關於勾股定理證明中代數與幾何證明的探究

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 關於勾股定理證明中代數與幾何證明的探究. 研究生：陳政雄. 中華民國一百零六年一月.

(2) 誌. 謝. 三年的碩士生涯即將告一段落，在聽到口試委員傳來道賀聲的那一刻，心中百感交集，深深不敢置信，終於完成了。雖然已經晚了十年，但正所謂捨得捨得，有捨才有得，因為這十年來所累積的教學經驗，造就了這本論文，讓我在研究的過程中能更加清楚整個脈絡。感謝我的指導教授許志農老師，在研究期間不斷地諄諄教誨，給予我許多的指導，讓我獲益良多，也讓我見識到勾股定理之廣大與深奧。在這期間，也提供我在數學教學中更多的想法與靈感，因此也讓我心中對老師充滿感激之意。感謝口試委員黃森山老師、郭君逸老師辛勞且用心地審視我的論文，並且提供許多精闢的指導，並且提供許多珍貴的想法與建議。這一路走來要感謝的人很多，感謝過去在交通大學的白啟光教授，在那些年對我的指導，從中也吸取了許多教學的技巧，以及在面對問題解決問題時所需具備的態度。感謝這些年來不斷鼓勵我以及支持我的范筱蓉校長及林才乂校長，總是在我最挫折時，給予協助支持，常常一句簡單的話，就能讓我再重新出發。感謝我的好同事們，以及我的好友黃淳孟在這段期間貼心的體諒，並且辛苦地撐起許多工作，好讓我能更專心的研究論文。感謝十多年來一直相互扶持的好友們－陳祈亨、蘇朝助、黃誌偉，謝謝你們總是在我需要時伸出援手。最後，也要感謝一路以來辛苦栽培我成人的父母親，感謝您們，辛苦了。得知於人者多，己付出者卻少，經過研究所的學習與錘鍊，增長的不僅是知識，還有更多的感恩之心，僅以此論文獻給所有關心我的師長和親友們。. I.

(3) 摘. 要. 本研究旨在探討勾股定理的代數與幾何證明的多樣性，以魯米斯(Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)書中所蒐集的證明作為研究題材，從中選取 25 個代數，及 20 個幾何分類的證明進行探究，並重新加以修補其中不完整之處。長久以來，學生對於數學學習一直深感困惑及害怕，尤其是面對數學證明，然而學習嚴謹的證明可以促進邏輯思考，增進推理能力，因此藉由勾股定理的多重證明，提供給教師及學生一個不同面向的思考路線。另外，為了提升學生對於數學學習的興趣，以及達到有效學習，也與團隊合作開發了部分的數位教材，及拼圖教材，以幫助教師、學生建立一個生動活潑有趣的教學環境及學習場域。. 關鍵字：勾股定理、魯米斯(Elisha Scott Loomis)、代數證明、幾何證明、有效學習. II.

(4) 目. 錄. 誌謝................................................................................................................................ I 摘要............................................................................................................................... II 目錄.............................................................................................................................. III 第一章緒論.................................................................................................................. 1 第一節. 研究背景與動機............................................................................ 1. 第二節. 研究目的........................................................................................ 2. 第三節. 研究範圍與後續............................................................................ 3. 第二章文獻探討.......................................................................................................... 4 第一節. 勾股定理........................................................................................ 4. 第二節. 魯米斯的簡介................................................................................ 7. 第三節. 魯米斯的著作－《勾股定理》.................................................... 9. 第四節. 教科書的現況.............................................................................. 10. 第三章勾股定理的證明分類及其典故.................................................................... 18 第一節. 勾股定理的證明概述.................................................................. 18. 第二節. 魯米斯《勾股定理》的證明分類.............................................. 20. 第三節. 代數證明與幾何證明的分類...................................................... 21. 第四節. 畢達哥拉斯魔方陣...................................................................... 29. 第四章勾股定理證明工作單.................................................................................... 44 第一節. 勾股定理證明工作單內容說明.................................................. 44. 第二節. 工作單內容.................................................................................. 46 A056............................................................................................. 47 A057............................................................................................. 49 A058............................................................................................. 51. III.

(5) A059............................................................................................. 53 A060............................................................................................. 55 A061............................................................................................. 57 A062............................................................................................. 59 A063............................................................................................. 61 A064............................................................................................. 63 A065............................................................................................. 66 A066............................................................................................. 68 A067............................................................................................. 71 A068............................................................................................. 74 A069............................................................................................. 77 A070............................................................................................. 79 A071............................................................................................. 81 A072............................................................................................. 83 A073............................................................................................. 85 A074............................................................................................. 87 A075............................................................................................. 89 A076............................................................................................. 91 A077............................................................................................. 94 A078............................................................................................. 97 A079............................................................................................. 99 A080........................................................................................... 101 G001........................................................................................... 103 G002........................................................................................... 105 G003........................................................................................... 110 G004........................................................................................... 115. IV.

(6) G005........................................................................................... 116 G006........................................................................................... 119 G007........................................................................................... 121 G008........................................................................................... 124 G009........................................................................................... 127 G010........................................................................................... 131 G011 ........................................................................................... 135 G012........................................................................................... 139 G013........................................................................................... 143 G014........................................................................................... 147 G015........................................................................................... 151 G016........................................................................................... 155 G017........................................................................................... 159 G018........................................................................................... 163 G019........................................................................................... 168 G020........................................................................................... 174 第五章參考文獻...................................................................................................... 177. V.

(7) 第一章緒論第一節. 研究背景與動機. 數學，對大多數的人而言，不僅是難學又是無趣的學科。多數的學生常問：「學數學要做什麼？買賣東西，又用不到開根號、畢氏定理、三角函數等等」，而如何有效益且具體地回答學生此問題也是當今數學教育工作者一直在思考的問題。國內九年一貫課程綱要數學領域重視數學概念、演算能力及推論能力的培養。然而由於考試領導教學，以往國中基本能力測驗以選擇題為主，造成部分教學現場過分強調選擇題型的練習以及作答技巧的訓練，另外數學教師普遍認為數學證明是教學中較困難的單元(王郁華，1996)，因此也間接使國中數學學習內容與教學弱化了嚴謹的數學證明。近年來數學教育工作者更發現學生的推理能力大幅減弱。我們都知道學數學最重要的是要學會如何證明，透過這樣縝密思考的邏輯推理訓練，不僅對於學習上有助益，對於平時生活中的決策以及與人溝通，都有明顯的幫助(李家同，1989)。證明未必是數學的全部，但我們能夠確定的是，證明可以促進邏輯思考，增進推理能力；證明的意義在於提供有關命題成立的論述，因此至少要做到以嚴謹的推理確認從已知到結論的邏輯脈絡 (張海潮，2007) 。本研究以「勾股定理」為研究題材，因為勾股定理是學生在中學時期第一次遇到的幾何證明，而目前國內的教科書多數僅介紹其概念及生活上的應用。事實上，勾股定理的證明方式多達 400 餘種，堪稱所有定理之冠，可見此定理的重要性及普及性，且在中學數學學習上，勾股定理佔有相當重要的地位，因為以勾股定理為基礎，可延伸至三角函數、平面與空間兩點的距離、餘弦定理…等等。約翰內斯克卜勒(Johannes Kepler)也曾說過：「勾股定理與黃金分割堪稱幾何學的兩大寶藏」。. 1.

(8) 洪萬生(2004)：「上了八年級以後，學生的數學敏銳度應該強化。他(她)們需要開始理解邏輯的奧妙，並體會到下結論之前實質有效的論證之需求。」而勾股定理目前乃是國內中學八年級的數學課程，學生在此時第一次接觸幾何證明，先備知識尚且不足，且教科書因篇幅的關係，在證明部分僅介紹少數一兩種類型。再者，在一般的教學歷程中，鮮少有機會讓學生思考一題多解的機會，有鑑於此，本研究希望能夠藉由對勾股定理做較深入的探討，以提供學生不同面向的證明方式，並且從中培養學生的邏輯推理與分析能力。. 第二節研究目的教育部於 97 年發布的數學科課程綱要中，新增能力指標「S-4-19：能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。」期許藉由數學證明培養學生推理能力，並奠定高中階段的數學基礎，及希望能培養學生欣賞數學的態度及能力。在數學教育中，一個值得省思的問題是「一題多解的必要性」，而在一般的數學課程中鮮少提供學生多面向的思考能力。勾股定理是目前所有定理中證明方法最多的，但在國內中學教科書中，普遍以透過紙板的拼圖、面積的計算以及影片的觀賞來驗證勾股定理，所提供的驗證類型不多，因此為了提升學生邏輯推理能力，本研究以魯米斯(Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》作為研究題材，藉由修補其中的 25 個代數證明及 20 個幾何證明，供學生體會從不同面向思考勾股定理的證明，讓喜歡思考、推理的學生能享受其中之樂趣。另一方面，亦能提供教師思考如何融入教學，及教學中如何引導學生從不同面向來思考面對問題，以及如何藉此來培養學生做科學展覽的能力。. 2.

