工作單內容

本節為工作單內容，研究者將介紹 45 個勾股定理證明，而其中 25 個歸屬於

「代數」分類，其餘 20 個為「幾何」分類；如同第一節所述，每一個證明皆包 含三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】。本研究的 45 個證明，皆 為魯米斯《勾股定理》書中所收藏，由於本書已有百年歷史，因此書中有許多證 明已不可考，研究者僅針對書中的描述，及圖形，進行推敲，再重新修補並給予 完整的證明，因此部分證明或許已和作者原始的想法、出發點略有不同。另外，

部分證明內容亦已開發教學動畫及拼圖操作，可供讀者參考，亦可使用於教學現 場讓學生親自體驗。

研究者將介紹下述 45 個勾股定理證明：

A056、A057、A058、A059、A060、A061、A062、A063、A064、A065、

A066、A067、A068、A069、A070、A071、A072、A073、A074、A075、

A076、A077、A078、A079、A080、G001、G002、G003、G004、G005、

G006、G007、G008、G009、G010、G011、G012、G013、G014、G015、

G016、G017、G018、G019、G020。

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勾股定理證明-A056

【作輔助圖】

1. 以AB為直徑作一半圓。

2. 以 AB為邊長作一正方形 ABFG ，並過 C 點作 EH  AB.

A H B

C

F

D E

【求證過程】

以AB為邊向內作一正方形，先說明直角三角形 ABC 的母子相似性質，再利用正方 形 ABFD的面積等於矩形HBFE的面積與矩形AHED的面積和，來推出勾股定理的關係 式。

1. 先說明直角ABC的母子相似性質。

因為 C 是圓上一點，得到ACB90，且 CH  AB，所以 CB2 BHAB 且 AC²  AHAB

2. 利用矩形HBFE和矩形AHED可拼合成正方形ABFD，推得勾股定理的關係式。

因為正方形ABFD的面積  AB²

 矩形HBFE  矩形AHED HB BF AH AD

    HB BA AH AB

    (因為 ABFD為正方形)

2 2

CB AC

  。 所以

AB² CB² AC² 。

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即

a²b² c².

【註與心得】

1.來源：這個證明出自於以下期刊：

Arthur R. Colburn, LL.M. (1910). The Pons Asinorum II— New solution of the Pythagorean Theorem, Scientific American Supplement, 70, 383.

此證明是 Richard A. Bell 在 1933 年 11 月 18 日想出來的，並且在 1938 年 2 月 28 日告 訴魯米斯( E.S. Loomis )的。

2.心得：此證明乃利用母子相似性質，以及正方形面積與矩形面積間的關係，就能順利 推導出勾股定理的關係式，對於國中生而言相當容易理解，於教學中可先試著 引導學生從做輔助線，及面積的角度來思考。

3.評量

國中 高中 教學 欣賞 美學

● ●

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Arthur R. Colburn, LL.M. (1910). The Pons Asinorum II— New solution of the Pythagorean Theorem, Scientific American Supplement, 70, 359.

2.心得：此證明的作圖方式是以直角三角形三邊長為邊向外做正方形，再由適當的作延

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Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.156).New York：Macmillan and co.

PROOFS ON EUCLID'S 47TH PROPOSITION, BOOK I.--(I.).. (1887). Journal of education, 25(25), 404.

2.心得：兩種證明方式所使用的觀念都很直觀，因此都很適合用於國中教學提供給學生

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勾股定理證明-A059

【作輔助圖】

1. 以 B 為圓心，AB為半徑作一圓。

2. 延長BC

與圓交於 H ，並過 H 作HD AE.

A B

H C

D E

【求證過程】

先說明兩個直角三角形全等，再利用直角三角形AHE比例中項的性質，推導出勾 股定理。

1. 先證明ABC與HBD全等，進而推得AC HD BC, BD。

因為AC BH HD,  AB , 得到ACB  HDB90。又因為HBD ABC, BH BA,

所以

ABC HBD

   (AAS 全等) 進一步可得到

AC HD BC, BD

2. 再藉由比例中項性質，推得勾股定理的關係式。

因為HD AE , 可得到HD²  AD DE (比例中項性質)，

所以

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Department of Mathematics.. (1888). Journal of Education, 27(21), 327.

Heath’s Mathematical Monographs, 1900, No. 2, p. 30, proof 26.

2.心得：此題作圖清晰，證明推理過程不難，淺顯易懂。利用全等三角形，以及比例中 項的性質，即可推得勾股定理的關係式。

3.評量

國中 高中 教學 欣賞 美學

● ●

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又因為BD為直徑，且BD AH ，得到AB BH A, C CH ， 所以

2

2

2 2

AB AB BH

AC CH BC AC BC

 

  

 

即

c² a² b².

