畢達哥拉斯魔方陣

「魔方陣」(magic square)是一個大家耳熟能詳的數學遊戲，有許多小學老師 將之安排在數學課程中，藉以激發學生對於數學學習的興趣及數學問題的思考。

然而甚麼是魔方陣呢？一般而言是指：「在一個 n  n 的方陣圖中，將 1 , 2 , 3 , ….. , n²的數字填入，使此方陣中的每一橫列、縱列、及兩條對角線上的數字和都相等。」

在此，研究者將此和稱之為「魔術數」。

中國是目前公認世界上最早出現有關魔方陣記載的國家，且魔方陣在中國古 代是稱為縱橫圖、幻方。相傳四千多年前，大禹治水時，在洛水岸邊發現一隻很 大的烏龜，其背上刻著一個很奇特的圖案(圖 3.4.1)，而這個圖就被稱為「洛書」， 若用數字表示，就是所謂的三階魔方陣，如圖 3.4.2。

4

6 1

8 3

2

5 7

9

圖 3.4.1 洛書 圖 3.4.2 三階魔方陣

現今社會常將魔方陣視為一種遊戲，然而在古代卻不然，魔方陣是一種不可 思議的東西，古印度人相當崇拜魔方陣，且常常有人在石頭或金屬上刻著魔方陣 作為護身符避邪。相傳世界上最早紀錄下來的四階魔方陣是十一、二世紀時在印 度的石刻上所發現的(圖 3.4.3)，而這一類的魔方陣又相較於其他一般的魔方陣更 為神秘，因此又叫做鬼方陣(diabolic 或 pandiagonal square)。1938 年美國康乃爾 大學兩位數學家 J. Barkley Rosser 和 Robert J. Walker 利用數學上的群論來研究鬼 方陣，並且證實了鬼方陣的階數必須大於三的奇數或四的倍數，同時也證明了五

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階鬼方陣共有三千六百個。鬼方陣之所以奇妙，在於它除了具備魔方陣的特質，

即任一橫列、縱列、對角線之和(魔術數)都相等，且還有一種特性是任意互補對 角線上的數字和也都等於魔術數。例如，將兩個相同的四階魔方陣左右並列，或 上下並列，如圖 3.4.4，可發現原本方陣中的主對角線(黃色格子)數字和為 34，而 左右並列後，與原主對角線(黃色格子)平行的對角線(綠色、藍色….等等)上的數 字和也是 34。除此之外，若將鬼方陣最左(或右)邊一行挪至最右(或左)邊一行，

或者將最上(或下)面一列挪至最下(或上)一列，則可得另一個新的鬼方陣(圖 3.4.5)。根據統計，四階魔方陣共有 880 個，其中鬼方陣佔了 48 個。

7

10 3 16

2

1

13 8

12 14

11 5

6 15 4

9

圖 3.4.3 印度石刻上的四階魔方陣 圖 3.4.4 四階鬼方陣左右並列的特性

圖 3.4.5 四階鬼方陣的特性

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古今中外，對於魔方陣的歷史有相當多的記載，西元 1275 年，宋朝數學家 楊輝在其著作《續古摘其算法》上卷中記錄著 13 個魔方陣，階數為 3 階到 10 階，

但其中的十階，即所謂的百子圖(圖 3.4.6)並非魔方陣，後來由清代數學家張潮在

《心齋雜俎》下卷中製作了一個「更定百子圖」(圖 3.4.7)，修正了楊輝的百子圖，

此外他更將幻方推廣至正立方體上。1593 年，明代的程大位出版了《算法統宗》， 除了繼承楊輝的工作，在書中也增列了五階、六階魔方陣。

圖 3.4.6 楊輝的百子圖 圖 3.4.7 張潮的更定百子圖

另外，相傳在歐洲最早出現的魔方陣是公元 1514 年，一 幅 由 德 國 著 名 畫 家 Albrecht Dure 所 創 作 的 銅 板 畫 Melencolia，在 其 右 上 方 有 一 個 4 階 的 魔 方 陣 (圖 3.4.8)， 有 趣 的 是 此 畫 創 作 的 年 代 (1514)也 出 現 在 魔 方 陣 裡 。

圖 3.4.8 公 元 1514 年 Albrecht Dure 所 創 作 的 銅 板 畫 Melencolia

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隨著時間流逝，魔方陣的數學味道逐漸濃厚，因此吸引了許多數學家，包括 著名的歐拉(Leonard Euler)、漢彌爾登、富蘭克林等等，也都對魔方陣做了深入 探討。根據定義很清楚可以知道二階魔方陣是不存在的，而且也很容易可以計算 出 n 階魔方陣的魔術數是