(9) 第三節研究範圍與後續魯米斯(Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》，這本書中將勾股定理的證明區分為代數、幾何、向量、動態等四種，而本研究將針對其中 25 種代數證明以及 20 種幾何證明進行探討，著重在修補《勾股定理》書中證明的不完整，另外，將適合於中學教學活動的勾股定理交由團隊製作互動教材的研討，並且提供研究者在教學上的想法與建議，再將勾股定理的證明內容作分析與介紹，以探討學生在代數證明與幾何證明兩者間的接受度與看法，最後與製作團隊製作開發數位教材，並將之放置於專屬網站《非想非非想數學網》 http://www.math.ntnu.edu.tw/museum 的平台上，提供有興趣的學子及教師做為學習的參考資料，並且可透過網路留言板或電子郵件分享自己的教學經驗及閱讀心得，期許學子們能藉由耳熟能想的勾股定理證明來增進自己的推理能力，以及對於數學多樣性的學習。. 3.

(10) 第二章文獻探討第一節. 勾股定理. 勾股定理又稱商高定理，是一個歷史悠久的幾何定理，亦是平面幾何中一個基本而重要的定理；勾股定理就是描述直角三角形三個邊長度的關係，即「兩條直角邊長度(古稱勾長、股長)的平方和等於第三邊長(古稱弦長)的平方」。反之，如果任意三條線段滿足此關係式，就可以形成直角三角形。勾股定理是數學眾多定理中，證明方法最多的一個。根據文獻，被認為是最早成書的算經《周髀算經》記載了從周代到西漢隨著天文學的研究而累積起來的學術成果。書中記載了勾股定理的公式及證明，其中一段商高答周公問「折矩，以為勾廣三、股脩四、徑隅五」給出了一組勾股數(勾 3 , 股 4 , 弦 5)。因此在中國，它被稱為「商高定理」或「勾股定理」，而之所以稱為「勾股定理」，是因為中國數學家將直角三角形稱為勾股形。相傳最早發現此定理的人是生於西元前六世紀，開創了畢氏學派的古希臘數學家畢達哥拉斯，據說當他證明出此定理時，欣喜若狂地宰了一百頭牛來慶祝，因此，這個定理又被稱為「百牛定理」，當然這個傳說不攻自破，因為畢達哥拉斯是一個素食主義者。然而追溯西方歷史，並無相關文獻記載畢達哥拉斯的證明方法，而且，真正提出證明的人，很可能也不是他，而是晚期畢氏學派的弟子。另外，也無證據證實畢達哥拉斯是世界上第一個發現這個定理的人。因為早在畢達哥拉斯之前一千多年前，古巴比倫人就發現此定理了，譬如，今收藏於耶魯大學的一塊編號「YBC 7289」巴比倫石板(圖 2.1.1)，從石板上的數字顯示當時就已經知道了畢氏定理，且從另一塊收藏於哥倫比亞大學的巴比倫泥板(圖 2.1.2)亦可發現當時就記錄著許多勾股數，其中最大的一個勾股數組是（18541，12709， 13500）。. 4.

(11) 圖 2.1.1 編號「YBC 7289」的巴比倫石板，現收藏於耶魯大學。. 圖 2.1.2 公元前 18 世紀記錄各種勾股數組的巴比倫石板。. 約西元前 330-275 年，歐幾里得(Euclid)所編寫的《幾何原本》是西方最早記載有關勾股定理證明的書籍；而勾股定理就記載於書中第一卷命題 47，是利用面積證法，同時在第六卷命題 31 又再給了一個不同的證明，是為比例證法。古代中國最重要的數學經典《九章算術》中就專闢〈勾股章〉，其中最為核心的部分就是勾股定理，對於此定理的證明，中國自《九章算術》之後，歷代皆有數學家對勾股測量問題進行研究，但是直到三國時期吳國數學家趙爽(趙君卿)為《周髀算經》作注，於卷上出現「弦圖」及「勾股圓方圖說」(圖 2.1.3)，自此，才成為勾股定理在中國數學史上較為正式的證明。此外大約和趙爽同時代，發明「割圓術」求圓周率的數學家劉徽作《九章算術注》時，也提出了出入相補法的概念證明勾股定理。趙爽利用幾何圖形的「截、割、拼、補」來證明代數式之間的恆. 5.

(12) 等關係，這類以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合的證明風格為中國古代數學家樹立了一個典範，因此劉徽在證明勾股定理時，所提出的出入相補法，也是採用以形證數的精神作為出發點。這種形數統一的思想方法更具科學創新的意義，因此中國古代的數學家們對於勾股定理的發現與證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。Joseph Needham(2002)提及：「在中國的證明法裡，幾何圖形具有轉化的作用，將數值關係概括化為代數形式。」。. 圖 2.1.3 趙爽(趙君卿)的「弦圖」及「勾股圓方圖說」. 「 a 2  b2  c2 」，一個看似簡單的關係式，卻是應用十分廣泛的定理，它被運用到數學的各個分支中，也被運用到工程、建築和測量中。世界著名的網絡科普作家 Tamim Ansary 曾在其著作《10 Great Scientific Discoveries》中提及勾股定理是「人類最偉大的十個科學發現之一」，千百年來，人們對它的證明相當感興趣，也為後代留下了許多神奇的傳說，至今，關於勾股定理的證明已達 400 多個，而且還在持續增加中。. 6.

(13) 第二節魯米斯的簡介魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940) (圖 2.2.1)，出生於美國俄亥俄州的梅迪納鎮，他是美國的一位教師，也是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家和土木工程師。十二歲那一年，父親過世了，他只好去農場工作幫助母親維持家計，不過勤奮好學的他，很早就顯露出數學方面的才能。由於學校老師已無法再給予指導，因此他也曾經步行到七哩外的鄰鎮購買代數課本以便自學。. 圖 2.2.1 魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940) 魯米斯在取得博士學位後，曾經在鮑德溫大學(Baldwin University)擔任數學系主任，但他熱衷教學工作，後來在克里夫蘭西部一所高中擔任 28 年的數學科召集人，他認為真正的教學，有價值的教育和正確的生活方式，在於倫理與道德習慣的養成，以促使一個人一輩子的社會貢獻，而服務應引領一個人去行動，而不是利潤。魯米斯一生中最值得讚許的是他「教師」的稱號，在擔任教師期間，許多學子深受他的影響，他曾以第三人稱來描述自己：「他作為教師的五十年間，在超過 4000 名的男孩、女孩(即年輕男女)的習慣養成上，烙刻了深深的印記。」. 7.

(14) 魯米斯是一位多產的作家，他寫了上百篇的文章、出版了好幾本書，如：《The Teaching of Mathematics in High Schools》以及《How to Attack an Original in Geometry》等。不過，魯米斯終究認為 1927 年出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)是他最好的著作，此書在 1940 年還做了修改，同時他也是在這一年過世的。在數學史上，縱使魯米斯並非赫赫有名，似乎也沒有一個方程式或是定理是以他的名字命名，但他所著作的《勾股定理》這本書，在數學教育史上佔著相當重要的地位，美國數學教師協會(NCTN)於 1968 年更是重印了這本著作，並視其為數學教育經典系列的第一本書籍。. 8.

(15) 第三節魯米斯的著作―《勾股定理》(The Pythagorean Proposition) 魯米斯認為勾股定理有著大量證明方式的原因，在於中古世紀時期，學生若想要獲得數學學位，則需對勾股定理提出一個原創的新穎證明，而一直到 1907 年魯米斯才開始將當時的所有證明整理成書，於 1927 年初版正式問世，而 1940 年再次重新修訂出版，此書目前亦有電子檔可供下載。《勾股定理》這本書明確地反映出作者的獨特性格，全書穿插了十二幅名人肖像，如歐幾里得、哥白尼、笛卡兒等等。魯米斯於書中將 371 個證明分成「代數」(algebraic)與「幾何」(geometric)兩大類，然而他區分的標準並不明確，「代數」證明較偏向於代數式的呈現，似乎是根據證明是否顯示 a 2  b 2  c 2 ，而「幾何」證明則是較偏向於如同畢達哥拉斯的理解，比較斜邊上的正方形面積和兩股邊上的正方形面積。此外，書中也補充了「畢達哥拉斯好奇」(Pythagorean Curiosity)，和五個畢達哥拉斯魔方陣(Pythagorean magic squares)。本書涵蓋了許多經典證明，諸如荷蘭物理學家惠更斯(Huygens)、萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz)、達文西(Leonardo da Vinci)、盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge)、16 歲的高中女生安  康地(Ann Condit)、托勒密(Claudius Ptolemaeus) 等等，甚至是美國第二十任總統伽菲爾德也利用梯形面積和三角形面積的關係提出了證明。在初等幾何中，最精彩、最著名、最有用的定理－勾股定理，在本書出版之後，陸續又有許多新穎的證明被提出，目前已經多達 400 個，而在伯果摩爾尼 (Alexander Bogomolny)所建立的網站「畢氏定理和它許多的證明」(http://www.cutthe-knot.org/pythagoras/index.shtml)中，更是收集了許多精彩且美妙的證明可供參考。. 9.