【註與心得】

1.來源：此證明出自以下書籍及期刊

PROOFS OF EUCLID'S 47TH PROPOSITION, BOOK I.--(II.).. (1887). Journal of Education, 26(2), 21.

Heath’s Mathematical Monographs, 1900, No. 1, p. 26.

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(3), 300.

2.心得：此題的輔助線作圖很簡捷，利用直徑與任一弦垂直，可以容易的看出對應角相 等，進而得到相似三角形對應邊的比例關係。再利用圓內冪及弦心距的性質，

最後推出勾股定理的關係式。

3.評量

國中 高中 教學 欣賞 美學

● ●

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J. M. Richardson (1859). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 43.

Legendre A. M. (1858). Elements of geometry and trigonometry (pp. 119). New York: A. S. Barnes.

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Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 92). Amsterdam: A. Versluys.

60

2.心得：此題作圖簡捷，利用圓內任一弦及垂直作出直角三角形，在證明過程僅利用母 子相似性質即可推導出勾股定理的關係式，對於國中生而言，是淺顯易懂的，

且此證明可以提供國中生一個不錯的思考方向。

3.評量

4.補充：此證明與 A061 相似，但不同點在於 A061 中，點 C 為圓心，而本證明則不是。

換句話說，A061 中的直角三角形為等腰直角三角形，因此 A061 只是 A062 的 一個特例。

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【註與心得】

1.來源：這個證明出自於以下書籍：

Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 92). Amsterdam: A. Versluys.

2.心得：此證明與 A058 的證明 1 是相同的手法，都是利用弦心距的性質，再藉由圓內 冪性質的關係式，進而推導出勾股定理的關係式，但不同於 A062 是利用母子 相似性質的關係式，另外，不可否認的是兩種方式對於國中生而言都是容易理 解的證明方式。

3.評量

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5. 最後討論KAB,CBR,CAL的面積關係，進而推出勾股定理的關係式。

因為四邊形ABRL面積 CAB面積 CAL面積 CBR面積

KAB KLA KBR

  面積  面積  面積 又因為 CAB 面積 KLA面積 KBR面積 ，所以

( KLA 面積 KBR面積) CAL面積 CBR面積

KAB KLA KBR

  面積  面積  面積 得到

KAB CBR CAL

 面積  面積  面積

即

1 ² 1 ² 1 ² 4c  4a 4b 得到

c² a²b²。

【註與心得】

1.來源：這個證明出自於以下書籍：

Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 93). Amsterdam: A. Versluys.

2.心得：此題的作圖方式較為複雜，經由平行線截比例線段得到關係式，及邊長的關係，

求出各三角形的面積。再透過各三角形間面積的關係，推出勾股定理的關係式。

整體證明過程雖然不難理解，但對於國中生而言不易朝此方向思考，在教學上 若使用此方式，也不易引起學生的學習動機。

3.評量

4.補充

等腰直角三角形斜邊長為c，則其面積為1 ²

4c 。(證明可參閱 A067 的補充證明)

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所以

DCB ACH

   (AA 相似) 可推得

DC AC: DB AH: ，即DCAH  AC DB 4. 由 2.與 3.的結論可推出勾股定理的關係式

因為CD HB CB AD 且DCAH  AC DB ，可得到

( )

CD HB AH CBAD ACDB

因為四邊形 ABDC 為矩形且HB AH  AB，可得到ABCD，所以

2 2 2

CD AB  AB CB AC 。 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1.來源：此證明出自以下書籍及期刊

Edwards, George C. (1895). Elements of Geometry (p.161). New York : Macmillan and co.

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(4), 11.

2.心得：此證明主要是利用相似三角形的對應邊成比例的關係，進而推導出勾股定理的 關係式，對於國中生而言是一個相當淺顯易懂的證明方式。

3.評量

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勾股定理證明-A066

【作輔助圖】

1. 以AB 為直徑作圓。

2. 過A B 作, BDBC AD,  AC，且 D 在圓上。

3. 連接 CD 。

A C

D B

【求證過程】

根據托勒密定理，以及矩形對邊等長且對角線等長的性質，可推得勾股定理的關係 式。

1. 先說明矩形對邊等長，且對角線等長 因為四邊形ACBD為矩形，所以

, ,

ABCD ADCB AC DB 2. 由托勒密定理，推得勾股定理的關係式

因為 AB CD  ACDBAD CB ，可推得 AB AB  ACACBC BC ，所以

2 2 2

AB  AC BC 即

c²  a²b².

【註與心得】

1.來源：此證明出自以下書籍

F C Boon(1924). A Companion to Elementary School Mathematics,p107,proof 10.

