第二章 文獻探討
第四節 教科書的現況
根據目前國內所行之國民中小學課綱，勾股定理是編排於八年級上學期的課 程，研究者在此挑選了三個市占率較高且均為教育部審核通過之教科書版本(分 別為 A、B、C)，針對勾股定理證明的內容進行剖析。
首先，研究者觀察到三個版本在介紹勾股定理前，均會以小學學過的三角板 為例，介紹直角三角形三個邊的名稱，如圖 2.4.1。而對於勾股定理的引入及證明 方式均各有所別。底下，研究者將針對三個版本的引入及證明進行剖析。
股
斜邊 斜邊
股 股 股
圖 2.4.1 三角板介紹直角三角形三邊名稱(版本 A 掛圖為例)
一、版本 A
藉由傳說中畢達哥拉斯的故事，來引起學生的學習興趣。相傳畢達哥拉斯 (Pythagoras，約西元前 569-489 年)在宴會中注視著地上相同的等腰直角三角形黑 白磚(圖 2.4.2)，進而發現勾股定理的規則。
圖 2.4.2 畢達哥拉斯於宴會中注視地上的黑白磚
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(一) 引入方式：
1. 藉由畢達哥拉斯的故事，引導學生觀察等腰直角三角形中，以兩股為邊長 的兩個正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積(如圖 2.4.3)。
圖 2.4.3 等腰直角三角形三邊為邊長向外作正方形
藉此，讓學生了解三邊長的關係，再引導學生思考，是否其他的直角三 角形的三邊長也會有同樣的關係呢？
2. 探索活動(圖 2.4.4)：以股長為 2 和 3 的直角三角形為例，在邊長為 1 的 方格紙上，引導學生觀察以三邊為邊長所做出的正方形面積間的關係。
圖 2.4.4 版本 A 的探索活動
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(二) 證明方式：
版本 A 在探索活動中，藉由圖形及例子引導學生算出並觀察出「直角三角 形中，以兩股為邊長的正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積」，接著再 以兩個邊長均為 a b 的正方形，均同時各自取走四塊相同的直角三角形，並觀 察其各自所留下來的正方形面積之間的關係。
圖 2.4.5 版本 A 的證明方式 (三) 證明評析
版本 A 藉由畢達哥拉斯的故事引起學生學習興趣，再透過實際例子及圖形 讓學生感受其幾何意義。最後再將證明一般化，但仍然以圖形間的配置方式，觀 察面積關係，並無繁瑣的代數運算，純粹用直觀的方式作說明，並且透過動手操 作物件，使學生更能掌握住 a2 b2 c2的關係式；此外，證明過程中所探討的正 方形面積 a2、b2、c2，也能讓學生更加感受到勾股定理的幾何意義。
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二、版本 B (一) 引入方式
在方格子上，作出三種直角三角形，分別為股長為 3 和 4、兩股皆為 2、以 及股長為 2 和 3，再各自以直角三角形三邊為邊長向外作正方形(圖 2.4.6)。藉此 引導學生分別算出各正方形的面積，將之列成表格，以觀察正方形面積之間的關 係。
圖 2.4.6 版本 B 的問題探索 1
(二) 證明方式
從問題探索 1，學生可發現正方形 P 與正方形 Q 的面積和均等於正方形 R，
若正方形 P、Q、R 的邊長分別為 a、b、c，則會滿足 a2 b2 c2的關係式。接下 來將利用四片斜邊長為 c，兩股長為 a 和 b 的直角三角形，放入邊長為 a b 的 正方形內，而引導學生觀察出此正方形內會形成一個邊長為 c 的正方形，最後利 用面積的概念，推得 c2 a2 b2的關係式。
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圖 2.4.7 版本 B 的問題探索 2 (三) 證明評析
版本 B 藉由「問題探索 1」中的三個例子，讓學生實際求取正方形的面積，
再觀察正方形之間的面積關係，以直觀的方式察覺出 c2 a2 b2的關係式及幾何 意義。而在「問題探索 2」再將證明一般化，利用四個直角三角形拼出面積之間 的關聯，雖然與版本 A 的證明方式相似，但此處卻少了一些直觀的概念，必須藉 由面積概念及代數式的運算才能推得 c2 a2 b2，不過，無可否認的，再透過代 數式的推論顯然是比較嚴謹的。
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三、版本 C (一) 引入方式
1. 首先，藉由兩股長皆為 2 的等腰直角三角形為例(圖 2.4.8)，讓學生求出 圖中正方形甲、乙、丙的面積，並觀察出正方形甲、乙、丙之間的面積關 係，而得到AC2 BC2 AB2。
圖 2.4.7 版本 C 等腰直角三角形為例
2. 探索活動中，以四片兩股長為 3 和 4 的直角三角形，和一個邊長為 1 的 正方形，在方格紙上圍成另一個正方形 ABCD。藉由問題的引導，讓學生 觀察出四邊形 ABCD 為正方形、並藉由求正方形 ABCD 的面積，而得到 直角三角形甲的斜邊長，最後再提問：要學生比較直角三角形甲中，兩股 長的平方和與斜邊長平方的關係。
圖 2.4.8 版本 C 的探索活動
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(二) 證明方式
從探索活動中，學生可發現直角三角形甲中，兩股長的平方和等於斜邊長的 平方。接著考慮一般的直角三角形，兩股長為 a 和 b，斜邊長為 c。以四片全等 的直角三角形，和一片邊長為 a b 的正方形，採用和探索活動相同的拼圖概念，
圍出一個四邊形，並求其面積。再說明此四邊形為正方形，且其面積恰為 c2，藉 此由兩種不同的面積表示式，透過代數運算整理而得到 c2 a2 b2的關係式。
圖 2.4.9 版本 C 的證明過程
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(三) 證明評析