(16) 第四節教科書的現況根據目前國內所行之國民中小學課綱，勾股定理是編排於八年級上學期的課程，研究者在此挑選了三個市占率較高且均為教育部審核通過之教科書版本(分別為 A、B、C)，針對勾股定理證明的內容進行剖析。首先，研究者觀察到三個版本在介紹勾股定理前，均會以小學學過的三角板為例，介紹直角三角形三個邊的名稱，如圖 2.4.1。而對於勾股定理的引入及證明方式均各有所別。底下，研究者將針對三個版本的引入及證明進行剖析。. 斜邊. 股. 斜邊. 股. 股. 股. 圖 2.4.1 三角板介紹直角三角形三邊名稱(版本 A 掛圖為例). 一、版本 A 藉由傳說中畢達哥拉斯的故事，來引起學生的學習興趣。相傳畢達哥拉斯 (Pythagoras，約西元前 569-489 年)在宴會中注視著地上相同的等腰直角三角形黑白磚(圖 2.4.2)，進而發現勾股定理的規則。. 圖 2.4.2 畢達哥拉斯於宴會中注視地上的黑白磚. 10.

(17) (一) 引入方式： 1. 藉由畢達哥拉斯的故事，引導學生觀察等腰直角三角形中，以兩股為邊長的兩個正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積(如圖 2.4.3)。. 圖 2.4.3 等腰直角三角形三邊為邊長向外作正方形藉此，讓學生了解三邊長的關係，再引導學生思考，是否其他的直角三角形的三邊長也會有同樣的關係呢？ 2. 探索活動(圖 2.4.4)：以股長為 2 和 3 的直角三角形為例，在邊長為 1 的方格紙上，引導學生觀察以三邊為邊長所做出的正方形面積間的關係。. 圖 2.4.4 版本 A 的探索活動. 11.

(18) (二) 證明方式：版本 A 在探索活動中，藉由圖形及例子引導學生算出並觀察出「直角三角形中，以兩股為邊長的正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積」，接著再以兩個邊長均為 a  b 的正方形，均同時各自取走四塊相同的直角三角形，並觀察其各自所留下來的正方形面積之間的關係。. 圖 2.4.5 版本 A 的證明方式 (三) 證明評析版本 A 藉由畢達哥拉斯的故事引起學生學習興趣，再透過實際例子及圖形讓學生感受其幾何意義。最後再將證明一般化，但仍然以圖形間的配置方式，觀察面積關係，並無繁瑣的代數運算，純粹用直觀的方式作說明，並且透過動手操作物件，使學生更能掌握住 a2  b2  c2 的關係式；此外，證明過程中所探討的正方形面積 a2、b2、c2，也能讓學生更加感受到勾股定理的幾何意義。. 12.

(19) 二、版本 B (一) 引入方式在方格子上，作出三種直角三角形，分別為股長為 3 和 4、兩股皆為 2、以及股長為 2 和 3，再各自以直角三角形三邊為邊長向外作正方形(圖 2.4.6)。藉此引導學生分別算出各正方形的面積，將之列成表格，以觀察正方形面積之間的關係。. 圖 2.4.6 版本 B 的問題探索 1. (二) 證明方式從問題探索 1，學生可發現正方形 P 與正方形 Q 的面積和均等於正方形 R，若正方形 P、Q、R 的邊長分別為 a、b、c，則會滿足 a2  b2  c2 的關係式。接下來將利用四片斜邊長為 c，兩股長為 a 和 b 的直角三角形，放入邊長為 a  b 的正方形內，而引導學生觀察出此正方形內會形成一個邊長為 c 的正方形，最後利用面積的概念，推得 c2  a2  b2 的關係式。. 13.

(20) 圖 2.4.7 版本 B 的問題探索 2 (三) 證明評析版本 B 藉由「問題探索 1」中的三個例子，讓學生實際求取正方形的面積，再觀察正方形之間的面積關係，以直觀的方式察覺出 c2  a2  b2 的關係式及幾何意義。而在「問題探索 2」再將證明一般化，利用四個直角三角形拼出面積之間的關聯，雖然與版本 A 的證明方式相似，但此處卻少了一些直觀的概念，必須藉由面積概念及代數式的運算才能推得 c2  a2  b2，不過，無可否認的，再透過代數式的推論顯然是比較嚴謹的。. 14.

(21) 三、版本 C (一) 引入方式 1. 首先，藉由兩股長皆為 2 的等腰直角三角形為例(圖 2.4.8)，讓學生求出圖中正方形甲、乙、丙的面積，並觀察出正方形甲、乙、丙之間的面積關係，而得到 AC 2  BC 2  AB 2 。. 圖 2.4.7 版本 C 等腰直角三角形為例. 2. 探索活動中，以四片兩股長為 3 和 4 的直角三角形，和一個邊長為 1 的正方形，在方格紙上圍成另一個正方形 ABCD。藉由問題的引導，讓學生觀察出四邊形 ABCD 為正方形、並藉由求正方形 ABCD 的面積，而得到直角三角形甲的斜邊長，最後再提問：要學生比較直角三角形甲中，兩股長的平方和與斜邊長平方的關係。. 圖 2.4.8 版本 C 的探索活動. 15.

(22) (二) 證明方式從探索活動中，學生可發現直角三角形甲中，兩股長的平方和等於斜邊長的平方。接著考慮一般的直角三角形，兩股長為 a 和 b，斜邊長為 c。以四片全等的直角三角形，和一片邊長為 a  b 的正方形，採用和探索活動相同的拼圖概念，圍出一個四邊形，並求其面積。再說明此四邊形為正方形，且其面積恰為 c2，藉此由兩種不同的面積表示式，透過代數運算整理而得到 c2  a2  b2 的關係式。. 圖 2.4.9 版本 C 的證明過程. 16.

(23) (三) 證明評析版本 C 一開始舉了等腰直角三角形的例子，讓學生很直觀的藉由面積概念觀察出 a2  b2  c2 的關係式；然而在探索活動中，採用的方法比較無法與前面所舉的直觀例子相呼應，實屬可惜。在引導過程中，僅能看出以斜邊為邊長的正方形，並無法看出以兩股長為邊長的正方形，因此學生較無法感受到正方形面積 a2、 b2、c2，及勾股定理 a2  b2  c2 的幾何意義。另外，研究者認為直接提問學生：「在直角三角形甲中，試比較兩股長平方和與斜邊長平方的大小關係。」，引導學生透過代數的運算方式推得 a2  b2  c2 的關係式，較無法感受勾股定理的幾何意義，此舉，可以直接引導學生掌握住關鍵的方向，但學生可能因此錯失某些幾何思考的機會。. 結語：綜觀這三種市佔率頗高的版本，研究者發現都是以直觀的方式引起學生對於勾股定理的認識，且以圖形的拼湊方式作為證明的依據。然而版本 B 和 C，皆須透過代數運算來加以驗證與推導，相較於版本 A，以直角三角形三邊為邊長作正方形為主軸，再作圖輔助觀察三個正方形的面積關係，此版本對於學生的學習顯然是較為直觀，且容易感受幾何意義。以研究者的教學經驗而言，版本 C 的證明方式，對於初學者的學生學習容易產生認知負擔，無法很直接地接受到勾股定理所要表達的幾何意義。勾股定理是國內中學生第一個所遇到的，且在初等幾何上佔有相當一席之地的定理之一，極為重要，因此研究者認為在進行勾股定理教學時，應以更為直觀的方式引導學生認識並學習，如此才能讓學生在第一時間了解此定理的意義。另外，這三個版本皆鮮少提到相關的拼圖活動，若能搭配相關活動讓學生能藉由動手操作的方式，親自感受勾股定理與面積之間的幾何意義，那麼不僅能加深學生的印象，提升學生學習的興趣，亦能幫助學生思考。. 17.

(24) 第三章勾股定理的證明分類及其典故第一節勾股定理的證明概述勾股定理是一個基本的幾何定理，也是數學史上證明方法最多的定理之一，至目前為止，已經有 400 多種的證明被探究出來，且還不斷地在持續增加中。自史前人類透過自然觀察法發展幾何知識進而發現勾股數以來，關於勾股定理的證明已相當完整且豐富，因此對於勾股定理的分類一般而言可區分為三種： 1.. 面積證法：此證明方法出自《幾何原本》第一卷命題 47 (圖 3.1.1)，由魯米斯收錄在其著作《勾股定理》的 G033，此證明方式是以面積相等的概念作為主軸。 (魯米斯於《勾股定理》這本書中，將代數證明歸類於代號 A，幾何證明歸類於代號 G。). 圖 3.1.1 歐幾里得在《幾何原本》的面積證法. 18.

(25) 2.. 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31 (圖 3.1.2)，同時亦收錄在魯米斯《勾股定理》一書中的 A001，此證明方式運用了相似三角形對應邊成比例的性質，證明過程較傾向於代數的操作。 C. A. D. B. 圖 3.1.2 歐幾里得在《幾何原本》的比例證法. 3.. 弦圖證法：此證明方法源自中國與印度，利用圖形的截、割、拼、補，是古代數學家常用來證明幾何命題的重要方法，註解《九章算術》的中國數學家劉徽將之稱為「出入相補」。同時，劉徽的證明亦被收錄於魯米斯《勾股定理》一書中的 G127(圖 3.1.3)。另外，在印度則以數學家婆什迦羅(Bhāskara II)最為經典，其證明同樣收錄於《勾股定理》A036 及 G225。. 圖 3.1.3 劉徽的證明. 19.

