隨著科技的進步以及學術的發展，特別是近幾年來電腦計算能力大 幅提升，控制不再像以往那樣昂貴和難以設計，因此控制的應用在各行 各業中迅速擴大，如航太科技、風力發電、汽車、交通運輸與製造業等 等，控制工程都占有非常重要的一環，且在未來的各行各業中，人們必 然會想用更少的人力、更高效率的方法來做事，而一個優良的控制系統 便可幫公司創造高品質、低成本以及較低的危安事件，因此一個優良的 控制系統是值得深入探討的。
倒單擺系統 (Inverted Pendulum System)為一不穩定 (unstable)之非 線性系統 (nonlinear)，又因為系統架構簡單，所以常用來做典型的控制
實驗以及驗證各種控制理論，一般常見的倒單擺系統可分為旋轉式與直線
式兩種，本文是以旋轉式倒單擺系統(如圖 1.1)，使用了 QUANSER 公司 [1]的 ROTPEN (NI-ELVIS Trainer Rotary Inverted Pendulum)機台。
QUANSER 公司是一家專門為理工教育者和研究人員設計強大且高 精密的控制系統設備公司，並與美國國家儀器公司(NI)一同發展合作，在 ROTPEN 機 台 的 量 測 儀 器 與 軟 體 均 是 使 用 NI 公 司 的 硬 體 設 備 和 LabVIEW 圖控軟體來撰寫，在研究控制實驗上帶來高度的整合與便利性。
下圖是旋轉式倒單擺機台的實際拍攝圖。
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圖1.1 旋轉式倒單擺系統
1.2. 研究目的
本論文藉由典型的控制實驗機台之旋轉式倒單擺系統來探討利用一 些非線性系統理論，嘗試設計較線性控制更精準之控制方法。藉由模擬 分析非時變線性 LQR (Linear-Quadratic Regulator)設計方法所獲得之控制 效果及其潛在問題，並嘗試利用 SDRE (State-Dependent Riccati Equation) 及回授線性化控制方法的特點來精進線性控制之效果，最後將所設計的 控制器實現在 ROTPEN 機台。
1.3. 文獻回顧
由於倒單擺系統是典型的控制題目，所以相關的研究非常多，在國 外以旋轉式倒單擺系統為例，Kim and Lee 使用模糊控制[2]，Katsuhisa Furuta[3]使用結構變數控制，Astrom and Furuta[4]以基礎能量實現單擺 的擺起控制，Krishen and Becerra[5]使用 LQR 控制實現在單擺倒過來時 的平衡控制。
在國內以旋轉式倒單擺系統為例，羅士堯[6]是以基礎能量做擺起控
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制，並將系統的非線性模型在平衡點附近做泰勒展開以求得線性化模型，
分別以 LQR 控制法、極點配置法以及 PID 控制三種方式設計平衡控制器，
並利用 LabVIEW 和 Simulink 軟體做模擬分析與比較，最後得知由 LQR 控制法所做出來的平衡控制器比極點配置法和 PID 控制器佳，而傳統的 PID 控制甚至不能使倒單擺達到平衡狀態。
莊宜達[7]同樣是以基礎能量做擺起控制，以 LQR 控制法做平衡控制，
並額外設計 PD 控制器來追蹤旋轉臂的運動軌跡，分析旋轉臂在來回運動 下，倒單擺是否能持續保持平衡，最後證實由 LQR 控制法所設計的平衡 控制器能讓旋轉臂在持續的運動中仍是能讓倒單擺保持平衡。
文獻[5]-[7]在解決倒單擺平衡時，均是先將非線性模組做線性近似來 使用 LQR 控制法設計控制器，本論文參考 Tayfun Çimen[8]所提出的 SDRE 做為解決非線性控制問題的一部分。應用 SDRE 的特點使用在時變 模組上，在系統運作時，將每一時間點的相關係數代入非線性方程式中，
以線性狀態呈現，以改善利用近似法所得之非時變 LQR 最佳線性控制之 精度。
文 獻 [9]-[14] 所 使 用 的 輸 入 - 狀 態 回 授 線 性 化 控 制 法 (Input-State Feedback Linearization)亦是解決非線性控制的一個很好方法，其作法是利 用輸入狀態的回授，消除系統的非線性部分。其中，張剛維[10]使用回授 線性化控制法被應用在車輛轉向系統控制中得到很好的效果，同時在模 擬上採用四階朗基-庫塔法 (Fourth-order Runge-Kutta method)做為微分方 程式求解之模擬工具，在分析上得到很大的便利性。
本論文的平衡控制器設計是使用文獻[5]-[7]所用的 LQR 控制法、文 獻[8]的 SDRE 控制法以及文獻[9]-[14]所使用的回授線性化控制法，同時
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探討各個控制法所在的潛在問題，並且在模擬上使用文獻[10]中所用的四 階朗基-庫塔法做為微分方程式求解之模擬工具，來評估各個控制法的優 缺點。
1.4. 研究方法
本 論 文 首 先 以 拉 格 朗 日 方 程 式 (Euler-Lagrange Equation) 推 導 ROTPEN 實驗機台之系統模型，以李雅普诺夫函数 (Lyapunov Function) 設計擺起控制器，使用 LQR 控制法、SDC 控制法及回授線性化控制法來 設計三種不同類型的倒單擺平衡控制器。在模擬驗證中使用工程計算軟 體 MATLAB 來模擬各個控制器應用在旋轉式倒單擺系統之結果，並對其 控制效能做比較與分析。最後再將所設計出的控制器透過 LabVIEW 圖控 程式實作在 QUANSER 公司的 ROTPEN 機台上，以達到實體控制 ROTPEN 機台之目的。
1.5. 論文架構
本論文共分為七個章節，分別為：
第一章為緒論。
第二章為基礎理論介紹，介紹拉格朗日方程式、線性二次調整器 (LQR)、SDC 設計以及輸入-狀態回授線性化設計。
第三章為系統架構與推導旋轉式倒單擺系統模型。
第四章為旋轉倒單擺控制器設計，分別設計平衡控制器、擺起控制 器、擺起/平衡控制器以及簡化型回授線性化控制器。
第五章為模擬結果，使用 MATLAB 模擬各個擺起、平衡以及擺起/
平衡控制器，並且做分析比較。
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第六章為實驗結果，透過 LabVIEW 圖控程式，將所設計的控制器實 現在 ROTPEN 機台上。
第七章為結論與未來研究方向。
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