第二章 理論分析
2.4 建立邊界符合座標系統所遭遇的問題與對策
本研究中所產生的邊界符合網格系統，為保角網格系統，也是自 原區域轉換到矩形區域時，座標轉換式中最精簡，限制最多，最不易 產生，但又最完美的轉換 (Thompson et. al., 1985；Ryskin and Leal, 1983)。當一x-y座標系統轉換到另一個-系統時，其轉換矩陣可表
當g12 0時，即
(2-27)
2 0
(2-28)
而在計算區域座標系統所產生的矩形網格對應到原區域的
(Conformal grids)。
過去的文獻認為，此保角網格系統的產生有其困難性，穩定性上 也有問題。尤其在邊界形狀過於崎嶇時，常會有網格疊置(Overlapping) 的問題，即網格交錯或者內部網格跑到域外去的現象。稱此為平滑性 (Smoothness)問題，為了製造出平滑的網格系統，常常要犧牲網格的 保角性。
以平滑性考量為主的網格系統以 Thompson 等人於 1976 年提出 的 TTM (Thompson, Thmes, and Mastin)系統為主，而以正交性為考量 的則以 Rinsky 於 1983 年提出的 RL (Rinsky and Leal)系統為代表。前 and error)來獲得最佳的平滑效果。由於網格線多半在靠近邊界時遭遇 到 扭 曲 ， 因 此 可 將 此 二 參 數 設 定 為 自 邊 界 向 內 域 的 指 數 遞 減 (Exponential decay)型態；亦即，越靠近邊界，修正越多，越接近內部，
則越退化成拉普拉斯方程式之保角網格系統。後續相關的研究，有一 大部份是延續 TTM 系統架構，而針對不同的P(,)、Q(,)控制項型 態所產生的網格系統加以討論。
至於 RL 系統，則強調網格的正交性(Orthogonality)以及尺寸因子 (Scale factor)的等稱性。簡單而言，雖不能如保角網格般處處符合柯 西-里曼條件(Cauchy-Riemann conditions)，但卻藉由引入扭曲函數
fd(Distortion function)來維持正交性
fd(Luis,1996; Jeng, 1999; Akcelik, 2001; Zhang, 2004)。
由以上的文獻回顧可知，保角網格為最佳的網格系統，但是由於 產生保角網格不易，因此退而追求網格系統的平滑性以及正交性，因 而個別發展出 TTM 以及 RL 網格系統。至於爲何產生保角網格不易，
除了 Rinsky 於 1983 年以’ill-conditioned’一詞來解釋外，在其他文獻
中並未見到相關的討論。本研究即根據邊界元素法研究中的幾何奇異 性(物理奇異性)加以探討網格扭曲的原因，並提出以複變轉換做為對 策解決此問題，然而此法亦有其先天上的限制，在運用上不可不知，
其限制詳見於本節後文。
在判斷網格系統品質好壞時，可利用 MDO、ADO、MAR、AAR 等四項指數來決定。其定義如下： 離正交性最大者，ADO 所代表則為所有網格偏離正交之平均值，MAR 為網格曲線最平滑者，AAR 則為平均的網格平滑度。當網格為完全
MAR
, , ,
, 1 max
max
j
fdi,
圖 2-4-1 保角網格產生流程圖
