為滿殼層，因 此對這三個電子產生屏蔽作用。正是這個原因，所以像Nd3+這一類稀土元素離 子在摻入晶體後的能級結構，基本上與相應的自由離子的能級結構相同。因此 Nd3+的吸收及發射譜線很窄，使得 Nd:YVO4 適合做為產生雷射的增益介質 [19]。 一般的情況下，電子大都處在較低的能階上，亦即低能階的電子數目較高能 階的電子數目多。然而，若想產生雷射，則必須讓高能階的電子數目較低能階多， 也就是需要產生所謂的居量反轉 ( Population Inversion )。因此，一般常見的雷射， 大都為三階雷射或四階雷射。而基本上我們可以把 Nd:YVO4看成是一種四階的 雷射，它對波長 808 nm 的光有較強的吸收，並放出 1064 nm 與 1342 nm 兩種 波段的雷射光，其能帶的示意圖如圖 2-1 所示。
6
此外，Nd:YVO4是屬於正單軸 ( Positive Uniaxial ) 的雙折射晶體
（Birefringence），其晶體的結構圖如圖 2-2 所示。我們可將直角座標系中的 x、y、 z 三軸用另一種方式表達，亦即將 x 軸以 a 軸表示，同理，y 用 b 表，z 用 c 表示 ，如圖 2-3 所示。其中 a 軸與 b 軸的長度相同，而 c 軸較 a、b 兩軸長。因此， 在光學性質上，若光束沿 c 軸傳播，其特性也不同於沿 a、b 兩軸傳播，如表 2-1(b) 所示。光沿著 c 軸傳播則其折射率為𝑛𝑒 ( 𝑛𝑒 = 𝑛𝑐 )，反之，若沿 a、b 兩軸則為 𝑛𝑜 ( 𝑛𝑎 = 𝑛𝑜 = 𝑛𝑏 )。另外，一般而言若將晶體以裁切方向區分，則可分成 a-cut ( 同
b-cut ) 與 c-cut 等。以 a-cut 為例就是光束沿 a 軸方向入射，因此光束的電場就 是在 a-cut Nd:YVO4 的 b、c 軸上。又如上述所敘，光沿不同的軸傳播，折射率
並不相同，因此，在實驗上若我們採用不同 cut 的 Nd:YVO4晶體，則其實驗結 果也不盡相同。
目前，常用於固態雷射的晶體除了本篇論文所用的 Nd:YVO4之外，尚有
Nd:YAG、Nd:GdVO4等等。而舉例來說，Nd:YVO4比起 Nd:YAG 就有較大的發 射截面之優點，詳細地的比較表可參閱表 2-1(c)。
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圖 2-2 單位 Nd:YVO4 晶體結構圖 [20]
圖 2-3 Nd:YVO4 a、b、c 三軸
下面的三張表格為 Nd:YVO4 的一些基本特性，以及與其它晶體的比較 [21] [22]
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表 2-1 (a) Physical Properties :
Crystal Structure Zircon Tetragonal
Lattice Parameters ( Å ) a = b = 7.12 ； c = 6.29
Atomic Density ( atoms/cm3 ) 1.37x1020
Density ( g/cm3 ) 4.22
Melting Point ( °C ) 1810 ± 25
表 2-1 (b) Optical Properties :
Lasing Wavelengths 914nm，1064 nm，1342 nm
Refractive indexes
positive uniaxial , no = na = nb，ne = nc
no = 1.9573 , ne = 2.1652 , @ 1064nm
no = 1.9721 , ne = 2.1858 , @ 808nm no = 2.0210 , ne = 2.2560 , @ 532nm
Thermal Optical Coefficient dna / dT = 8.5x10-6/K , dnc / dT = 3.0x10-6/K
Stimulated Emission Cross-Section 25.0x10-19 cm2 , @1064 nm
Absorption Coefficient 31.4 cm-1 @ 808 nm
Absorption Length 0.32 mm @ 808 nm
Polarized Laser Emission parallel to optic axis (c-axis)
Diode Pumped Optical to Optical
Efficiency
> 60%
Gain Bandwidth 0.96 nm (257 GHz) @ 1064 nm
Sellmeier Equation (for pure YVO4 crystals) : no2 = 3.77834 + 0.069736/(λ2 - 0.04724) - 0.0108133λ2
9 表 2-1 (c) Nd:YVO4與 Nd:YAG、Nd:GdVO4 之比較 : crystal Nd:doped ( atm % ) σ (× 10−19cm2) α(cm -1 ) T(μs) 𝐿α(mm) 𝜌th(mw) 𝜂s(%) Nd:YVO4 a - cut 1.1 2 25 31.2 72.4 90 50 0.32 0.14 78 48.6 Nd:YVO4 c - cut 1.1 7 9.2 90 231 45.5 Nd:YAG 0.85 6 7.1 230 1.41 115 38.6 Nd:GdVO4 1.2 7.6 78 95 0.18 70 50 註：表 2-1 (c) 中各種晶體的雷射性質之數值會隨 Nd 摻雜濃度不同而有所改 變。
σ : Stimulated emission cross section α : Absorption Coefficient
T : Fluorescent lifetime 𝐿α : Absorption length 𝜌th : Threshold power 𝜂s : Conversion efficiency
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2.2 光的偏振性
從光的繞射和干涉現象中我們可以說光也是具有波動的性質，而赫茲以實驗 證實光確為電磁波的一種，亦即光是一種橫波，且具有偏振的特性。從電磁波的 理論我們知道電磁波傳遞的方向和其電場振動的方向垂直，同理光波亦是如此， 光的傳播方向與其電場垂直，在與傳播方向垂直的二維空間裡，電場可以有各式 各樣的振動狀態，我們稱之為光的偏振態，而電場的振動方向就是所謂的偏振方 向。常見的偏振態有 : 自然光、線性偏振、圓偏振和橢圓偏振。 一般的光源或叫自然光 ( 如太陽光、或家用電燈 )，是由大量的原子或分 子發出的，而其電場振動的方向是雜亂無章的，又或者說對於每個傳播方向而言， 同時存在大量各種方向的電場振動，且每個方向的機率皆相同，對於這樣的特性 的光我們把它稱為「自然光」或「非偏振光」。反之，電場若是有一定規則的振 動方向，我們就把它稱為「偏振光」。 在一般的光學系統中，線性偏振光為最常被討論的偏振光之一，其特點定性 來說即電場振動的方向永遠保持不變，又因為其傳播方向和振動方向，皆維持在 同一個平面，所以線性偏振也可稱為平面偏振。此外，根據馬呂斯定律 ( Malus' law ) 強度為 𝐼0 的線性偏振光，通過偏振片後，其透射光的強度為： I = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠2 θ 。其中 θ 是入射偏振光之振動方向和偏振片偏振化方向之間的夾 角。因此，由該定律我們可以用偏振片檢測線性偏振光的偏振方向；然而，事實 上即便是一般的自然光通過偏振片後其能量也會有所損耗，因此根據此特點可作 為生活中的許多應用，如太陽眼鏡等。 另一個常被討論的偏振狀態為圓偏振，其特性為電場向量的端點之軌跡為一 個圓，然而事實上，不論是線性偏振或是圓偏振，我們都可以把它看成是橢圓偏 振的一種特例。因此，下面我們將先推導出橢圓偏振態的通解，而由此通解，我 們可以推得圓偏振或線性偏振光，其電場的形式。 首先，我們已經得知光的本質即是一種電磁波，而電磁波(或是光波)之電場11 向量則可以用來描敘一個電磁波的偏振特性。現在我們假設有一到光沿 z 軸傳播， 則其電場的向量將落於 x、y 平面。因此，我們可以將任一電場向量 𝐸⃑ 分解成 兩個分量，分別為 𝐸⃑ 𝑥、𝐸⃑ 𝑦。其中， Ex = Acos(ωt − kz + δx) (2.2.1) Ey = Bcos(ωt − kz + δy) (2.2.2) 上式中 A、B 表兩電場之振幅，ω 表兩電場之角頻率。 由 (2.2.1) → Ex