2

2 1 (1 )

(1 2 )

2 2

n n

n 

    因此三階的魔術數是 15、四階為 34、五階為 65…等等。至於魔方陣究竟如何解

決呢？一般而言以奇數階及 4n 階的魔方陣解法較簡單，以奇數階為例，較常用 的是由 De La Loubere 所發現的，其建置方法如下(圖 3.4.9)：

(1) 在最上方一列的正中央填入 1

(2) 向右斜上方的格子推進，依序填入 2 , 3 , 4….，若超出方陣框外，則填入 該行最下方的格子或該列最左端的格子。

(3) 若右斜上方的格子已有數字，則填入前一數字下方格子。

圖 3.4.9 三階魔方陣的填法示例

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針對三階魔方陣，還有另外一個特性是，中央方格的數字一定會是 5，且恰 好是所填入的數字 1~9 的中間數，為魔術數 15 的三分之一。同理，倘若所填入 的數字是 13～21，則中央方格的數字為 17，為魔術數 51 的三分之一。但是否所 有的奇數階魔方陣都具有這樣的特性呢？其實並不然，圖 3.4.10，即為五階魔方 陣，很清楚可以發現魔術數仍是 65，但中央方格是 18，並非 1～65 的中間數 13，

亦非魔術數 65 的五分之一。

圖 3.4.10 五階魔方陣

魔方陣的總類，千變萬化，解法也相當多，截至目前為止已有相當多的文獻 及書籍在探討其解法，在此，本研究並不再多加敘述。在魯米斯《勾股定理》一 書中所增列的五個畢達哥拉斯魔方陣(Pythagorean magic squares)，是以邊長為(3 , 4 , 5)及(6 , 8 , 10)的直角三角形，先以其三邊為邊長各自向外作正方形，而每一 個正方形再劃分為 11 的小正方形，使三邊成為一個 nn 的方陣(n  3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10)，再根據魔方陣的相關定義填入數字，使直角三角形三邊上的正方形成為 一個魔方陣，另外，也可發現這三個魔方陣的數字和恰好與勾股定理有著一層神 祕的關係。接下來，研究者將針對《勾股定理》書中所收錄的五個畢達哥拉斯魔 方陣作粗略的探討與介紹：(為便於描述，底下研究者採用編號為 PMS01、PMS02、

PMS03、PMS04、PMS05)

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另一方面，就方陣 BGFC 而言，他的填法與 De La Loubere 所提出的方法是 相似的，首先將欲填入的第一個數 45 填在第一列中間格子，採用左斜上方的格 子推進，接著如圖 3.4.12 步驟說明。而這種向左斜方向推進的方式，恰好與採用 右斜上方格子推進方式所得的魔方陣對鉛直對稱軸(第二行，即中間行)做鏡射所 得到的一樣。

圖 3.4.12 方陣 BGFC 的解法步驟

就四階方陣 ACHI 而言，魔術數為 46，可發現中間 22 方格內的四個數字 和也是 46，除此之外，將此方陣分割成 4 個 22 的方格，其方格內的數字和也 都是 46。(即 4  18  9  15  11  13  16  6  17  7  10  12  14  8  5  19)。那麼，這個魔方陣內的數字究竟是如何填出來的呢？研究者發現它和楊輝 的建構方法相似，楊輝在其著作《續古摘其算法》書中提到：「術曰：以十六子 依次遞作四行排列，先以外四子對換：一換十六，四換十三；後以四內角對換：

六換十一，七換十。…」，底下以圖 3.4.13 說明。若將楊輝所建置的四階魔方陣 各個數字都加上 3，則可得到魔術數 46 的魔方陣 ACHI。

圖 3.4.13 楊輝四階魔方陣建構法

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就方陣 ABDE 而言，魯米斯是以三個魔方陣組成的，分別為 11(5²)、33(15²)、

55(25²)，如圖 3.4.15，當然，我們都知道 11 並非所謂的魔方陣，研究者認為 這裡只是魯米斯方便敘述罷了，其中 5²、15²、25²即為該方陣內所有的數字和。

圖 3.4.15 魯米斯建置方陣 ABDE 的構想

中間33 魔方陣是由 21～29 所組成的且魔術數為 75，中央方格內的數字為 75 的三分之一，而由此魔方陣向外擴張成 55，需要再補上 16 個數字，分別為 13～20 及 30～37，此方法可稱為擴階法。換言之，若要採用擴階法建置一個 n 階魔方陣，就是要先建構一個(n  2)階魔方陣，以此例，則是先建置一個以數字 1～9 所組成的 3 階魔方陣，再將各個數字都加上 20，如圖 3.4.16，即可得到魔 術數 75 的魔方陣，接著再擴張成 5 階魔方陣。

