相關原理。雷射的英文全名是 Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation，其本質也是一種光波或說是電磁波，因此我們可使用波動光學分析其
或是，選擇用 Nd : YAG (neodymium-doped yttrium aluminum garnet ) [5]、Nd : YVO4 ( Neodymium-doped yttrium vanadate ) 的固體雷射等等。此外，不同的光 學共振腔則會產生各種不同的模態以及不同的物理特性 [6] [7]，而腔長的長
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短更關係到能否穩定的產生雷射 [8]。由上述我們可以發現，對一個簡單的雷射 系統來說，即有許多參數可供改變，而藉著改變不同的參數，相信可以提供許多 研究者對雷射這個領域繼續更深且廣的研究。
在不同的雷射共振腔會產生不同的模態，然而，若我們想藉由計算機去模擬 這些模態的話，則勢必得先找出一套相對應的數學形式。有趣的是，透過波動光 學的理論，我們可以推得在球型共振腔的條件下，其波函數和薛丁格
( Schrödinger ) 方程式的二維諧振子具有相同的數學形式 [9] [10]。因此，在實 驗上我們以藉由不同的球型共振腔，例如 : 雙凹、平凹、凹凸腔等等，觀察其 雷射的模態及特性，而其數學的形式則提供我們一個方法去模擬是否和我們實驗 觀測到吻合。
最後，值得一提的是，雷射共振腔的波函數在近軸近似 ( paraxial
approximation ) 下，可解得球型共振腔內的波函數為 Hermite - Gaussian 的型式，
而在特定的腔長下，腔內的各個波函數會疊加成一個特殊的簡併態，例如 W Mode、M mode 或 V Mode [11] 等等。然而，這些波函數在共振腔內理論上是 由許多光子疊加而成，並且在某些特定的位置有最大的出現機率，而此統計分佈 的結果，最後卻剛好和幾何光學的路徑吻合。這樣的結果除了提供我們一個方向，
得以用幾何光學的方法去分析雷射光在共振腔的運動軌跡之外 [12]，更使我們 看到古典物理和量子力學在球型共振腔上所呈現的對應。
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1.2 研究動機
雷射這個領域在經過幾十年的發展，不管是在理論或實驗方面皆已有一定的 完整性，而近年來許多研究者也發現雷射共振腔有許多有趣的現象，例如 : 橫 模鎖定 ( transverse mode locking ) [13]、魔梯現象 ( Devil’s staircase ) [14] 或是混 合偏振雷射光束( hybridly polarized vector beams ) [15] 等等 。
此外，在不同的雷射共振腔下，輸出雷射的模態也不盡相同，例如只要稍微 改變腔長和離軸輸出模態的變化即可從 TEM00 mode （fundamental mode）到高 階的 Hermite - Gaussian modes，甚至在特定的腔長下，我們也可以找到一些特別 的簡併態，如前述的 M mode、W mode [11] 等等。因此，這樣的結果也引發 我們一些興趣，是否還有其它可能的簡併態存在，以及這些簡併態是否有什麼樣 特殊的性質 。
而以本論文為例，我們找到了在特定的腔長下會形成一個頻寬比為 1/2 的簡 併態，即 V mode。然而有趣的是，由於我們實驗所使用的兩個球面鏡其曲率半 徑並非完全一樣的，因此從理論的計算中發現到其可允許雷射的範圍並非連續的，
而是中間會有一個「斷層」存在。因此，對於這種有別於一般穩定共振腔的結構，
是否存在著較特殊的特性，是本篇論文主要的研究動機。
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1.3 內容概要
本篇論文內容，第一章主要大致介紹雷射的發展及應用，並且陳述研究動機
。而第二章則是闡述及推導，實驗中所應用到的相關理論背景，例如 : 介紹實 驗晶體 Nd:YVO4之特性、光的偏振性、推導穩定共振腔的條件以及共振腔的波 函數等等。第三章則為本篇論文的重點，將把各實驗的結果及討論做一個完整的 呈現，例如 : 關於 V mode 允許存在的腔長、其張角範圍或是偏振特性等；並 且介紹在凹凸共振腔所觀察到異於雙凹共振腔之現象。第四章是把整篇論文做一 個總結。最後，第五章則是建議未來研究者可以研究方向。
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也就是需要產生所謂的居量反轉 ( Population Inversion )。因此，一般常見的雷射，
大都為三階雷射或四階雷射。而基本上我們可以把 Nd:YVO4看成是一種四階的 雷射，它對波長 808 nm 的光有較強的吸收，並放出 1064 nm 與 1342 nm 兩種 波段的雷射光，其能帶的示意圖如圖 2-1 所示。