A = cos(ωt − kz) cosδx− sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) 𝑠𝑖𝑛δx (2.2.3)
由 (2.2.2) → Ey
B = cos(ωt − kz) cosδy− sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) 𝑠𝑖𝑛δy (2.2.4) 將 (2.2.3) × 𝑠𝑖𝑛δy − (2.2.4) × 𝑠𝑖𝑛δx 可得 Ex A 𝑠𝑖𝑛δy− Ey B 𝑠𝑖𝑛δx = cos(ωt − kz) sin (δy− δx) (2.2.5) 將 (2.2.3) × cosδy − (2.2.4) × cosδx 可得 Ex A cosδy− Ey
B cosδx = sin(ωt − kz) sin (δy− δx) (2.2.6)
把 (2.2.5)2+ (2.2.6)2，並且令 δ = δ y − δx，可得 (𝐸𝑥 𝐴) 2+ (𝐸𝑦 𝐵) 2 − 2 (𝐸𝑥 𝐴) ( 𝐸𝑦 𝐵) 𝑐𝑜𝑠δ = 𝑠𝑖𝑛 2δ (2.2.7) 上式即為一個橢圓的方程式，並且橢圓的兩主軸與原本的兩座標軸 (Ex , Ey )夾 α 角，如圖 2-4 所示，其中
tan2α =
2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠δ 𝐴2−𝐵2 (2.2.8)12 圖 2-4 橢圓偏振示意圖 接著，由 (2.2.7) 和 (2.2.8) 兩式，我們可以來討論幾種特殊的情況。 1. 若 α = 0，即 δ = ±𝜋2、 ±3𝜋 2 、 ± 5𝜋 2 ， … … 。則橢圓的兩軸和原座標軸重 合，為一正橢圓，此時 (2.2.7) 可化簡為 (𝐸𝑥 𝐴) 2+ (𝐸𝑦 𝐵) 2 = 1 (2.2.9) 若 A = B = E，則 (2.2.9) 又可化簡為 𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦2 = 𝐸2 上式即為圓方程式，亦即此時橢圓偏振光退化為一圓偏振光。 且當 δ =𝜋 2+ 2𝑚𝜋 ，𝑚 = 0， ± 1， ± 2， … …，此時為右旋圓偏振光。 而當 δ = −𝜋 2+ 2𝑚𝜋 ，𝑚 = 0， ± 1， ± 2， … …，此時為左旋圓偏振光。 其中，右旋表觀察者向著光的方向觀察時，其電場向量為順時針旋轉；反之， 左旋為觀察者向著光的方向觀察時，其電場向量為逆時針旋轉。
13 2. 若 δ = 0， ± 2π， ± 4π， … …，則 (2.2.7) 式可化為 Ey = B A Ex (2.2.10) 若δ = ±π， ± 3π， ± 5π， … …，則 (2.2.7) 式可化為 Ey = −B A Ex (2.2.11) 而 (2.2.10)、(2.2.11) 式，皆為直線方程式，其斜率分別為 : B A 和 − B A， 因此我們可以得知，此時光的偏振方向分別為，沿Ⅰ、Ⅲ象限和沿Ⅱ、Ⅳ象限振 動的線性偏振光，且此時的電場值E = √A2+ B2。 從上述我們可以得知，不論是圓偏振光或是線性偏振光，都可看成是橢圓偏 振光的一種特例。
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2.3 光學共振腔的穩定條件
光學共振腔是構成雷射裝置的重要一部份，其功用即是希望能將光留在共振 腔內，而產生共振的現象，使光得以在往返來回的過程中不斷的經過增益介質， 當光放大至臨界狀態時，則可輸出雷射光。然而，光學共振腔除了影響到是否能 輸出雷射光之外，其實它對雷射光輸出的功率以及雷射光束的發散角等，都有極 大的影響。由於上述原因，因此對雷射共振腔的特性我們也必須要有基本的了解。 而其中最重要的就是，我們設計出的共振腔必須是穩定的，也就是光束在共振腔 內多此往返後，大部分能留在共振腔內，只有少部分散逸。 一般的光學共振腔依幾何光學而言，主要以兩面反射鏡構成，而兩面鏡子相 距的距離即為腔長，一般而言反射鏡可以有多種選擇，例如可以選用平面鏡、凹 面鏡或凸面鏡等。一般常見的共振腔有球面光腔，如圖 2-5 所示；共心光腔 ( 即 通過球心的光束經鏡面反射後，該光束仍然通過球面的球心 )，如圖 2-6 所示。 其中 𝑅1、𝑅2 分別表示兩球面鏡的曲率半徑，而腔長( L )為兩球面鏡與光軸相交 的兩點距離 [24]。 圖 2-5 球面共振腔 圖 2-6 共心共振腔
15 接著，我們將推導穩定共振腔的條件。如上述，只有在腔內多次往返而不散 逸的光束，才可讓增益介質內的電子不斷的產生受激輻射，最後得以輸出雷射。 因此，若我們要判斷某一光學共振腔是否處於穩定的狀態，可將其條件簡化為判 斷光束在共振腔內多次往返，尚未逸出腔外的條件。而一般我們常用矩陣光學 ( ABCD law )來描述一束光的移動情形。假設有一束光在如圖 2-5 的球面共振腔 內振盪，我們可以寫出其 ABCD matrix [25]為 [ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ] = [ 1 0 − 2 𝑅1 1] [ 1 𝐿 0 1] [ 1 0 − 2 𝑅2 1] [ 1 𝐿 0 1] = [ 1 −2𝐿 𝑅2 2𝐿 − 2𝐿2 𝑅2 4𝐿 𝑅1𝑅2− 2 𝑅1− 2 𝑅2 1 − 2𝐿 𝑅2− 4𝐿 𝑅1+ 4𝐿2 𝑅1𝑅2 ] (2.3.1) 上式的矩陣為光束在共振腔內往返行進一次時的光束變換矩陣，因此，若光束在 腔內往返 N 次，則我們可以把上面的矩陣推廣成 [ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ] 𝑁 = 1 𝑠𝑖𝑛𝜃 [ 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑁𝜃 − sin(𝑁 − 1) 𝜃 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑁𝜃 𝐶𝑠𝑖𝑛 𝑁𝜃 𝐷𝑠𝑖𝑛 𝑁𝜃 − sin (𝑁 − 1)𝜃 ] 2.3.2) 上式中 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 ( 𝐴+𝐷 2 ) (2.3.3) ，亦即 cos𝜃 =𝐴+𝐷 2 (2.3.4) 由 (2.3.2)式，我們可以看出若要光線在腔內進行多次往返而不散逸出腔外，則 (2.3.2)式 必須是有限的實數，換句話說，𝜃 也必須是實數。而這意謂著 |𝑐𝑜𝑠𝜃| ≤ 1，這相當於要求