(26) 第二節魯米斯《勾股定理》的證明分類魯米斯在《勾股定理》這本書中，共蒐集了 371 個關於勾股定理的不同證明，並且將之粗略地分成四個種類的證明，如下： 1.. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。. 2.. 幾何的證明(Geometric proofs)：以比較面積為基礎，意味著空間的概念。. 3.. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。. 4.. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。其中第 3 和第 4 種證明是從「幾何證明」再細分出來的，在書中的敘述也較. 少，因此這本書主要是討論「代數」的證明與「幾何」的證明。魯米斯在書中將 109 個代數的證明進一步分成七個小群，而 256 個幾何證明則依多種標準再分成十個小群，此外，書中也補充了「畢達哥拉斯好奇」(Pythagorean Curiosity)，和五個畢達哥拉斯魔方陣(Pythagorean magic squares)。. 20.

(27) 第三節代數證明與幾何證明的分類魯米斯將勾股定理的證明區分成「代數」與「幾何」兩大類，然而他區分的標準並不明確，綜觀《勾股定理》一書，大致可發現「代數」證明較偏向於代數式的呈現，似乎是根據證明是否顯示 a 2  b 2  c 2 ，而「幾何」證明則是較偏向於如同畢達哥拉斯的理解，比較斜邊上的正方形面積和兩股邊上的正方形面積。接下來，研究者將參考本勾股定理製作團隊其他夥伴的資料，將魯米斯於書中將「代數」的證明細分成七種類型，與「幾何」的證明細分成十種類型，整理如下：一、代數證明的分類： 1.. 相似的直角三角形：這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係(對應邊成比例性質)來證明，對於國中學生而言算是相當淺顯易懂的。其中有魯米斯認為最簡短的證明，也有許多需要藉由多個相似的直角三角形才能推導出來的證明，而最具代表性的，是歐幾里得在《幾何原本》一書中的第六卷命題 31。而在《幾何原本》中伴隨著此命題的附圖(圖 3.3.1)相當明確地顯示出三個相似的長方形，然而我們都知道，事實上附圖中的長方形是可以替換成其他任意相似的圖形，這也就間接說明了勾股定理的一般性。. 圖 3.3.1《幾何原本》第六卷命題 31 的附圖. 21.

(28) 2.. 比例中項原理此類證明可堪稱是第一種類型的特殊型式，縱使都是利用相似的直角三角形「對應邊成比例」的性質，但此類證明在推導過程中會運用到與比例中項相關的等式，也就是說，作直角三角形斜邊上的高，使之形成兩個相似的直角三角形，再利用相似形「對應邊成比例」的性質推出勾股定理的關係式。然而這類證明中，所使用的概念與性質對於國中生的學習而言，都是可以掌握的。接下來，研究者列舉了魯米斯《勾股定理》一書中的 A001 為例，就證明步驟作簡略地說明如下：【作輔助圖】過 C 點作 AB 的垂線，並且交 AB 於 D 點，如圖 3.3.2。 C. A. D. 圖 3.3.2. B. A001 的輔助圖. 【求證過程簡要】 (1) 先證明三角形 ABC 與三角形 ACD 、三角形 CBD 皆相似。，而推出三角形 (2) 再利用第(1)點中，三角形相似的性質「對應邊成比例」的邊長關係。最後再利用這些等式推出勾股定理的關係式。. 3.. 圓與直角三角形的結合這類的證明則是利用圓的弦、切線、割線，與直角三角形或是有相似關係的直角三角形結合，並且利用弦、切線與割線的性質，來推出勾股定理的關係式。而證明過程中所需使用到的先備知識也都分布於國中的課程當中，. 22.

(29) 因此對國中生而言，此類證明的理解並不難。接下來，研究者列舉了幾個例子，作為說明：首先，魯米斯《勾股定理》一書中的 A063：【作輔助圖】. (1) 以 B 為圓心， BA 為半徑作圓。.  (2) 延長 AC 交圓於 D 。  (3) 延長 BC 交圓於 E, H 。 D E C B. A. H. 圖 3.3.3. A063 的輔助圖. 【求證過程】. (1) 先說明弦心距垂直平分此弦。因為 BC  AD ，且 BA  BD  半徑，所以 AC  CD. (2) 利用圓內冪性質推得勾股定理的關係式：因為 AC  CD  EC  CH  ( BE  BC )  ( BC  BH ) 2.  ( AB  BC )  ( BC  AB)  AB  BC. 所以 AC 2  AB 2  BC 2 得到. 23. 2.

(30) 2. 2. 2. AB  CB  CA , 即 c2  a2  b2. 從此證明可知道，是利用圓內的弦心距的性質，以及圓內冪性質，進而推導出勾股定理的關係式，而更進一步說明，圓內冪性質其實是可藉由相似三角形對應邊成比例的關係推論而得，這部分亦可參考《勾股定理》一書中的 A058。再來，有一個相當特殊的例子，收錄於《勾股定理》一書中的 A066，說明如下：【作輔助圖】 (1) 以 AC 為直徑作圓。 (2) 過 A, C 作 CD  BC , AD  AB ，且 D 在圓上。 (3) 連接 BD 。. D. C. A. B. 圖 3.3.4. A066 的輔助圖. 【求證過程】 (1) 首先說明矩形對邊等長，且對角線等長. 因為四邊形 ABCD 為矩形，所以 AB  DC , AD  BC , AC  BD. (2) 由托勒密定理，推得勾股定理的關係式. 24.

(31) 因為 AC  BD  AB  CD  AD  BC ，可推得 AC  AC  AB  AB  BC  BC ，所以 2. 2. AC  AB  BC. 2. 即 c2  a2  b2.. 此證明是說明了勾股定理是托勒密定理的特例，當我們考慮圓內接矩形時，就可以很清楚的發現這個現象。然而托勒密定理在國中教材中鮮少有教師會介紹，不過此定理所運用的證明要件僅僅是相似形的概念，因此是可以提供給國中生做為課後精進學習參考的一個定理。. 4.. 面積的比例關係：此類的證明是根據相似形證明的，與《幾何原本》中第六卷命題 31 有關，此命題敘述：「在直角三角形中，直角對邊上的圖形是等於包含直角的兩邊上之相似及相似地被劃出來的圖形。」此敘述方式與第一卷命題 47 幾近相同，只是以「圖形」取代了「正方形」，換句話說，可以不是正方形，或多邊形，只要是相似的圖形就可以了。因此在這樣的情形下，第六卷命題 31 相較於第一卷命題 47 更為一般化。然而這類的證明也就是在直角三角形各邊上，形成任意相似的圖形，再藉由其間的比例關係，推導出勾股定理的關係式。. 5.. 極限定理：這類證明是先在等腰直角三角形的三邊上向外作正方形，先說明斜邊上的正方形面積會與兩股所延伸的正方形面積和相同，再固定斜邊長，調整兩股的長度，此時再利用極限的想法，說明兩股的正方形面積和仍然會與斜邊上的正方形面積相同，推出勾股定理的關係式，這類證明的想法可能要到高中，甚至大學以後才有辦法理解。. 25.

(32) 6.. 代數與幾何的結合這類證明作圖後需要討論圖形的面積，利用代數的方式推論圖形面積相等，而比較圖形面積時則是用幾何的方式討論的，如此推出勾股定理的關係式，稱為結合代數與幾何的證明。其中大部分的內容國中就已經學習過了，只有少部分是屬於高中程度才能理解的。. 7.. 代數與幾何結合，並透過相似多邊形最後這一類型的證明與前一類相近，差別僅在於作圖時是在直角三角形的三邊上向外延伸作出相似多邊形，並利用相似多邊形來討論，進而推出勾股定理的關係式，也是國中或高中就能理解的證明。. 26.

(33) 二、幾何證明的分類：主要是依據圖形的繪製方法不同來分類，也就是說直角三角形三邊所作的正方形位置不同，整理如下：圖形說明. 類型. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長向外作正方形，類型1. 換句話說，正方形的位置皆以直角三角形為中心向外側延伸。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，不同類型2. 於類型 1 的是，兩股上的正方形位置是向直角三角形外側延伸，而斜邊上的正方形則是向內側延伸。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型3. 上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，而斜邊上的正方形則是向外側延伸。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型4. 上的正方形位置分別向直角三角形的中心外側及內側，而斜邊上的正方形則是朝向外側延伸。不同於類型3 的是兩股上的正方形位置方向相反。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型5. 上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是向內側。. 27. 示意圖形.

(34) 圖形說明. 類型. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型6. 上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，而斜邊上的正方形則是向內側。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型7. 上的正方形位置朝向直角三角形的中心內側，而斜邊上的正方形則是朝向外側。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，三個正方類型8. 形位置皆朝向直角三角形的中心內側。. 以直角三角形的三邊為邊長作正方形，而正方形的位置類型9. 並非全部都貼齊直角三角形的邊，不同於前 8 類。只要證明的圖形中，其正方形的位置是由前 8 類作轉移得到的，皆蒐集在此類型。. 證明過程，並非以直角三角形三邊為邊長作正方形，類型10. 在此分類下又可細分兩類： 1.圖形以正方形為主軸的證明 2.圖形以三角形為主軸的證明. 28. 示意圖形.