版本 C 一開始舉了等腰直角三角形的例子，讓學生很直觀的藉由面積概念 觀察出 a2 b2 c2的關係式；然而在探索活動中，採用的方法比較無法與前面所 舉的直觀例子相呼應，實屬可惜。在引導過程中，僅能看出以斜邊為邊長的正方 形，並無法看出以兩股長為邊長的正方形，因此學生較無法感受到正方形面積 a2、 b2、c2，及勾股定理 a2 b2 c2的幾何意義。另外，研究者認為直接提問學生：
「在直角三角形甲中，試比較兩股長平方和與斜邊長平方的大小關係。」，引導 學生透過代數的運算方式推得 a2 b2 c2的關係式，較無法感受勾股定理的幾何 意義，此舉，可以直接引導學生掌握住關鍵的方向，但學生可能因此錯失某些幾 何思考的機會。
結語：
綜觀這三種市佔率頗高的版本，研究者發現都是以直觀的方式引起學生對於 勾股定理的認識，且以圖形的拼湊方式作為證明的依據。然而版本 B 和 C，皆須 透過代數運算來加以驗證與推導，相較於版本 A，以直角三角形三邊為邊長作正 方形為主軸，再作圖輔助觀察三個正方形的面積關係，此版本對於學生的學習顯 然是較為直觀，且容易感受幾何意義。以研究者的教學經驗而言，版本 C 的證明 方式，對於初學者的學生學習容易產生認知負擔，無法很直接地接受到勾股定理 所要表達的幾何意義。勾股定理是國內中學生第一個所遇到的，且在初等幾何上 佔有相當一席之地的定理之一，極為重要，因此研究者認為在進行勾股定理教學 時，應以更為直觀的方式引導學生認識並學習，如此才能讓學生在第一時間了解 此定理的意義。另外，這三個版本皆鮮少提到相關的拼圖活動，若能搭配相關活 動讓學生能藉由動手操作的方式，親自感受勾股定理與面積之間的幾何意義，那 麼不僅能加深學生的印象，提升學生學習的興趣，亦能幫助學生思考。
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第三章 勾股定理的證明分類及其典故 第一節 勾股定理的證明概述
勾股定理是一個基本的幾何定理，也是數學史上證明方法最多的定理之一，
至目前為止，已經有 400 多種的證明被探究出來，且還不斷地在持續增加中。自 史前人類透過自然觀察法發展幾何知識進而發現勾股數以來，關於勾股定理的證 明已相當完整且豐富，因此對於勾股定理的分類一般而言可區分為三種：
1. 面積證法：
此證明方法出自《幾何原本》第一卷命題 47 (圖 3.1.1)，由魯米斯收錄在其 著作《勾股定理》的 G033，此證明方式是以面積相等的概念作為主軸。
(魯米斯於《勾股定理》這本書中，將代數證明歸類於代號 A，幾何證明歸類 於代號 G。)
圖 3.1.1 歐幾里得在《幾何原本》的面積證法
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2. 比例證法：
比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31 (圖 3.1.2)，同時亦收錄在魯米斯
《勾股定理》一書中的 A001，此證明方式運用了相似三角形對應邊成比例 的性質，證明過程較傾向於代數的操作。
B C
D A
圖 3.1.2 歐幾里得在《幾何原本》的比例證法
3. 弦圖證法：
此證明方法源自中國與印度，利用圖形的截、割、拼、補，是古代數學家常 用來證明幾何命題的重要方法，註解《九章算術》的中國數學家劉徽將之稱 為「出入相補」。同時，劉徽的證明亦被收錄於魯米斯《勾股定理》一書中 的 G127(圖 3.1.3)。另外，在印度則以數學家婆什迦羅(Bhāskara II)最為經典，
其證明同樣收錄於《勾股定理》A036 及 G225。
圖 3.1.3 劉徽的證明
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第二節 魯米斯《勾股定理》的證明分類
魯米斯在《勾股定理》這本書中，共蒐集了 371 個關於勾股定理的不同證明，
並且將之粗略地分成四個種類的證明，如下：
1. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。
2. 幾何的證明(Geometric proofs)：以比較面積為基礎，意味著空間的概念。
3. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。
4. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。
其中第 3 和第 4 種證明是從「幾何證明」再細分出來的，在書中的敘述也較 少，因此這本書主要是討論「代數」的證明與「幾何」的證明。魯米斯在書中將 109 個代數的證明進一步分成七個小群，而 256 個幾何證明則依多種標準再分成 十個小群，此外，書中也補充了「畢達哥拉斯好奇」(Pythagorean Curiosity)，和 五個畢達哥拉斯魔方陣(Pythagorean magic squares)。
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第三節 代數證明與幾何證明的分類
魯米斯將勾股定理的證明區分成「代數」與「幾何」兩大類，然而他區分的 標準並不明確，綜觀《勾股定理》一書，大致可發現「代數」證明較偏向於代數 式的呈現，似乎是根據證明是否顯示a2b2 c2，而「幾何」證明則是較偏向於 如同畢達哥拉斯的理解，比較斜邊上的正方形面積和兩股邊上的正方形面積。接 下來，研究者將參考本勾股定理製作團隊其他夥伴的資料，將魯米斯於書中將「代 數」的證明細分成七種類型，與「幾何」的證明細分成十種類型，整理如下：
一、代數證明的分類：
1. 相似的直角三角形：
這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係(對應邊成比例性質)來 證明，對於國中學生而言算是相當淺顯易懂的。其中有魯米斯認為最簡短的
這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係(對應邊成比例性質)來 證明，對於國中學生而言算是相當淺顯易懂的。其中有魯米斯認為最簡短的