第三章 研究設計與方法
第二節 層級分析法
一、基本概念
層級分析法(Analytic Hierarchy Process, AHP)是由美國匹茲堡大學著名的研究學 者Saaty (1980)於1971年提出，其主要是將錯綜複雜的評估問題建立層級架構來分析，
透過兩兩比較的方式，讓決策者在多個評估準則間作權衡，儘管是非計量型的評估準 則，也可透過問卷填答中，給予程度上的權數，即可為所有評估準則建立一個優先順 序的排列。主要應用在不確定情況下及具有多數個評估準則的決策問題上(鄧振源、
曾國雄，1989）。
AHP 相較於其他模式而言，可以整理出以下四點特徵(翁振益、周瑛琪，2007)：
1. 可以建立模式，並且反映出人類具有的主觀與直覺。
2. 能同時考慮很多的目地模式。
3. 可以明確說明模糊環境的模式。
4. 決策者可以容易使用。
二、基本假設
AHP 方法其基本假設包括下列九項(鄧振源、曾國雄，1989)：
1. 一個系統可以被分解成許多種類(classes)或要素(components)，藉由系統與要素間 的關係，以遞減之方式排列，形成網路式層級架構。
2. 層級結構中每一層級的要素均假設具獨立性(independence)。
3. 每一層級內的要素，可以用上一階層內某些或所有元素做為評估標準，進行評估。
4. 進行比較評估時，可將絕對數值尺度轉換成比例尺度(Ratio Scale)。
5. 進行成對比較(pairwise comparison)後，可使用正倒值矩陣(Positive Reciprocal Matrix)處理。
6. 偏好關係滿足遞移性(transitivity)。不僅優劣關係滿足遞移性(A 優於 B，B 優於 C，
則 A 優於 C)，同時關係強度也必須滿足遞移性(A 優於 B 二倍，B 優於 C 三倍，
則 A 優於 C 六倍)。
7. 由於偏好關係完全具備遞移性不容易，因此容許不具遞移性的存在，但必須測試 其一致性(consistency)程度。
8. 要素的優勢程度可以透過加權法則(Weighting Principle)求得。
9. 任何要素只要出現在階層結構中，不論優勢程度如何，皆被認為與整個評估結構 有關，而非檢核階層結構的獨立性。
三、AHP 之應用
主要應用在不確定情況下及具有多數個評估準則的決策問題上(鄧振源、曾國雄，
1989）。其方法已經廣泛在社會及科學上應用，說明了AHP是一項重要的資料分析方
法。根據Saaty 之研究指出，層級分析法可應用於下列12類問題中：
1. 規劃。
2. 產生替代方案。
3. 決定優先順序。
4. 選擇最佳方案或政策。
5. 資源分配。
6. 決定需求。
7. 預測結果或風險評估。
8. 系統設計。
9. 績效衡量。
10. 確保系統穩定。
11. 最佳化。
12. 解決衝突。
另外，在應用AHP方法時，Vargas 認為使用者應具以下幾點認知(王文良、黃聖 莞，2003)：
1. 倒數對照特性(Reciprocal Comparison)：決策者進行比較時，對於準則喜愛的程度 必須滿足倒數特性，若A 比B 的偏好程度是X 倍，則B 是X/1 倍偏好於A。
2. 同質性(Homogeneity)：準則的比較必須是有意義的，並且在一個合理的評估尺度 內。
3. 獨立性(Independence)：準則間彼此的比較必須假設互相獨立。
4. 預期性(Expectations)：為了完成決策目標，關係層級必須完整的描述，在建構關 係層級及相關準則或是選擇方案時必須完整，不能有遺漏或者忽略。
然而應用AHP時具有優、缺點如下：
(一) AHP 的優點(徐正宇，2000)
1. AHP 具有彈性。若發生資料不足或是有資料遺漏之部分，可以透過層級架構之方
法去彌補，有必要時進行擴充或修改，並且此方法有效的擷取專家們之意見或共 識。
2. AHP主要是為了解錯綜複雜且廣大的問題，此方法提拱簡單的理解，在層級架構 中，各構面、準則的優先順序是逐層演變的結果，因此，我們容易觀察同一層元 素間，彼此具有獨立性的關係及上下層要素間彼此影響力。
3. AHP是根據層級程序逐步推演的，藉此將複雜的問題轉變成系統化的架構，讓決 策者進行在分析時，可兼顧不同元素間的邏輯關係，對於決策的正確性具有正面 之幫助。