(35) 第四節畢達哥拉斯魔方陣「魔方陣」(magic square)是一個大家耳熟能詳的數學遊戲，有許多小學老師將之安排在數學課程中，藉以激發學生對於數學學習的興趣及數學問題的思考。然而甚麼是魔方陣呢？一般而言是指：「在一個 n  n 的方陣圖中，將 1 , 2 , 3 , ….. , n2 的數字填入，使此方陣中的每一橫列、縱列、及兩條對角線上的數字和都相等。」在此，研究者將此和稱之為「魔術數」。中國是目前公認世界上最早出現有關魔方陣記載的國家，且魔方陣在中國古代是稱為縱橫圖、幻方。相傳四千多年前，大禹治水時，在洛水岸邊發現一隻很大的烏龜，其背上刻著一個很奇特的圖案(圖 3.4.1)，而這個圖就被稱為「洛書」，若用數字表示，就是所謂的三階魔方陣，如圖 3.4.2。. 圖 3.4.1 洛書. 4. 9. 2. 3. 5. 7. 8. 1. 6. 圖 3.4.2 三階魔方陣. 現今社會常將魔方陣視為一種遊戲，然而在古代卻不然，魔方陣是一種不可思議的東西，古印度人相當崇拜魔方陣，且常常有人在石頭或金屬上刻著魔方陣作為護身符避邪。相傳世界上最早紀錄下來的四階魔方陣是十一、二世紀時在印度的石刻上所發現的(圖 3.4.3)，而這一類的魔方陣又相較於其他一般的魔方陣更為神秘，因此又叫做鬼方陣(diabolic 或 pandiagonal square)。1938 年美國康乃爾大學兩位數學家 J. Barkley Rosser 和 Robert J. Walker 利用數學上的群論來研究鬼方陣，並且證實了鬼方陣的階數必須大於三的奇數或四的倍數，同時也證明了五. 29.

(36) 階鬼方陣共有三千六百個。鬼方陣之所以奇妙，在於它除了具備魔方陣的特質，即任一橫列、縱列、對角線之和(魔術數)都相等，且還有一種特性是任意互補對角線上的數字和也都等於魔術數。例如，將兩個相同的四階魔方陣左右並列，或上下並列，如圖 3.4.4，可發現原本方陣中的主對角線(黃色格子)數字和為 34，而左右並列後，與原主對角線(黃色格子)平行的對角線(綠色、藍色….等等)上的數字和也是 34。除此之外，若將鬼方陣最左(或右)邊一行挪至最右(或左)邊一行，或者將最上(或下)面一列挪至最下(或上)一列，則可得另一個新的鬼方陣(圖 3.4.5)。根據統計，四階魔方陣共有 880 個，其中鬼方陣佔了 48 個。. 7. 12. 1. 14. 2. 13. 8. 11. 16. 3. 10. 5. 9. 6. 15. 4. 圖 3.4.3 印度石刻上的四階魔方陣. 圖 3.4.4 四階鬼方陣左右並列的特性. 圖 3.4.5 四階鬼方陣的特性. 30.

(37) 古今中外，對於魔方陣的歷史有相當多的記載，西元 1275 年，宋朝數學家楊輝在其著作《續古摘其算法》上卷中記錄著 13 個魔方陣，階數為 3 階到 10 階，但其中的十階，即所謂的百子圖(圖 3.4.6)並非魔方陣，後來由清代數學家張潮在《心齋雜俎》下卷中製作了一個「更定百子圖」(圖 3.4.7)，修正了楊輝的百子圖，此外他更將幻方推廣至正立方體上。1593 年，明代的程大位出版了《算法統宗》，除了繼承楊輝的工作，在書中也增列了五階、六階魔方陣。. 圖 3.4.6 楊輝的百子圖. 圖 3.4.7 張潮的更定百子圖. 另外，相傳在歐洲最早出現的魔方陣是公元 1514 年，一幅由德國著名畫家 Albrecht Dure 所創作的銅板畫 Melencolia，在其右上方有一個 4 階的魔方陣 (圖 3.4.8)，有趣的是此畫創作的年代 (1514)也出現在魔方陣裡。. 圖 3.4.8 公元 1514 年 Albrecht Dure 所創作的銅板畫 Melencolia. 31.

(38) 隨著時間流逝，魔方陣的數學味道逐漸濃厚，因此吸引了許多數學家，包括著名的歐拉(Leonard Euler)、漢彌爾登、富蘭克林等等，也都對魔方陣做了深入探討。根據定義很清楚可以知道二階魔方陣是不存在的，而且也很容易可以計算出 n 階魔方陣的魔術數是 (1  2    n 2 )  1  2. n(1  n 2 ) 2. 因此三階的魔術數是 15、四階為 34、五階為 65…等等。至於魔方陣究竟如何解決呢？一般而言以奇數階及 4n 階的魔方陣解法較簡單，以奇數階為例，較常用的是由 De La Loubere 所發現的，其建置方法如下(圖 3.4.9)： (1) 在最上方一列的正中央填入 1 (2) 向右斜上方的格子推進，依序填入 2 , 3 , 4….，若超出方陣框外，則填入該行最下方的格子或該列最左端的格子。 (3) 若右斜上方的格子已有數字，則填入前一數字下方格子。. 圖 3.4.9 三階魔方陣的填法示例. 32.

(39) 針對三階魔方陣，還有另外一個特性是，中央方格的數字一定會是 5，且恰好是所填入的數字 1~9 的中間數，為魔術數 15 的三分之一。同理，倘若所填入的數字是 13～21，則中央方格的數字為 17，為魔術數 51 的三分之一。但是否所有的奇數階魔方陣都具有這樣的特性呢？其實並不然，圖 3.4.10，即為五階魔方陣，很清楚可以發現魔術數仍是 65，但中央方格是 18，並非 1～65 的中間數 13，亦非魔術數 65 的五分之一。. 圖 3.4.10 五階魔方陣. 魔方陣的總類，千變萬化，解法也相當多，截至目前為止已有相當多的文獻及書籍在探討其解法，在此，本研究並不再多加敘述。在魯米斯《勾股定理》一書中所增列的五個畢達哥拉斯魔方陣(Pythagorean magic squares)，是以邊長為(3 , 4 , 5)及(6 , 8 , 10)的直角三角形，先以其三邊為邊長各自向外作正方形，而每一個正方形再劃分為 11 的小正方形，使三邊成為一個 nn 的方陣(n  3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10)，再根據魔方陣的相關定義填入數字，使直角三角形三邊上的正方形成為一個魔方陣，另外，也可發現這三個魔方陣的數字和恰好與勾股定理有著一層神祕的關係。接下來，研究者將針對《勾股定理》書中所收錄的五個畢達哥拉斯魔方陣作粗略的探討與介紹：(為便於描述，底下研究者採用編號為 PMS01、PMS02、 PMS03、PMS04、PMS05). 33.

(40) 1.. PMS01，如圖 3.4.11，為魯米斯於 1900 年 7 月所建置完成的，其直角三角形邊上的三個魔方陣之相關基本性質如表 3.4.1。很清楚地，我們可發現方陣 BCFG 中的數字和(147  3) 與方陣 ACHI 中的數字和(46  4) 相加恰好等於方陣 ABDE 中的數字和(125  5)。. 表 3.4.1 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 1(PMS01)的相關性質方陣 ABDE. 方陣 BCFG. 方陣 ACHI. 階數. 5. 3. 4. 組成數字. 13～37. 45～53. 4～19. 魔術數. 125. 147. 46. 中間方格. 25. 49. H 7. F. 17. 12. 18. I. 4. 10. 15. 14 13. 11. 46. 8. 9. C 19. 53 48. 5. 51 49. 47. 6. 50 45. G. 52. 16. A. B 15. 16. 33. 30. 31. 37. 22. 27. 26. 13. 36. 29. 25. 21. 14. 18. 24. 23. 28. 32. 19. 34. 17. 20. 35. D. E. 圖 3.4.11 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 1(PMS01). 34.

(41) 另一方面，就方陣 BGFC 而言，他的填法與 De La Loubere 所提出的方法是相似的，首先將欲填入的第一個數 45 填在第一列中間格子，採用左斜上方的格子推進，接著如圖 3.4.12 步驟說明。而這種向左斜方向推進的方式，恰好與採用右斜上方格子推進方式所得的魔方陣對鉛直對稱軸(第二行，即中間行)做鏡射所得到的一樣。. 圖 3.4.12 方陣 BGFC 的解法步驟. 就四階方陣 ACHI 而言，魔術數為 46，可發現中間 22 方格內的四個數字和也是 46，除此之外，將此方陣分割成 4 個 22 的方格，其方格內的數字和也都是 46。(即 4  18  9  15  11  13  16  6  17  7  10  12  14  8  5  19)。那麼，這個魔方陣內的數字究竟是如何填出來的呢？研究者發現它和楊輝的建構方法相似，楊輝在其著作《續古摘其算法》書中提到：「術曰：以十六子依次遞作四行排列，先以外四子對換：一換十六，四換十三；後以四內角對換：六換十一，七換十。…」，底下以圖 3.4.13 說明。若將楊輝所建置的四階魔方陣各個數字都加上 3，則可得到魔術數 46 的魔方陣 ACHI。. 圖 3.4.13 楊輝四階魔方陣建構法. 35.

