3-1 磁光科爾效應 (Magneto optics Kerr effect， MOKE)
磁光科爾效應依據磁化強度的指向，可區分為下列三種類型，如圖 3.1 所示：圖 3.1 (a)極向(b)縱向(c)橫向磁光科爾效應示意圖 1.極向科爾磁光 (polar MOKE)
磁化強度方向垂直於樣品表面，若樣品有垂直磁化，可從 PMOKE 量測出來。
2.縱向科爾磁光 (longitudinal MOKE)
磁化強度方向平行於樣品表面以及光的入射面。
3.橫向科爾磁光 (transversal MOKE)
磁化強度方向平行於樣品表面，但垂直於光的入射面。
本篇論文以縱向磁光科爾效應測量樣品的磁滯曲線，縱向磁光科爾效應為光 與磁場在磁性物質中的交互作用，一線偏振光入射至磁性物質時，物質的介電常 數張量隨著外加磁場改變，導致反射光轉變為橢圓偏振光。
說明磁光柯爾效應原理之前，先討論光的偏振性以及複數折射率，以助於了 解磁光科爾效應的理論。
M M
M
(a) (b) (c)
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3-1-1 光的偏振 (polarization)
光的偏振分為線偏振、圓偏振以及橢圓偏振，其中線偏振光可以分解為左旋 光𝛔-和右旋光𝛔+的疊加；如圖 3.2 表示，線偏振光為𝛔-與𝛔+的線性疊加。
圖 3.2 線偏振光分解 3-1-2 複數折射率 (complex refractive index)
光與物質交互作用後的現象，可從複數折射率 m來討論； m = n + ik ，實部 n
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⟹ tanϕ = EY
EX = tan ω
2c(n+− n−)z
⟹線偏振光旋轉ϕ =ω2c n+− n− z
圖 3.3 線偏振光分解
消光係數 k 代表光在物質中散射的程度，為了瞭解 k 對光的影響，我們簡化情 形為，𝛔−和𝛔+的折射率 n 皆相同；依據消光係數的意義，當 k 愈大，表示光被物 質散射的程度愈高，也就是反射光的強度較小，反之亦然；若物質中𝛔−和𝛔+的消 光係數不相同，則𝛔−和𝛔+反射光強度不相同，由圖 3.4 可知，消光係數的不同，
使線偏振光轉變為橢圓偏振光。
圖 3.4 左旋光與右旋光各轉(a)0°(b) 45°(c) 90°的合向量示意圖(d)橢圓偏振光 一般情況，左旋光𝛔−和右旋光𝛔+的折射率 n 以及消光係數 k 皆不相同，綜合 上述的情形，線偏振光照射在物質時，由於光與物質的交互作用，反射光為橢圓 偏振光，而且橢圓偏振光與原入射光有一偏轉的ϕ角。
𝛔
-𝛔+
ϕ
𝛔+ 𝛔-
𝛔+
𝛔- 𝛔+
𝛔-
橢圓偏振光
(a) (b) (c) (d)
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3-1-3 菲涅耳方程式(Fresnel equation)
根據 Maxwell 以及物質方程式，推導出電磁波在物質中傳遞時的表示式：
表格 3.1 電磁學公式
Maxwell 方程式(CKS 制) 物質方程式
∇ ‧D = 4πρ
∇ ‧B = 0
∇ × H =4π c J +1
c
∂D
∂t ⋯ ⋯ ⋯ 3 − 1
∇ × E = −1 c
∂B
∂t ⋯ ⋯ ⋯ 3 − 2
D = εE B = μH ⋯ 3 − 3
(3-2)式兩邊同乘∇ × ⇒ ∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ‧E − ∇2E = −1c∂∇ ∂t× B ⋯ 3 − 4
(3-1)、(3-3)代入(3-4)⇒ ∇ ∇ ‧E − ∇2E = −1c∂∇ × H ∂t = −c12∂∂t2D 2⋯ 3 − 5 (設 μ ≈ 1)
假設入射光電場為
E r , t = E0eik ‧r −iωt = E0einωck ‧r −iωt 代入(5)式
⇒ ∇ ∇ ‧E − ∇2E ≈ −∇2E = ε(ω c)2E
⇒ ∇2E + ε(ω
c)2E = 0 ⋯ ⋯ 3 − 6 由 3 − 6 式，得到菲涅耳方程式(Fresnel equation)
n2Ι− ε − n: n ‧E = 0 ⋯ ⋯ 3 − 7 其中Ι為單位矩陣，(n: n)ij=ninj 是折射率在不同方向的分量。
根據上述的推導，由菲涅耳方程式可獲得
1.材料中的折射率 Det n2Ι− ε − n: n = 0 2.材料中傳播的電場 n2Ι− ε − n: n ‧E = 0