(二) AHP 的缺點（Saaty & Vargas, 1982；Belton & Gear, 1985；曾國雄
與鄧振源，1989；Millet & Harker, 1990）
1. AHP的基本假設中，各構面準則皆必須具有獨立性，各層級也盡可能納入與上層 相關的所有構面之間具有互斥性，但是實際上是有困難的，因為人的思考上受到 限制，並且資訊取得不容易，讓各層級彼此並不互斥，造成了評估結果產生的不 合理現象。
2. 在運用AHP進行評估時，為了使決策更完善，因此需要綜合許多不同群體專家之 意見。但是當專家們意見不同，且決策者對於決策屬性的認知差異很大，有可能 無法反映真實的評估結果。
3. 在AHP方法中是以1至9的比例尺度衡量準則之間的相對重要程度，讓決策者本身 主觀認定的不確定(具有模糊性)數值，用精確的數值來處理，常常造成分析結果 與事實情況產生落差。
4. 容易受到比率尺度應用上的邏輯性之限制，例如：構面A對於構面B是絕對重要的，
然而構面B對於構面C的也是絕對重要，構面A對於構面C的重要性至少在絕對重 要以上。但是，在實際計算時，卻必須滿足AHP遞移性之基本假設，因此在計算 邏輯上產生問題受到比例尺度的限制。
5. 當層級數增加時，各構面、準則進行兩兩比較，建立成對比較矩陣，然而兩兩比
較的次數將會呈現指數成長，造成問題過多，使填答問卷者產生思緒混亂的問題，
進而導致AHP效率降低。
6. 在AHP之問卷設計上，問卷設計過於複雜，且加上各構面、準則進行兩兩比較次 數過多，造成填答問卷者產生厭煩及困擾，因此將影響問卷的回收及填答的準確 性。
四、AHP 使用步驟
AHP 主要包括三個階段，第一個是層級架構的建立，第二是層級架構的評估，
第三為一致性檢定。然而 1980 年 Saaty 研究報告顯示，在同一層級內的成對比較評 估要素，以不超過七個為限，倘若超出應再分層予以解決，以免在評估時造成矛盾的 現象，這樣才可以進行較有效的成對比較，以及獲得較好的一致性。
AHP 具有以下四個主要步驟(Saaty & Vargas, 1984)，如圖 5 所示為完整之方法流程 圖：
確認評估問題
把問題建立為層級式架構
建立成對比較之矩陣
計算出最大特徵值及特徵向量
整體權重之計算
提供決策者參考的資訊 是
C.R.≦ 0.1 影響要素分析
一致性檢定
否
圖 5 層級分析方法流程圖
Note. From”The Ligimacy of Rank Reversal by Saaty, T.L.,& Vargas, L. G. ,1984, The Ligimacy of Rank Reversal. OMEGA, 12(5), p513-516.。
(一)建立層級架構
將複雜的問題，利用層級架構加以評估系統化。因此若問題有 n 個要素，則需 作（n2-n）/2 個判斷，而在最大要素個數為七個的以內，較能進行合理的比較並同時 可保證其一致性之層級數為 n/7。
將影響系統的要素加以分解成數個群體，每群再區分成數個次群，逐級建立全部 的層級結構，其關係如圖 4 所示。然而層級的劃分視分析問題之複雜程度而定，各層 級要素彼此間應獨立。
A
B1 B2
C12
C11 C21 C22 C23
方案一 方案二 方案三
最終目標
評估準則
方案選擇
圖 6 AHP 之層級架構圖
資料來源：「決策分析方法與應用」，翁振益、周瑛琪，
2007，台北市：華泰文化出版。
(二)建立成對比較矩陣
建立層級架構後，評估準則與各因素間進行兩兩成為比較，進而計算出各層級評 估構面相對重要的權重，建立成對比較矩陣。AHP 是運用幾何平均數做為整合，而 不是利用算數平均數。當一位評估決策者的評比結果為 a1，另一位評估決策者的評 估結果為 a2，則整合之結果應該為
1 2
a a 而不是(a1+a2) / 2。所以倘若有 n 個決策評
估者判斷值為
a a
1,
2, , a
n，則結果應為n 1 2a a a
n 。將 n 個要素比較之結果，置於成對比較矩陣 A 的上三角形部分，主對角線為要素本身的比較，故均為 1，而 下三角形部分的數值，為上三角形相對位置數值的倒數。即
a = 1/ a
。矩陣如圖 5所示：
12 1
2 12
1 2
1
1 1
