網路參數 (Network Parameters)

網路理論中存在許多參數來表現網路結構特徵，我們先將網路參數進行分類 與說明參數的表現意義，再來將網路參數與低密度奇偶檢查碼的關聯性加以描述，

最後針對低密度奇偶檢查碼不同方法的參數分析結果進行討論。

 與鄰近節點 (neighborhood) 相關的參數

1. Neighborhood connectivity

Connectivity 代表節點的度 (degree)，Neighborhood connectivity 計算鄰近節 點 degree 的平均值，圖 11 計算 node 𝑒 的 Neighborhood connectivity。

Neighbor nodes of node 𝑒 : 𝑏, , 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖, ℎ

Neighborhood connectivity of node 𝑒 :

=2 2 2 2 3 7

圖 11 Neighborhood connectivity illustration

我們是計算 variable node 的 neighborhood connectivity，而 variable node 只 與 check node 連接，所以觀察 variable nodes 的 neighborhood connectivity 與 check node degree distribution 有關，圖 12 為不同方法的 neighborhood

connectivity，由圖可以發現效能差的碼，例如 random, zigzag，Neighborhood connectivity 值較不一致，效能好的碼，例如 PEG, IPEG, MIPEG，Neighborhood connectivity 值較一致，QC-LDPC codes 的 variable node 與 check node 的 degree 都只有一個值，並不適合使用 neighborhood connectivity 觀察。

𝑏 𝑑

圖 12 Neighborhood connectivity 比較圖

 與最短路徑 (shortest path) 相關的參數

LDPC codes 解碼效能與 variable node 的訊息傳遞距離有關，所以接下來有 關最短路徑參數本文使用 variable node 的 unipartite graph 分析，並統計不同 degree 下的分布情形，找出不同 degree 中的差異。

1. Average shortest path length 是計算節點到其他節點的最短路徑。

The average shortest path length of node 𝑛: ∑ ^{𝐿(𝑛, 𝑖)}

𝑁−

𝑁

𝑖= , 𝑖≠𝑛 (1)

𝐿(𝑛, 𝑚): The length of shortest path between node 𝑛 and 𝑚.

𝑁 : all nodes in graph.

7.5 8 8.5 9 9.5

2 3 4 5 15

Average Neighborhood Connectivity

variable node degree

Neighborhood connectivity

random zigzag PEG IPEG MIPEG

圖 13 Random 與 PEG-based 不同 degree 的 Average shortest path length 由圖 13 可以發現，high degree variable node 的 shortest path length 較短，

high degree 在傳遞訊息比較容易將訊息傳遞給其他 node，所以 high degree 的 variable node 容易將自己的訊息傳送給其他 nodes。接下來觀察所有 node 的 average shortest path length，由圖 14 可以發現，不同方法所有 node 的 average shortest path length 沒有差異，透過觀察所有節點的 shortest path 無法區分不同 建構方法。

圖 14 不同方法所有節點的 average shortest path length

1.80 2.00 2.20 2.40 2.60

2 3 4 5 15

Average Shortest Path Length

Variable node degree

Average Shortest Path Length Distribution

random zigzag PEG IPEG MIPEG

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Average shortest path length

random zigzag PEG IPEG MIPEG

2. Betweeness centrality 是計算節點在最短路徑上的機率。 All Shortest Path

𝑎 − 𝑎 − 𝑏 − /

圖 15 Betweeness Centrality illustration

節點的 Betweeness centrality 值越大表示節點位在最短路徑上的機率越高，

也就表示圖中傳送訊息時容易經過 betweeness centrality 高的節點，那也就表示 這個節點自己的訊息容易被更改，不易形成 trapping set。

𝑒 𝑑

𝑏 𝑎

圖 16 Random 與 PEG-based 不同 degree 的 Betweeness centrality 由圖 16 可以發現 high degree variable node 的 betweeness centrality 值較 大，而我們知道 high degree variable node 不容易形成 trapping set，low degree variable node 容易形成 trapping set，透過 betweeness centrality 的觀察發現相對 應的趨勢；接下來計算所有節點的 betweeness centrality，可以由圖 17 發現，不 同方法差異不大，無法透過所有節點的 betweeness centrality 區分不同建構方 法。

圖 17 不同方法所有節點的 betweeness centrality

1.00E-05

random zigzag PEG IPEG MIPEG

0.00E+00

random zigzag PEG IPEG MIPEG

本節所使用的網路參數與 neighborhood 有關的 neighborhood connectivity 可以用來觀察 node degree distribution，不同方法建構的 check node degree distribution 不同，透過 neighborhood connectivity 可以觀察 degree distribution 的差異。與 shortest path length 有關的參數可以用來觀察節點傳遞訊息的距離，

低密度奇偶檢查碼的解碼過程與 variable node 傳遞訊息的路徑有關，可以透 過計算 variable 到 variable node 的 shortest path length 來觀察傳遞的情形；

而 low degree node 的 betweeness centrality 較低，較容易成為 trapping set。