(42) 2.. PMS02，如圖 3.4.14 為魯米斯於 1900 年 7 月所建置完成的，其直角三角形邊上的三個方陣之相關基本性質如表 3.4.2。很清楚地，我們可發現方陣 BCFG 並非魔方陣，而三個方陣中的數字和彼此間似乎也沒有任何的關係。. 表 3.4.2 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 2(PMS02)的相關性質方陣 ABDE. 方陣 BCFG. 方陣 ACHI. 階數. 5. 3. 4. 組成數字. 13～37. 均為平方數. 1～16. 魔術數. 125. 中間方格. 25. 46. H 4. F. 14 15. I. 1. 9 7. 12. 11 10. 8. 64. 5. 6. C 16. 25 196. 2. 529 4. 121. 3. 400 289. G. 676. 13. A. B 15. 16. 33. 30. 31. 37. 22. 27. 26. 13. 36. 29. 25. 21. 14. 18. 24. 23. 28. 32. 19. 34. 17. 20. 35. D. E. 圖 3.4.14 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 2(PMS02). 36.

(43) 就方陣 ABDE 而言，魯米斯是以三個魔方陣組成的，分別為 11(52)、33(152)、 55(252)，如圖 3.4.15，當然，我們都知道 11 並非所謂的魔方陣，研究者認為這裡只是魯米斯方便敘述罷了，其中 52、152、252 即為該方陣內所有的數字和。. 圖 3.4.15 魯米斯建置方陣 ABDE 的構想. 中間 33 魔方陣是由 21～29 所組成的且魔術數為 75，中央方格內的數字為 75 的三分之一，而由此魔方陣向外擴張成 55，需要再補上 16 個數字，分別為 13～20 及 30～37，此方法可稱為擴階法。換言之，若要採用擴階法建置一個 n 階魔方陣，就是要先建構一個(n  2)階魔方陣，以此例，則是先建置一個以數字 1～9 所組成的 3 階魔方陣，再將各個數字都加上 20，如圖 3.4.16，即可得到魔術數 75 的魔方陣，接著再擴張成 5 階魔方陣。. 圖 3.4.16 擴階法(3 階擴張成 5 階) 另外，方陣 ACHI 就是圖 3.4.13 所說明的楊輝建置的方法，至於方陣 BCFG 並非魔方陣，但其內的每個數字都是完全平方數，且此方陣內的數字和 2304 也是一個平方數，即 48 的平方。魯米斯所建置的這一組直角三角形邊上的魔方陣，彼此間的關係相較於 PMS01(圖 3.4.11)來的不明確，但可以知道的是，魯米斯盡可能地從平方數出發來填補方陣內的數字，使其內的數字和為平方數。. 37.

(44) 3.. PMS03，如圖 3.4.17 為 Paul A. Towne 所建置完成的，其直角三角形邊上的三個魔方陣之相關基本性質如表 3.4.3。同樣地，我們可發現方陣 BCFG 中的數字和(63  3) 與方陣 ACHI 中的數字和(34  4) 相加恰好等於方陣 ABDE 中的數字和(65  5)。. 表 3.4.3 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 3(PMS03)的相關性質方陣 ABDE. 方陣 BCFG. 方陣 ACHI. 階數. 5. 3. 4. 組成數字. 1～25. 17～25. 1～16. 魔術數. 65. 63. 34. 中間方格. 25. 21. H 8 11 10. I. 5. F 1. 14 15. 4. 22. 13 2. 3. C. 17. 12. 24. 7. 16. 23 21. 19. 6. 18 25. G. 20. 9. A. B 8. 25. 23. 7. 2. 5. 12. 17. 10. 21. 22. 11. 13. 15. 4. 6. 16. 9. 14. 20. 24. 1. 3. 19. 18. D. E. 圖 3.4.17 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 3(PMS03). 38.

(45) 以方陣 ABDE 而言，採用的仍是擴階法，此處所使用的數字為 1～25，且中間 33 的魔方陣其中間數為 13，魔術數為 133，擴大至 55 的魔方陣，其魔術數為 135；相較於 PMS02 (圖 3.4.14)魯米斯同樣利用擴階法建置方陣 ABDE，呈現出 52、152、252 等平方數，恰為該方陣內中間 1 階、3 階、5 階方陣內所有的數字和，這個現象在 PMS03 是看不到的，就此而言，並非所有採用擴階法所建置的五階魔方陣，都會有相同的特性，由此可見，魔方陣的廣大與奧妙。而方陣 BCFG 的魔術數為 21 3；至於方陣 ACHI 為一個 44 的魔方陣，魔術數為 34，可發現中間 22 方格內的四個數字和也是 34，除此之外，將此方陣分割成 4 個 22 的方格，其方格內的數字和也都是 34。(即 5  10  4  15  16  3  9  6  11  8  14  1  2  13  7  12)。雖然 PMS03 中的三個魔方陣內的數字和有著一層關係，即 325  189  136，但這三個數字 325、189、136 仍未滿足勾股定理的關係。. 4.. PMS04，如圖 3.4.18，也是 Paul A. Towne 所建置完成的，其直角三角形邊上的三個魔方陣之相關基本性質如表 3.4.4。同樣地，我們可發現方陣 BCFG 中的數字和(147  3) 與方陣 ACHI 中的數字和(46  4) 相加恰好等於方陣 ABDE 中的數字和(125  5)。. 表 3.4.4 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 4(PMS04)的相關性質方陣 ABDE. 方陣 BCFG. 方陣 ACHI. 階數. 5. 3. 4. 組成數字. 13～37. 45～53. 4～19. 魔術數. 125. 147. 46. 中間方格. 25. 49. 39.

(46) H 11 14 13. I. 8. F 4. 17. 7. 48. 16. 18. 5 6. C 15. 47 52. 10. 19. 53 49. 45. 9. 46 51. G. 50. 12. A. B 15. 32. 31. 34. 13. 20. 22. 27. 26. 30. 36. 29. 25. 21. 14. 17. 24. 23. 28. 33. 37. 18. 19. 16. 35. D. E. 圖 3.4.18 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 4(PMS04). 在方陣 ABDE 中，可發現它與 PMS02 中，魯米斯的建置方式是一樣的，中央數均為 25，且從中間 1 階，擴階成 3 階、5 階，其內的數字和分別為 52、152、 252。而方陣 BCFG 則與 PMS01 魯米斯所建置的一模一樣，僅須透過旋轉 90 度即可發現他們是同樣的魔方陣，至於方陣 ACHI，則為 PMS03 中所建置的 4 階魔方陣中各個數字再加 3 即可得。. 40.

(47) 5.. PMS05，如圖 3.4.19，是 Paul A. Towne 所建置完成的，其直角三角形邊上的三個魔方陣分別為六階、八階、十階，不同於前述四個(PMS01～PMS04)均為三階、四階、五階。從中，我們可發現方陣 BCFG 中的數字和(303  6) 與方陣 ACHI 中的數字和(404  8) 相加恰好等於方陣 ABDE 中的數字和(505  10)。在此，對於這三個魔方陣的建置方法，研究者暫不多加探討，僅就彼此間所呈現的特性加以描述。. H 80 32 75. 66. 31. I. 73. 20. 74. 65. 19 79 33 61 46. 41. F. 23 76 38. 33 24. 66. 57 47 61 42 64 65 72 56 46 52 51 62 34 43 38 41 30 53 57 48 47 C 22 64 58 42 40 67 50 56 52 81 49 51 34 45 35 78 62 43 63 54 21 53 48 44 36 58 40 25 69 50 67 59 49 55 45 60 26 63 35 77 39 54 37 44 70 36 29 59 68 55 27 60 39 71 28 37 82 68. A. 2 15. 93. 17 87 18. 20 73 74. 94 16 88 89. 1. 31 75 32 80 19 86. 90 22 34 64 41. 65 66 33. 79 11. 9. 57 46 61. 23 92. 78 40 43 56. 95 25. 63 50. 53 52 47. 38 76. 6. 77 59 54 49 48 51. 42 24 97. 91 29. 39 55 44 45 58. 62 72 10. 3. 68 37. 67 30. 4. 71. B. 60 36 35. 96 82. 28 27 70. 100 8. 84. 14 83. 26 69 21 81 7. 85 13 12. 98 5 99. D. E. 圖 3.4.19 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 5(PMS05). 41. G.

(48) 首先，就方陣 ABDE 而言，是一個十階方陣，自中心將它拆解成 22、44、 66、88、1010 等方陣，如圖 3.4.20。顯而易見，其中 66 及 88 的方陣就是方陣 BCGF 和方陣 ACHI。底下，研究者將這些拆解出來的方陣的基本性質整理成表 3.4.5。表 3.4.5 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 5(PMS05)的相關性質 22. 44. 66. 88. 1010. 階數. 2. 4. 6. 8. 10. 組成數字. 48,49,52,53. 43～58. 33～68. 19～82. 1～100. 202. 303. 404. 505. 22  202. 32  202. 42  202. 52  202. 魔術數數字和. 12  202. 圖 3.4.20. PMS05 中方陣 ABDE 的拆解. 42.