[ ]
1 1
1
n
n ij
n n
a a
a a A a
a a
= =
圖 7 層級分析法成對比較矩陣圖
資料來源：「決策分析方法與應用」，翁振益、周瑛琪，
2007，台北市：華泰文化出版。
AHP 方法採用的評估尺度為比率尺度，即同等重要、稍重要、重要、非常重要、
絕對重要等，並賦予名目尺度 1、3、5、7、9 的衡量值；另有四項介於五個名目尺度 間的 2、4、6、8 的衡量值。名目尺度代表之意義如圖 8 所示：
成對比較值 定義 說明
1 同等重要 兩個評估構面的貢獻程度具有一樣重要
3 稍重要 經驗上判斷，某評估構面稍微傾向重要
5 重要 經驗上判斷，某評估構面強烈傾向重要
7 非常重要 實際上顯示，某評估構面非常重要
9 絕對重要 有充分的證據重視某評估構面
2，4，6，8 相鄰尺度的中間值 須要折衷值時 圖 8 層級分析法比例尺度
Note. From”Axiomatic Foundation of Analytic Hierarchy Process”, by Saaty, T. L. , 1986, Management Science,32(7), p.841-855.
(三)計算特徵向量
建立成對比較矩陣後，可以求取各層級要素的權重。並利用數值分析以求得特徵 向量級最大特徵值，可確定建立模型的一致性，及個要素間之相對權重。(Saaty, 1990) 提出了以下四種特徵向量方法：
1. 行向量平均值常態化，又稱 ANC 法(average of normalized columns)，首先將各行 予以常態化，再將常態化後之各列元素加總，最後除以各列元素之個數。
1 1
1 ; , 1, 2 ,
n jk
j n
k
jk j
W a j k n
n = a
=
=
∑
=∑
(1)2. 列向量平均值常態化，又稱 NRA 法(normalization of the row average)，將各列元素 予以加總後，再常態化。
1
1 1
; , 1, 2 ,
n jk k
j n n
j k
j k
a
W j k n
a
=
= =
=
∑
=∑∑
(2)3. 列向量幾何平均值的常態化，又稱為 NGM 法(normalization of the geometric mean of the rows)，將各列元素相乘後，取幾何平均數再將其常態化。
1
1
1
1 1
; , 1, 2 ,
a n
jk k j
n
n n
jk
j k
a
W j k n
a
=
= =
= =
∏
∑ ∏
(3)
4. 行向量和倒數的標準化將各行元素予以加總後，再求其倒數並常態化。
1
1 1
1
; , 1, 2 , 1
n jk j j
n n k
jk j
a
W j k n
a
=
=
=
= =
∑
∑ ∑
(4)
(四) 一致性檢定
受訪者填答問卷時是否一致，必須藉由一致性檢定來判斷其正確性，AHP 方法 採用一致性指標(consistency index, C.I.)作為成對比較是否具有一致性的判斷指標。
Saaty (1980)建議一致性指標必須小於等於 0.1，才方可視為較佳的一致性。
1. 最大特徵值
最大特徵值求法是將成對比較矩陣 A 乘上特徵向量 W，所得到的W'，W'之向量 值分別除以原向量 W 的向量值，最後將求得的數值求算數平均數，求得方式如下。
1 1 1
1 1
1 2
2 2 2 2
1
2 1
'
n
n
n n
n n n
n
W W W
w w
W W W
w w
W W
AW W
W W
w w
W
W W
W
W W
= = =
(5)
1 2
max
2 2
1
nn
w w w
n w w w
λ
= + + +
(6)2. 計算一致性比率(consistency ratio, C.R.)
(鄧振源&曾國雄,1989)所述，Dak Ridge National Laboratory 與 Wha-rton School 進行的研究，從評估尺度所產生正倒值的矩陣在不同階數下，所產生不同的 C.I.值，
稱為隨機指標(random index, R.I.)。一致性比率 C.R.值是由一致性指標(consistency index, C.I.)除以隨機指標 R.I.所得。其求得方法如下：