16 −1 ≤𝐴+𝐷 2 ≤ 1 (2.3.5) 從 (2.3.1)式 可以得知 A、D 兩參數的值 −1 ≤ 1 −2𝐿 𝑅1− 2𝐿 𝑅2+ 2𝐿2 𝑅1𝑅2 ≤ 1 → 0 ≤ 1 − 𝐿 𝑅1− 𝐿 𝑅2+ 𝐿2 𝑅1𝑅2 ≤ 1 (2.3.6) 然而一般習慣上，我們會將 (2.3.6)式 表示成 0 ≤ 𝑔1 𝑔2 ≤ 1 (2.3.7) 其中，𝑔1 = 1 − 𝐿 𝑅1 、 𝑔2 = 1 − 𝐿 𝑅2 (2.3.8) 然而，須特別注意的是，(2.3.8)式 是針對凹面鏡而言，若為凸面鏡則該式的負 號要換成正號。 因此，由 (2.3.7)式 我們給出了雷射共振腔的穩定條件，當共腔滿足 0 ≤ 𝑔1 𝑔2 ≤ 1， 此時為一穩定的雷射共振腔；反之，若 𝑔1𝑔2 < 0 或 𝑔1𝑔2 > 1，則為一個不穩定 的共振腔。 根據(2.3.7)式，以 𝑔1 為橫坐標，𝑔2 為縱座標作圖，我們可以得到光學共振腔 的穩區圖，如圖 2-7 所示。圖中斜線的部分即為穩定的區域。
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2.4 球型共振腔之電場波函數
我們知道電磁波在共振腔內傳遞時，勢必受到共振腔邊界的規範，因此其電
磁場隨著不同的邊界條件當然也有不一樣的分佈狀態，而每一種狀態就是電磁場 的一種模式，簡稱為「模」( Mode )。一般而言，我們可以將雷射的「模」分為
縱模 ( Longitudinal Mode ) 和橫模 ( Transverse Mode )，而對於不同的縱模和橫 模之間，除了有光強度分布的不同之外，亦有頻率的差異。其中，對於不同的橫 模，其光強度的分佈，我們可由肉眼觀察雷射的圖象 ( Pattern ) ，看出其差異； 然而對於縱模則無法直接由肉眼看出其光強度的分佈。 電磁波在共振腔內穩定來回反射振盪，其允許存在穩定的橫向電磁場分佈， 我們就稱為「橫模」。一般常見的橫模有兩種形式，一種圖像為軸對稱，如圖 2-8 所示，而另一種圖像則為旋轉對稱，如圖 2-9 所示。而事實上對於圖 2-8 這樣 的圖形，一般我們把它稱為 Hermite–Gaussian Modes；而圖 2-9 的圖形，則稱 為 Laguerre–Gaussian Modes。然而，對於上述兩種模態，除了有圖形上的差異 之外，我們在分析其電場分佈的波函數時，也是採取不同的坐標係分析，若在直
角(笛卡爾)座標系則電場波函數為 Hermite - Gaussian (HG) function；反之在柱狀 座標系波函數則是 Laguerre - Gaussian (LG) function。以下我們將從 Maxwell's
equations 出發，並在近軸近似的條件下，推導出上述兩種模態之電場波函數。
圖 2-8 Hermite - Gaussian Modes [26]
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假設電磁波在無自由電荷及電流的介質中傳遞，其中介質符合線性以及均值
( Linear and Homogeneous )，則我們可以將馬克斯威爾的方程式 ( Maxwell's
Equations ) 寫成下式 [28] : ∇ × E⃑⃑ = −μ∂ ∂t𝐻⃑⃑ ∇ × H⃑⃑ = −ε∂ ∂t𝐸⃑ (2.4.1) ∇ ∙ E⃑⃑ = 0 ∇ ∙ H⃑⃑ = 0 我們可再將 (2.4.1)式 改寫成 ∇2𝐸 − με ∂2 ∂t2𝐸 = 0 (2.4.2) 並假設電場為單頻的電磁波，則可令 E = E(x, y, z) ∙ ei𝜔t ，帶回 (2.4.2) (∇2+ k2)E(x, y, z) = 0 (2.4.3) 上式中，k 為 wave vector，並且我們假設電磁波沿 z 軸傳播，因此 E(x, y, z) = u(x, y, z) ∙ eikzz (2.4.4) 將 (2.4.4) 代入 (2.4.3) 可得
20 [∂2 ∂x2+ ∂2 ∂y2+ ∂2 ∂z2− 2ikz ∂ ∂z+ (k 2− k z 2)] u(x, y, z) = 0 (2.4.5) 接著我們利用近軸近似 ( Paraxial approximation )，亦即假設光束是被侷限在 z 軸附近的區域，換句話說 ∂2u(x,y,z) ∂z2 遠小於其它項，可以忽略，所以我們可以得到一個近軸方程 [∇t2− 2ikz ∂ ∂z+ kt 2] u(x, y, z) = 0 (2.4.6) 上式中，∇t2 = ∂2 ∂x2+ ∂2 ∂y2 且 kt 2 = k2− k z 2 ，接著假設 u(x, y, z) = Ψ(x, y) G(x, y, z) 其中，Ψ(x, y) 表示光束變化的橫向波函數；G(x, y, z) 則是用來表示高斯球型波 的波函數，而此高斯球型波之波函數可寫成 G(x, y, z) = zR √z2+z R 2 ∙ e −ikz [ x2+y2 2(z2+zR2 ) ] = ω0 ω(z)∙ e −ik (x2+y2)2R(z) (2.4.7) ω0 是光點最小時 ( z = 0 ) 的大小，ω(z) 則是光點在任一位置之大小。 R(z) 是曲率半徑，zR 是 Rayleigh range。而上述參數的數學表示法，分別為 ω(z) = ω0√1 + (z zR) 2 ，R(z) = z [1 + (zR z) 2 ] ，zR =πω02 λ 因此，可將(2.4.6) 整理成
21 [∇t2− 2ikz ∂ ∂z+ kt 2] Ψ(x, y) G(x, y, z) = 0 (2.4.8) 再經過一些代數運算，可將上式改寫成 G(x, y, z)(∇t2+ k t 2)Ψ(x, y) + Ψ(x, y) (∇ t 2− 2ik z ∂ ∂z) G(x, y, z) = G(x, y, z) [∇t2+ kt2 −(kzzR)2(x2+y2) (z2+z R 2)2 ] Ψ(x, y) = 0 (2.4.9) 若我們只看橫向的波方程，則可將上式換成 [∇t2+ kt2−4(x2+y2) ω(z)4 ] Ψ(x, y) = 0 (2.4.10) 再將波函數分成兩個獨立的部分 Ψ(x, y) = f(x)g(y)，則可將上式拆成 [d2 dx2+ kx 2− 4x2 ω4(z)] f(x) = 0，[ d2 dy2+ ky 2− 4y2 ω4(z)] g(y) = 0，kt 2 = k x 2+ k y 2 假設 f(x) = 𝑣(𝑥) ∙ 𝑒− 𝑥2 ω2(z) ， ξ = √2𝑥 𝜔(𝑧) ， 則微分方程可寫成 d2v dξ2− 2ξ dv dξ+ [ 𝑘𝑥2𝜔2(𝑧) 2 − 1] 𝑣 = 0 (2.4.11)
22 而上式與 Hermite polynomial : 𝑦′′− 2x𝑦′+ 2𝑚𝑦 = 0，有相同的形式，因此我 們可以用此關係，求出 (2.4.11) 之解為 Ψ𝑚(x, y) = 1 √2𝑚+𝑛−1𝜋 𝑚!𝑛! 𝐻𝑚[ √2𝑥 𝜔(𝑧)] 𝐻𝑛[ √2𝑦 𝜔(𝑧)] ∙ 𝑒 − (x2+y2) 𝜔2(𝑧) (2.4.12) 且其本徵值 (Eigenvalues) 為 kx2 = 2 ω2(z)(2m + 1) ； ky 2 = 2 ω2(z)(2n + 1) ， m , n = 0 . 1 . 2 , …… 而 𝐻𝑚( ) 表示 m 階的 Hermite polynomial。 由 k2 = kx2+ ky2 + kz2 以及近軸近似，可得 𝑘𝑧 = √k2− kx2 − ky2 ≈ k − kx2+ky2 2𝑘 = k − 2 𝑘ω2(z)(𝑚 + 𝑛 + 1) (2.4.13) 利用積分技巧 ∫ 𝑥 𝑥2+𝑎2 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑛 −1(𝑥 𝑎)，將上式積分，可得相位的部分為 𝑘𝑧𝑧 = kz − (𝑚 + 𝑛 + 1)𝑡𝑎𝑛−1(𝑧 𝑧𝑅) (2.4.14) 上式中 −(𝑚 + 𝑛 + 1)𝑡𝑎𝑛−1(𝑧
