度譜 (Degree Spectrum)

[14] 提出度譜 (Degree Spectrum) 的概念，定義一個節點的鄰近節點 (neighbor node) 的 degree 稱為 degree spectrum，如圖 18 所示，check node 的 degree = 7，則 的 degree spectrum 為 2, 2, 3, 3, 4, 5, 15。文中觀察 check node 的 degree spectrum，文中提到透過 PEG 演算法所建構出來的低密度奇偶 檢查碼 check node 的 degree spectrum 會集中在特定的 degree spectrum，且 degree spectrum 間相似，如果增加 degree spectrum 相異的程度就能夠提升解碼 效能。

圖 18 Degree Spectrum illustration

本文定義了樣式 (pattern) 與距離 (distance) 兩種參數，pattern 用來觀察 degree spectrum 的相異性，distance 用來觀察 degree spectrum 的相似程度。

QC-LDPC codes 的 variable node 與 check node 的 degree 只有一種，不適合用 degree spectrum 來觀察。

表 3 為我們所分析的低密度奇偶檢查碼演算法的 variable node degree distribution，pattern 的定義為 (Check node’s degree; N(15) N(5) N(4) N(3) N(2))，

N(𝑛) 表示 degree=𝑛 的 variable node 個數。圖 18 check node 的 degree = 7，

degree spectrum 為 2, 2, 3, 3, 4, 5, 15，則我們用 pattern (7; 1 1 1 2 2) 來表示。

我們統計所有 check node 的 pattern 出現的頻率，以最高頻率出現的 pattern 為基準，計算其他 pattern 與最高頻率出現 pattern 的差值，定義為 distance，計算方式如表 5。

2 2 3 3 4 5 15

變量節點 (Variable node)

檢驗節點 (Check node) 變量節點的度 (degree)

Pattern 頻率 Distance (7; 2 1 1 1 2) 2

(𝟕; 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏) − (7; 2 2)

= |7 − 7| |2 − 2| | − | | − | |2 − | | − 2|

= 2

(7; 2 1 1 2 1) 10 最高頻率 pattern

(7; 2 1 0 2 2) 7

(𝟕; 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏) − (7; 2 2 2)

= |7 − 7| |2 − 2| | − | | − | |2 − 2| | − 2|

= 2 (7; 1 0 2 2 2) 1

(𝟕; 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏) − (7; 2 2 2)

= |7 − 7| |2 − | | − | | − 2| |2 − 2| | − 2|

= 4

表 5 Distance illustration

利用不同演算法所建構出來的 check node degree 不同，圖 6 為不同方法產 生的 check node degree distribution，由圖中可以觀察到 Random 所產生出來的 check node degree distribution 較分散，類似 normal distribution，而 PEG-based 所 產生出來的 check node degree distribution 較集中，這是因為 PEG 演算法每次 選擇連接的 check node 時，優先選擇不造成短環的情況下 degree 最小的 check node，所以選擇的過程幾乎都是 degree 最小的 check node 優先被選到，這就使 不同的 check node 最後的 degree 集中在特定的值；而 IPEG 與 MIPEG 都是 基於 PEG 改善，產生後的 check node degree 也都集中在特定的值。

由圖 6 可以發現 PEG-based 在 check node degree=8 的數量最多，我們選 擇 check node 來觀察每一個 check node 的 degree spectrum，利用 pattern 與 distance 來觀察。

PEG Number Of Check Node: 440

3 1 1 1 2 97 20.6% 2

3 1 0 3 1 9 1.9% 2

3 1 0 2 2 227 48.1% 0

3 0 2 1 2 1 0.2% 4

3 0 0 3 2 7 1.5% 2

2 3 0 2 1 1 0.2% 4

2 3 0 1 2 2 0.4% 4

2 2 1 1 2 4 0.8% 4

2 2 0 2 2 11 2.3% 2

表 6 Pattern and distance of PEG-based with check node degree=8 表 6 列出 PEG, IPEG, MIPEG 的 check node degree 為 8 的 pattern 與 distance，PEG 的 pattern 數是 10 組，distance 差異為 2 的有 7 組，差異為 4 的有 2 組，表示 pattern 間與最高頻率發生的 pattern 相似，PEG 的 degree spectrum 相似；IPEG 的 pattern 數是 10 組，distance 差異為 2 的有 8 組，

差異為 4 的有 1 組，表示 pattern 間與最高頻率發生的 pattern 相似，IPEG 的 degree spectrum 相似；而 MIPEG 的 pattern 數是 18 組，distance 差異為 2 的 有 10 組，差異為 4 的有 7 組，相較於 PEG 與 IPEG，MIPEG 的 pattern 間 與最高頻率發生的 pattern 不相似，MIPEG 的 degree spectrum 不相似，驗證了 [14] 所提出的觀察。

透過 degree spectrum 的觀察，Random 沒有集中的 pattern，pattern 種類多；

PEG-based pattern 種類不多，與建構後的 check node degree 有關，degree spectrum 集中在特定的 pattern，且 distance 差異大，pattern 間相似程度小。

當沒有集中在特定 pattern 時，我們使用以下將介紹的平均度譜 (Average Degree spectrum) 來觀察。

平均度譜 (Average Degree Spectrum) 為 degree spectrum 的平均值，如圖 18，check node 的 average degree spectrum 為 + + + + + +

= 。我們利

用 average degree spectrum 來觀察不同演算法所建構的低密度竒偶檢查碼的 average degree spectrum 分布，觀察不同建構方法的分布情形。

圖 19 Random, PEG-based average degree spectrum distribution Random 分布是常態分布 (normal distribution)，PEG-based 的 average degree spectrum 值集中在 7 到 8.5 之間，表示 PEG-based 產生的 average degree spectrum 相似度高，皆集中在某些值。

由以上的結果發現 degree spectrum 與建構後的 check node degree

distribution 有關，效能好的碼 check node degree 集中在某些值，degree spectrum 也集中，degree spectrum 間與高頻率發生的 degree spectrum 越不相似效能更好；

效能差的碼 check node degree 分散，沒有高頻率發生的 degree spectrum，我們 也驗證了 [14] 所提出的結論，透過本文提供 pattern 與 distance 的表示方式，

能更方便的觀察 degree spectrum。

0 50 100 150 200 250 300

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15

number of pattern

Average Degree Spectrum

Average Degree Spectrum Distribution

random zigzag PEG IPEG MIPEG

四. 局部 (Mesoscopic) 分析低密度奇偶檢

random zigzag

356