(49) 從圖 3.4.20 可清楚發現，每一個方陣其對角兩端的數字和均為 101，且除了首末兩行(或列)外，每一行或列，其兩端數字和也都是 101，當然此例中 22 與 44 的方陣並不滿足任一行或列兩端數字和等於 101。由於每一魔方陣對角兩端的數字和都是 101，且階數均為偶數階，因此可發現魔術數就等於 101 乘以階數的一半(即 101 n ，其中 n 為階數)。另外，從這些拆解出來的方陣中的數字和， 2 可發現它們可構成一個數列為 12  202、22  202、32  202、42  202、52  202，除此之外，研究者認為另一個比較有趣的特性是三個魔方陣 ABDE、BCFG、ACHI，它們的魔術數隱藏著一種關係為 5052  3032  4042，恰好是勾股定理的關係式。. 綜觀魯米斯所收錄的這五個畢達哥拉斯魔方陣，直角三角形斜邊上的魔方陣數字和會等於兩股上魔方陣內數字和的總和，但這樣的關係要和勾股定理相提並論似乎有點牽強，研究者認為只能將魔方陣內的數字和視為是該所屬的正方形面積，如此即可解讀為斜邊上正方形的面積等於兩股上正方形的面積和。另外，研究者在網路上也搜尋到一個相當特別的畢達哥拉斯魔方陣，如圖 3.4.21，直角三角形三邊上所建置的魔方陣，其數字和恰好滿足勾股定理的關係式，即 8702  5222  6962。其實像這樣的畢達哥拉斯魔方陣還有很多，而且也不斷地在延續建構中。魔方陣是一個相當有趣的數學問題，也可稱作是數學遊戲，倘若能巧妙的將它融入課堂中教學，相信是可以激發學生對於數學問題的思考與興趣的。. 圖 3.4.21. 畢達哥拉斯魔方陣的例子(來自網路). 43.

(50) 第四章勾股定理證明工作單第一節勾股定理證明工作單內容說明在本章的第二節中，將介紹一些歸屬於代數及幾何方面的勾股定理的證明。在每個證明中，皆是以角 C 為直角的直角三角形 ABC 作為出發點，並且假設 BC  a , AC  b, AB  c (如圖 4.1.1)，而不論這些證明是歸屬於代數或幾何，皆是. 以證明出 a 2  b 2  c 2 這個等式作為最終目標。. C b. a. A. c. B. 圖 4.1.1 直角三角形 ABC. 另外，每一個證明均會包含以下三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，接下來，研究者將分別就其內容作說明：第一部分【作輔助圖】：由於許多的證明並非直觀，且並非直接由圖形即可證明而得，它需要藉由額外的輔助線才有辦法證明，因此在此部分研究者會將輔助圖的步驟完整的呈現出來，而所有的步驟均可藉由尺規作圖而得，同時，在步驟下方也會呈現完成輔助圖後的圖形，讓學生可藉由圖形理解作圖的程序並加以檢驗。. 44.

(51) 第二部分【求證過程】：此部分是整個證明的核心，包含從已經完成的輔助圖，到證明出勾股定理的關係式。由於有些證明的步驟相當繁瑣，因此研究者在開始證明前會先簡單介紹該證明的脈絡，如此一來，可以讓學生在證明前能夠先了解整個證明的思考方向，而對於高成就的學生而言，甚至可以在閱讀完此脈絡後即可自行嘗試證明，而其他的學生則可以跟著步驟的引導分段理解來完成證明。另外，在每個證明步驟中，研究者也都作了簡略的說明與敘述，讓學生能更加清楚掌握住該步驟所要推論的內容及重點。第三部分【註與心得】：此部分又分成四個子項目，分別為：來源、心得、評量、補充。首先在「來源」裡會標明原證明的出處，有些證明可能是有名的數學家所證明，或是出自某本書籍或期刊等等，可提供給對此證明有興趣或疑惑的讀者，自行收集相關資料來閱讀；「心得」為研究者本人在整理完成此證明後，或者是先行讓學生閱讀後的心得，作個簡單的比較或評論，供給讀者參考；至於「評量」則是在評論此證明適合於哪個學習階段所能理解、是否適合用於教學現場、又或者是否具有欣賞及美學，這些評論皆是研究者在完成此證明後，較主觀的評價，然而即使如此，研究者在此部分的用意僅在於希望讀者能藉由這些評論，更易於判斷此證明是否符合讀者所需要的，另一方面也能使讀者更能掌握住該證明的重要脈絡；最後，「補充」的項目裡會針對在證明過程中所利用到學生較不熟悉或未學習過得定理加以描述，藉以協助學生更容易對此證明的理解。江紹祥 (1999) 指出：透過電腦動畫的演示，可幫助學生處理抽象的數學概念。再者，長久以來，數學就是學生最感困擾的科目之一，不僅在學習興趣方面，在學習成就上也是最有挫折感的科目。因此隨著科技日益進步，數位化的教材可以使教學更加生動活潑，也能間接提升學生學習興趣，讓學生透過視覺化的學習，產生內化而達到理解。楊維哲 (1994) 認為「視覺化」是理解的一大部分，學生心中若缺少「圖像化」，就談不上真正的學習。李芳俞(2015)也指出：圖解證明有. 45.

(52) 其簡明易懂的優點，更可以藉著視覺化的感受，進而對於數學的具體化有很大的助益。有鑑於此，已從本研究範圍中的勾股定理證明挑選部分適當的證明製作成動畫，例如 G009、Henry Perigal 等有名的證明，藉由動畫的方式來呈現證明。 Goldenberg (1998) 指出：數學課程必須含有允許學生實驗的活動並建立模型來幫助解釋數學概念。因此，也開發了拼圖教材，讓學習者用出入相補的「弦圖證法」，透過實物操作來了解勾股定理，不論是動畫教材，或是拼圖教材，主要目的均在於增加學習的趣味性，也讓學習者能以輕鬆自在的心情來細細品味這個擁有四千多年歷史的黃金寶藏－勾股定理。. 第二節工作單內容本節為工作單內容，研究者將介紹 45 個勾股定理證明，而其中 25 個歸屬於「代數」分類，其餘 20 個為「幾何」分類；如同第一節所述，每一個證明皆包含三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】。本研究的 45 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》書中所收藏，由於本書已有百年歷史，因此書中有許多證明已不可考，研究者僅針對書中的描述，及圖形，進行推敲，再重新修補並給予完整的證明，因此部分證明或許已和作者原始的想法、出發點略有不同。另外，部分證明內容亦已開發教學動畫及拼圖操作，可供讀者參考，亦可使用於教學現場讓學生親自體驗。研究者將介紹下述 45 個勾股定理證明： A056、A057、A058、A059、A060、A061、A062、A063、A064、A065、 A066、A067、A068、A069、A070、A071、A072、A073、A074、A075、 A076、A077、A078、A079、A080、G001、G002、G003、G004、G005、 G006、G007、G008、G009、G010、G011、G012、G013、G014、G015、 G016、G017、G018、G019、G020。. 46.

(53) 勾股定理證明-A056 【作輔助圖】 1.. 以 AB 為直徑作一半圓。. 2.. 以 AB 為邊長作一正方形 ABFG ，並過 C 點作 EH  AB .. E. D. F. C. A. H. B. 【求證過程】以 AB 為邊向內作一正方形，先說明直角三角形 ABC 的母子相似性質，再利用正方形 ABFD 的面積等於矩形 HBFE 的面積與矩形 AHED 的面積和，來推出勾股定理的關係式。 1. 先說明直角 ABC 的母子相似性質。因為 C 是圓上一點，得到 ACB  90 ，且 CH  AB ，所以 2. 2. CB  BH  AB 且 AC  AH  AB 2. 利用矩形 HBFE 和矩形 AHED 可拼合成正方形 ABFD ，推得勾股定理的關係式。因為正方形 ABFD 的面積  AB. 2.  矩形 HBFE  矩形 AHED  HB  BF  AH  AD  HB  BA  AH  AB (因為 ABFD 為正方形) 2. 2.  CB  AC 。. 所以 2. 2. AB  CB  AC. 2. 。. 47.

(54) 即. a2  b2  c2 .. 【註與心得】 1.來源：這個證明出自於以下期刊： Arthur R. Colburn, LL.M. (1910). The Pons Asinorum II— New solution of the Pythagorean Theorem, Scientific American Supplement, 70, 383. 此證明是 Richard A. Bell 在 1933 年 11 月 18 日想出來的，並且在 1938 年 2 月 28 日告訴魯米斯( E.S. Loomis )的。 2.心得：此證明乃利用母子相似性質，以及正方形面積與矩形面積間的關係，就能順利推導出勾股定理的關係式，對於國中生而言相當容易理解，於教學中可先試著引導學生從做輔助線，及面積的角度來思考。 3.評量國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. 48. 美學.