遇到兩個問題：(1)由於邊界元素法中的數學性奇異性，在運用邊界 元素法做映射時，內部網格線不可過於靠近邊界，必須距離至少106單 位長度以上，否則會產生數值發散的現象。關於這點，本研究利用幾 何解析方法，經由正確估計邊界元素法中關於角度的積分項於基礎點 逼近邊界時的角度值，可大大降低數學奇異性所帶來的誤差。以目前 的技術，在沒有幾何奇異性的情況下，可以產生至少距離邊界109以 上的網格線(Wang, 2005)，對於需要計算到極靠近邊界的流體力學問 題，此類網格的精密度將有決定性的影響。(2)由於邊界崎嶇時所帶 來的幾何奇異性(物理奇異性)問題，使得當要計算具物理奇異性的奇 異點時，其勢能值會產生較大的誤差，表現在網格上，就是網格線扭 曲或是網格線重疊交錯的現象。欲解決此問題，可利用複變函數先將 幾何奇異點的奇異性消除掉，最後形成四個角為直角，且四邊平滑的 超矩形區域(Hyper-rectangular region)，之後，再利用邊界元素法進行 平面轉換。然而，複變轉換並非萬能，在轉換之間，需要注意 branch-cut 的問題，以及所衍生的角度限制式。
其原理簡述如下：
如圖 2-4-2 中所示，當使用(2-38)式的複變轉換將 z 上某一點轉換
圖 2-4-2 自 z 到 w 平面之複變轉換示意圖
到 w 上時，由於角度放大的原因，原來在 z 平面上2角度內定義的 點，分佈到 w 平面上的角度範圍變成了4，這超越了複數平面四個 象限所能定義的範圍，因而產生了多值(Multi-value)的問題，亦即，
原來 z 平面上等相位角的兩個點，映射到 w 平面上時成為一點。這 個多值的問題，表現在網格產生上，便是網格邊界的扭曲變形，無法 形成多邊形。因為本研究產生網格的方法中，第一步是將不規則邊界 利用上述複變函數的方法轉換到四個角直角、四邊平滑的超矩形區 域，之後才在此區域內產生網格，只要邊界在轉換中沒有出問題，則 於超矩形區域內切割網格也不會出問題。因此，複變轉換中多值的問 題在此處顯得格外重要。
針對此問題，李曼(Riemann)於 1991 年提出三度空間的連接平面 構想，如圖 2-4-3 所示
圖 2-4-3 李曼平面示意圖
其意義為，利用三維變數來紀錄相位角變化，以達到一對一映射 的目的。
另外一個工程應用上的方法，乃是利用封閉的多邊形內角關係，
做為限制式，來確保 branch-cut 線不穿越到區域內。應用這樣的原理，
又可以下列兩種方法為之：
1. 改變內角
由於複變轉換造成非一對一映射的狀況出於當原來物理區 域上的角度被「放大」映射到超矩形區域上成為 90 度或者 180 度時，有可能使得平面上其他節點相對此點的轉角超過 360 度而 造成多對一映射的情況，因此必須將內角為銳角的情形改善為內 角為鈍角的情況，使其成為「壓縮」而非「放大」計算域的情況。
2
(2-38)
其中，為轉點之外其他的邊界節點內角，為轉換前的角 度，為轉換後的角度。其意義為，轉換倍率不可使其他角度超 越 2。由於本研究所轉換的超矩形區域僅含有 180 度以及 90 度 兩種角度，因此，對於原區域中欲轉換成 180 度的角度而言，即
，其限制為
0 2
2
(2-39)
對於 2
者
0 2
2
4
(2-40)
假設地形最為崎嶇的情況下，以至於有某個節點相對於轉點的 角度為2，則上面二式可改寫成
，其限制為
2 (2-41)
對於 2
者
4 (2-42)
因此，為了確保複變轉換不出問題，對於欲轉換到超矩形 區域上成為 90 度的原區域角度，必須限制大於 45 度，而欲轉換成
180 度者，則必須限制大於 90 度。根據以上二式，本研究推展出一 簡便的邊界平滑化技術。如圖 2-4-4 所示，在銳角兩邊極小距離內 增取 B、C 兩點，使得ABAC，則原角度便會被平滑化成鈍角
2
，此角可滿足以上兩式。由於在計算上，AB與AC可取非常小 的距離，因此，即使邊界改變，在物理上，對於計算應無太大之影響。
圖 2-4-4 內角平滑化示意圖