23 所以，綜合上述的分析，我們解出在直角坐標下的電場波函數為 E(x, y, z) = Ψ𝑚,𝑛(x, y) ∙ ω0 ω(z)∙ e −ik𝑧z (x2+y2) 2(𝑧2+𝑧𝑅2 )∙ 𝑒− 𝑖[ kz−(𝑚+𝑛+1)𝑡𝑎𝑛−1( 𝑧 𝑧𝑅)] (2.4.15) 其中，Ψ𝑚,𝑛(x, y) = 1 √2𝑚+𝑛−1𝜋 𝑚!𝑛! 𝐻𝑚[ √2𝑥 𝜔(𝑧)] 𝐻𝑛[ √2𝑦 𝜔(𝑧)] ∙ 𝑒 − (x2+y2) 𝜔2(𝑧) 若更近一步分析，我們可以看出 (2.4.15)式 所代表的物理意義為 E(x,y,z) 𝐸0 = { ω0 ω(z)∙ 𝑒 − (x2+y2) 𝜔2(𝑧) } × ⋯ ⋯ 振幅 𝑒− 𝑖[ kz−(𝑚+𝑛+1)𝑡𝑎𝑛 −1(𝑧 𝑧𝑅)] × ⋯ ⋯ 縱向相位 e−ik𝑧z (x2+y2) 2(𝑧2+𝑧𝑅2 ) ⋯ ⋯ 橫向相位 (2.4.16)
現在，若要分析 Laguerre - Gaussian (LG) function，我們所用的方法，和分析 Hermite - Gaussian (HG) function 是相似的，惟需將直角坐標表示法，換成柱座 標，也就是參數將由 (x, y, z) 變成 (r, θ, z)，所以(2.4.6) 改為 [ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟(𝑟 𝜕 𝜕𝑟) + 1 𝑟2 𝜕2 𝜕𝜃2− 2𝑖𝑘𝑧 𝜕 𝜕𝑧+ 𝑘𝑡 2 ] u(r, θ, z) = 0 (2.4.17) 其中，∇t2=1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟(𝑟 𝜕 𝜕𝑟) + 1 𝑟2 𝜕2 𝜕𝜃2 ，且
24 u(r, θ, z) = Ψ(r, θ)G(r, θ, z) = Ψ(r, θ) 𝜔0 𝜔(𝑧)∙ 𝑒 − 𝑖2𝑅(𝑧)𝑘𝑧𝑟2 (2.4.18) 經推導，並解 Laguerre polynomial，可得 Ψ𝑝,𝑙(r, θ) = √(1+𝛿 2𝑝! 0,𝑙)𝜋(𝑝+𝑙)!∙ [ √2𝑟 𝜔(𝑧)] 𝑙 ∙ 𝐿𝑙𝑝[ 2𝑟2 𝜔2(𝑧)] ∙ 𝑒 − 𝑟2 𝜔2(𝑧)∙ 𝑒𝑖𝑙𝜃 (2.4.19) 上式中當 𝑙 = 0 則 𝛿0,𝑙 = 1；當 𝑙 ≠ 0 則 𝛿0,𝑙 = 0 ，最後我們可得在柱座標系 下之電場波函數為 E(x, y, z) = Ψ𝑝,𝑙(r, θ) ∙ 𝜔0 𝜔(𝑧)∙ 𝑒 − 𝑖 𝑘𝑧𝑧𝑟2 2(𝑧2+𝑧𝑅2 )∙ 𝑒− 𝑖[𝑘𝑧−(2𝑝+|𝑙|+1)𝑡𝑎𝑛−1( 𝑧 𝑧𝑅)] (2.4.20) 此外，值得注意的是，在 Hermite - Gaussian 模態中橫向模態係數為 (𝑚, 𝑛)，而 在 Laguerre - Gaussian 模態的橫向模態係數則為 (𝑙, 𝑝) ，且它們之間的關係為 2𝑝 + |𝑙| + 1 = 𝑚 + 𝑛 + 1 (2.4.21) 而(2.4.20)式 所代表的物理意義為 E(x,y,z) 𝐸0 = { ω0 ω(z)∙ 𝑒 − r2 𝜔2(𝑧)} × ⋯ ⋯ 振幅 𝑒− 𝑖[ kz−(2𝑝+|𝑙|+1)𝑡𝑎𝑛−1( 𝑧 𝑧𝑅)] × ⋯ ⋯ 縱向相位 𝑒− 𝑖2𝑅(𝑧)𝑘𝑧𝑟2 ⋯ ⋯ 橫向相位 (2.4.22)
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在上面的篇幅中，我們分別介紹了，Hermite - Gaussian 模態以及 Laguerre -
Gaussian 模態，雖然此兩種模態看似是在不同坐標系下分析的結果，然而事實 上 Laguerre - Gaussian 模態是可以藉由 Hermite - Gaussian 模態轉換而成 [29]。
而且，藉著這兩種模態的數學形式以及物理意義，提供我們一個好的工具來分析 球型雷射共振腔。
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2.5 Hermite - Gaussian Modes 的疊加
我們知道實驗上可以觀察到許多不同的模態，而這些模態即是許多光束互相 干涉後所呈現的巨觀表徵；然而既然我們在上一個小節也已經了解到，雷射光在 球型共振腔內波函數的形式。因此，我們應該也可以透過波函數的疊加，與實際
呈現的模態做一個對照。此外，對於 Hermite - Gaussian 這樣的模態，在特殊的 腔長時，會疊加形成特殊的簡併態，而此簡併態之結果會落在古典軌跡上，如同
幾何光學一般的顯現。所以，對於 Hermite - Gaussian Modes 波函數的疊加，我 們也應有一些基本的認識。 若由兩球面鏡且鏡面距離為 L 所組成的雷射共振腔，其共振頻率可表示為 𝑓(𝑚, 𝑛, 𝑞) = ∆𝑓𝐿[𝑞 + (𝑚 + 𝑛 + 1) × (∆𝑓𝑇/∆𝑓𝐿)] 其中𝑓𝐿 = 𝑐/2𝐿 表示縱模的頻寬，𝑓𝑇 表示橫模的頻寬， 𝑞 表示縱模係數， 𝑚, 𝑛 表示橫模係數。並且若對腔長為 𝐿 兩球面鏡而言，橫模與縱模的頻寬比可 表示成 Ω =∆𝑓𝑇 ∆𝑓𝐿 = 𝑃 𝑄= 1 𝜋𝑐𝑜𝑠 −1√𝑔1𝑔 2 ， 𝑔1 = 1 − 𝐿 𝑅1 、 𝑔2 = 1 − 𝐿 𝑅2 而我們知道在近軸近似下，球型共振腔中的波函數在直角座標下可表示 Hermite - Gaussian (HG) 函數 [14]，即
27 𝛷𝑚,𝑛,𝑙(𝐻𝐺)(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛷𝑚,𝑛(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒 𝑖(𝑚+𝑛+1)𝑡𝑎𝑛−1(𝑧𝑧 𝑅)𝑒 −𝑖(𝜋𝑧𝐿)[𝑙+(𝑚+𝑛+1)𝛺][ 𝑥2+𝑦2 2(𝑧2+𝑧 𝑅2) +1] (2.5.1) 其中，𝛷𝑚,𝑛(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 √2𝑚+𝑛−1𝜋 𝑚!𝑛! 1 𝜔(𝑧) 𝐻𝑚[ √2𝑥 𝜔(𝑧)] 𝐻𝑛[ √2𝑦 𝜔(𝑧)] ∙ 𝑒 − (x2+y2) 𝜔2(𝑧) (2.5.2) 上式中，𝑍𝑅 表示 Rayleigh length ，𝑍𝑅 =𝜋 𝜔0 2 𝜆 ⁄ 𝜔(𝑧) 表示光束半徑，𝜔(𝑧) = 𝜔0√1 + (𝑧/𝑧𝑅)2 ；𝜔0 是光腰 。 當頻寬比 Ω 對應到有理數 𝑃/𝑄 時，𝑘 = 0,1,2,3, ⋯ 的 𝛷𝑚 0+𝑝𝑘,𝑛0+𝑞𝑘,𝑙0+𝑠𝑘 (𝐻𝐺) (𝑥, 𝑦, 𝑧) 可以組成一群簡併態，其中係數為整數且必須符合方程式 𝑠 + (𝑝 + 𝑞) (𝑃 𝑄) = 0。 為了方便起見 s 可以為負整數。由方程式 𝑠 + (𝑝 + 𝑞) (𝑃 𝑄) = 0 指出 𝑞 + 𝑝 必 須是 𝑄 的整數倍，例如 𝑞 + 𝑝 = 𝐾𝑄 ，其中 𝐾 = 0,1,2,3, ⋯ 。 而由 𝛷𝑚 0+𝑝𝑘,𝑛0+𝑞𝑘,𝑙0+𝑠𝑘 (𝐻𝐺) (𝑥, 𝑦, 𝑧) 所組成的三維同調態可廣義地表示成 ψ𝑝,𝑞,𝑠𝑚0,𝑛0,𝑙0(x, y, z；ø0) = ∑𝑀𝑘=0𝑒𝑖𝑘ø0 ∙ 𝛷𝑚0+𝑝𝑘,𝑛0+𝑞𝑘,𝑙0+𝑠𝑘 (𝐻𝐺) (𝑥, 𝑦, 𝑧) 。 (2.5.3) 其中參數 ø0 表示在 z = 0 時各個不同的 HG modes 的相對相位。
