模組性 (Modularity)

Modularity 是一種網路結構性質，由 M.E.J Newman 提出 [8] [21]，用來衡 量網路在分割後的結構品質，表示分割後每一個子結構中連線較緊密，但子結構 間只有少數的連線。Modularity 的定義如下：

𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑡𝑦 𝑄 =

2𝑚∑ [𝐴_𝑣𝑤−𝑘_𝑣𝑘_𝑤

2𝑚 ] 𝛿( _𝑣, _𝑤)

𝑣𝑤

(3)

𝑚: ∑_𝑣𝑤𝐴_𝑣𝑤 is the number of edges in graph 𝐴_𝑣𝑤= { if vertices and 𝑤 are connected

otherwise 𝑘_𝑣: the degree of vertex

Vertex belong to community _𝑣 𝛿(𝑖, 𝑗) is if 𝑖 = 𝑗 and otherwise

先假設每一個 node 屬於不同的 cluster，挑選能夠增加 Modularity 值的 node 加入同一個 cluster，直到無法增加 Modularity 值後完成此次 cluster 的挑 選；接下來選擇其他 node 依序再次選擇能夠增加 Modularity 值的 node 加入 同一個 cluster，依序不斷挑選。

由 (3) 可以發現 Modularity 是與隨機網路的連線情況比較，連線比隨機網 路的連線越緊密則表示分割的結果越好，每一個子結構內的連線緊密，表示 node 彼此間傳遞訊息需要經過的 path 較短，在 LDPC codes decoding 的情況下，越 近的越容易將錯誤更正，所以發生錯誤時 cluster 內的 node 能夠互相幫忙更正，

cluster 越大，有越多 nodes 能夠幫忙，cluster 越小則表示幫忙更正的 nodes 數 少，所以我們利用 Modularity 分割 variable node 的 unipartite graph。

本文使用 Cytoscapse [19] 的插件 clusterMaker [20] 提供的 Modularity 分 群演算法分析 variable node 的 unipartite graph，以下為分析結果圖：

Random topology Zigzag topology

PEG topology IPEG topology

MIPEG topology

圖 40 Topology by Modularity

圖 41 Cluster histogram by Modularity

0 1 2 3 4

2 4 8 16 32 64 128 256 512

frequency

cluster size

cluster histogram

random zigzag PEG IPEG MIPEG

由圖 40、圖 41 無法從 topology 與 cluster histogram 的觀點觀察出不同方 法的差異，接下來我們觀察每一個 cluster 內 network parameter (average shortest path length, betweeness centrality) 的特性。

圖 42 Average shortest path length of each cluster

0

average shortest path length

cluster size

average shortest path length

cluster size

average shortest path length

cluster size

average shortest path length

cluster size

average shortest path length

cluster size

MIPEG

圖 43 Betweeness centrality of each cluster

假設透過 Modularity 分析後，cluster 分布如圖 44。

圖 44 Modularity cluster 範例圖

1. intra-cluster : 同一個小 cluster 內選 (𝑎, 𝑏) trapping set 如圖 45，

normalize 的分母為 (4 𝑎) × (3

𝑎)。

圖 45 Modularity intra-cluster 範例圖

2. inter-cluster : 小 cluster 選 (𝑎, 𝑏) trapping set 如圖 46，normalize 的分 母為 (7

𝑎)。

圖 46 Modularity inter-cluster 範例圖

小 cluster

Number of variable nodes : 7

out_cluster

Number of variable nodes : 𝑁

小 cluster

Number of variable nodes : 7 4

𝑎

3 𝑎

小 cluster

Number of variable nodes : 7 7 𝑎

3. in-out-cluster : 小 cluster 內選 1 個 node，out-cluster 內任選 𝑎 − 個 nodes，如圖 47，normalize 的分母為 (7

𝑎) × ( 𝑁 𝑎 − )。

圖 47 Modularity in-out-cluster 範例圖

4. out-cluster : out-cluster 內選 (𝑎, 𝑏) trapping set 如圖 48，normalize 的 分母為 (𝑁

𝑎)。

圖 48 Modularity out-cluster 範例圖

以下比較 PEG, IPEG, MIPEG 上述的 4 種情況選 (𝑎, 𝑏) trapping set 的 ratio。

圖 49 PEG Modularity trapping set (𝑎 = 2⁾ 比較結果

小 cluster

Number of variable nodes : 7

out_cluster

Number of variable nodes : 𝑁

7 𝑁

𝑎 −

out_cluster

Number of variable nodes : 𝑁

𝑁 𝑎

圖 50 IPEG Modularity trapping set (𝑎 = 2) 比較結果

圖 51 MIPEG Modularity trapping set (𝑎 = 2) 比較結果

由圖 49、圖 50、圖 51 可以發現 𝑎 = 2 時 intra-cluster 挑選到 (𝑎, 𝑏) trapping set 的機率最大。

圖 52 PEG Modularity trapping set (𝑎 = 3) 比較結果

圖 53 IPEG Modularity trapping set (𝑎 = 3) 比較結果

圖 54 MIPEG Modularity trapping set (𝑎 = 3) 比較結果

由圖 52、圖 53、圖 54 可以發現 𝑎 = 3 時 intra-cluster 挑選到 (𝑎, 𝑏) trapping set 的機率最大。

由本節 Modularity 觀察 variable node unipartite graph 的結果可以發現，透 過 Modularity 的分群後，小 cluster 內的 variable node 的 betweeness centrality 較小，且透過比較 intra-cluster, inter-cluster, in-out cluster 與 out-cluster 可以發 現 intra-cluster 選到 (𝑎, 𝑏) trapping set 的機率最高，也證實了小 cluster 內確實 容易形成 (𝑎, 𝑏) trapping set。

五. 結論