為了驗證理論的可行性，本研究取一蜂窩型區域產生網格系統 (圖 2-4-5)進行研究。研究發現，若不在 A 以及 D 點採用上述的方法 加以平滑化，將難以產生保角網格系統。也就是將 A,D 的
3
角利用前 面所述之方法於此二點非常靠近的附近各加兩個點以替換此點，造成 兩個
3
2 的角度，節點數也因此增加為八點。此範例顯示上面的理論 是可行的。
圖 2-4-5 蜂窩狀區域範例，A、D 再各細分成兩個內角。
2. 利用封閉多邊形的角度限制式進行複變轉換順序的調整 雖然，利用上面的方法可以有效避免複變轉換時角度多值的 問題，然而，當區域的節點距離過大時，複變轉換的保角性誤差 變大(Schinzinger and Laura，1991)，則轉換時的角度控制將更加 困難。因此，本研究發展出第二種角度控制技術，也就是封閉多 邊形的角度限制式，作為複變轉換點順序調整的依據。
如圖 2-4-6 所示，對於一封閉 n 多邊形而言，若各外角為A1、
A2、A3…An，則
1 2 3 2
3 2
1 A A An n
A (2-43)
其意義為：當每次做一次複變轉換時，便要檢查一次外角和是否 有符合多邊形的角度和2，若不符合，表示中間有邊界交錯的情形
出現，則必須更換各角度複變轉換的順序，直到符合角度限制式為 止。若更換順序仍無法達成避免邊界交錯之目的，則需用第一個方法 加以輔助，交互運用，達成目標。則其必須在每一次做複變轉換時加 以判定。
圖 2-4-6 封閉多邊形角度限制式示意圖
以下以蘭嶼島的範例說明此方法。圖 2-4-7 為台灣蘭嶼島，邊界 點數為 255 點。根據式(2-43)作為判斷式，可調整複變轉換之順序進 行轉換，經過 255 次的複變轉換之後，原區域轉換成一四個內角直 角，四邊平滑之超矩形區域。
圖 2-4-7 以蘭嶼導範例說明角度限制式之使用。
圖 2-4-8 根據角度限制式選擇複變轉換順序。經過 255 次的複變 轉換之後，原區域轉換為一超矩形區域。
簡言之，保角網格系統產生過程，在矩形區域轉換至超矩形區域 的過程中，過去若取矩形區域中離邊界小於106距離來模擬邊界，則 會發生數值計算收斂性的問題。今藉由對邊界元素法奇異性問題的研
析，此一困難已得以克服 (Wang & Tsay, 2005)。其原理乃是將產生網 格時遭遇的奇異性問題分成數學奇異性(Mathematical Singularities)以 及幾何奇異性(Geometrical Singularities)兩部分進行。數學奇異性的部 分利用解析幾何的方式求出邊界積分方程式中，當基礎點(Base point) 逼近邊界點，解析解角度項的正確求法。經過解析方法以及範例證 實，若能正確計算角度值，則計算時並不會受到所謂數值邊界層誤差 的困擾。然而，由於推導的過程所使用的邊界元素為線性元素，因此 當邊界較崎嶇時，便需要使用較密的邊界點來模擬，這是它的缺點。
另外，當遇到退化邊界(Degenerated Boundaries)時，也就是內角偏離 180 度過大時，如 cut-off wall 或是 corner problem，在接近尖端(tip) 或轉角(vertices)處會有勢能集中的現象，這種由邊界幾何形狀所引發 的奇異性問題，稱為幾何奇異性問題(Geometrical Singularities)，遇此 問題，則須藉助複變轉換(Complex mapping)的
此成果已經為著名的期刊 Engineering Analysis with Boundary Elements(EABE)所接受，並且預期短時間內將可發表。所以可在矩形 中任意建立規則的網格，使得在應用時，因矩形邊界而能很容易使用 有限差分法做計算，而將問題簡單化，並提高計算之精度。