28 藉由方程式(2.5.1)，三維同調態可表示為 ψ𝑚 0,𝑛0,𝑙0 𝑝,𝑞,𝑠 (x, y, z；ø0) = ψ𝑚 0,𝑛0 𝑝,𝑞 (x, y, z；ø0) 𝑒−𝑖( 𝜋𝑧 𝐿)[𝑙0+(𝑚0+𝑛0+1)P/Q][ 𝑥2+𝑦2 2(𝑧2+𝑧𝑅2 )+1] (2.5.4) 其中， ψ𝑚 0,𝑛0 𝑝,𝑞 (x, y, z；ø0) = ∑𝑀 𝑒𝑖𝑘ø(𝑧) 𝑘=0 𝛷𝑚0+𝑝𝑘,𝑛0+𝑞𝑘 ø(𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (2.5.5) 且 ø(𝑧) = (𝑞 + 𝑝)𝑡𝑎𝑛−1(𝑧 𝑧⁄ ) + ø0𝑅 (2.5.6) 由方程式 (2.5.4) 我們可以發現，三維同調態 ψ𝑚 0,𝑛0,𝑙0 𝑝,𝑞,𝑠 (x, y, z；ø0) 的圖案完全 是由波函數 ψ 𝑚0,𝑛0 𝑝,𝑞 (x, y, z；ø0) 所決定。然而，波函數 ψ𝑚 0,𝑛0 𝑝,𝑞 (x, y, z；ø0) 是由 波函數 𝛷𝑚0+𝑝𝑘,𝑛0+𝑞𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧；ø0) 以不同相位因子 ø(z) 同調疊加的結果。[14]
29
2.6 橫向模態和縱向模態的頻寬比
在 2.5 節的內容中，我們知道了當橫向頻寬比和縱向頻寬比為一有理數時，
此時的 Hermite - Gaussian Modes 會疊加成一特殊的簡併態。底下我們將對橫向 和縱向的頻寬比以及其所相對應的能量做一個探討。 已知 𝑓𝑚𝑛𝑞 = 𝑐 2𝐿[ 𝑞 + 1 𝜋(𝑚 + 𝑛 + 1) 𝑐𝑜𝑠 −1√𝑔1𝑔 2 ] Ω =∆𝑓𝑇 ∆𝑓𝐿 = 𝑃 𝑄= 1 𝜋𝑐𝑜𝑠 −1√𝑔1𝑔 2 註 : m , n 表示 橫模係數 ； q 表示 縱模係數 若以我們本實驗要討論的 V mode 為例，其 Ω =1 2 ，則表示 ∆𝑓𝑇 : ∆𝑓𝐿 = 1: 2 (2.6.1) 此外，由光波的能量正比於頻率，所以可以得到下式 𝐸 ∝ 𝑓𝑚𝑛𝑞 = [ ∆𝑓𝑇 (𝑚 + 𝑛 + 1) + 𝑞 ∙ ∆𝑓𝐿 ] (2.6.2) 而所謂簡併態及表示每個疊加的「mode」 其所對應的能量都是一樣，亦即 (2.6.2) 式中，不管 m , n , q 如何變化，其加出來後的值必須是一樣的。若以 1/2 的簡併 態 ( V mode ) 為例，我們以下面的頻率示意圖做一個簡單的說明。
30 已知 ∆𝑓𝑇 : ∆𝑓𝐿 = 1: 2 ，所以可以假設 ∆𝑓𝑇 = 1，∆𝑓𝐿 = 2 ；且令 n = 0 則 (2.6.2) 式 可以改寫成 𝐸 ∝ 𝑓𝑚𝑛𝑞 = [ 1 (𝑚 + 0 + 1) + 𝑞 ∙ 2 ] (2.6.3) 圖 2-10 模態係數及頻寬示意圖 上圖中，橫坐標表示頻率，縱座標表示強度；下方的係數則表示 ( m , n , q ) 且已知 ∆fT = 1，∆fL = 2，所以當 m 係數增加 2，則 q 的係數就要少 1；如此則 可以保證 (2.6.3) 式 所加出來的能量都是固定的。
31
以示意圖左下方第一排的係數為例，假設一開始有一組係數為 ( 10 , 0 , q ) 而當
其處在 1/2 的簡併態時，則它的下一組係數為 (12 , 0 , q-1 )，其餘皆可依此類推。 而當將很多組這樣的模態相疊加時，即會形成頻寬比為 1/2 的簡併態。
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第三章 實驗結果與討論
本章的內容主要分成兩大部分，第一部分主要介紹雙凹球面鏡(曲率半徑不 相同)下，所產生雷射模態的特性，以及當處在簡併共振腔時所產生之簡併態。 第二部分則是探討一凹一凸球面鏡，若產生和雙凹球面鏡一樣的簡併態時，其幾 何軌跡是否有所差異；此外，當腔長吻合某個特定的條件下，剛好可以產生「共 心」共振腔，從實驗的觀察我們可以發現，其幾何軌跡完全符合理論的預測。3.1 雙凹共振腔
3.1.1 實驗裝置及架構
本實驗所用的裝置包含了 : 雷射二極體 ( Laser diode )、電源供應器、聚焦 鏡、前鏡 ( 曲率半徑 = 10 mm )、輸出鏡 (曲率半徑 = 20 mm)、增益介質 ( a - cut Nd:YVO4 )，當裝置可以產生雷射時，我們即可在屏幕上觀察到雷射的圖形，再 藉由相機即可記錄下所有的實驗結果。而若要觀察共振腔內和腔外幾個毫米的圖 形，則可由物鏡來觀看，其可觀察的極限為往前延伸 13mm。相關的示意圖可以 參考 圖 3-1。 我們所使用的增益介質之規格為 : 8 × 8 × 2 𝑚𝑚3，Nd doped : 2%，AR/AR@ 1064 nm，a - cut。藉著雷射二極體輸出的雷射，讓它激發增益介質內 的電子，使之產生受激輻射，然後在兩球型共振腔內不斷往返，最後輸出雷射並 呈現在屏幕上，再由相機拍下照片作為紀錄。而在實驗儀器的架設上，事實上我 們的聚焦鏡、前鏡、增益介質和輸出鏡，皆是固定在一個有三個維度可調的平台 ( stage ) 上，其可移動的方向分別為 : 左右 ( x 方向上的離軸 )、上下 ( y 方向 上的離軸 ) 以及前後 ( z 方向上的離軸 )，而精確度可達 0.01 mm。因此，在實 驗上我們可以藉由改變上述的這些參數，觀測各式各樣的雷射圖形。
33 圖 3-1 實驗裝置示意圖
3.1.2 實驗理論分析
如第二章所提，一個穩定的雷射共振腔須滿足 : 0 ≤ 𝑔1 𝑔2 ≤ 1。𝑔1 = 1 − 𝐿 𝑅1 、 𝑔2 = 1 − 𝐿 𝑅2 ；若已知 𝑅1= 10 mm 、𝑅2= 20 mm。 則可推得此時對應穩定的腔長( L )應該是 : 0 𝑚𝑚 ≤ 𝐿 ≤ 10 𝑚𝑚 𝑜𝑟 20 𝑚𝑚 ≤ 𝐿 ≤ 30 𝑚𝑚 。 換句話說，當腔長介於上面兩式的任一區間時，即可產生雷射。而從上式我們也 可得知，在此架構下可產生雷射的腔長並不是連續的，而是分成兩個區間。因此， 在接下來的實驗，我們將分別就這兩個區間來探討。 此外，還記得在第二章我們也曾提過，當共振腔屬於某個特定的腔長時，會 有特殊的簡併態出現。假設當頻寬比對應的有理數為 1/2，則表示 1 2= ∆𝑓𝑇 ∆𝑓𝐿 = 𝑃 𝑄= 1 𝜋𝑐𝑜𝑠 −1√𝑔 1𝑔2 。 𝑔1 = 1 − 𝐿 𝑅1 、 𝑔2 = 1 − 𝐿 𝑅2 ；34 𝑅1 = 10 mm 、𝑅2= 20 mm。 經計算，我們發現有兩個腔長( L )可以吻合上式的情況，其分別為 L = 10 mm or L = 20 mm ，而對於此種特殊的簡併態，當然我們也須加以探 討。 由圖 3-2 我們可以把腔長和頻寬比做一個對應，橫軸表示腔長，縱軸表示頻 寬比。從圖可以發現中間有一個斷層，此區段表示無法產生雷射。而縱軸為 0.5 所 對應到的腔長即表示可以產生 V mode 的腔長。此外，從此圖形我們也可以發 現和一般雷射共振腔 ( 如圖 3-3 所示，此圖形是兩個球面鏡的曲率半徑皆為 20 mm ) 比較不一樣的狀況。當我們選用的是這組共振腔時，它可以雷射出光的範 圍並不是連續的，因此可以發現當腔長為 10 mm 和 20 mm 時，它會處於「臨界」 的狀況，亦即介於穩定和不穩定之間。因此，在實驗中我們針對這兩個特定的腔 長去觀察，可以發現到迥異於一般共振腔的物理特性。 最後，值得一提的是，事實上，對於此種簡併態我們一般又把它稱為 「V mode」，其命名的來源，主要是因其古典的軌跡，和英文的「V」相似，而我們 在後面實驗結果也將驗證這點。
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圖 3-2 腔長和頻寬比的對應圖 ( 𝑅1 = 10 mm 、𝑅2= 20 mm )