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3-2 鐵磁共振
鐵磁共振現象是鐵磁物質內的磁矩μ ，在外磁場H 的作用下感受到磁力矩τ ， 使磁矩沿著特定軸作進動，若不考慮阻尼效應，則磁矩以拉莫耳頻率 (Larmor frequency)作進動，與此同時，傳輸微波訊號於鐵磁物質，當微波頻率與進動頻 率相等時，磁矩將吸收能量產生共振，此即鐵磁共振。從能量觀點出發，磁矩在 外磁場中產生黎曼效應(Zeeman effect) Ez = −μ ∙ H ，造成系統能階分裂，如果 輸入的電磁波能量與能階差相等，則系統會吸收能量產生共振行為。如圖 3.7 所 示，電子自旋磁矩 μ s = μB，磁場造成的能階差∆E = 2μBH =2πmehH
e，若要產生共 振型為輸入的電磁波頻率f =∆Eh = 2πmeH
e，即拉莫耳頻率。
圖 3.7 自旋磁矩於外加磁場下能階分裂示意圖[16]
以下從古典角度解釋鐵磁共振原理，帶有磁矩μ 的原子在外加磁場下會受到 一力矩σ 作用，力矩可以表示為
σ = μ × H
其中，原子的磁矩μ 也可以表示為μ = −γJ ，並且從牛頒定律得到角動量與力矩 的關係σ = dJ dt ，整理上述公式後，獲得磁矩在外加磁場中的運動方程式，
dμ
dt = −γμ × H
從方程式的數學形式，我們瞭解磁矩在外加磁場的運動行為是磁矩以外加磁 場為軸心作頻率為 f 的進動(precession)，其中進動頻率 f =γH2π，考慮電子自旋
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平衡時，等效磁場的指向(θ0, φ0)可由下式獲得
Eθ =∂E∂θ = 0；Eφ =∂φ∂E = 0
討論非平衡狀態，磁化強度稍微偏移平衡位置，此時，θ和φ分量上的等效磁場不 為零，且與磁化強度 M 有交互作用
Hθ = −EMθ；Hφ = −Msin θEφ ⋯ ⋯ 3 − 9
若從平衡位置偏移的量非常微小，即δθ和δφ非常小，可將能量展開成δθ和δφ的 線性疊加
Eθ = Eθθδθ + Eθφδφ；Eφ = Eφθδθ + Eφφδφ ⋯ ⋯ 3 − 10
將 3 − 9 與 3 − 10 代入 3 − 8 運動方程式，將得到強化強度對平衡位置的微小 擾動方程式
−γ−1Msinθ0∙ δθ = Eφθδθ + Eφφδφ
−γ−1Msinθ0∙ δφ = Eθθδθ + Eθφδφ ⋯ ⋯ 3 − 11
由於 3 − 11 的對稱性，令δθ,δφ成正比於eiwt代入 3 − 11 式，整理後得到 Eθφ2 − EθθEφφ + ω2γ−2M2sin2θ0 = 0
即獲得共振時的頻率ωres為 ωres = γHeff = γ
Msinθ0[EθθEφφ − Eθφ2 ]12⋯ ⋯ 3 − 12
考慮鐵磁共振真實情形，磁矩作進動時受到阻尼效應，從圖 3.9 與圖 3.10 的示意圖，可觀察到磁矩進動行為將漸漸減緩，直到磁矩與外磁場平行排列，阻 尼現象的物理機制目前還無法解釋，但為了說明材料內鐵磁共振的真實行為，在 磁矩運動方程式中加入一個阻尼修正項，獲得朗道-利佛席茲-吉爾伯特方程式 (Landau-Lifshitz Gilbert equation)
dM
dt = −γM × H + α
MM × ∂M
∂t 其中α是阻尼常數(damping constant)。
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圖 3.9 (a)無阻尼(b)有阻尼的進動情形[18]
圖 3.10 阻尼效應時磁化強度運動行為[16]
以下說明吉爾伯特藉由古典力學之拉葛朗吉方程式(Lagrangian
equation)[19]，推導出 LLG 方程式，拉葛朗吉是動能 T 扣除位能 U 的物理量，磁 化系統中拉葛朗吉可表示為
ℒ M r , t , M r , t = T M r , t , M r , t − U M r , t ⋯ ⋯ ⋯ (3 − 13) 考慮阻尼的磁化系統，在拉葛朗吉方程式中加入一項能量耗散力R M r , t [19]
d dt
δℒ M , M
δM −δℒ M , M
δM +δR M
δM = 0 ⋯ ⋯ ⋯ (3 − 14) (a) (b)
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薄膜單位體積的總磁量可表示為黎曼能、退磁能以及垂直異向能的總和：