圖 3.4.16 擴階法(3 階擴張成 5 階)

另外，方陣 ACHI 就是圖 3.4.13所說明的楊輝建置的方法，至於方陣 BCFG 並非魔方陣，但其內的每個數字都是完全平方數，且此方陣內的數字和 2304 也 是一個平方數，即 48 的平方。魯米斯所建置的這一組直角三角形邊上的魔方陣，

彼此間的關係相較於 PMS01(圖 3.4.11)來的不明確，但可以知道的是，魯米斯盡 可能地從平方數出發來填補方陣內的數字，使其內的數字和為平方數。

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以方陣 ABDE 而言，採用的仍是擴階法，此處所使用的數字為 1～25，且中 間 33 的魔方陣其中間數為 13，魔術數為 133，擴大至 55 的魔方陣，其魔術 數為 135；相較於 PMS02 (圖 3.4.14)魯米斯同樣利用擴階法建置方陣 ABDE，

呈現出 5²、15²、25²等平方數，恰為該方陣內中間 1 階、3 階、5 階方陣內所有 的數字和，這個現象在 PMS03 是看不到的，就此而言，並非所有採用擴階法所 建置的五階魔方陣，都會有相同的特性，由此可見，魔方陣的廣大與奧妙。

而方陣 BCFG 的魔術數為 21 3；至於方陣 ACHI 為一個 44 的魔方陣，魔 術數為 34，可發現中間 22 方格內的四個數字和也是 34，除此之外，將此方陣 分割成 4 個 22 的方格，其方格內的數字和也都是 34。(即 5  10  4  15  16  3  9  6  11  8  14  1  2  13  7  12)。雖然 PMS03 中的三個魔方陣內的數 字和有著一層關係，即 325  189  136，但這三個數字 325、189、136 仍未滿足 勾股定理的關係。

4. PMS04，如圖3.4.18，也是Paul A. Towne所建置完成的，其直角三角形邊上 的三個魔方陣之相關基本性質如表 3.4.4。同樣地，我們可發現方陣 BCFG 中的數字和(147  3) 與 方陣 ACHI 中的數字和(46  4) 相加恰好等於方陣 ABDE 中的數字和(125  5)。

表 3.4.4 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 4(PMS04)的相關性質 方陣 ABDE 方陣 BCFG 方陣 ACHI

階數 5 3 4

組成數字 13～37 45～53 4～19

魔術數 125 147 46

中間方格 25 49

40

41

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首先，就方陣 ABDE 而言，是一個十階方陣，自中心將它拆解成 22、44、

66、88、1010 等方陣，如圖 3.4.20。顯而易見，其中 66 及 88 的方陣就是 方陣 BCGF 和方陣 ACHI。底下，研究者將這些拆解出來的方陣的基本性質整理 成表 3.4.5。

表 3.4.5 《勾股定理》中畢達哥拉斯魔方陣 5(PMS05)的相關性質

圖 3.4.20 PMS05 中方陣 ABDE 的拆解

22 44 66 88 1010

階數 2 4 6 8 10

組成數字 48,49,52,53 43～58 33～68 19～82 1～100

魔術數 202 303 404 505

數字和 1²  202 2²  202 3²  202 4²  202 5²  202

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從圖3.4.20 可清楚發現，每一個方陣其對角兩端的數字和均為 101，且除了 首末兩行(或列)外，每一行或列，其兩端數字和也都是 101，當然此例中 22 與 44 的方陣並不滿足任一行或列兩端數字和等於 101。由於每一魔方陣對角兩端 的數字和都是 101，且階數均為偶數階，因此可發現魔術數就等於 101 乘以階數 的一半(即101

2 n

 ，其中 n 為階數)。另外，從這些拆解出來的方陣中的數字和，

可發現它們可構成一個數列為 1²  202、2²  202、3²  202、4²  202、5²  202，

除此之外，研究者認為另一個比較有趣的特性是三個魔方陣 ABDE、BCFG、ACHI，

它們的魔術數隱藏著一種關係為 505²  303²  404²，恰好是勾股定理的關係式。

綜觀魯米斯所收錄的這五個畢達哥拉斯魔方陣，直角三角形斜邊上的魔方陣 數字和會等於兩股上魔方陣內數字和的總和，但這樣的關係要和勾股定理相提並

綜觀魯米斯所收錄的這五個畢達哥拉斯魔方陣，直角三角形斜邊上的魔方陣 數字和會等於兩股上魔方陣內數字和的總和，但這樣的關係要和勾股定理相提並