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3.1.3 實驗內容
本節的實驗內容將分成幾個部分來介紹 : (1) 當腔長介於 0 𝑚𝑚 ~ 10 𝑚𝑚 時，Fundamental mode 的偏振性質 (2) 當腔長介於 20 𝑚𝑚 ~ 30 𝑚𝑚 時，Fundamental mode 的偏振性質 (3) 腔長在 10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，近、遠場的觀察 (4) 腔長在 20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，近、遠場的觀察 (5) 腔長在 10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，其偏振性質 (6) 腔長在 20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，其偏振性質(1) 當腔長介於 0 𝑚𝑚 ~ 10 𝑚𝑚 時，Fundamental mode 的偏振性質
我們在接下來的實驗觀測中，將會去測量雷射模態的偏振性。而在光學 實驗中，判定線性偏振的方式是較簡易的，只要用一個線性偏振片，並觀察是否 在特定方向可以將「光」完全濾去即可，但即使如此，還是需定義一個參考的方 向，以便讓我們得知此時的偏振方向為何。因此，在一開始我們需先定義出晶體 各個軸方向的表示法，而在後面的實驗偏振方向的表示，就以此為標準。此外， 由於在本次實驗所有的偏振性都是線性偏振或兩組線偏的疊加，因此我們並不需 要特別在意圓偏振或橢圓偏振的問題。因為本次實驗所用的晶體為 a - cut Nd:YVO4 在一般正常的情況下，其輸出的雷射光偏振方向為平行 c 軸，為了方 便起見，我們就先在此定義 c 軸以及 b 軸的方向。如圖 3-3 所示。37 圖 3-4 晶軸方向表示法 一開始我們先從最基本的模態 Fundamental mode 觀察起，由於我們已經算 出在此架構下，可雷射出光腔長的臨界條件為 10 mm ，因此在實際的實驗操作 上我們就從當腔長等於 10 mm 開始，接著逐漸縮短範圍，直到可操作的最小值， 也就是 9.1 mm。值得注意的是，雖然我們算出來的理論值，可允許雷射的腔長 最小可至 0 mm，然而在實際的實驗放並無法做到這麼小的範圍。因此，我們僅 能就實驗儀器可允許的架構下，做一個完整的探討。圖 3-5 即是 Fundamental mode 在各腔長下所對應的偏振情況。 圖 3-5 Fundamental mode 在不同腔長下的偏振方向對照示意圖
38 從上面的示意圖可以發現，當腔長介於 10 mm - 9.1 mm 之間時， Fundamental mode 的偏振方向皆是在「c 軸」。然而，事實上，腔長介於 0 mm -10 mm 時 Fundamental mode 的偏振方向皆會是在「c 軸」。不過，若腔長處於另一 個可雷射的範圍時，是否也會有一樣的結果呢。 我們可從下一個實驗來檢視。
(2)
當腔長介於 20 𝑚𝑚 ~ 30 𝑚𝑚 時，Fundamental mode 的偏振性質
此實驗的方法，基本上和上一個實驗相同，差別在於我們選擇的腔長是從 20 mm 開始，然後逐漸拉長腔長。實驗的結果可參考圖 3-6。 圖 3-6 Fundamental mode 在不同腔長下的偏振方向對照示意圖 從上圖可以發現，Fundamental mode 的偏振性隨著腔長的改變，也會有所 變化，我們可藉由下表，做一個更清楚的呈現。39 腔長 (mm) 偏振方向 20 - 21.03 c 21.04 - 21.15 b 21.17 兩組線性偏振的疊加 21.18 - 21.88 c 表 3-1 Fundamental mode 偏振方向變化表 從上表我們可以發現，Fundamental mode 偏振方向雖大致都是平行 c 軸， 但是在中間會有一小各區段，反而是平行 b 軸，之後又會再回到平行 c 軸。所 以，雖然大致上來說主要的偏振方向是平行 c 軸，但是仍有一小段區間並非如 此。 而為什麼線性偏振的方向會有變化，不是固定的在 c 軸方向，我們以 圖 3-7 做一個定性的說明。以圖 3-4(a)為例，一般我們說雷射光入射 a-cut 的晶 體，輸出的光會線性偏振在 c 軸 ( 電場振動雖然可以在 b、c 平面，但是 c 軸的 吸收較強，所以一般穩定的狀況下會偏振在 c 軸 )，然其理論的根基在於，入射 光須完全的平行 a 軸 ( 即𝑘̂ ∥ 𝑎̂ )。但是，當其輸入的雷射光並不是百分之百平 行於 a 軸時，則其電場振動的方向就不是完全平行 c 軸，此時偏振的方向就要看 b 軸和 c 軸哪個方向的吸收較強，所以就會造成我們實驗所觀察到的現象，它可 能線性偏振在 b 軸或 c 軸，而當兩個方向吸收強度差不多時，則會出現兩個線性 偏振疊加的情況。
40 圖 3-7 造成線性偏振方向改變示意圖 : (a) 入射光平行 a 軸； (b) 入射光沒有平行 a 軸
註 : 𝑎̂、𝑏̂、𝑐̂ 表示晶體的三維座標軸；𝑘̂ 表示光的行進方向，𝐸̂ 表 示電場振動方向。
(3-1) 腔長在
10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，近場觀察
接下來我們將介紹在腔長為 10 mm 時，所產生的特殊簡併態 V mode，透 過近場的觀察，可以讓我們了解其在腔內幾何軌跡。實驗的步驟，一開始先得調 出 V mode 的模態，如 圖 3-8 或 圖 3-9 所示，也就是在屏幕上會呈現「兩個光 點」。然而，就如同圖 3-8、圖 3-9 所示，要呈現這樣的圖像，事實上是有兩種可 能，但實際是哪一種可能，我們無法直接從屏幕上來判斷。因此，需藉由物鏡觀 察腔內圖像的變化情形，讓我們得以反推其真實的幾何軌跡。41 圖 3-8 V mode 在共振腔內的幾何軌跡示意圖 圖 3-9 V mode 在共振腔內的幾何軌跡示意圖 當我們調出 V mode 的圖像後，開始將物鏡前後移動，由於物鏡的可觀察到 其鏡筒前 13 mm 的地方，所以，即可觀得近場以及腔內的圖形。而須特別注意
42 的是，我們在此實驗的參數 ∆𝑞 是將它當作物鏡移動的距離。 ∆𝑞 > 0 表示觀察到腔外 ； ∆𝑞 < 0 表示觀察到腔內 。實驗所得的結果如圖 3-10、 圖 3-11、圖 3-12 所示。 圖 3-10 V mode 在共振腔長為 10 mm 時，腔內的幾何軌跡示意圖 圖 3-11 V mode 在近場以及腔內的所觀察到的圖形。(a) ∆𝑞 = 0；(b) ∆𝑞 = 0.10 (c) ∆𝑞 = - 0.10 [mm]
43 圖 3-12 V mode 在不同位置成像的比較圖 從圖 3-12 的比較，可以發現雷射的模態在輸出鏡的鏡心上時，為一個點； 之後不管往腔內移動或腔外移動，皆會發散成兩個點。因此，我們可以藉此反推， 該模態在腔內的幾何軌跡就如圖 3-10 所示。此外，藉著圖 3-10 也可以很清楚的 看出該軌跡就如同英文字母「V」，因此，我們就把這樣的簡併態稱為「V mode」。 而從圖 3-11，不管是從「一個光點」或是「兩個光點」的情況來看，我們都可以 清楚的看見干涉條紋，而此結果完全和波動光學不謀而合。
(3-2) 腔長在
10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，遠場觀察