E = −MsH sinθHsinθMcos φH− φM + cosθHcosθM + 2πMs2cos2θM− K⊥cos2θM 其中𝐾⊥是垂直磁異向性常數(perpendicular magnetic anisotropy constant) 從共振條件方程式(3 − 12)分析薄膜發生鐵磁共振時外加磁場的大小，
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其中α為阻尼常數，將單位體積能量 E 代入上式，並使用(3 − 17)式，可將線寬整 理為(3 − 22)式[4]
∆Hppα = 1
3α(H1+ H2) d(ω γ ) dHR
−1
⋯ ⋯ (3 − 22)
由實驗數據獲得線寬∆Hppα 隨角度的變化，從 3 − 22 式數值解出阻尼常數α。
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3-3 表面分析儀器
1.歐傑電子能譜儀( Auger electron spectroscopy)
從圖 3.12 歐傑電子產生的示意圖，一束高能量的電子束入射樣品表面，
使原子內層電子被游離，而產生一個電洞，則上層電子會填補此電洞並放出 能量E1− E2，若此能量大於上層或同層的某電子的束縛能時，該電子有機會 游離出原子，此被游離的電子即為歐傑電子，並帶有能量E1− E2− E3，再經 由電子能量分析器判斷歐傑電子動能，可推測出樣品表面的元素成分與化學 態，如圖 3.13 歐傑電子的檢測流程圖形所示。
一般而言歐傑電子的動能介於 1-3KeV，屬於低能量電子，在固態物質中 的平均自由路徑約為 5-20Å，故實驗檢測到的電子訊號皆為樣品表面 5-20 Å深 度的訊息。
圖 3.12 歐傑電子產生示意圖 圖 3.13 歐傑電子儀示意圖[20]
圖 3.14 為鈷、鎳與銅元素的歐傑電子能譜，圖 3.15 為硼、碳、氮以及氧 元素的歐傑電子能譜，分析歐傑電子訊號時，藉由比對電子動能大小瞭解固態 材料的成份。
1 2 3
真空態
E1
E2
E3
激發源 歐傑電子
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圖 3.14 歐傑電子動能[21]
圖 3.15 歐傑電子動能[21]
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2.X 射線光電子能譜儀( x-ray photoelectron spectroscopy)
圖 3.16 為產生 X 射線光電子的示意圖形，以 X 射線作為光電子激發源入 射於樣品表面，使光電子從原子游離出來，根據能量守恆得到光電子動能為 Ek = hν − EB，hν是入射光能量，EB是光電子在材料中的束縛能；接著光電子 通過能量分析器，偵測出光電子動能Ek。
從光電子動能定性瞭解表面的元素組成，入射光能量hν和原子特定軌道 束縛能EB皆為已知，可推出光電子的動能，比對光電子動能的大小，即可得 知樣品的組成元素。
圖 3.16 產生 X 射線光電子示意圖[22]
下列表格 3.2、表格 3.3 以及表格 3.4 分別為銅、鐵與鈷元素的 X 射線光電子能譜。
表格 3.2 XPS 銅束縛能[21]
表格 3.3 XPS 鐵束縛能[21]
表格 3.4 XPS 鈷束縛能[21]
K L
M N
光電子 X 射線
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3.二次離子質譜儀(secondary ion mass spectroscopy, SIMS)
使用高能量離子束(大多為O2+、Cs+)撞擊樣品表面，如圖 3.17 所示，離子束 的能量與動量經碰撞轉移給樣品表面的原子，若能量大於原子在材料中的束縛能，
則原子會從晶格中脫離，脫離的原子具有動能繼續與其他原子作碰撞，在材料內 眾多原子彼此碰撞，產生大範圍的原子位移，當一連串的碰撞到達表面[34]，且能 量大於表面束縛能時，表面的原子、分子或離子會被撞出樣品，其中只有少量的 部分獲得或失去電子呈離子狀態脫離(＜1%)；為了區分入射離子束的一次離子，
稱來自於樣品表面的離子為二次離子，經由電場二次離子被引入質譜儀，分析其 質量與電荷的比值，即可判斷元素種類；由於質量分析器靈敏度極高，因此 SIMS 檢測濃度可至 ppm-ppb 的範圍，適用於偵測固態樣品的表面微量元素[23]。
圖 3.17 產生二次離子示意圖 離子植入 一次離子
束
樣品表面 +
-
濺射粒子
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