第五章 模擬結果
5.2. 平衡控制器效能驗證
在此節中，我們將驗證 4.2 節中所提出的平衡控制器確能讓旋轉式倒 單擺系統的單擺在向上垂直位置達到持續的平衡穩定。
以下將模擬三種 LQR 控制器，分別是：
線性非時變 LQR 控制器
線性時變 LQR(SDC)控制器
線性非時變 LQR 補償控制器
首先我們定義平衡控制器之有效工作範圍，如圖 5.3 所示，𝛼𝛼 = 180°− 𝜀𝜀，其中𝜀𝜀 ∈ [−𝜀𝜀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥, 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥]。
圖5.3 平衡控制器的有效工作範圍示意圖
接著，假設系統初始值為𝜃𝜃0 = 0及𝛼𝛼0 = 180°− 𝜀𝜀，及 LQR 設計參數如下：
1 ,
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 10 0
0 0 0 25
=
= R
Q (5.1)
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5.2.1. 線性非時變 LQR 控制器效能驗證
在此節中，我們分別測試三種平衡控制器的工作範圍𝜀𝜀，分別是𝜀𝜀1 = 5°、𝜀𝜀2 = 16°以及𝜀𝜀3 = 17°。
圖5.4 線性非時變 LQR 控制器(𝜀𝜀1)之效能驗證
圖5.5 線性非時變 LQR 控制器(𝜀𝜀2)之效能驗證
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圖5.6 線性非時變 LQR 控制器(𝜀𝜀3)之效能驗證
模擬中我們可求得旋轉式倒單擺系統之旋轉臂擺動角 θ、單擺擺動角 α 及控制輸入 u 之反應，並求得平衡控制器最大的有效工作範圍時，以 4 秒計算，控制器輸出總能量為 1025.3。如圖 5.4-5.6 所示，我們可清楚的 得知𝜀𝜀 ≤ 16°時，旋轉式倒單擺系統在施加適當平衡控制之情況下，單擺 擺動角𝛼𝛼之反應會平衡在向上垂直位置（𝛼𝛼 = 180°），且𝜀𝜀越小，所需要控 制輸入的 u 越小，旋轉臂擺動角θ及單擺擺動角𝛼𝛼也較為平滑。而當𝜀𝜀 > 16° 時，則超出平衡控制器的有效工作範圍，因此單擺擺動角𝛼𝛼無法平衡在向 上垂直位置。
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5.2.2. 線性時變 LQR(SDC)控制器效能驗證
在此節中，我們同樣分別測試三種平衡控制器的工作範圍𝜀𝜀，分別是 𝜀𝜀1 = 5°、𝜀𝜀2 = 17°及𝜀𝜀3 = 18°。
模擬中我們可求得旋轉式倒單擺系統之旋轉臂擺動角 θ、單擺擺動角 α 及控制器輸出 u 之反應，並求得平衡控制器最大的有效工作範圍，並以 4 秒計算，控制器輸出總能量為 573.9。如圖 5.7-5.9 所示，我們可清楚的 得知𝜀𝜀 ≤ 17°時為平衡控制器的有效工作範圍內，因此施加適當平衡控制 u 之情況下，單擺會平衡在向上垂直位置。而當𝜀𝜀 > 18°時，則超出平衡 控制器的有效工作範圍，因此單擺擺動角𝛼𝛼無法持續平衡在向上垂直位 置。
圖5.7 線性時變 LQR(SDC)平衡控制器(𝜀𝜀1)之效能驗證
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圖5.8 線性時變 LQR(SDC)平衡控制器(𝜀𝜀2)之效能驗證
圖5.9 線性時變 LQR(SDC)平衡控制器(𝜀𝜀3)之效能驗證
我們比較 5.2.1 節的線性非時變 LQR 控制器，從圖 5.4-5.9 所示，在 平衡控制器的有效工作範圍內，線性時變 LQR(SDC)控制器效能較佳、所
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需的控制輸出 u 較小、單擺及旋轉臂的反應也較為平滑以及平衡時間也 較為快速，另外線性時變 LQR(SDC)控制器的有效工作範圍也較大。
5.2.3. 線性非時變 LQR 補償控制器效能驗證
在此節中，我們同樣也是分別測試三種平衡控制器的工作範圍𝜀𝜀，分 別是𝜀𝜀1 = 5°、𝜀𝜀2 = 16°及𝜀𝜀3 = 17°。
模擬中我們可求得旋轉式倒單擺系統之旋轉臂擺動角 θ、單擺擺動角 α 及控制器輸出 u 之反應，並求得平衡控制器最大的有效工作範圍，並以 4 秒計算，控制器輸出總能量為 1542.5。如圖 5.10-5.12 所示，其結果與 5.2.1 節的線性非時變 LQR 控制器相似，主要的原因可能在於 LQR 控制 器本身已有很好的控制效果，所以 LQR 再加上補償，其效過就不明顯，
反而增加了控制器輸出 u 的能量。
圖5.10 線性非時變 LQR 補償控制器(𝜀𝜀1)之效能驗證
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圖5.11 線性非時變 LQR 補償控制器(𝜀𝜀2)之效能驗證
圖5.12 線性非時變 LQR 補償控制器(𝜀𝜀3)之效能驗證
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