在這個實驗中，我們要觀察若在 V mode 的條件下，進而改變調整 x 、 y 方向的離軸以及腔長的長度，則 V mode 圖形會有什麼變化。而在實驗測量的 相關數據中，皆是和 V mode 的參數去做比較，例如 : ∆𝑥 = 𝑥𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑥。相 關實驗結果如圖 3-13、圖 3-14、圖 3-15 所示。須特別注意的是，本實驗器材可 提供的精準度只至 0.01 mm，因此若小於此尺度，皆為估計值。44
圖 3-13 改變 x 或 y 方向離軸，以及同時改變的比較圖
45 V mode ∆L = 0 ∆y = 0 ∆y = 0.15 mm ∆L = 0 V mode ∆L = 0 ∆y = 0 ∆y = - 0.15 mm ∆L = 0 V mode ∆L = 0 ∆y = 0 ∆L = 0.005 mm ( 縮短腔長 ) V mode ∆L = 0 ∆y = 0 ∆L = - 0.04 mm ( 增加腔長 ) 圖 3-15 只改變腔長 ( L ) 或 y 方向離軸的比較圖 從上面的三張圖，可以發現一些有趣的現象，我們可以將之做一個簡單的歸 納 : 1. 從圖 3-15 的比較可以發現，若只改變腔長 V mode 兩點的拉長，會有一端 是固定不動的，僅有另一端會隨之增長。然而，若只改變 y 方向的離軸， 則 V mode 兩點的拉長則是從中心往兩端拉長。 2. 若只改變 x 方向的離軸，則僅僅是將原本為兩點的圖形往水平方向拉長。 3. 從圖 3-13 的比較可以發現，若同時條改變 x 方向和 y 方向的離軸，則圖 形會從一維變成二維。 4. 從圖 3-14 的比較可以發現，若同時改變 x 方向的離軸和腔長，則可呈現出 兩組的「 Lissajous 」 圖形。[註] 註 : Lissajous 圖形為兩個沿著互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡。
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(4-1) 腔長在
20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，近場觀察
此實驗和實驗(3-1)一樣，都是希望藉由物鏡觀察 V mode 在近場以及腔內 所呈現的圖像，並加以判斷其在腔內的幾何軌跡。而在實驗操作的部分，一開始 一樣先調出 V mode 的模態，接著開始移動物鏡，而移動物鏡的距離以 ∆𝑞 表示。 ∆𝑞 等於 0 表示物鏡幾乎貼在輸出鏡上，而須特別注意的是，此時物鏡所觀察 到的圖形，是其鏡筒「前方 13 mm」該空間的的成像，如圖 3-16 所示；而 ∆𝑞 小 於 0 則表示物鏡看到的空間是在共振腔內。實驗所得的結果如圖 3-17 所示。47
圖 3-16 (a) 實驗架構圖； (b) V mode 在共振腔長為 20 mm 時，腔內的幾何 軌跡示意圖。
48 圖 3-17 V Mode 在不同位置成像的比較圖 從圖 3-17 可以發現，V mode 兩點張開的角度隨著物鏡越遠離輸出鏡，角 度就越大，然而因為儀器架設的關係，物鏡無法確實看到前鏡上的成像是否確實 為一個點，但我們依舊可以藉由觀察兩點之間的距離是否越來越大，來判斷其幾 何軌跡。因此，從此實驗得以反推 V mode 在共振腔長為 20 mm 時，腔內的幾何 軌跡就如圖 3-16(b)所示。到這裡我們就可以發現，雖然在此架構下有兩種情況 ( 分別當腔長等於 10 mm 以及 20 mm ) 得以允許簡併態 V mode 存在，然而其 本身在共振腔內的軌跡卻是完全不同的。那麼在同樣的狀況下，當我們把觀察的 重點拉到遠場時，此兩種情況是否也會有所差異呢。或許我們可以從實驗(4-2) 得到答案。
(4-2) 腔長在
20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，遠場觀察
此實驗和實驗(3-2)一樣，皆是觀察 V mode 在遠場時，當調整 x 及 y 方 向的離軸時，圖形有何變化。還記得在實驗(3-2)當我們改變 x 或 y 方向的離軸， 原本的兩點可能呈橫向或是縱向的展延；然而當腔長變為 20 mm 時，此時的模 態雖亦是 V mode，但此時改變 x 或 y 方向的離軸，卻發現原本的「兩點」會 有彼此距離拉開或是「旋轉」的情況出現。並且，隨著離軸的改變，兩點張開亦 會跟著有所變動，並且這樣的變動可以說大致是符合線性變化的。由於本實驗需 牽扯到一些角度的計算，因此，我們須先把相關的參數以及角度的計算方式說明49 清楚。 首先，在實驗中所改變的參數，都是和 Fundamental mode 的參數 (𝑥, 𝑦) 去 做比較的。例如 : ∆𝑥 = 𝑥𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑥 ，∆𝑦 = 𝑦𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑦。 而從數學上得知，若我們想知道同時改變 (𝑥, 𝑦) 的大小為多少，可以寫成 ∆𝑟 =（Δx + Δy）1/2 。 因此，就理論上來說，相同的 ∆𝑟 值，應可對應至相同的「角度」。而所謂的「角 度」，即是 V mode 兩點所張開的角度，計算的方式可以參考圖 3-18。圖中前鏡 至屏幕的距離為 17.5 cm； d 表示 V mode 兩點的距離，單位為公分；所以， 角度 = θ= 2Φ = 2 ∙ 𝑡𝑎𝑛−1( 𝑑⁄2 17.5 )。 而本實驗的重點就在於調整不同 x 或 y 方向的離軸，除記錄下圖片之外並計算 相應的角度。相關的實驗結果以及數據，如圖 3-19，表 3-2、表 3-3、表 3-4 以及 附錄 所示。 圖 3-18 V mode 角度計算示意圖
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圖 3-19 不同的 ∆x 及 ∆y 所對應的圖形
∆x[mm] ∆y[mm] ∆𝑟[mm] d/2[cm] θ[degree] ∆x[mm] ∆y[mm] ∆𝑟[mm] d/2[cm] θ[degree]
0 0.4 0.4 1.28 8.33 0.8 0 0.8 3.33 21.54 0 0.8 0.8 3.19 20.65 0.8 0.4 0.89 3.68 23.77 0 1.2 1.2 5.1 32.50 0.8 0.8 1.13 4.89 31.21 0 1.44 1.44 6.38 40.03 0.8 1.2 1.44 6.45 40.44 0.4 0 0.4 1.49 9.72 1.2 0 1.2 5.31 33.77 0.4 0.4 0.57 2.13 13.85 1.2 0.4 1.26 5.45 34.62 0.4 0.8 0.89 3.61 23.33 1.2 0.8 1.41 6.23 39.21 0.4 1.2 1.26 5.45 34.62 1.43 0 1.43 6.45 40.41 表 3-2 圖 3-19 各個圖形相應之角度 ∆𝑟 = √∆𝑥2+ ∆𝑦2
51 表 3-3 ∆r 及對應 V mode 的角度表 [註] 註 : 表 3-3 所有完整的數據請參閱 附錄 第一組 第二組 第三組 第四組 第五組 ∆𝑟 [mm] 1 1.02 1 1 1.02 θ(degree) 27.74 27.74 27.30 27.30 27.30 表 3-4 幾組相近的 ∆r 值其對應 V mode 之角度做比較