(55) 勾股定理證明-A057 【作輔助圖】 1. 以三邊為邊長向外各作一正方形，分別為 ABNL, BCOF , ACHK 。   2. 延長 NB 交 AC 於 E 點，並作矩形 CEDH 。 3..   在 AC 上取 ER  ED ，並以 AR 為直徑，其中心點 Q 為圓心作半圓弧 AGR 與 DE 交. 4.. 於 G 點。作正方形 EGPM 。 D R. H E O. K. C. Q F. M A 35. B. G. P N. L. 【求證過程】首先利用直角三角形 ABE 與 AGR 中的母子相似性質證明正方形 EGPM 的面積等於正方形 ACHK 與正方形 BCOF 的面積和。再證明正方形 EGPM 的面積等於正方形 ABNL 的面積。最後在藉由面積關係推出勾股定理的關係式。 1. 先證明正方形 ACHK 、正方形 BCOF 、正方形 EGPM 的面積關係。 2. 因為矩形 CEDH 的面積  CH  CE  AC  CE  BC (母子相似性質)  正方形. BCOF的面積，且 2. 矩形 AEDK 面積  AE  ED  AE  ER  EG (母子相似性質)  正方形EGPM 的面積所以. 正方形EGPM 面積  EG. 2.  矩形AEDK 面積  正方形ACHK 面積  矩形CEDH 面積 2.  AC  BC. 2.  正方形ACHK 面積  正方形BCOF 面積 49.

(56) 2. 再證明正方形 EGPM ，與正方形 ABNL 的面積關係。因為 ACHK 為正方形，且 ER  ED ，所以. 正方形EGPM 面積  EG. 2.  AE  ER(母子相似性質)  AE  ED  AE  HC  AE  AC 2.  AB (母子相似性質)  正方形ABNL面積 3.最後利用面積關係推得勾股定理的關係式。由 1.和 2.可知 2. 2. 正方形ABNL面積  AB  EG  正方形EGPM 面積  正方形ACHK 面積  正方形BCOF 面積得到 2. 2. 2. AB  AC  BC , 即. c2  a2  b2 . 【註與心得】 1.來源：這個證明出自於以下期刊： Arthur R. Colburn, LL.M. (1910). The Pons Asinorum II— New solution of the Pythagorean Theorem, Scientific American Supplement, 70, 359. 2.心得：此證明的作圖方式是以直角三角形三邊長為邊向外做正方形，再由適當的作延長線與半圓，而作出另一個正方形 EGPM 。透過面積的運算，及由母子相似性質可容易檢驗出各正方形的面積關係，而得到勾股定理的關係式。此證明的想法對於國中生而言不易察覺，但推導的過程僅運用到母子相似性質，所以是清晰可理解的。 3.評量國中. 高中. 教學. ●. 欣賞 ●. 50. 美學.

(57) 勾股定理證明-A058 【作輔助圖】 1.. 以 B 為圓心， AB 為半徑作圓。. 2..   延長 AC 與圓交於 D 點，並延長 BC 與圓交於於 E , H 點。. 3.. 連接 DE , AH . D. E C B. A. H. 【求證過程 1】由弦心距垂直平分此弦，再由圓內冪形質可推得勾股定理。 1. 先說明弦心距垂直平分此弦。因為 BC  AD 且 BA  BD  半徑，所以. AC  CD 2. 再利用圓內冪性質推出勾股定理的關係式。因為 AC  CD  EC  CH (圓內冪性質)，所以 2. AC = ( BE  BC )  ( BC  BH )  ( BA  BC )  ( BC  BA) 2.  BA  BC. 2. 得到 2. 2. 2. AC + BC = AB , 即. c 2  a2  b2 .. 51.

(58) 【求證過程 2】由兩個相似三角形，對應邊成比例導出關係式，再推出勾股定理。 1. 先證明 CED與CAH 相似，可得到對應邊成比例的關係式 CA  CD  CE  CH 。因為 ACB  ECD (對頂角相等) , DEC  CAH . 1 DH , 可推得 2. CED  CAH (AA 相似) 所以. CE : CA  CD : CH ，即 CA  CD  CE  CH . 2. 再說明弦心距垂直平分此弦。因為 BC  AD 且 BA  BD  半徑，所以. AC  CD 3. 由第 1.點 CA  CD  CE  CH ，及第 2.點 AC  CD , 可知 2. AC = ( BE  BC )  ( BC  BH )  ( BA  BC )  ( BC  BA) 2.  BA  BC. 2. 所以 2. 2. 2. AC + BC = AB , 即. c 2  a2  b2 . 【註與心得】 1.來源：這個證明出自於以下書籍及期刊 Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.156).New York：Macmillan and co. PROOFS ON EUCLID'S 47TH PROPOSITION, BOOK I.--(I.).. (1887). Journal of education, 25(25), 404. 2.心得：兩種證明方式所使用的觀念都很直觀，因此都很適合用於國中教學提供給學生思考。證明 1 主要是利用圓內冪及弦心距的性質進而推導出勾股定理的關係式；證明 2 則是利用相似形概念推出圓內冪的關係式，再藉由弦心距的性質推出勾股定理的關係式。 3.評量國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ● 52. 美學.

(59) 勾股定理證明-A059 【作輔助圖】 1.. 以 B 為圓心， AB 為半徑作一圓。. 2.. 延長 BC 與圓交於 H ，並過 H 作 HD  AE .. . H C. A. D. B. E. 【求證過程】先說明兩個直角三角形全等，再利用直角三角形 AHE 比例中項的性質，推導出勾股定理。 1. 先證明 ABC與HBD 全等，進而推得 AC  HD, BC  BD 。因為 AC  BH , HD  AB , 得到 ACB  HDB  90 。又因為 HBD  ABC ,. BH  BA , 所以. ABC  HBD (AAS 全等) 進一步可得到 AC  HD , BC  BD 2. 再藉由比例中項性質，推得勾股定理的關係式。 2. 因為 HD  AE , 可得到 HD  AD  DE (比例中項性質)，所以. 53.

(60) 2. 2. AC  HD  AD  DE  ( AB  BD )  ( BD  BE )  ( AB  BC )  ( BC  AB ) 2.  AB  BC. 2. 所以 2. 2. 2. AB  CB  CA , 即. c 2  a2  b2 .. 【註與心得】 1.來源：此證明出自以下書籍及期刊 Department of Mathematics.. (1888). Journal of Education, 27(21), 327. Heath’s Mathematical Monographs, 1900, No. 2, p. 30, proof 26. 2.心得：此題作圖清晰，證明推理過程不難，淺顯易懂。利用全等三角形，以及比例中項的性質，即可推得勾股定理的關係式。 3.評量國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. 54. 美學.

(61) 勾股定理證明-A060 【作輔助圖】 1.. 在任意一圓中，作一弦 AH ，及直徑 BD ，使得 BD  AH. 2.. 連接 AB, BH , HD 。 D. H C B. A. 【求證過程】在圓內作任一直徑與任一弦垂直，再找出兩個相似形，利用對應邊成比例，推得勾股定理。 1. 先證明 ABC 與DBH 相似，而推得對應邊的比例關係。因為 BD 為直徑，且 BD  AH , 得到 ACB  DHB  90 ，又因為. CAB  HDB . 1 BH , 2. 所以. ABC  DBH (AA 相似) 進一步推得. AB : DB  BC : BH ，即 AB  BH  DB  BC . 2. 再由第 1.點推出的比例關係式，進一步推出勾股定理的關係式。因為 AB : DB  BC : BH ，可推得. AB  BH  DB  BC  ( DC  BC )  BC  DC  BC  BC  AC  CH  BC. 2. 2. 55.

(62) 又因為 BD 為直徑，且 BD  AH ，得到 AB  BH , AC  CH ，所以 2. AB  AB  BH  AC  CH  BC 2.  AC  BC. 2. 2. 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1.來源：此證明出自以下書籍及期刊 PROOFS OF EUCLID'S 47TH PROPOSITION, BOOK I.--(II.).. (1887). Journal of Education, 26(2), 21. Heath’s Mathematical Monographs, 1900, No. 1, p. 26. Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(3), 300. 2.心得：此題的輔助線作圖很簡捷，利用直徑與任一弦垂直，可以容易的看出對應角相等，進而得到相似三角形對應邊的比例關係。再利用圓內冪及弦心距的性質，最後推出勾股定理的關係式。 3.評量國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. 56. 美學.

(63) 勾股定理證明-A061 【作輔助圖】 1.. 以 C 為圓心，任意長 BD 為直徑作圓。. 2.. 過 C 作直徑 AH  BD 。. 3.. 連接 AB, BH 。 H. D. C. B. A. 【求證過程 1】由兩個等腰直角三角形合成另一個等腰直角三角形，利用面積可推得勾股定理。 1. 先說明 ABC 、 ABH 均為等腰直角三角形以及邊長的關係。因為 C 是圓心，且直徑 AH  BD ，所以 ABC 、 ABH 均為等腰直角三角形，故. AC  CH , CA  CB , AB  BH 2. 再利用面積關係推得勾股定理。因為 ABH 面積  ABC 面積  CBH 面積，所以. AB  BH  AC  BC  BC  CH 2.  AC  BC  AC 2.  AC  BC. 2. 得到 2. 2. 2. AB  CB  CA , 即 c2  a2  b2 .. 57.