2.心得：此證明乃托勒密定理的一個特例，然而托勒密定理並非國中數學的教材內容，

但此定理的證明僅使用到相似形的概念，對於國中生而言不難理解，因此在教 學時可以補充此定理，再引導學生思考此特例，進而推出勾股定理的關係式。

3.評量

4.補充

(1)托勒密定理：圓內接四邊形ABCD，滿足 AC BD  AB CD AD BC 。 (2)托勒密定理

【作圖】：

1. 作圓內接四邊形ABCD，並連接AC BD 。 , 2. 在AC上取一點 E ，使得ADB CDE。

A

B C D

E

【證明】：

1. 先證明ADB  EDC，進而得到對應邊的比例關係。

因為 1 

, 2

ADB CDE ABD AD DCE

       ，所以

ADB  EDC(AA 相似) 可推得

AB CE: DB DC: ，即 AB DC CE DB 2. 再證明ADE  BDC ，進而得到對應邊的比例關係。

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因為ADE ADB BDE  CDE BDE  CDE，且 1  DAE 2CD

  

DBC

 ，所以

ADE  BDC (AA 相似) 可推得

AD BD:  AE BC: ，即 AD BC BD AE 3. 最後由 2.與 3.的結論可推出托勒密定理。

因為 AB DC CE DB 及 AD BC BD AE ，可推得

( )

AB DC AD BC BD AE CE DB BD AE CE BD AC

      

  

  所以

AC BD  AB CD  AD BC 。

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Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 90). Amsterdam: A. Versluys.

以下文獻有記載：

Fourrey’s Curiosities Geometriques, p.70, fig. a.

2.心得：此題作圖方式較複雜，透過作圖產生以直角三角形兩股為對角線的正方形，再 由三角形的面積關係推導出勾股定理的關係式，過程較為複雜，在教學上較不 易於國中生理解。

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Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras

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(Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 91). Amsterdam: A. Versluys.

以下文獻有記載：

Fourrey’s Curiosities Geometriques, p.79, fig. a.

2.心得：此題的思考方向和 A067 是一樣的，都是利用ADB面積  BGC面積 AHC 面積，進而推出勾股定理的關係式，但此題作圖方式及推導過程更為複雜，與 A067 相較之下，此題在教學上較不易於國中生理解。

3.評量

4.補充

等腰直角ABC，其中C90，則其面積為1 ²

4 AB 。(證明可參閱 A067 的補充證明)

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-A069

【作輔助圖】

1. 取AB 之中點 O 為圓心，並以 AB 為直徑作圓 。 2. 延長CO

交外接圓於 D 點，並連接AD 與 DB 。

A B

C

D

O

【求證過程】

先證明四邊形ADBC為矩形，再利用托勒密定理推得勾股定理的關係式。

1. 先證明四邊形ADBC為矩形，可得其對邊等長，且對角線等長。

因為點 O 為直角ABC之外接圓圓心，且 CD 通過圓心 O 為一直徑，可得四邊形 ADBC為矩形，所以

, ,

AC DB AD CB ABCD

2. 利用托勒密定理－圓內接四邊形對角線乘積等於對邊乘積之和，進而推出勾股定理 的關係式。

由托勒密定理，可知

AB CD AC BD AD CB AB AB AC AC CB CB

    

    

得到

AB²  BC² AC² 即

2 2 2

. c a b

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【註與心得】

1.來源：此證明出自以下書籍及期刊

J.D. Runkle (1859). Mathematical Monthly,v. 2, published in New York and London.

Edwards, George C. (1895). Elements of Geometry (p.158). New York : Macmillan and co.

2.心得：此題證明方式與 A066 一樣，都是利用托勒密定理進行推導。不同之處在於作 圖方式，本題是先作直角三角形的外接圓，再以斜邊為對角線作出一個圓內接 四邊形，而 A066 則是直接作出圓內接矩形。兩者證明主軸都相同，均為托勒 密定理的特例。在國中教學上，可提供學生從不同的角度(作圖方式)切入，進 行思考。

3.評量

4.補充：托勒密定理的證明可參閱 A066。

國中 高中 教學 欣賞 美學

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【註與心得】

1.來源：此證明出自以下書籍及期刊

Department of Mathematics.. (1888). Journal of Education, 27(21), 327.

Heath’s Mathematical Monographs, 1900, No. 2, p. 28.

Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(3), 300.

2.心得：此題的作圖方式清晰易懂，透過相似三角形，可得對應邊成比例的關係式。由 作圖可知C為圓心，且FH  AE，所以 H 為 AHE 的中點，再利用旋轉概念使 點 D 與點 H 重合，造就一個特例出來，進而推得勾股定理。這樣的假設方式對

2.心得：此題的作圖方式清晰易懂，透過相似三角形，可得對應邊成比例的關係式。由 作圖可知C為圓心，且FH  AE，所以 H 為 AHE 的中點，再利用旋轉概念使 點 D 與點 H 重合，造就一個特例出來，進而推得勾股定理。這樣的假設方式對

在文檔中 關於勾股定理證明中代數與幾何證明的探究 (頁 52-183)