52 從上面的幾張圖形、圖表和附錄，我們可以將此實驗做幾點的討論 : 1. 因為 ∆𝑟 是等於 （Δx + Δy）1/2 ，所以導致很少有 ∆𝑟 值算出來是剛好每一 組都有此 ∆𝑟 值 ( 例如 : 不可能每一組都會有一個 ∆𝑟 剛好都等於 1，但 可能有 1.02 ) ，因此我們原先期待藉由此實驗可以在相同的 ∆𝑟 值找到相同 的θ 值，便無法精確的去對應，只能大概去找接近的 ( 例如 ∆𝑟 = 1 和 ∆𝑟 = 1.02 去對應看看角度會不會差不多 ) 。 2. 此外，本次實驗兩點的距離都是用尺量，可能會有些許誤差，但即便如此， 有些 ∆𝑟 值差不多的圖形與其對應 θ 值仍然是相當接近的 (可參考表 3-4 )， 而此結果也符合我們一開始的預測。 3. 隨著 ∆𝑟 的增加，其對應的角度也會跟著增加 ( 如表 3-3 所示 )。其可允許 分布的角度為 : 2.78° < 𝜃 < 41.26° 。 4. 從此實驗也發現了，不同腔長所產生的 V mode，不僅在腔內會有不同的幾 何軌跡之外，當我們調整不同 x 或 y 方向的離軸時，其在遠場所呈現的圖 形變化亦不相同。 5. 然而 V mode 在不同腔長下，除了幾何軌跡、圖形變化皆相異之外，其偏振 性質是否也會有所不同呢 。 在下兩個實驗中，我們將就其偏振性質做一個 探討。
(5) 腔長在
10 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，其偏振性質
這個實驗主要是測量當腔長為 10 mm 時，V mode 的偏振性，而在實 驗(1)已經得知 Fundamental mode 為一線性偏振光，且偏振方向在 c 軸，然而當 模態轉為 V mode 時，是否依舊為線性偏振，又兩光點的偏振性質是否會有差 異，皆是此實驗觀察的重點。而實驗的方法當然和實驗(1)相似，一開始先調出 V mode 的模態，之後用一個偏振片去做測試，若偏振片無法完全濾去光點，再考 慮其他可能，不過本實驗做出來的結果為線性偏振，所以便不需再做其他後續的53
嘗試。實驗結果可參考圖 3-20。
圖 3-20 (a) Fundamental mode 偏振方向；(b) V mode 偏振方向
由圖 3-20 可以發現，Fundamental mode 和 V mode 皆為線性偏振，且偏振 方向皆在 c 軸，並且 V mode 兩點的偏振性質皆為一樣。然而，在另一個腔長 下 V mode 的偏振方向是否依舊會在 c 軸呢。 因此我們仍須藉由實驗(6)，方可 得知結果。
(6) 腔長在
20 𝑚𝑚 附近時所產生的 V mode，其偏振性質
此實驗內容為測試當當腔長為 20 mm 時，V mode 的偏振性，而在前面實 驗(2)，可以看到 Fundamental mode 在不同的腔長時會有不同的偏振方向，然而 當模態轉為 V mode 時，我們在實驗中發現到也是會有類似的情況。另外，從圖 3-19 可以看出，事實上在腔長為 20 mm 時，可以呈現 V mode 的圖形是有很多 組可能的，但是不是一定每組 V mode 的偏振情形皆一樣呢。 從實驗的結果發 現答案是否定的，因此在本實驗中，我們特別取了兩組 V mode ( 兩光點分別為 橫向和縱向，如圖 3-21 所示 )，並且如同實驗(2)一般，改變其腔長的大小，觀 測這兩組 V mode 的偏振方向是否會隨著腔長的變化而改變，又若果真有改變， 此兩組改變的方式是否會一樣。 實驗一開始一樣需先調出 V mode 模態( 如圖 3-21 (a) )，然後利用偏振片檢 視其偏振方向，接著調整腔長再做一次，直到模態不在是 V mode 為主；而另 一組 V mode ( 如圖 3-21 (b) ) 的實驗方式亦是如此。而在在實驗中所改變的參54
數，都是和 Fundamental mode 的參數 (𝑥, 𝑦) 去做比較的。例如 :
∆𝑥 = 𝑥𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑥 ，∆𝑦 = 𝑦𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒− 𝑦。並且我們定一開始可雷射出光的腔長 為 20 mm。相關實驗結果如圖 3-22 所示。
圖 3-21 (a) 橫向 V mode [ ∆x = 0.2 mm , ∆y = 0 ] ；
(b) 縱向 V mode [ ∆x = 0 , ∆y = 0.2 mm ]
圖 3-22 (a)、(b) 兩組 V mode 在不同腔長下偏振方向的比較圖 (b). ∆𝑥 = 0 𝑚𝑚 , ∆𝑦 = 0.2 𝑚𝑚
55 從圖 3-22 可以發現，(a)、(b) 兩組 V mode 在不同腔長時，其偏振方向也會 有所不同，我們可以藉由下表作一個更清楚的檢視。 (a) (b) 腔長 [mm] 偏振方向 腔長 [mm] 偏振方向 21.64 - 21.79 b 軸 21.48 - 21.67 c 軸 21.80 兩組線性 偏振疊加 21.68 兩組線性 偏振疊加 21.81 - 21.87 c 軸 21.69 - 21.74 b 軸 21.75 兩組線性 偏振疊加 表 3-5 兩組 V mode 在不同腔長下的偏振方向比較表 從上面可以發現，橫向和縱向的 V mode 一開始的偏振方向並不一樣，然 而之後都會經過一段區間是「兩組線性偏振疊加」，而後再變成和一開始相反的 偏振方向。因此，從此實驗可以看出，事實上 V mode 在腔長為 20 mm 時，其 偏振方向並非固定的，並且隨著腔長的改變，偏振方向也會跟著改變。對比於腔 長為 10 mm 的 V mode，其偏振性質似乎有更多樣的變化。
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3.1.4 結論
由前面的推導及實驗可以發現，在此實驗的架構下共有兩個腔長的區間可以 產生穩定的雷射，並且也都可以產生 V mode 的模態，一個是腔長大約為 10 mm 左右，另一個腔長大約為 20 mm 左右。而從實驗(1)~ 實驗(6)，我們也在這兩
組腔長的條件下分別對的 Fundamental mode 及 V mode，做了一系列的觀測及 比較。藉由實驗的結果，也確實發現到在不同的腔長下所產生的性質，如 : 偏 振方向或模態變化，皆不盡相同。藉著表 3-6，可以將上述的六個實驗給出一個 清楚的比較及結論。 腔長 10 mm 左右 20 mm 左右 Fundamental mode ( 偏振方向 ) 偏振方向皆是在 c 軸 。 偏振方向會有改變，並且 會有「兩個線性偏振疊 加」的情形。 V mode ( 若改變 x、y 方向的離軸 ) 1. 若只改變 x 或 y 方向的離軸，則只是 將圖形由一點展成 一條線。 2. 但若同時改變 x 及 y 方向的離軸，則圖 形從一維變成二維。 1. 若只改變 x 或 y 方向的離軸，則會將 兩點的距離拉大。 2. 但若同時改變 x 及 y 方向的離軸，則圖 形會有類似「旋轉」 的效果。 V mode ( 偏振方向 ) 偏振方向在 c 軸。 偏振方向會有改變，並且 會有「兩個線性偏振疊 加」的情形。 表 3-6 實驗(1)~ 實驗(6) 結論及比較
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![圖 2-2 單位 Nd:YVO4 晶體結構圖 [20]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/7269052.69226/16.892.232.664.116.420/圖22單位NdYVO4晶體結構圖2.webp)
